Sert döndürücü
Katı döndürücü (ve özellikle de kuantum mekaniği olarak) döner sistemleri açıklamak için kullanılan mekanik bir modeldir. Herhangi bir sert döndürücü, dönen bir top gibi sert bir üç boyutlu nesnedir . Böyle bir nesneyi uzayda yönlendirmek için üç açı gereklidir. İki boyutlu bir nesne olan doğrusal döndürücü, yönünü tanımlamak için yalnızca iki açı gerektiren üç boyutlu bir sert döndürücünün özel bir durumudur. Doğrusal bir döndürücünün bir örneği olarak, iki atomlu bir molekülden bahsedilebilir . Daha genel olarak, su (asimetrik döndürücü), amonyak (simetrik döndürücü) veya metan (küresel döndürücü) gibi moleküller üç boyutludur ( moleküllerin sınıflandırmasına bakın ).
Doğrusal döndürücü
Doğrusal rijit döndürücü modeli, kütle merkezinden sabit mesafelerde bulunan iki nokta kütleden oluşur. İki kütle arasındaki sabit mesafe ve kütle ölçümleri, rijit modelin tek özelliğidir. Bununla birlikte, birçok gerçek iki atomlu sistem için bu model çok basittir, çünkü atomlar arası mesafeler değişmez değildir. Mesafedeki küçük değişiklikleri telafi etmek için rijit modelde düzeltmeler yapılabilir. Bununla birlikte, bu durumda bile, rijit döndürücü modeli, sıfır dereceli bir model olarak iyi bir başlangıç noktası olmaya devam etmektedir.
Klasik sert doğrusal döndürücü
Klasik doğrusal döndürücü, iki köprü kütlesinden ve ( azaltılmış kütleli ) birbirinden belirli bir mesafede oluşur . Döndürücü, zamandan bağımsız ise serttir . Rijit bir doğrusal döndürücünün kinematiği, genellikle küresel koordinatlar aracılığıyla tanımlanır ve içinde bir koordinat sistemi oluşturur . Fizik kurallarında koordinatlar, uyum açısı (zenit) , azimut veya uzunlamasına açı ve mesafedir . Açılar, döndürücünün uzaydaki yönünü gösterir. Rijit doğrusal döndürücünün kinetik enerjisi şu şekilde verilir:
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}} μ=m1m2m1+m2{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}θ{\ displaystyle \ theta \,}φ{\ displaystyle \ varphi \,}R{\ displaystyle R}T{\ displaystyle T}
2T=μR2[θ˙2+(φ˙günahθ)2]=μR2(θ˙φ˙)(100günah2θ)(θ˙φ˙)=μ(θ˙φ˙)(hθ200hφ2)(θ˙φ˙),{\ displaystyle 2T = \ mu R ^ {2} {\ büyük [} {\ nokta {\ theta}} ^ {2} + ({\ nokta {\ varphi}} \, \ sin \ theta) ^ {2} {\ big]} = \ mu R ^ {2} {\ big (} {\ dot {\ theta}} \; \; {\ dot {\ varphi}} {\ Big)} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ varphi}} \ end {pmatrix }} = \ mu {\ Büyük (} {\ nokta {\ theta}} \; \; {\ dot {\ varphi}} {\ Büyük)} {\ begin {pmatrix} h _ {\ theta} ^ {2 } & 0 \\ 0 & h _ {\ varphi} ^ {2} \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ varphi}} \ son {pmatrix}},}ölçek (veya Lamé) faktörleri nerede ve bunlar
.
