Düzgün çokyüzlü

Bir homojen polihedron a, çok yüzlü yüzleri olan düzgün çokgenler ve bir izogonal köşe herhangi bir çift, bir vardır yani, Isometry diğer bir tepeye geçerlidir. Buradan, tüm köşelerin uyumlu olduğu ve çokyüzlünün yansıma ve dönme ile yüksek derecede simetriye sahip olduğu sonucu çıkar . Tekdüze polihedron kavramı, herhangi bir sayıda boyut için, tek biçimli politop (inç) ile genelleştirilmiştir .

Düzgün çokyüzlüler normal , yarı düzenli veya yarı düzenli olabilir . Yüzlerin dışbükey olması gerekmez , bu nedenle birçok tekdüze çokyüzlü yıldızla işaretlenir .

İki sonsuz sayıda tekdüze prizma ve antiprizma (dışbükey ve yıldız şekli dahil) hariç, 75 tekdüze çokyüzlü vardır (veya kenarların çakışmasına izin verilirse 76):

Düzgün dışbükey çokyüzlüler:
- 5 Platonik katı (normal),
- 13 Arşimet katı (2 yarı düzenli ve 11 yarı düzenli );
Tekdüze yıldız çokyüzlüleri :
- normal 4: Kepler-Poinsot katıları ,
- 53 düzensiz: 14 dışbükey yüzlü ve 39 dışbükey olmayan yüzlü ,
- John Skilling (en) tarafından bulunan, çakışan kenar çiftlerine sahip 1 çokyüzlü .

Ayrıca aşağıda yapılan simetri grubuna göre gruplandırılabilirler .

Tarih

Platonik katılar klasik Yunanlılar tarafından eski çağlardan beri bilinmektedir ve çalışıldı Platon , Theaetetus ve Öklid .
Johannes Kepler (1571-1630), Arşimet'in orijinal eserinin kaybından sonra Arşimet katılarının tam listesini yayınlayan ilk kişiydi .
Kepler (1619) normal Kepler-Poinsot katılarından ikisini keşfetti ve Louis Poinsot (1809) diğer ikisini keşfetti.
Kalan 66 kişiden 37'si Albert Badoureau (1881) tarafından keşfedildi. Edmund Hess ( 1878) 2 tane daha ve Pitsch (1881) 15'i yeni olmak üzere 18 bağımsız olarak keşfetti.
Coxeter kalan 12 kişiyi JCP Miller (in) (1930-1932) ile birlikte keşfetti ancak yayınlamadı. MS (en) ve HC Longuet-Higgins bağımsız olarak 11 tanesini keşfetti.
1954'te Coxeter, Longuet-Higgins ve Miller tek tip çokyüzlülerin listesini yayınladı .
1970 yılında Sopov , listenin tamamlandığı varsayımını gösterdi.
1974 yılında Magnus Wenninger (in) adlı kitabını yayınladı Çokyüzlü modelleri (tr) 75 çokyüzeylilerin üniform olmayan prizmatik birçok önceden yayınlanmamış adı tamamı ilk yayınlanan liste, vaftiz edilmişti olan (çokyüzlüler patronları), Norman Johnson .
1975'te John Skilling, bu listenin eksiksiz olduğunu bağımsız olarak kanıtladı ve tekdüze çokyüzlü tanımı kenarların çakışmasına izin verecek şekilde gevşetilirse, o zaman yalnızca bir ek olasılığın sunulduğunu gösterdi.
1993 yılında, Zvi Har'El , Kaleido adlı bir bilgisayar programı aracılığıyla kaleydoskopik yapıları aracılığıyla tekdüze çokyüzlülerin ve bunların duallerinin tam bir hesaplamalı yapısını üretti ve Üniform Polihedra için Üniforma Çözümü başlıklı bir makalede özetlendi . , 1-80 katıları sayar.
Yine 1993 yılında, R. Mäder bu Kaleido çözümünü biraz farklı bir indeksleme sistemiyle Mathematica'ya taşıdı .

