İzleme operatörü

Bir iz operatörü bir olan matematiksel operatör çalışmalarında uygulanan varlığı ve teklik çözümler sınır koşulları ile ilgili sorunlar . İzleme operatörü ayrıca, bir Sobolev uzayındaki bir formülasyon aracılığıyla , bir fonksiyonun kısıtlanması kavramını bir alanın sınırına kadar genişletmesine izin verir .

Menşei

Ω bir bir açık sınırlı Öklid alan ℝ n ile sınır bölgesinin C sınıfı 1 ∂Ω. Eğer U bir fonksiyonudur Cı 1 (ya da sadece sürekli üzerine) yapışma Q Q bölgesinin kendi restriksiyon iyi tanımlanmış ve ∂Ω sürekli edilir. Dahası, u belirli bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü ise, genel olarak zayıf bir formülasyondur ve bu nedenle belirli bir Sobolev uzayına aittir . Böyle bir alanın işlevleri genellikle sürekli değildir ve yalnızca Ω üzerinde tanımlanır (ve hatta hemen hemen her yerde neredeyse eşittir ), bu nedenle ∂Ω ile sınırlandırılmaları bir anlam ifade etmez. Bir fonksiyonun basit kısıtlamasının, verilen sınır koşulları conditions ile bir kısmi diferansiyel denklemin genel bir çözümünü açıkça tanımlamak için kullanılamayacağı ortaya çıkar.

Bu zorluğun üstesinden , bir Sobolev uzayının herhangi bir u elemanının kötü bir şekilde bir fonksiyon olarak tanımlanabileceğini, ancak bunun Ω'nin bağlılığı üzerine tanımlanan C 1 sınıfı fonksiyonların bir dizisi ( u n ) ile yaklaştırılabileceğini düşünerek aşabiliriz . Daha sonra, kısıtlama u | ∂Ω arasında u ∂Ω kısıtlamaların dizisinin sınır olarak tanımlanmaktadır u , n ∂Ω | .

İzleme operatörünün yapısı

Sobolev uzayında bir fonksiyonun kısıtlanması kavramını kesin olarak tanımlamak için, gerçek bir p ≥ 1 olsun. Doğrusal operatörü düşünün

{\ displaystyle T: C ^ {1} ({\ çubuğu {\ Omega}}) \ ile {\ rm {L ^ {p}}} (\ kısmi \ Omega)}

Sınıf setinde tanımlanan C 1 fonksiyonlar ile ilgili Q değerleri ile boşluk $L p (\partialΩ)$ doğrulanması

{\ displaystyle Tu = u_ {| \ kısmi \ Omega}.}

T alanı , Sobolev uzayının ( W 1, p (Ω)) bir alt kümesidir .

Sadece Ω ve p'ye bağlı olarak sabit bir C vardır , öyle ki

{\ displaystyle \ forall u \ C ^ {1} ({\ bar {\ Omega}}) \ quad \ | Tu \ | _ {{\ rm {L ^ {p}}} (\ kısmi \ Omega)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega)}.}

Daha sonra, Ω üzerindeki C 1 fonksiyonları W 1, p (Ω) ' de yoğun olduğundan , T operatörü benzersiz bir sürekli devam ettirmeyi kabul eder (bu nedenle, o da, doğrusal )

{\ displaystyle T: W ^ {1, p} (\ Omega) \ ile {\ rm {L ^ {p}}} (\ kısmi \ Omega)}

W 1, p (Ω) tüm uzayında tanımlanmıştır . T , izleme operatörü olarak adlandırılır . Restriksiyon (ya da iz ) u | ∂Ω bir fonksiyonun u arasında W 1, s (Ω) aşağıdaki formülle verilir: Tu .

Bu devam yana T olduğu sıralı sürekli bir (herhangi bir dizisi için, u , n ), sınıf işlevleri C 1 ile Q hangi yakınsak W 1, s (Ω) doğru u , sırası ( u , n | ∂Ω yakınsamaktadır) $L p (\partial Ω)$ için Tu .

Uygulama

Çözme düşünün Poisson denklemi ile Dirichlet sınır koşulları :

{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{vakalar} - \ Delta u = f {\ text {sur}} \ Omega \\ u_ {| \ kısmi \ Omega} = 0. \ son {vakalar}}}

Burada, Ω üzerinde verilen sürekli bir fonksiyondur . $f$

İz kavramı sayesinde Sobolev uzayında H 1 (Ω): = W 1,2 (Ω), H alt uzayını tanımlarız.1
0(Ω) sıfır izleme fonksiyonları. Daha sonra denklem aşağıdaki zayıf formülasyonu kabul ediyor :

Öyle bul

u \ H ^ 1_0 (\ Omega) içinde

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \! \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \, dx = \ int _ {\ Omega} \! f (x) v (x) \, dx }

Her şey için de H

v

1
0(Ω).

By Lax- Milgram teoremi , bu sorun benzersiz bir çözüm itiraf ediyor ve Poisson denklemi benzersiz zayıf çözümü vardır bu nedenle bu gösterebiliriz.

Neumann veya Robin koşulları gibi farklı sınır koşullarına sahip diğer kısmi diferansiyel denklemlerde çözümlerin varlığını ve benzersizliğini kanıtlamak için benzer akıl yürütme kullanılabilir , bu durumlarda iz kavramı önemlidir.

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " İz operatörü " ( yazarların listesini görmek ) .
Haïm Brezis , Fonksiyonel analiz: teori ve uygulamalar [ baskıların ayrıntıları ]
(en) Lawrence C. Evans (de) , Kısmi diferansiyel denklemler , Providence, RI, AMS ,2010, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1998), 749 , s. ( ISBN 978-0-8218-4974-3 , çevrimiçi okuyun ) , s. 174