hθ=R{\ displaystyle h _ {\ theta} = R \,}hφ=Rgünahθ{\ displaystyle h _ {\ varphi} = R \ sin \ theta \,}
Bunlar ekspresyonunda mevcut olduğundan ölçekleme faktörleri kuantum mekanik uygulamalarda önemlidir Laplacian'ın olarak eğrisel koordinatlar . Bizim durumumuzda ( sabit):
R{\ displaystyle R}
∇2=1hθhφ[∂∂θhφhθ∂∂θ+∂∂φhθhφ∂∂φ]=1R2[1günahθ∂∂θgünahθ∂∂θ+1günah2θ∂2∂φ2].{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {1} {h _ {\ theta} h _ {\ varphi}}} \ sol [{\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ theta}} {\ frac {h _ {\ varphi}} {h _ {\ theta}}} {\ frac {\ parsiyel} {\ parsiyel \ theta}} + {\ frac {\ parsiyel} {\ parsiyel \ varphi}} {\ frac {h _ {\ theta}} {h _ {\ varphi}}} {\ frac {\ kısmi} {\ partial \ varphi}} \ sağ] = {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sol [{\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ bölüm} {\ bölüm \ theta}} \ sin \ theta {\ frac {\ bölüm} {\ bölüm \ theta}} + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi \ varphi ^ {2}}} \ sağ].}Sert doğrusal döndürücünün klasik Hamiltoniyeni:
H=12μR2[pθ2+pφ2günah2θ].{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2 \ mu R ^ {2}}} \ sol [p _ {\ theta} ^ {2} + {\ frac {p _ {\ varphi} ^ {2} } {\ sin ^ {2} \ theta}} \ sağ].}
Kuantum sert doğrusal döndürücü
Katı döndürücü modeli, bir diatomik molekülün dönme enerjisini tahmin etmek için kuantum mekaniğinde kullanılabilir . Dönme enerjisi , sistemin eylemsizlik momentine bağlıdır . Kütle merkezinin referans çerçevesinde eylemsizlik momenti şuna eşittir:
ben{\ displaystyle I}
ben=μR2{\ displaystyle I = \ mu R ^ {2}}burada bir düşük kütle molekülün ve iki atom arasındaki mesafe.
Kuantum mekaniğinde, bir sistemin enerji seviyeleri Schrödinger denklemi çözülerek belirlenebilir :
μ{\ displaystyle \ mu}R{\ displaystyle R}
H^Y=EY{\ displaystyle {\ hat {H}} Y = EY}burada bir dalga fonksiyonu ve enerji operatör (olup Hamilton ). Alanı olmayan bir uzayda katı bir döndürücü için, enerji operatörü sistemin kinetik enerjisine karşılık gelir :
Y{\ displaystyle Y}H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
H^=-ℏ22μ∇2{\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2}}burada bir Planck sabiti ile bölünmesiyle ve Laplace . Laplacian, yukarıda küresel koordinatlarda verilmiştir. Bu koordinat sisteminde yazılan enerji operatörü:
ℏ{\ displaystyle \ hbar}2π{\ displaystyle 2 \ pi}∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}
H^=-ℏ22ben[1günahθ∂∂θ(günahθ∂∂θ)+1günah2θ∂2∂φ2]{\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2I}} \ sol [{1 \ \ sin \ teta üzerinde} {\ kısmi \ \ kısmi \ teta} \ left (\ sin \ theta {\ partici \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ kısmi ^ {2} \ over \ partial \ varphi ^ { 2}} \ sağ]}Bu operatör, radyal kısmın ayrılmasından sonra hidrojen atomunun Schrödinger denkleminde de görünür. Özdeğer denklemi şöyle olur:
H^Yℓm(θ,φ)=ℏ22benℓ(ℓ+1)Yℓm(θ,φ).{\ displaystyle {\ hat {H}} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2I}} \ ell (\ ell +1 ) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi).}Sembol , küresel harmonikler olarak bilinen bir dizi işlevi temsil eder . Enerjinin bağlı olmadığını unutmayın . Enerji
Yℓm(θ,φ){\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}m{\ displaystyle m \,}
Eℓ=ℏ22benℓ(ℓ+1){\ displaystyle E _ {\ ell} = {\ hbar ^ {2} \ 2I'den fazla} \ ell \ sol (\ ell +1 \ sağ)}her ikisi de dejenere: işlevler sabittir ve aynı enerjiye sahiptir.