Endeksleme

Yukarıdaki çalışmadan yayınlanan dört ana indeksleme çalışması vardır. Bunları ayırt etmek için, 1954'te Coxeter tarafından katıların ilk numaralandırması için C , Wenninger tarafından 1974 tarihli çokyüzlü desenler kitabı için W , 1993 Kaleido çözümü için K ve Maeder'in kullandığı çözüm için U farklı indeks harfleriyle verilmiştir . Mathematica ve başka yerlerde yoğun bir şekilde çoğaltıldı.

[ C ] 1954: bu makale tek tip çokyüzlüleri 15'ten 92'ye kadar listeledi. Dışbükey şekiller için 15-32, 3 sonsuz prizmatik küme için 33-35 ve dışbükey olmayan şekiller için 36-92 ile bitiyor.
[ W ] 1974: Wenninger'in Polyhedron modeli kitabında 1'den 119'a kadar katıları listeledi: Platonik katılar için 1-5, Arşimet katıları için 6-18, dışbükey olmayan 4 normal polihedra dahil yıldız şekilleri için 19-66 ve 67-119 ile sona erdi dışbükey olmayan tekdüze çokyüzlüler için.
[ K ] 1993 Kaleido: Kaleido çözümünde verilen 80 katı simetriye göre gruplandırıldı, dihedral simetriye sahip sonsuz prizmatik form ailelerinin temsilcisi olarak 1-80: 1-5 , tetrahedral simetri (in) ile 6-9 , Oktahedral simetri ile 10-26 , ikosahedral simetri ile 46-80 .
[ U ] 1993 Mathematica: Bu liste Kaleido'yu takip etti, ancak 5 prizmatik şekli sona taşıdı, prizmatik olmayan şekilleri 1'den 75'e 5 kaydırdı.

Temel dışbükey şekiller ve köşe konfigürasyonları

Dışbükey tekdüze çokyüzlüler, Wythoff inşaat operasyonları tarafından bir üst formda adlandırılabilir.

Not : dihedra (en) , prizmaları kesilmiş şekiller olarak üreten sonsuz bir çift taraflı polihedra kümesinin (2 özdeş çokgen) parçasıdır.

Bu dışbükey şekillerin her biri, bir sonraki bölümde dışbükey olmayan şekiller için tanımlanabilen bir dizi köşeyi tanımlar .

	Ebeveyn	Kesilmiş	Düzeltilmiş	Bitronqué (çift kesilmiş)	Birected (çift)	Eğimli	Omni -kesilmiş ( Düzeltilmiş-kesilmiş )	Yumuşatılmış
Genişletilmiş Schläfli Sembolü	$\ başlangıç {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	$t \ başlar {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	$\ başlangıç {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$t \ başlar {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	$\ başlangıç {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	$r \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$t \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$s \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$
Genişletilmiş Schläfli Sembolü	t 0 {p, q}	t 0,1 {p, q}	t 1 {p, q}	t 1,2 {p, q}	t 2 {p, q}	t 0.2 {p, q}	t 0,1,2 {p, q}	s {p, q}
Wythoff sembolü p-q-2	q \| s 2	2 q \| p	2 \| pq	2 p \| q	p \| q 2	pq \| 2	sq 2 \|	\| pk 2
Coxeter-Dynkin diyagramı (varyasyonlar)

	(o) -poqo	(o) -p- (o) -qo	op- (o) -qo	op- (o) -q- (o)	opoq- (o)	(o) -poq- (o)	(o) -p- (o) -q- (o)	() -p- () -q- ()
	xPoQo	xPxQo	oPxQo	oPxQx	oPoQx	xPoQx	xPxQx	sPsQs
	[p, q]: 001	[p, q]: 011	[p, q]: 010	[p, q]: 110	[p, q]: 100	[p, q]: 101	[p, q]: 111	[p, q]: 111s
En İyi Yapılandırma (tr)	p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(s.2q.2q)	q p	(s.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
Dörtyüzlü 3-3-2	{3.3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3.3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Sekiz yüzlü 4-3-2	{4.3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
İkosahedral 5-3-2	{5.3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3.5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)
İki yüzlü p-2-2 Örnek p = 5	{5.2}	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	{2.5}	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5

