Bir sipariş ilişki a set a, ikili ilişki unsurları tutarlı bir şekilde birbirleri ile karşılaştırılmasını sağlayan Bu sette. Sıra ilişkisine sahip bir küme sıralı kümedir . Biz de demek bu sette ilişki tanımlar bir düzen yapısı veya oldukça basit bir düzen .
Sıra bağıntısı dönüşlü , antisimetrik ve geçişli bir ikili bağıntıdır : E bir küme olsun; bir iç ilişki ile ilgili ≤ E , tüm için bir sipariş ilişkidir x , y ve z unsurları E :
Bu aksiyomların biçimi, onların aynı zamanda ≥ ile tanımlanan karşılıklı ikili ilişki tarafından da doğrulandıklarını doğrulamamıza izin verir .
y ≥ x ancak ve ancak x ≤ y ise .Bu nedenle, herhangi bir düzen ilişkisine, aynı küme üzerinde zıt bir düzen ilişkisi bağlanmıştır; x ≤ y ve y ≥ x formülleri kayıtsız bir şekilde okunabilir: " x , y'den küçüktür " veya " x , y'den küçüktür " veya " y , x'ten büyüktür " veya " y , x'ten büyüktür " (veya bazen " x en fazla y'ye eşittir " veya " y en az x'e eşittir ").
Ayrıca, herhangi bir ≤ mertebe ilişkisi ile ilişkilendiririz, o zaman not edilen katı düzen olarak bilinen bir ilişki (yansıma sağlanmadığı için daha önce tanımlanan anlamda bir düzen ilişkisi değildir), ki bu, düzen ilişkisinin sınırlandırılmasıdır. farklı eleman çiftleri:
x < y ancak ve ancak x ≤ y ve x ≠ y ise .x < y formülü de y > x olarak yazılır ve şunu okur: " x , y'den kesinlikle küçüktür " veya " x , y'den kesinlikle küçüktür ", " y , x'ten kesinlikle büyüktür " veya " y , kesinlikle büyüktür. x ”.
Yukarıdaki tanımın anlamı dahilindeki bir düzen ilişkisi bazen geniş düzen olarak anılır .
Bazı sipariş ilişkiler toplam ilişkileri , yani iki eleman E her zaman karşılaştırılabilir : tüm x , y ve E :
x ≤ y veya y ≤ x .Sonra ≤ bir ilişki olduğunu söylemek toplam siparişe ve seti o E edilir tamamen sipariş bu ilişki ile. İlgili bir emir ilişkisi E olduğu söylenir kısmi toplam değildir ve eğer D daha sonra bir kısmi sıralı . İngilizce'de kısmi sıranın herhangi bir sırayı ifade ettiğine dikkat edilmelidir , bu nedenle toplam olabilir. Bu terminoloji bazen Fransızcada da kullanılır.
Sıralı küme, sıra ilişkisi ile sağlanan bir kümedir. Sıralı bir küme sonluysa , kağıt üzerinde bir grafiğin olağan temsiline benzer şekilde, üzerinde çalışmayı kolaylaştırabilecek bir Hasse diyagramı şeklinde grafiksel olarak temsil edilebilir. Sonsuzsa, Hasse diyagramının bir kısmını çizebiliriz.
Eğer ( E , ≤) ve ( F , ≼) iki sıralı kümesi varken bir harita f den E için F olduğu söylenir artan (ya da bazen geniş anlamda artan veya izotonik) o düzeni korur zaman, azalan içinde ( geniş anlamda ) veya bunu tersine çevirdiğinde antiton, yani:
f artmaktadır zaman tüm x ve y ve E , X ≤ y ⇒ f ( x ) ≼ f ( y ) ; f azalan zaman tüm x ve y ve E , X ≤ y ⇒ f ( x ) ≽ f ( y ) .Bu söylenir kesin artan tüm: bu katı düzeni devam ederken , x ve y ve E , X < y ⇒ f ( x ) ≺ f ( y ) ,
ve sıkı bir şekilde azalan bunu tersine çevrildiğinde: tüm x ve y ve E , X < y ⇒ f ( x ) ≻ f ( y ) .
( F , ≼ )' deki ( E , ≤)' nin artan bir haritası injektif ise, o zaman kesinlikle artmaktadır, ancak tersi genel olarak yanlıştır (bununla birlikte, E üzerindeki sıra toplam ise doğrudur ).
Geniş anlamda monotonik veya monotonik bir uygulama (yani Kesinlikle monotonik), artan veya azalan bir uygulamadır (yani Kesinlikle artan veya kesin olarak azalan).
Karşılıklı bijection bir bir artan bijection f : ( E , ≤) → ( F , ≼) ille örneğin almak (artmıyor haritalama kimliğini arasında E = ℝ sırasına sahip eşitlik içinde F zamanki sağlanmaktadır = ℝ sipariş). ≤ toplamıdır (eğer bu, ancak, f -1 ( y 1 ) ≥ f -1 ( y 2 ) , daha sonra büyümesi f , y 1 ≽ y 2. Böylece tarafından contraposed edin: y 1 ≺ y 2 ve ≤ toplam ise f -1 ( y 1 ) < f -1 ( y 2 ) ).
Bir , iki sıralı küme arasındaki izomorfizm ( E , ≤) ve ( F , ≼) bir bijection olan f den E içine F demek anlamına gelir olan tersi artmaktadır artmakta ve, f tüm örten ve tatmin x ve y ve E :
x ≤ y ⇔ f ( x ) ≼ f ( y ) .Bir gömme sipariş setleri ( E , ≤) içine ( F , ≼) haritasıdır f den E için F tüm tatmin edici x ve y ve E :
x ≤ y ⇔ f ( x ) ≼ f ( y )(böyle bir uygulama mutlaka injektiftir ). Sıralı izomorfizmler bu nedenle surjective gömmelerdir .