2ℓ+1{\ displaystyle 2 \ ell +1}ℓ{\ displaystyle \ ell \,}m=-ℓ,-ℓ+1,...,ℓ{\ displaystyle m = - \ ell, - \ ell +1, \ noktalar, \ ell}
Dönme sabiti B'yi ekleyerek yazabiliriz :
Eℓ=hBℓ(ℓ+1)ileB≡ℏ22benh.{\ displaystyle E _ {\ ell} = hB \; \ ell \ sol (\ ell +1 \ sağ) \ dört {\ textrm {with}} \ quad B \ eşdeğeri {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2Ih}}.}Karşılıklı uzunluk biriminde, dönme sabiti:
B¯≡Bvs=h8π2vsben,{\ displaystyle {\ bar {B}} \ equiv {\ frac {B} {c}} = {\ frac {h} {8 \ pi ^ {2} cI}},}burada c ışık hızıdır. Eğer CGS birimleri için kullanılan h , c ve ı , ifade edilen dalga sayıları (cm -1 ), dönme ve titreşim spektroskopi için kullanılan bir birim. Dönme sabiti mesafeye bağlıdır . Bazen denge değerinin nerede olduğunu (yani döndürücünün enerjisinin minimum olduğu) yazıyoruz .
B¯{\ displaystyle {\ bar {B}}}B¯(R){\ displaystyle {\ bar {B}} (R)}R{\ displaystyle R}Be=B¯(Re){\ displaystyle B_ {e} = {\ çubuğu {B}} (R_ {e})}Re{\ displaystyle R_ {e}}R{\ displaystyle R}
Tipik bir dönüş spektrumu, farklı ikincil kuantum sayısının ( ) değerlerine sahip seviyeler arasındaki geçişlere karşılık gelen bir dizi tepe noktasından oluşur . Bu nedenle, dönme zirveleri, tamsayı katlarına karşılık gelen enerjilerde görülür .
ℓ{\ displaystyle \ ell}2B¯{\ displaystyle {2 {\ bar {B}}}}
Seçim kuralları
Bir molekülün rotasyonel geçişleri, molekül bir fotonu (kuantize edilmiş elektromanyetik alana sahip bir parçacık) emdiğinde meydana gelir. Fotonun enerjisine (yani elektromanyetik alanın dalga boyuna) bağlı olarak, bu geçiş titreşimsel ve / veya elektronik bir geçişin uydu hattı olarak görülebilir. Elektromanyetik spektrumun mikrodalga bölgesinde vibronik (elektronik artı titreşimsel) dalga fonksiyonunun değişmediği "saf" dönme geçişleri meydana gelir .
Dönme geçişleri tipik olarak yalnızca ikincil kuantum sayısı bir birim ( ) değiştirildiğinde gözlemlenebilir . Bu seçim kuralı, zamana bağlı Schrödinger denkleminin birinci dereceden pertürbasyon teorisi yaklaşımından gelir. Bu yaklaşıma göre, dönme geçişleri yalnızca, dipol operatörünün bir veya daha fazla bileşeni, kaybolmayan bir geçiş momentine sahip olduğunda gözlemlenebilir . Eğer z gelen elektromanyetik dalganın elektrik alanı bileşeni yönü, geçiş andır:
Δl=±1{\ displaystyle \ Delta l = \ pm 1}
⟨ψ2|μz|ψ1⟩=(μz)21=∫ψ2∗μzψ1dτ.{\ displaystyle \ langle \ psi _ {2} | \ mu _ {z} | \ psi _ {1} \ rangle = \ sol (\ mu _ {z} \ sağ) _ {21} = \ int \ psi _ {2} ^ {*} \ mu _ {z} \ psi _ {1} \, \ mathrm {d} \ tau.}Bu integral sıfır değilse bir geçiş gerçekleşir. Moleküler dalga fonksiyonunun dönme kısmını vibronik kısımdan ayırarak, bunun molekülün kalıcı bir dipol momenti olması gerektiği anlamına geldiği gösterilebilir . Vibronik koordinatlara entegrasyondan sonra, geçiş momentinin aşağıdaki dönme kısmı kalır
