Görüntü ölçümü

Olarak ölçüm teori , görüntü ölçümü , bir tanımlanmış bir ölçüsüdür ölçülebilir alan ve üzerinden başka ölçülebilir alan transfer ölçülebilir fonksiyonu .

Tanım

Kendimize iki ölçülebilir alan ve ölçülebilir bir uygulama ve bir ölçü veriyoruz . $Μ$ ile $f'nin$ görüntü ölçüsü, aşağıdaki şekilde gösterilen ve tanımlanan bir ölçüdür : $\ scriptstyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})$ $\ scriptstyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})$ $\ scriptstyle f \ iki nokta üst üste X_ {1} \ rightarrow X_ {2}$ $\ scriptstyle \ mu \ iki nokta üst üste \ Sigma _ {1} \ sağ ok [0, + \ infty]$ $\ scriptstyle \ Sigma _ {2}$ $\ scriptstyle f _ {\ ast} \ mu$

(f _ {\ ast} \ mu) (B) = \ mu \ left (f ^ {{- 1}} (B) \ sağ) {\ text {tümü için}} B \ in \ Sigma _ {2} .

Bu tanım, karmaşık imzalı önlemler için de geçerlidir .

Değişken değişim formülü

Değişkenleri değiştirme formülü ana özelliklerden biridir: X 2 üzerindeki bir g fonksiyonu , $f$ $*$ $μ$ görüntü ölçüsüne göre integrallenebilir, ancak ve ancak kompozit fonksiyonu $g\circ f$ , $μ$ ölçümüne göre integrallenebilir . Bu durumda iki integral çakışır:

\ int _ {{X_ {2}}} g ~ {\ mathrm d} (f _ {\ ast} \ mu) = \ int _ {{X_ {1}}} g \ circ f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Örnekler ve uygulamalar

Doğal Lebesgue ölçümü ile ilgili birim çember S 1 kompleks düzlem ℂ bir alt kümesi olarak görülüyor, Lebesgue ölçümü görüntü ölçüsü olarak tanımlanmamıştır $X$ realse ℝ üzerinde, ama aynı zamanda dikkat edecektir kısıtlaması, bir $λ$ , $[0, 2π [$ . Let $f$ $[0, 2π [\to:$ $S$ $1 olması$ ile tanımlanan doğal bijection $f$ $($ $t$ $) = E$ $i$ $t$ . S 1 üzerindeki Lebesgue ölçümü, $f$ $*$ $λ$ görüntü ölçüsüdür . Bu ölçüm, $f$ $*$ $N-$ de çağrılabilir bir ark uzunluğu, ölçü veya bir açı ölçer , çünkü $ön$ $*$ $λ$ sayılmış ark S 1 tam yay uzunluğudur.
Önceki örnek, n -boyutlu torus T n üzerindeki Lebesgue ölçümünü tanımlamaya kadar uzanır . İlgili Lebesgue ölçümü T , n kadar yeniden normalizasyonunun için olan, Haar ölçüsü ile bağlı kompakt Lie grubu T n .
Bir rasgele değişken bir arasında ölçülebilir haritasıdır olasılık alanı ve ℝ. Olasılığı ölçüsü rastgele değişken rasgele değişken ile ℙ görüntü ölçüsüdür X : $\ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P})$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = X _ {\ ast} \ mathbb {P} = \ mathbb {P} (X ^ {- 1} (\ cdot)).}$
Ölçülebilir $f: X \to X$ fonksiyonunu ve $f'nin$ tek başına bileşimini $n$ kez düşünün : $f ^ {{(n)}} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {{n {\ text {times}}}} \ kolon X \ - X.$ Bu yinelemeli işlev dinamik bir sistem oluşturur . X üzerinde $f$ haritasının değişmeden bıraktığı bir $μ$ ölçüsü veya değişmeyen bir ölçü (en) bulmak yararlıdır , yani: $f$ $*$ $μ = μ$ .

Referans

(en) VI Bogachev , Ölçü Teorisi , Springer,20073.6-3.7. bölümler