İşlemlerin tanımı

Ameliyat	Genişletilmiş Schläfli Sembolleri		Açıklama
Ebeveyn	t 0 {p, q}	$\ başlangıç {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	Herhangi bir normal polihedron veya kaldırım
Düzeltilmiş	t 1 {p, q}	$\ başlangıç {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	Kenarlar tek noktalarda tamamen kesilmiştir. Polihedron artık ebeveyn ve çiftin birleşik yüzlerine sahiptir.
Birected Dual	t 2 {p, q}	$\ başlangıç {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	Birektifiye (ikili), başka bir kesmedir, yani orijinal yüzler noktalara indirgenir. Ebeveynin her köşesinin altında yeni yüzler oluşturulur. Kenar sayısı değişmez ve 90 derece döndürülür. Düzgün bir çokyüzlünün ikilisi {p, q} aynı zamanda normal bir çokyüzlü {q, p} 'dir.
Kesilmiş	t 0,1 {p, q}	$t \ başlar {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	Her orijinal köşe kesilir ve yeni yüzler deliği doldurur. Kesmenin, kesik tekdüze bir çokyüzlü yaratan bir çözüme sahip olan bir serbestlik derecesi vardır. Çokyüzlünün orijinal yüzleri yanlardan ikiye katlanır ve ikili yüzleri içerir.
Bitronqué	t 1,2 {p, q}	$t \ başlar {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	Kesik ikili ile aynı.
Eğimli (veya eşkenar dörtgen) ( geliştirilmiş )	t 0.2 {p, q}	$r \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	Köşelerin kesilmesine ek olarak, her orijinal kenar, yeni dikdörtgen yüzler yerine ortaya çıkarılacak şekilde planlanır . Tek tip eğim, üst ve çift şekillerin ortasındadır.
Omnitroncature (veya düzeltme-kesme)	t 0,1,2 {p, q}	$t \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	Kesme ve düzeltme işlemleri birlikte uygulanarak ana yüzlerin yanlarda iki katına, çift yüzlerin yanlarda iki katına ve orijinal kenarların bulunduğu karelere sahip omnitronlu bir şekil oluşturulur.
Yumuşatılmış	s {p, q}	$s \ başlar {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	Yumuşatma omnitronize formu alır ve dönüşümlü olarak köşeleri düzeltir (bu işlem yalnızca tüm yüzler çift taraflı olan çokyüzlüler için mümkündür). Tüm orijinal yüzler, yanların yarısıyla biter ve kare, kenarlara dönüşür. Omnitronlu şekiller 3 yüz / tepe noktasına sahip olduğundan, yeni üçgenler oluşur.

Simetri gruplarına ve köşe konfigürasyonlarına göre listelenen dışbükey olmayan şekiller

Tüm tekdüze çokyüzlüler, simetri gruplarına göre aşağıda listelenmiştir ve köşe düzenlemelerine (köşe konfigürasyonları) göre alt gruplara ayrılmıştır.

Normal çokyüzlüler, Schläfli sembolleri ile işaretlenmiştir . Diğer tekdüze, düzensiz çokyüzlüler, tepe konfigürasyonları (en) veya tek biçimli çokyüzlü U (1-80) endeksleri ile listelenir .

Not : Dışbükey olmayan şekiller için, köşe düzenlemesinin dışbükey zarfı bunlardan biriyle aynı topolojiye sahipse, ancak düzensiz yüzlere sahipse " tek tip olmayan " ek bir tanımlayıcı kullanılır . Örneğin, tek tip olmayan bir eğim şekli , kareler yerine kenarların yerine oluşturulmuş dikdörtgenlere sahip olabilir .

Dörtyüzlü simetri

İki düzgün dışbükey çokyüzlü vardır, dörtyüzlü ve kesik tetrahedron ve bir dışbükey olmayan form, tetrahedron simetrisine (in) sahip tetrahemiheksahedron . Tetrahedron, otodual bir çokyüzlüdür .

Ek olarak, oktahedron , kesik oktahedron , cuboctahedron ve icosahedron , tetrahedral simetriye ve daha yüksek simetriye sahiptir. Oktahedral simetriye sahip dışbükey olmayan şekilleri buraya dahil edilmese de, aşağıda bütünlük sağlamak için eklenmiştir.