(μz)l,m;l′,m′=μ∫02πdϕ∫0πYl′m′(θ,ϕ)∗çünküθYlm(θ,ϕ)dçünküθ.{\ displaystyle \ sol (\ mu _ {z} \ sağ) _ {l, m; l ', m'} = \ mu \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ pi} Y_ {l '} ^ {m'} \ left (\ theta, \ phi \ right) ^ {*} \ cos \ theta \, Y_ {l} ^ {m} \ , \ left (\ theta, \ phi \ right) \; \ mathrm {d} \ cos \ theta.}İşte kalıcı dipol momentinin z bileşeni . Moment , çift kutuplu operatörün vibronik olarak ortalaması alınan bileşenidir. Yalnızca heteronükleer bir molekülün ekseni boyunca kalıcı çift kutuplu bileşen kaybolmaz. Ortogonal küresel harmonik kullanılması mümkün değerlerini belirlemek için yapar , , ve olacak geçiş süresi integraller sıfırdan farklı dipol. Bu kısıtlama daha sonra rijit döndürücü için gözlemlenen seçim kuralları tarafından çevrilir:
μçünküθ{\ displaystyle \ mu \ cos \ theta \,}μ{\ displaystyle \ mu}Ylm(θ,ϕ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} \, \ sol (\ teta, \ phi \ sağ)}l{\ displaystyle l}m{\ displaystyle m}l′{\ displaystyle the}m′{\ displaystyle m '}
Δm=0veΔl=±1{\ displaystyle \ Delta m = 0 \ quad {\ hbox {ve}} \ quad \ Delta l = \ pm 1}
Rijit olmayan doğrusal döndürücü
Sert döndürücü genellikle iki atomlu moleküllerin dönme enerjisini tanımlamak için kullanılır, ancak atomlar arası bağlanmadaki (ve dolayısıyla mesafedeki ) varyasyon nedeniyle tamamen alakalı değildir . Molekülün dönüşü arttığında bağ gerilir (ikincil kuantum sayısının değerinde artış ). Bu etki, santrifüj distorsiyon sabiti olarak bilinen bir düzeltme faktörü eklenerek hesaba katılabilir (miktarların üzerindeki çubuklar, cm 1 cinsinden ifade edildiklerini gösterir ):
R{\ displaystyle R}l{\ displaystyle l}D¯{\ displaystyle {\ bar {D}}}
E¯l=Elhvs=B¯l(l+1)-D¯l2(l+1)2{\ displaystyle {\ bar {E}} _ {l} = {E_ {l} \ hc üzerinde} = {\ bar {B}} l \ sol (l + 1 \ sağ) - {\ bar {D}} l ^ {2} \ left (l + 1 \ sağ) ^ {2}}veya
D¯=4B¯3ω¯2{\ displaystyle {\ bar {D}} = {4 {\ bar {B}} ^ {3} \ over {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} ^ {2}}}ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}}}bağlantının temel titreşim frekansıdır (cm- 1 cinsinden ). Bu frekans, aşağıdakilere göre molekülün azaltılmış kütlesi ve sertlik sabiti (bağlanma kuvveti) ile ilgilidir:
ω¯=12πvskμ{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} = {1 \ over 2 \ pi c} {\ sqrt {k \ over \ mu}}}Rijit olmayan döndürücü, diatomik moleküller için kabul edilebilir doğruluğa sahip bir modeldir, ancak kusurlu kalır. Bunun nedeni, modelin dönme esnemesini hesaba katmasına rağmen, titreşim enerjisinden (potansiyel uyumsuzluk) kaynaklanan bağın gerilmesini göz ardı etmesidir.
Rastgele şekle sahip sert döndürücü
Rastgele şekillendirilmiş bir sert döndürücü, alanı olmayan bir uzayda sabit bir kütle merkezine sahip (veya tekdüze ve doğrusal bir şekilde hareket eden) rastgele şekillendirilmiş sert bir gövdedir . Bu durumda enerjisi, dönmenin tek kinetik enerjisidir (ve görmezden gelebileceğimiz sabit öteleme enerjisidir). Sert bir gövde olabilir (kısmen), üç öz-değerlerle karakterize tensörünün ait atalet bilinen pozitif reel sayılardır, atalet başlıca anlar .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
İçinde mikrodalga spektroskopisi - dönme geçişler göre spektroskopisi - aşağıdaki gibi genellikle sınıflandırılır (sert rotatorlar olarak algılanan) molekülleri:
- küresel döndürücüler
- simetrik döndürücüler
- simetrik oblate döndürücüler (düzleştirilmiş)
- simetrik prolate çeviriciler (uzatılmış)
- asimetrik döndürücüler
Bu sınıflandırma , ana atalet momentlerinin göreceli değerlerine bağlıdır .
