simetri grubu
Simetri grubu , bir nesnenin ( resim , sinyal , vs.) grubunun tüm izometrileri bu amacı altında genel olarak değişmez , olma bu grubun çalışma bileşimi . Bu bir alt grup arasında Öklid grubu grubudur, izometrileri arasında çevre Öklid afin alanı .
(Belirtilmemişse, burada Öklid geometrisindeki simetri gruplarını ele alıyoruz , ancak kavram daha geniş bağlamlarda da incelenebilir, aşağıya bakın .)
"Nesneler", duvar kağıdı desenleri gibi geometrik şekiller, resimler ve desenler olabilir . Tanım, resim veya desen ile ne kastedildiğini belirterek daha kesin hale getirilebilir, örneğin bir renk kümesindeki değerlere sahip bir konum işlevi. Örneğin 3B'deki cisimlerin simetrisi için fiziksel kompozisyonu da hesaba katmak isteyebilirsiniz. Uzayın izometrileri grubu, içerdiği nesneler üzerinde bir grup eylemi başlatır .
Simetri grubuna bazen , şeklin değişmez olduğu ters oryantasyon ( yansımalar , kayma yansımaları ve uygun olmayan dönüşler gibi ) olan izometrileri içerdiğini vurgulamak için tam simetri grubu olarak atıfta bulunulur . Alt-grup yönünü koruyan izometrileri (yani tercüme , dönme Şekil değişmez ayrılıp bileşimler bunun) ve adı uygun simetri grubu . Bir nesnenin uygun simetri grubu, ancak ve ancak nesne kiral ise tam simetri grubuna eşittir (ve bu nedenle, değişmez olduğu oryantasyonu tersine çeviren hiçbir izometri yoktur).
Sınırlı şekillerin tüm simetri grupları için geçerli olan, elemanları ortak bir sabit noktaya sahip herhangi bir simetri grubu , orijin olarak sabit bir nokta seçilerek ortogonal O (n) grubunun bir alt grubu olarak temsil edilebilir . Uygun simetri grubu, ortogonal özel grup SO (n)'nin bir alt grubudur, bu nedenle şeklin dönme grubu olarak da adlandırılır .
Üç çeşit ayrık simetri grubu vardır :
- simetri grupları noktası sadece uygun olmayan dönüşleri, yansımalar, inversiyonlar ve rotasyon içerir bitmiş - aslında O (n) 'nin sadece işlenmiş alt grupları,
- yalnızca çevirileri içeren sonsuz ağ grupları ve
- uzay grupları sonsuz- hem daha önceden kullanılan elemanları birleştiren ve ayrıca, bu gibi ek değişiklikleri içerir cıvata veya yansımaları kaydırılır.
Ayrıca, keyfi olarak küçük açıların dönüşlerini veya keyfi olarak küçük mesafelerin ötelenmesini içeren sürekli simetri grupları (en) vardır. Bir kürenin O (3) tüm simetrilerinin grubu buna bir örnektir ve genel olarak, bu tür sürekli simetri grupları Lie grupları olarak incelenir .
Öklid grubunun alt gruplarının sınıflandırılması, simetri gruplarının sınıflandırılmasına karşılık gelir.
Bu, kendi simetri grupları, eğer iki geometrik şekiller simetri aynı tip ki H 1 , H 2 olan iki bileşenli alt gruplar Öklid grup E ( n ), yani bir izometrik varsa g arasında R , n , öyle ki , H 1 = gr -1 H 2 gr . Örneğin :
- iki 3B şekil ayna simetrisine sahiptir, ancak farklı bir ayna düzlemine göre;
- iki 3B şekil, 3 dereceli, ancak farklı bir eksene göre dönme simetrisine sahiptir;
- iki 2B desenin her biri bir yönde öteleme simetrisi vardır; iki öteleme vektörü aynı uzunluğa ancak farklı bir yöne sahiptir.
Bazen daha geniş bir kavram, örneğin 17 duvar kağıdı grubunun tamamında “aynı tür simetri” kullanılır .
İzometrik grupları düşündüğümüzde, kendimizi tüm noktalar için izometriler altındaki görüntü kümesinin topolojik olarak kapalı olduğu noktalarla sınırlayabiliriz . Bu, örneğin, boyut 1'de, rasyonel bir sayıya göre çeviriler grubunu hariç tutar. Bu simetri grubuna sahip bir "şekil", gerçekten homojen olmadan keyfi bir ayrıntı düzeyinde çizilmesi ve homojen olması imkansızdır.