Zirve grubu	Dışbükey	Dışbükey değil
(Dörtyüzlü)	{3.3}
Kesildi (*)	(3.6.6)
Düzeltilmiş (*)	{3,4}	(4.3 / 2.4.3)
Eğimli (*)	(3.4.3.4)
Çok izli (*)	(4.6.6)
Yumuşatılmış (*)	{3.5}

Oktahedral simetri

Oktahedral simetriye sahip 8 dışbükey şekil ve 10 dışbükey olmayan şekil vardır .

Zirve grubu	Dışbükey	Dışbükey değil
(Sekiz yüzlü)	{3,4}
Kesildi (*)	(4.6.6)
Düzeltilmiş (*)	(3.4.3.4)	(6.4 / 3.6.4)	(6.3 / 2.6.3)
Çift kesilmiş (*)	(3.8.8)	(4.8 / 3.4 / 3.8 / 5)	(8 / 3.3.8 / 3.4)	(4.3 / 2.4.4)
Çift (*)	{4.3}
Eğimli (*)	(3.4.4.4)	(4.8.4 / 3.8)	(8.3 / 2.8.4)	(8 / 3.8 / 3.3)
Çok izli (*)	(4.6.8)
Tek tip olmayan ihmal (*)	(4.6.8)	(8 / 3.4.6)	(8 / 3.6.8)
Yumuşatılmış (*)	(3.3.3.3.4)

İkosahedral simetri

İkosahedral simetriye sahip 8 dışbükey şekil ve 46 dışbükey olmayan şekil vardır (veya Skilling'in polihedronu dahil edilmişse 47 dışbükey olmayan şekil). Bazı yumuşak, dışbükey olmayan şekiller tek tip olmayan kiral simetriye sahiptir ve bazılarının aşiral simetrisi vardır.

Değişen derecelerde kesme ve eğim içeren birçok tekdüze olmayan şekil vardır .

Zirve grubu	Dışbükey	Dışbükey değil
(İkosahedral)	{3.5}	{5 / 2.5}	{5.5 / 2}	{3.5 / 2}
Kesildi (*)	(5.6.6)
Üniform olmayan kesilmiş (*)	(5.6.6)	U32	U37	U61	U38	U44	U56	U67	U73
Düzeltilmiş (*)	(3.5.3.5)	U49	U51	U54	U70	U71	U36	U62	U65
Çift kesilmiş (*)	(3.10.10)	U42	U48	U63
Üniform olmayan çift kesik (*)	(3.10.10)	U68	U72	U45
Çift (*)	{5.3}	{5 / 2.3}	U30	U41	U47
Eğimli (*)	(3.4.5.4)	U33	U39
Düzgün olmayan eğim (*)	(3.4.5.4)	U31	U43	U50	U55	U58	U75	U64	U66
Çok izli (*)	(4.6.10)
Tek tip olmayan ihmal (*)	(4.6.10)	U59
Yumuşatılmış (*)	(3.3.3.3.5)
Düzgün olmayan yumuşatılmış (*)	(3.3.3.3.5)	U40	U46	U57	U69	U60	U74

Çokyüzlü Beceri

Ayrıca Skilling polyhedron olarak da bilinen büyük , etkilenmemiş dirhombidodecahedron adı verilen, ek bir dışbükey olmayan çokyüzlü vardır. Tekdüze köşeler vardır, ancak uzayda dört yüz bazı köşelerde buluşacak şekilde kenar çiftleri çakışır. Bazen, ancak her zaman değil, tekdüze bir çokyüzlü olarak sayılır. Bu sahip bir h simetri .

Dihedral simetri

İki yüzlü simetriye sahip sonsuz sayıda tekdüze çokyüzlü set vardır :

Prizmalar her biri için, rasyonel sayı p / q simetri grubu ile> 2, D p h ;
Antiprisms her biri için, rasyonel sayı p / q simetri grubu ile> 3/2, D p d , eğer q garip, D p h ise q ve eşitlenir.

