Cayley-Klein metriği

Matematikte, bir Cayley-Klein metriği , çapraz oranı kullanarak bir projektif uzayın sabit bir kuadrisinin , mutlak kuadrisinin tümleyeni üzerinde tanımlanan bir metriktir . Bu metrik, 1859'da Arthur Cayley tarafından yapılmıştır ; inşaat 1871 ve 1873 yılları arasında Felix Klein tarafından tamamlandı. Cayley-Klein metrikleri, farklı Öklid ve Öklid olmayan geometriler için birleşik bir çerçeve sağlar ve her durumda aynı yapı ile mesafe kavramını tanımlar.

Tarihi

Cayley-Klein inşasının temelini oluşturan fikirler arasında, Karl von Staudt tarafından 1847'de oluşturulan " jet (in) cebiri " , geometriye mesafeleri veya açıları içermeyen ve sadece harmonik bölme kavramlarını kullanan bir yaklaşım vardır. ve çapraz oran . 1853'te Edmond Laguerre , iki doğru arasındaki açının (Öklid geometrisinde) bir çapraz orandan hesaplanabileceğini gösteren bir başka önemli sonuç (in) elde etti . Son olarak, 1859 yılında, Arthur Cayley yazısında formüle mesafenin teorisi üzerinde (içinde hesaplamalardan mesafeleri ifade eden ilişkiler Projektif geometri ) bir bağlantılı koniğin olarak onun tarafından tanımlanan mutlak çalışılan geometrinin. Felix Klein , 1871 ve 1873 makalelerinde, daha sonra bir dizi çalışmada von Staudt'un çalışmasını aldı, Öklid mesafesine yapılan son referansları kaldırdı ve yeni metriği bir çarpının logaritması olarak tanımlamak için Cayley'in teorisiyle birleştirdi. -ratio, dairesel tanım riskini ortadan kaldırır ve Öklid geometrisi gibi Öklid olmayan geometrilerin bu metrikten tanımlanabileceğini gösterir.

Cayley- Klein geometrisi (ilkelerini takip Erlangen programı ) çalışmasıdır izometri grubu , bu metrik için; bunun mutlak kuadriyi global olarak değişmez bırakan yansıtmalı dönüşümlerin alt grubu olduğunu kanıtlıyoruz ; her dörtgen seçimi klasik geometrilerden birine karşılık gelir ( Öklid , hiperbolik , eliptik , vb.).

Tanım

Bir tamir ikinci dereceden Q a yansıtmalı alan E kompleksleri alanında; Q , tanımlamak istediğimiz geometrinin mutlak kuadrisi olarak adlandırılır . Eğer bir ve B , iki ayrı puan olan E değil de Q , hat ( a, b ) kesiştiği Q iki noktada p ve q . Cayley – Klein mesafesi d ( a , b ) çapraz oranın logaritması ile orantılıdır ( a, b; p, q ) : burada bir sabittir. ${\ görüntü stili d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Çapraz oran pozitifse, gerçektir (bu hiperbolik bir geometriye karşılık gelir ; 1/2 değeri bir eğrilik verir ); değilse, karmaşık almak gerekir (biri eliptik geometri durumundadır ). $VS$ ${\ görüntü stili K = -1}$ $VS$

Cebirsel hesaplamalar için (ve daha modern bir temsil biçimi kullanarak), kişi kendini homojen koordinatlara yerleştirir ve ikinci dereceden bir formu sabitler ; Bu bağlamda polar form olarak adlandırılan ilişkili çift doğrusal formu belirtiriz , tarafından tanımlanır . Mutlak kuadratik sonra denklem (özellikle , bir koordinat noktası olmak ile, uçağın durumunda ve uzayda, ek olarak, bir matris simetrik olduğu için, ); sonra noktalar arasındaki Cayley – Klein mesafesinin ve olduğunu kanıtlıyoruz : ${\ görüntü stili Q}$ $B$ ${\ görüntü stili Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ sol (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ sağ)}$ ${\ görüntü stili Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ toplam q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $x$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ görüntü stili Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $x$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; bu notasyon ile .

{\ displaystyle B (x, y) = \ toplam q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Alarak basitlik için, biz hiperbolik durumda olduğunu anlamak: ${\ görüntü stili C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operatöradı {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

ve eliptik durumda ( alarak ): ${\ görüntü stili C = ben / 2}$

{\ displaystyle d = \ operatöradı {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Mutlak kuadrikin normal formları

