Grubu olarak teori , bir üretim parçası a grubu a, parçası bir grubun herhangi bir elemanı elemanların sonlu sayıda ürün olarak yazılır, böylece bu grubun A ve Ters.
Bir grubun, sonlu bir üretici kısmı kabul ettiğinde , sonlu tip olduğu söylenir . Tek bir eleman tarafından üretilen bir gruptur izomorfik aditif grubuna ya ilgili tam sayı (ℤ +) ya da bir katkı maddesi grubuna sınıfları modulo N (ℤ / n ℤ +); monojenik bir grup olduğu söylenir . Alt gruplar sonlu tip değişmeli grupların da sonlu türüdür, ancak bu Yerdeğiştirme varsayımı olmadan doğru değildir.
Let G olduğu bir grup. Alt gruplarının herhangi bir kesişme G bir alt grubudur , G . Bölüm için S ve G , bir alt grup vardır G içeren alt gruplar dahil etmek için en az S , içeren tüm alt yani kesişme S . Bu denir S tarafından üretilen bir alt grubu , ve not edilir ⟨ S ⟩.
Açıklama: Biz grubun ⟨elemanlarının açık bir tanımı var S ⟩. Bunlar tam olarak S'nin elementlerinin veya terslerinin çarpımıdır :
Örnekler:Bu demek S grubunun bir üretim parçası olan G ya da bu G tarafından oluşturulan S tarafından üretilen bir alt grubu, S olduğu G :
.Başka bir deyişle, G'nin herhangi bir öğesi , S veya terslerinin öğelerinin bir ürünüdür .
Örnekler:Her sonlu grup sırası ait n düzen üreten bölümü vardır , olduğu ayrışmasını n asal faktörleri içine .
Bir grubun, elemanlarından yalnızca biri tarafından üretiliyorsa, monojenik olduğu söylenir :
G = ⟨{ a }⟩ olacak şekilde G'nin bir a öğesi varsa , G monojeniktir.Dahası biterse, döngüsel olduğu söylenir .
Sınıflandırma tek gen gruplarının zor değildir. Eğer bir oluşturur G , grup ℤ → morfizmaları G , n, ↦ bir N olduğu örten . Tarafından izomorfizm teoremi bu homomorfizmi indükler izomorfizm: G ≃ ℤ / ker ( f ) . Bununla birlikte, ker ( f ) , ℤ'nin bir alt grubudur ve bu alt gruplar iyi bilinmektedir: bunlar, n doğal tamsayılı n ℤ gruplarıdır . Yukarıdaki izomorfizm daha sonra yazılır: G ≃ ℤ / n ℤ.
İzomorfizme kadar , benzersiz bir sonsuz monojenik grup ( n = 0'a karşılık gelir ) ve her n > 0 tamsayısı için , kardinal n'nin benzersiz bir döngüsel grubu vardır .
ℤ / n ℤ üreteçleri tam olarak n ile k üssü tamsayılarının sınıflarıdır . Bu sınıfların sayısı φ ( n ) ile gösterilir . Φ fonksiyonu Euler gösterge matrisidir , aritmetikte büyük rol oynar .
Sonlu bir üretici bölümü varsa, bir grubun sonlu tip olduğu söylenir.
Bu, grubun serbest bir grubun sınırlı sayıda üreteç üzerindeki bölümü olduğunu söylemek anlamına gelir .
Belirtilmemiş sonlu tip gruplar için bazı genel açıklamalar yapılabilir:
Bir değişmeli grup için , bu iki kavram sırasıyla Noetherian modülü ve Artinian modülü ( ℤ üzerinde ) ile eşdeğerdir . Noetherian değişmeli grupları bu nedenle sonlu tipin değişmeli gruplarıdır ve Artin değişmeli grupları, sonlu bir Prüfer grubu tarafından sonlu bir değişmeli grubun doğrudan ürünleridir .
Sonlu tipteki herhangi bir değişmeli grup, sonlu sayıda monojenik grubun doğrudan bir çarpımıdır: Eşsiz bir tamsayı r ve her biri bir sonrakini bölen benzersiz bir sonlu doğal tamsayı dizisi vardır, öyle ki G , izomorfiktir . Sonlu değişmeli grupların ( r = 0) özel durumu Kronecker teoremidir .
Let K olmak bir değişmeli alanı , özel lineer grubu SL , n ( K ) tarafından üretilir transveksiyon matrisler .
Alt grup normal oluşturuldu (giriş)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">