Eğer p / q bir bir tam sayıdır , örneğin eğer q = 1, prizma ya da antiprizma dışbükey (fraksiyon her indirgenemez olduğu varsayılmaktadır).

Aslında prizmatik ve anti-prizmatik simetri grupları arasındaki fark; D p h iken, çokgen {p / q} yansıma paralel bir düzleme sahiptir D p d değildir.

P / q <2 olan bir antiprizma çaprazlanır ; üstteki figürü papyonu andırıyor. Eğer p / q ≤ 3/2 ise, tepe şekli üçgen eşitsizliği ihlal edeceğinden, hiçbir antiprizm var olamaz .

Not : tetrahedron , küp ve oktahedron burada iki yüzlü simetri ile listelenmiştir (sırasıyla digonal antiprizma , tetragonal prizma ve trigonal antiprizma olarak); tekdüze renklendirilmiş olmasına rağmen, ilki aynı zamanda dört yüzlü simetriye sahiptir ve diğer ikisi oktahedral simetriye sahiptir.

Grup simetrisi	Dışbükey	Dışbükey değil
d 2d	3.3.3
gün 3s	3.3.4
d 3d	3.3.3.3
gün 4s	4.4.4
d 4d	3.3.3.4
gün 5s	4.4.5	4.4.5 / 2	3.3.3.5/2
d 5d	3.3.3.5	3.3.3.5/3 (en)
gün 6s	4.4.6
d 6d	3.3.3.6
gün 7s	4.4.7 (inç)	4.4.7 / 2 (inç)	4.4.7 / 3 (inç)	3.3.3.7/2 (inç)	3.3.3.7/4 (en)
d 7d	3.3.3.7 (inç)	3.3.3.7/3 (en)
gün 8s	4.4.8	4.4.8 / 3 (inç)
g 8d	3.3.3.8	3.3.3.8/3 (en)	3.3.3.8/5 (inç)
gün 9s	4.4.9 (inç)	4.4.9 / 2 ve 4.4.9 / 4 (inç)	3.3.3.9/2 ve 3.3.3.9/4 (en)
d 9d	3.3.3.9 (inç)	3.3.3.9/5
gün 10s	4.4.10	4.4.10 / 3
g 10 g	3.3.3.10	3.3.3.10/3
gün 11s	4.4.11	4.4.11 / 2 4.4.11 / 3 4.4.11 / 4 4.4.11 / 5	3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6
d 11d	3.3.3.11	3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7
gün 12s	4.4.12	4.4.12 / 5	3.3.3.12/7
g 12g	3.3.3.12	3.3.3.12/5
...

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır olan İngilizce başlıklı " Üniforma çok yüzlü " ( yazarların listesini görmek ) .
(de) M. Brückner, Vielecke und Vielfläche. Teori ve geschichte , Leipzig, Teubner, 1900
(tr) HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins ve JCP Miller , " Uniform polyhedra " , Phil. Trans. R. Soc. A , cilt. 246,1954, s. 401-50 ( DOI 10.2307 / 91532 )
(ru) / (en) SP Sopov , " Temel homojen çokyüzlüler listesindeki bütünlüğün bir kanıtı " , Ukrain. Geometr. Şb. , cilt. 8,1970, s. 139-156
John Skilling (en) , Tek tip çokyüzlülerin tam seti. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. Bir 278 (1975), 111-135 [1]
Har'El, Z. Uniform Polyhedra için Uniform Solution. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El [2] , Kaleido yazılımı , Görüntüler , ikili görüntüler
Mäder, RE Üniforma Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [3]

Dış bağlantılar

(tr) Stella: Polyhedron Navigator - Tüm tek tip çokyüzlülerin desenlerini oluşturmak ve yazdırmak için yazılım
( fr ) Kağıt desenleri
(tr) Tekdüze çokyüzlü için tek tip çözüm
(en) mathconsult.ch üzerinde " Uniform polyhedra "
(tr) Sanal Polyhedra Uniform polyhedra
(tr) Eric W. Weisstein , " Uniform Polyhedron " , MathWorld üzerine
(de) Tekdüze çokyüzlü kağıt desenleri (ve diğerleri)
Badoureau-Coxeter çokyüzlü