Boyut 1
Tüm noktalar için, izometrilerin altındaki görüntü kümesinin topolojik olarak kapalı olduğu 1. boyuttaki izometri grupları şunlardır:
- Önemsiz grubu Cı 1
- merkezi bir simetri tarafından oluşturulan iki elementin grupları ; bunlar göre izomorfik siklik grup 2 seviyesinde, Cı- 2
- bir çeviri tarafından üretilen sonsuz ayrık gruplar; sonsuz döngüsel gruba izomorfiktirler, Z
- Bir öteleme ve bir merkezi simetri tarafından üretilen sonsuz ayrık gruplar; bunlar göre izomorfik genelleştirilmiş dihedral grubu arasında Z , dihidroksi ( Z veya daha fazla doğrudan) sonsuz dihedral grubu D ∞ (a, yarı doğrudan ürünü ve Z ile C 2 ).
- Tüm çeviriler tarafından oluşturulan grup ( R'ye izomorfik ); bu grup bir "kalıp"ın simetri grubu olamaz: homojen olurdu, dolayısıyla yansıtılabilirdi. Ancak, tek boyutlu bir vektör alanı bu simetri grubuna sahiptir.
- Her noktada tüm çeviriler ve yansımalar tarafından oluşturulan grup; R , Dih ( R )' nin genelleştirilmiş dihedral grubuna izomorfiktir .
Boyut 2
Konjugasyon dışında , iki boyutlu bir uzayda ayrık nokta grupları aşağıdaki sınıflara aittir:
- siklik gruplar Cı 1 , Cı- 2 , Cı- 3 , Cı- 4 , vs. burada C n , sabit bir nokta etrafındaki tüm dönüşlerden 360 ° / n açısının katlarından oluşur
- dihedral gruplar D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , vs. burada D , n (2 seviyesinde n ) bir simetri grubu olduğu düzgün çokgen ile n iki. Bu ait dönme oluşur C , n ve n, eksenlerine göre simetrileri bu rotasyonların merkezi ortak geçer.
Cı 1. Şekil harf, örneğin, hiçbir simetriye sahip görünen yalnızca kimlik işlem içeren önemsiz grubu, F . Cı- 2 harfli simetri grubu olduğu Z , Cı- 3 olduğu bir bölgesinin Triskele , Cı- 4 a Swastika'nın ve Cı- 5 , Cı- 6 vs. beşli, altılı vb. gamalı haçlara benzeyen şekillerin simetri gruplarıdır. dört yerine kollar.
D 1 , şeklin yalnızca bir ikili simetri eksenine , örneğin A harfine sahip olduğunda görünen, özdeşliği ve tek bir yansıma işlemini içeren grup 2 öğeleridir . Klein grubuna izomorf olan D 2 , kare olmayan bir dikdörtgenin simetri grubudur.
Bu durumların her birinde somut simetri grupları , dönme merkezi için iki serbestlik derecesine ve dihedral gruplar durumunda ayna konumları için bir serbestlik derecesine sahiptir .
2B'de sabit bir nokta ile kalan izometrik gruplar, tüm noktalar için izometrilerin altındaki görüntü kümesi topolojik olarak kapalıdır:
- ortogonal grubu , SO (2) sabit bir nokta etrafında her devir yapılan; Bu izomorf daire grubu S 1 çarpımsal grubu, karmaşık sayılar arasında modülü Bu 1'dir uygun simetri grubu bir daire ve sürekli eşdeğer C n . Hiçbir şekil tam bir simetri grubu olarak bu daire grubuna sahip değildir , ancak bir vektör alanı için bu olabilir (aşağıdaki 3B duruma bakın),
- Ortogonal grubu O (2) her bir sabit nokta etrafında dönme ve bu noktadan geçen bir eksen yansımalarının oluşur. Çemberin simetri grubudur. Ayrıca Dih (S olarak adlandırılan 1 o olduğu için) genel dihedral grubu S 1 .
Sınırsız rakamlar için ek izometrik gruplar, ötelemeleri içerebilir; kapatılanlar şunlardır:
- 7 friz grubu ,
- 17 duvar kağıdı grubu ,
- 1D'deki her simetri grubu için, bu grubun tüm simetrilerinin bir yönde ve tüm ötelemelerin dikey yönde birleşimi,
- birinci yöndeki bir eksene göre yansımaları ekleyerek aynen .