Sert döndürücünün koordinatları
Farklı fizik ve mühendislik dalları, rijit bir döndürücünün kinematiğinin tanımlanması için farklı koordinatlar kullanır. In moleküler fiziği (de) , biz neredeyse sadece kullanmak Euler açıları . Kuantum mekaniği uygulamalarında, küresel koordinat konvansiyonlarının basit bir uzantısı olan bir konvansiyonda Euler açılarını kullanmak önemlidir .
İlk adım, döndürücüye (bağlantılı referans çerçevesi) doğrudan ortonormal bir referans çerçevesini (üç boyutlu dikey ve normalleştirilmiş eksen sistemi) bağlamayı içerir. Bu referans çerçevesi isteğe bağlı olarak vücuda eklenebilir, ancak ana eksenler de kullanılabilir - eylemsizlik tensörünün normalleştirilmiş özvektörleri, her zaman ortonormal seçilebilir (tensör simetriktir ). Döndürücü bir simetri eksenine sahip olduğunda, bu genellikle ana eksenlerden biriyle çakışır. Z ekseninin en yüksek simetri ekseni olduğu bağlantılı bir referans çerçevesi seçmek uygundur.
Bağlantılı referans çerçevesini sabit bir referans çerçevesiyle (laboratuvar referans çerçevesi olarak bilinir) hizalayarak başlayalım, böylece x , y ve z eksenleri laboratuvar referans çerçevesinin X , Y ve Z eksenleriyle çakışır . eksenler uygun düzlemlerdedir). Daha sonra katı ve çerçeve arasında referans vardır döndürülmüş bir tarafından pozitif bir açı etrafında a z eksenine göre ( sağ el kuralına hareket, doğrudan dönüş için), Y ekseni yönünde Y ' ekseni . Daha sonra, katı ve referans çerçevesi, y ' ekseni etrafında pozitif bir açıyla by döndürülür . Bağlantılı referans çerçevesinin z ekseni , bu iki dönüşten sonra, laboratuar referans çerçevesine göre boylamasına açı α (yaygın olarak φ ile gösterilir) ve uyum açısı β (genellikle θ ile gösterilir). Döndürücü, doğrusal rijit döndürücü gibi z ekseni etrafında silindirik olarak simetrik ise, bu durumda uzamsal yönelimi nettir.
Katı, silindirik (eksenel) simetriye sahip değilse , yönünü açık bir şekilde belirtmek için z ekseni etrafında (kutupsal koordinatlar β ve α ile) bir son dönüş gereklidir. Geleneksel olarak, son açıya called denir.
Euler açı kongre burada tarif edildiği gibi bilinen z "alt sınıflardır-Z esası , biz (nispeten basit) bu denk olduğunu gösterebilir Zyz esası dönmeler sırasını tersine döndüğü.
Üç dönüşe karşılık gelen matris, matris çarpımıdır:
R(α,β,γ)=(çünküα-günahα0günahαçünküα0001)(çünküβ0günahβ010-günahβ0çünküβ)(çünküγ-günahγ0günahγçünküγ0001){\ displaystyle \ mathbf {R} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end { pmatrix}}}Diğer bir deyişle , rijit gövdeye bağlı referansa kıyasla vücuttaki gelişigüzel bir noktanın vektör konumu . Unsurları olan vücuda ilişkin koordinatlar arasında . Başlangıçta, sabit referans çerçevesindeki vektör koordinatları da bulunur . Gövde döndürüldüğünde, gövdesine bağlı koordinatlar değiştirilmez, ancak sabit referans çerçevesindeki vektör koordinatları şöyle olur:
r(0){\ displaystyle \ mathbf {r} (0)}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}r(0){\ displaystyle \ mathbf {r} (0)}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}r(0){\ displaystyle \ mathbf {r} (0)}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
r(α,β,γ)=R(α,β,γ)r(0).{\ displaystyle \ mathbf {r} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = \ mathbf {R} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \ mathbf {r} (0).}Özellikle, başlangıçta sabit koordinat sisteminin Z eksenindeyse , koordinatlara sahiptir:
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
R(α,β,γ)(00r)=(rçünküαgünahβrgünahαgünahβrçünküβ),{\ displaystyle \ mathbf {R} (\ alpha, \ beta, \ gamma) {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ r \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ r \ cos \ beta \\\ end {pmatrix}},}küresel koordinatlar arasındaki yazışmayı gösterir (fiziksel konvansiyonda).