Gelen kategorisinde sıralı kümelerinin, morfizma tanım gereği artan haritalardır ve izomorfizmler yukarıda tanıtılan bu nedenle vardır.
Sıralı bir E kümesinde , daha büyük bir elemanın bulunması gerekmez . Eğer E sonlu, bir bir (en az) ihtiva edecektir maksimal elemanı . Eğer E bir olan sonsuz endüktif seti , Zorn'un lemması hala maksimal elemanının varlığını garanti eder.
O görmüş bir seti için bir ilişki ≤ için E , doğal bir ilişki <ilişkilendirmek E daha sonra a,, belli bir düzen ilişkisi , yani antireflexive ( x < x , n ', herhangi bir öğe için de geçerlidir x arasında E ) ve geçişli.
Bununla birlikte, herhangi bir katı sıra ilişkisi antisimetrik ve hatta asimetriktir (ki bu, antisimetrik ve yansıma önleyiciye eşdeğerdir), yani tüm x ve y için :
x < y ⇒ hayır ( y < x) .Sonuç olarak, karşılıklı olarak, katı < E üzerinde herhangi bir mertebeden ilişki ile , biri E üzerinde ≤ mertebesine ait bir ilişki kurarak ilişkilendirebilir :
x ≤ y ancak ve ancak x < y veya x = y ise .Bu iki yapıyı bir düzenden veya katı bir düzenden uçtan uca koyarak, başlangıç ilişkisini bulduğumuzu doğrulamak kolaydır. Aksiyomatizasyonlardan birini veya diğerini seçmek bu nedenle kendi başına önemli değildir.
Kesin bir düzen için, bütünlük aşağıdaki gibi ifade edilir:
∀ x , y ∈ E ( x < y veya x = y veya y < x ).ve o zaman bunun tam bir katı düzen ilişkisi olduğunu söylüyoruz . Toplam ilişki kavramıyla olası bir karışıklık yoktur , çünkü katı düzen ilişkileri yansıma önleyici iken, toplam ilişkiler dönüşlüdür.
- sıkı toplam siparişe, üç olasılık için x < y , x = y ve y < x - dışlar ve kimi zaman şu konuşmak Cantor , bir kısma bölünen özelliği .
Geçişli dönüşlü kapatma bir ilişki içinde R bir sipariş ilişkidir - ya da tekrar: geçişli kapanma ve R antisymmetric - ve sadece eğer R, bir asiklik .
R'nin geçişli kapanışı, ancak ve ancak R kesinlikle asiklik ise, yani grafiği asiklik ise katı bir düzendir .
İkili bir ilişki olumsuzlaması bir dizi tanımlanmış grafik ilişkisi tamamlayıcı bu bölgesinin içinde . not ediyoruz . Başka bir deyişle, iki öğe ancak ve ancak değilse ile ilişkilidir .
Bir düzenin toplam olduğunu söylemek, onun olumsuzlamasının tam tersi düzen olduğunu söylemektir. Yani, aşağıdakiler arasında bir düzen için bir denklik vardır :
Öte yandan, bir düzen tarafından karşılaştırılamayan iki farklı unsur olduğu anda, onun olumsuzlaması bir düzen (katı veya geniş) olamaz, çünkü antisimetrik değildir. Toplam olmayan bir düzenin olumsuzlanması bu nedenle asla bir düzen değildir.
Örneğin, en az iki elemanlı bir kümenin parçalarının kümesine ⊄ dahil edilmemesi bir sıralama değildir, çünkü eğer a ≠ b ise , her zaman { a } ≠ { b } ile ancak { a }'ya sahibizdir. ⊄ { b } ve { b } ⊄ { bir }.
Çift düzeni (ya da tam tersi düzeni bir bölgesinin) grubu sıralı P (= E grubu sıralı olan ≤) p op = ( E , ≤ op ≤), op olduğu , c ', yani ilişkisi ≤ ters sırası ilişkisi ≥ (bazen op yerine * kullanırız ).
Bidual ( p op ) op ait P eşittir P .
Ön sipariş , dönüşlü ve geçişli bir ikili ilişkidir .
Bir dizi üzerinde herhangi bir ön sipariş ℛ E grubu bir sipariş ilişkisi indükleyen E quotiented ile denklik ilişkisi “ile tanımlanmış ~ x ~ y ancak ve ancak ( x ℛ y ve y ℛ x ) ”.
Daha fazla ayrıntı ve örnek için ayrıntılı makaleye bakın.
Bir mertebe ilişkisinin cebirsel bir yapıyla uyumluluğu ancak duruma göre tanımlanabilir.
Sıralı küme, boş olmayan her alt kümenin en küçük elemanına sahipse iyi sıralı olarak adlandırılır .
Bir küme, sıralıysa ve herhangi bir eleman çiftinin bir üst sınırı ve bir alt sınırı varsa, kafes olarak adlandırılır .
Sıralı bir küme , düzenden kaynaklanan çeşitli topolojilerle sağlanabilir : düzenin topolojisi, sağdaki düzenin topolojisi ve soldaki düzenin topolojisi.
Basit komplekslerin önemli bir sınıfı sonlu sıralı kümelerden gelir. Sonlu sıralı bir P kümesinin D (P) dereceli kompleksini, P zincirleri kümesi olarak tanımlarız. Mertebe kompleksi , önemsiz bir şekilde basit bir komplekstir.
Sıralı kümenin kendi içinde incelenmesi, düzen kompleksi hakkında bilgi verir ve bu nedenle, sıralı bir kümenin düzen kompleksi olarak basit bir kompleksi incelemek ilginçtir.