Boyut 3
Konjugasyon hariç , 3B simetrinin nokta grupları kümesi (makaleye bakın: 3 (in) boyutunda simetrinin nokta grupları ) 7 sonsuz seri ve 7 ayrı seriden oluşur. Kristalografide, bir kristal kafesin ayrık öteleme simetrileriyle uyumlu olacak şekilde sınırlandırılırlar. Genel nokta gruplarının sonsuz ailesinin bu kristalografik kısıtlaması , 32 kristalografik nokta grubuyla sonuçlanır (7 sonsuz seriden 27 ve diğer 7 seriden 5).
Sürekli simetri noktası grupları şunları içerir:
- eksene dik bir düzlemden yansıması olmayan silindirik simetri, bu genellikle örneğin bir şişe için geçerlidir .
- eksene dik bir düzlemin yansıması ile silindirik simetri
- küresel simetri
Nesneler ve skaler alanlar için silindirik simetri, dikey yansıma düzlemlerini içerir. Vektör alanları için durum böyle değildir : belirli bir eksene göre silindirik koordinatlarda , ancak ve ancak bu simetriye sahipse ve varsa, yani φ'ye bağlı değilse, bu eksene göre silindirik bir simetriye sahiptir . Ek olarak, eğer ve sadece varsa yansıma vardır .
Küresel simetri için böyle bir ayrım yoktur, yansıma düzlemleri anlamına gelir.
Sabit noktası olmayan sürekli simetri grupları , sonsuz sarmal grubu gibi vida bağlantılı olanları içerir .
genelleme
Daha geniş bağlamlarda, bir simetri grubu, herhangi bir tür dönüşüm grubu veya otomorfizm grubu olabilir . Ne tür bir matematiksel yapıyla uğraştığımızı bildiğimizde, hangi uygulamaların onu koruduğunu belirleyebiliriz . Tersine, simetriyi belirleyerek yapıyı tanımlayabiliriz veya en azından değişmez ile ne demek istediğimizi netleştirebiliriz , onu kavramayı mümkün kılan geometrik bir dil; Erlangen programını görmenin bir yolu budur .
Örneğin, bazı sonlu geometri modellerinin (en) otomorfizm grupları, simetriyi korumalarına rağmen, alışılmış anlamda "simetri grupları" değildir. Bunu , nokta kümeleri veya "nesneler" yerine nokta kümelerinin ailelerini koruyarak yaparlar .
Yukarıda olduğu gibi, uzayın otomorfizmaları grubu, içerdiği nesneler üzerinde bir grup eylemi başlatır.
Belirli bir geometrik uzayda belirli bir geometrik şekil için, aşağıdaki denklik ilişkisini ele alıyoruz: şeklin iki görüntüsü aynıysa, uzayın iki otomorfizmi eşdeğerdir (burada "aynı", "aynı" gibi bir şey anlamına gelmez. bir çeviri ve bir döndürme için", ancak "tamamen aynı" anlamına gelir). Daha sonra, özdeşliğin denklik sınıfı şeklin simetri grubudur ve her denklik sınıfı şeklin izomorfik bir versiyonuna karşılık gelir.
Herhangi iki denklik sınıfı arasında bir orantı vardır: birinci denklik sınıfının bir temsilcisinin tersi, ikincinin bir temsilcisinden oluşur.
Tüm uzayın sonlu bir otomorfizm grubu durumunda, sırası, şeklin simetri grubunun, şeklin izomorfik versiyonlarının sayısı ile çarpımıdır.
Örnekler:
- Öklid düzleminin izometrileri, şekil bir dikdörtgendir: sonsuz sayıda eşdeğerlik sınıfı vardır; her biri 4 izometri içerir.
- Uzay, Öklid metriğine sahip bir küptür , şekiller, uzayla aynı büyüklükteki küpleri içerir, yüzlerde renkler veya desenler vardır, uzayın otomorfizmaları 48 izometridir; şekil, yüzü farklı bir renge sahip bir küptür, simetri grubu 8 izometri içerir; şeklin 6 izomorfik versiyonu için 8 izometriden oluşan 6 denklik sınıfı vardır.
Notlar
- 32 kristalografik nokta gruplarının bakış üzerine Exeter sitenin Üniversitesi
- (içinde) Steven H. Cullinane, finitegeometry.org sitesindeki Model Grupları
- Lagrange teoremi ile karşılaştırın
- (fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Simetri grubu " ( yazarların listesini görmek ) .
Şuna da bakın:
- Simetrik grup ve Permütasyon
- Gruplar sabit izometri noktalarını Öklid uzayında (in)
- kristal sistemi
- Uzay gruplarının listesi
- Düzlemin simetri gruplarının listesi
- grup teorisi
- moleküler simetri