Euler bilgisi zaman bir fonksiyonu olarak açıları t ve ilk koordinatları katı döndürücünün kinematik tanımlar.
r(0){\ displaystyle \ mathbf {r} (0)}
Klasik kinetik enerji
Aşağıdaki metin, bir eksen etrafında dönen bir nesnenin dönme enerjisinin iyi bilinen özel durumunun bir genellemesidir .
Buradan bağlantılı referans çerçevesinin ana eksenlerle bir referans çerçevesi olduğunu varsayacağız. Bu, anlık eylemsizlik tensörünü (katı cismin referans çerçevesine göre ifade edilir) köşegenleştirir , yani,
ben(t){\ displaystyle \ mathbf {I} (t)}
R(α,β,γ)-1ben(t)R(α,β,γ)=ben(0)ileben(0)=(ben1000ben2000ben3),{\ displaystyle \ mathbf {R} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {- 1} \; \ mathbf {I} (t) \; \ mathbf {R} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = \ mathbf {I} (0) \ quad {\ hbox {with}} \ quad \ mathbf {I} (0) = {\ begin {pmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2 } & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \\\ end {pmatrix}},}Euler açılarının zamana bağlı olduğu ve aslında ters denklemin zamana bağımlılığını belirlediği durumlarda . Bu gösterim , Euler açılarının sıfır olduğunu ve bağlantılı referans çerçevesinin laboratuvar referans çerçevesi ile çakıştığını ima eder .
ben(t){\ displaystyle \ mathbf {I} (t)}t=0{\ displaystyle t = 0}t=0{\ displaystyle t = 0}
Rijit döndürücünün klasik kinetik enerjisi T birkaç şekilde ifade edilebilir:
- açısal hızın bir fonksiyonu olarak
- Lagrangian formunda
- açısal momentumun bir fonksiyonu olarak
- Hamilton formunda
Bu formların her birinin kendi kullanımları vardır ve literatürde bulunabilir. Aşağıda sunulmuştur.
Açısal hızın bir fonksiyonu olarak
T, açısal hızın bir fonksiyonu olarak yazılır:
T=12[ben1ωx2+ben2ωy2+ben3ωz2]{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sol [I_ {1} \ omega _ {x} ^ {2} + I_ {2} \ omega _ {y} ^ {2} + I_ { 3} \ omega _ {z} ^ {2} \ sağ]}ile
(ωxωyωz)=(-günahβçünküγgünahγ0günahβgünahγçünküγ0çünküβ01)(α˙β˙γ˙).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ omega _ {x} \\\ omega _ {y} \\\ omega _ {z} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ beta \ cos \ gamma & \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ beta \ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\\ cos \ beta & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ alpha}} \\ {\ dot {\ beta}} \\ {\ dot {\ gamma}} \\\ end {pmatrix}}.}Vektör , bağlı çerçevenin bir fonksiyonu olarak ifade edilen döndürücünün açısal hızının bileşenlerini içerir . Bunu gösterebilir olduğu değil klasik tanımına aykırı bir vektör bir zaman türevi, hız . Zamana bağlı Euler açılarının üzerindeki noktalar , zaman türevlerini gösterir . Açısal hız, Euler denklemleri olarak bilinen hareket denklemlerini karşılar (sıfır uygulanan torkla, döndürücünün alansız bir boşlukta olduğu varsayılır).