Gerçek durumda, denklem tarafından tanımlanan herhangi bir kuadrik , formdaki değişkenin (doğrusal) değişimi ile ( Gauss indirgemesi ), her türün sayısı değişkenin değişmesine bağlı olmayan, kanuna göre konabilir . Sylvester'ın eylemsizliği . Her zamanki Öklid uzayında aşağıdaki sınıflandırmayı (bkz elde quadrik makale ve resimler için ayrıntılı makaleler): ${\ displaystyle Q (x) = \ toplam q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ toplam \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Kuadriklerin sınıflandırılması I. Düzenli kuadrikler . 1 .. Boş yüzey.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Topolojik olarak küreye benzeyen yüzeyler.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Elipsoid (sonsuzluk düzlemi ile kesişme yok). b) Eliptik paraboloid (sonsuzluk düzlemine teğet). c) İki katmanlı hiperboloid (sonsuzluk düzlemi ile sekant). 3. . Yüzeyler topolojik olarak Klein şişesine benzer .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Tek yapraklı hiperboloid (sonsuzluk düzlemi ile sekant). b) Hiperbolik paraboloid (sonsuzluk düzlemine teğet). II. Koniler . 1 .. Boş "koniler".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Koni tepesinde küçültülür. b) Boş silindir (sonsuzda düzlemde tepe noktası). 2 .. Sıradan "koniler".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Koni b) Eliptik silindir (sonsuzda düzlemde tepe noktası) c) Parabolik silindir (sonsuz düzlemde çift doğru) d) Hiperbolik silindir (sonsuzda düzlemde iki doğru) III. Bir çift plan . 1 .. Konjuge hayali planlar.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Sonlu mesafede kesişme. b) Paralel düzlemler. 2 .. Gerçek planlar.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Sonlu mesafede kesişme. b) Paralel düzlemler. c) Sonlu uzaklıkta bir düzlem ve sonsuzluk düzlemi. IV. Çift plan. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Sonlu mesafede çift düzlem. b) Sonsuzluk planı iki kez sayıldı.

Dönüşümler yansıtmalı örten ( kolinasyonları ilişkili bu formları değişmez bırakarak) Möbiüs dönüşümlerinin . Bu formlar, Cayley-Klein mesafesi için basit denklemlere yol açar; Öklid düzlemi böylece mutlak için izotropik doğrulara (ya da, eğer tercih edilirse, döngüsel noktalara ) sahiptir. Benzer şekilde, hiperbolik düzlemin mutlak birim çemberi ve Cayley-Klein mesafesi kadar vardır . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operatör adı {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

görelilik

Matematik tarihi üzerine 1919 ve 1920 derslerinde (ölümünden sonra 1926'da yayınlandı) Klein şunları yazdı:

“Durum (veya üç boyutta kalmak ve homojen koordinatları kullanmak ) son zamanlarda görelilik teorisi aracılığıyla özel bir önem kazanmıştır . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Diğer bir deyişle, konik (ya da ikinci dereceden) Mutlak hiperbolik geometrisi içinde veya aralıklarına karşılık gelir ya da zaman-alan , ve değişmez dönüşümler mutlak Karesel bırakarak uygun olarak bulunmaktadır Lorentz dönüşümleri . Benzer şekilde, hiperbolik geometride dairenin veya birim kürenin denklemleri, görelilikte ışık hızı c ile sınırlı olan fiziksel hızlara veya ' lara karşılık gelir , bu nedenle herhangi bir fiziksel hız vektörü v için , v / c oranı kalmalıdır. bu geometrinin mutlaklığını oluşturan birim kürenin içinde. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {dx} {dt}} \ sağ) ^ {2} + \ sol ({\ tfrac {dy} {dt}} \ sağ) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {dx} {dt}} \ sağ) ^ {2} + \ sol ({\ tfrac {dy} {dt}} \ sağ) ^ {2} + \ sol ({\ tfrac {dz} {dt}} \ sağ) ^ {2} = 1}$

Hiperbolik uzay için Cayley – Klein metriği ile özel görelilikteki Minkowski uzayı arasındaki bu ilişkinin diğer yönleri, Klein tarafından 1910'da ve ayrıca Öklid dışı geometri üzerine derslerinin 1928 baskısında vurgulandı .

CK-afin geometri

2008'de Horst Martini ve Margarita Spirova , Cayley-Klein metriğiyle ilişkili afin geometriyi kullanarak Clifford teoremlerinin ilkini çemberler (in) ve diğer Öklid geometrisi teoremleri üzerine genelleştirdiler : fikir, aynı yapıyı dejenere mutlak koniklere uygulamaktır ( bir çizgi ile sonsuzluk çizgisinin çarpımından oluşur); Öklid geometrisinde komplekslerin oynadığı rol , yapılarında kompleksleri ayırmaya devredilmiştir .

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde “ Cayley - Klein metrik ” ( yazarların listesini görmek ) .

Klein & Rosemann (1928), s. 163
Klein & Rosemann (1928), s. 138
Cayley (1859), sayfa 82, §§209 - 229
Klein & Rosemann (1928), s. 303
Pierpont (1930), s. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), s. 163, 304
Russell (1898), sayfa 32
Campo ve Papadopulos (2014)
Bu doğru Q'ya teğet ise , p = q elde ederiz .
Klein & Rosemann (1928), s. 164
Klein & Rosemann (1928), s. 167ff
Veblen & Young (1918), s. 366
Veblen & Young (1918), s. 372
Klein & Rosemann (1928), s. 68; ayrıca 70, 72, 74, 85 ve 92. sayfalardaki sınıflandırmalara bakın.
Klein & Rosemann (1928), bölüm III
Klein & Rosemann (1928), s. 132f
Klein & Rosemann (1928), s. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), s. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), bölüm XI, §5
Martini ve Spirova (2008)

bibliyografya

Birincil kaynaklar

(de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F. Korn,1847( çevrimiçi okuyun )
Edmond Laguerre , “ Odak teorisi üzerine not ”, New annals of matematiğin , cilt. 12,1853, s. 57–66 ( çevrimiçi okuyun )
(tr) Arthur Cayley , “ Kuartikler üzerine altıncı bir anı ” , Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri , cilt. 149,1859, s. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , çevrimiçi okuyun )
(de) Felix Klein , “ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , cilt. 4, n o 4,1871, s. 573–625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , çevrimiçi okuyun )
(de) Felix Klein, “ Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , cilt. 6, n o 21873, s. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , çevrimiçi okuyun )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( çevrimiçi okuyun )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( çevrimiçi okuyun )

İkincil kaynaklar

(de) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, Teubner,1885( çevrimiçi okuyun )
(de) R. Fricke ve F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Leipzig, Teubner,1897( çevrimiçi okuyun )
(tr) Bertrand Russell (1898) Geometrinin Temelleri Üzerine Bir Deneme, 1956 yılında Dover Books tarafından yeniden yayınlandı
(tr) Alfred North Whitehead (1898) Evrensel Cebir , Kitap VI Bölüm 1: Mesafe Teorisi, s. 347–70, özellikle Bölüm 199 Cayley's Theory of Distance.
(de) Hausdorff, F., “ Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie ” , Leipziger Math.-Phys. Berichte , cilt. 51,1899, s. 161–214 ( çevrimiçi okuyun )
(tr) Duncan Sommerville (1910/11) " n -boyutlu uzayda Cayley – Klein metrikleri ", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25-41.
(de) Klein, Felix, “ Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , cilt. 19,1910, s. 533-552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )İçerisinde yayımlanmaktadır Klein, Felix, Gesammelte Abhandlungen Mathematische , vol. 1,1921, 533–552 s. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )David Delphenich tarafından İngilizce çeviri: Lorentz grubunun geometrik temelleri üzerine
(tr) Veblen, O. ve Young JW, Projektif geometri , Boston, Ginn,1918( çevrimiçi okuyun )
(de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin & Leipzig, Berlin W. de Gruyter,1923( çevrimiçi okuyun )
(de) Klein, F. ve Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berlin, Springer,1926( çevrimiçi okuyun ); İngilizce çeviri: Development of Mathematics in the 19. Yüzyılda M. Ackerman, Math Sci Press
(de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berlin, Springer,1928( çevrimiçi okuyun )
(tr) Pierpont, J., “ Öklidyen olmayan geometri, geçmişe bakış ” , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , cilt. 36, n o 21930, s. 66–76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
(tr) JE Littlewood , Littlewood'un çeşitli kitabı , Cambridge University Press ,1986( 1 st ed. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , Matematik Yorumlar 872 858 , çevrimiçi okuma )
(tr) Harvey Lipkin (1985) Metrical Geometri den Georgia Institute of Technology
(tr) Horst Struve ve Rolf Struve , “ Cayley – Klein metrikleri ile projektif uzaylar ” , Journal of Geometry , cilt. 81, n, o , 1,2004, s. 155–167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , Matematik İncelemeleri 2134074 )
(tr) Martini Horst, Spirova Margarita, “ Afin Cayley-Klein düzlemlerinde daire geometrisi ” , Periodica Mathematica Hungarica , cilt. 57, n o 22008, s. 197-206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
(tr) Horst Struve ve Rolf Struve , “ Öklidyen olmayan geometriler: Cayley – Klein yaklaşımı ” , Journal of Geometry , cilt. 89, n, o , 1,2010, s. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , Matematik İncelemeleri 2739193 )
(tr) A'Campo, N. ve Papadopoulos, A., Sophus Lie ve Felix Klein: Erlangen Programı ve Matematik ve Fizikteki Etkisi ,2014, 91–136 s. ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10.4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406.7309 ) , “Klein'ın Öklidyen Olmayan Geometrisi Üzerine”
(tr) Frank Nielsen , Boris Muzellec ve Richard Nock , 2016 IEEE Uluslararası Görüntü İşleme Konferansı (ICIP) ,2016, 241–245 s. ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , "Eğri mahalanobis metriklerinin karışımlarıyla sınıflandırma"

tamamlayıcılar

(tr) Jan Drösler (1979) "Cayley-Klein geometrilerinde çok boyutlu metrik ölçeklemenin temelleri", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185–211