ω=(ωx,ωy,ωz){\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}ω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}
Lagrangian formunda
T'deki ifadesiyle ikame edilmesi Lagrangian biçimini verir (Euler açılarının zaman türevlerinin bir fonksiyonu olarak). Matris / vektör gösteriminde:
ω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}
2T=(α˙β˙γ˙)g(α˙β˙γ˙),{\ displaystyle 2T = {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ alpha}} & {\ dot {\ beta}} ve {\ dot {\ gamma}} \ end {pmatrix}} \; \ mathbf {g} \; {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ alpha}} \\ {\ dot {\ beta}} \\ {\ dot {\ gamma}} \\\ end {pmatrix}},}Euler açılarının bir fonksiyonu olarak ifade edilen metrik tensör nerede - ortogonal olmayan eğrisel koordinat sistemi :
g{\ displaystyle \ mathbf {g}}
g=(ben1günah2βçünkü2γ+ben2günah2βgünah2γ+ben3çünkü2β(ben2-ben1)günahβgünahγçünküγben3çünküβ(ben2-ben1)günahβgünahγçünküγben1günah2γ+ben2çünkü2γ0ben3çünküβ0ben3).{\ displaystyle \ mathbf {g} = {\ begin {pmatrix} I_ {1} \ sin ^ {2} \ beta \ cos ^ {2} \ gamma + I_ {2} \ sin ^ {2} \ beta \ sin ^ {2} \ gamma + I_ {3} \ cos ^ {2} \ beta & (I_ {2} -I_ {1}) \ sin \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gamma & I_ {3} \ cos \ beta \\ (I_ {2} -I_ {1}) \ sin \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gamma & I_ {1} \ sin ^ {2} \ gamma + I_ {2} \ cos ^ {2 } \ gamma & 0 \\ I_ {3} \ cos \ beta & 0 & I_ {3} \\\ end {pmatrix}}.}Açısal momentumun bir fonksiyonu olarak
Kinetik enerji bazen katı döndürücünün açısal momentumunun bir fonksiyonu olarak yazılır . Bu vektör konservatif bir niceliktir (zamandan bağımsız). Sert gövdeye bağlı referans çerçevesinde , açısal hıza bağlı olarak gösterilebilen bileşenleri :
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}L{\ displaystyle \ mathbf {L}}
L=ben(0)ωveyaLben=∂T∂ωben,ben=x,y,z.{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} (0) \; {\ boldsymbol {\ omega}} \ quad {\ hbox {veya}} \ quad L_ {i} = {\ frac {\ kısmi T } {\ kısmi \ omega _ {i}}}, \; \; i = x, \, y, \, z.}Bağlantılı referans çerçevesi (zaman içinde) hareket ettiğinden, bu bileşenler zamandan bağımsız değildir . Biz düşünürsek sabit referans çerçevesi içinde, biz daha sonra bileşenleri için zamandan bağımsız ifadeleri bulabilirsiniz. Kinetik enerji şu şekilde verilir:
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}
T=12[Lx2ben1+Ly2ben2+Lz2ben3].{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sol [{\ frac {L_ {x} ^ {2}} {I_ {1}}} + {\ frac {L_ {y} ^ {2 }} {I_ {2}}} + {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {I_ {3}}} \ sağ].}Hamilton formunda
Hamilton formu kinetik enerjinin genelleştirilmiş anlar açısından yazılır:
(pαpβpγ) =def (∂T/∂α˙∂T/∂β˙∂T/∂γ˙)=g(α˙β˙γ˙),{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p _ {\ alpha} \\ p _ {\ beta} \\ p _ {\ gamma} \\\ end {pmatrix}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} \ kısmi T / {\ kısmi {\ nokta {\ alpha}}} \\\ kısmi T / {\ kısmi {\ nokta {\ beta}}} \\\ kısmi T / {\ kısmi {\ nokta {\ gamma}}} \\\ end {pmatrix}} = \ mathbf {g} {\ begin {pmatrix} \; \, {\ dot {\ alpha}} \\ {\ dot {\ beta}} \\ {\ dot {\ gamma}} \\\ end {pmatrix}},}simetrik poz verdiğimiz yer . Hamilton formunda kinetik enerji şöyledir:
g{\ displaystyle \ mathbf {g}}
2T=(pαpβpγ)g-1(pαpβpγ),{\ displaystyle 2T = {\ begin {pmatrix} p _ {\ alpha} & p _ {\ beta} & p _ {\ gamma} \ end {pmatrix}} \; \ mathbf {g} ^ {- 1} \ ; {\ begin {pmatrix} p _ {\ alpha} \\ p _ {\ beta} \\ p _ {\ gamma} \\\ end {pmatrix}},}ters metrik tensör şu şekilde verilir:
günah2βg-1={\ displaystyle {\ scriptstyle \ sin ^ {2} \ beta} \; \; \ mathbf {g} ^ {- 1} =}(çünkü2γben1+günah2γben2(1ben2-1ben1)günahβgünahγçünküγ-çünküβçünkü2γben1-çünküβgünah2γben2(1ben2-1ben1)günahβgünahγçünküγgünah2βgünah2γben1+günah2βçünkü2γben2(1ben1-1ben2)günahβçünküβgünahγçünküγ-çünküβçünkü2γben1-çünküβgünah2γben2(1ben1-1ben2)günahβçünküβgünahγçünküγçünkü2βçünkü2γben1+çünkü2βgünah2γben2+günah2βben3).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ cos ^ {2} \ gamma} {I_ {1}}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ gamma} {I_ {2}}} & \ left ({\ frac {1} {I_ {2}}} - {\ frac {1} {I_ {1}}} \ sağ) {\ scriptstyle \ sin \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gamma} & - {\ frac {\ cos \ beta \ cos ^ {2} \ gamma} {I_ {1}}} - {\ frac {\ cos \ beta \ sin ^ {2} \ gamma} {I_ {2}} } \\\ sol ({\ frac {1} {I_ {2}}} - {\ frac {1} {I_ {1}}} \ sağ) {\ scriptstyle \ sin \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gama} ve {\ frac {\ sin ^ {2} \ beta \ sin ^ {2} \ gamma} {I_ {1}}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ beta \ cos ^ {2} \ gamma} {I_ {2}}} ve \ sol ({\ frac {1} {I_ {1}}} - {\ frac {1} {I_ {2}}} \ sağ) {\ scriptstyle \ sin \ beta \ cos \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gamma} \\ - {\ frac {\ cos \ beta \ cos ^ {2} \ gamma} {I_ {1}}} - {\ frac {\ cos \ beta \ sin ^ {2} \ gamma} {I_ {2}}} & \ left ({\ frac {1} {I_ {1}}} - {\ frac {1} {I_ {2}}} \ sağ) {\ scriptstyle \ sin \ beta \ cos \ beta \ sin \ gamma \ cos \ gamma} & {\ frac {\ cos ^ {2} \ beta \ cos ^ {2} \ gamma} {I_ {1}}} + {\ frac {\ cos ^ {2} \ beta \ sin ^ {2} \ gamma} {I_ {2}}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ beta} {I_ {3}}} \ \\ end {pmatrix}}.}Bu ters tensör, katı döndürücünün kuantum enerji operatörünü veren (ile çarpılan ) Laplace-Beltrami operatörünü elde etmek için gereklidir .
-ℏ2{\ displaystyle - \ hbar ^ {2}}
Yukarıda verilen klasik Hamiltonian, rijit rotatörlerin klasik istatistiksel mekaniğinde meydana gelen faz entegrasyonu için gerekli olan aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir,
T=12ben1günah2β((pα-pγçünküβ)çünküγ-pβgünahβgünahγ)2+12ben2günah2β((pα-pγçünküβ)günahγ+pβgünahβçünküγ)2+pγ22ben3.{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} T & = & {\ frac {1} {2I_ {1} \ sin ^ {2} \ beta}} \ sol ((p _ {\ alpha} -p _ {\ gamma} \ cos \ beta) \ cos \ gamma -p _ {\ beta} \ sin \ beta \ sin \ gamma \ right) ^ {2} \\ && + {\ frac {1} {2I_ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} \ left ((p _ {\ alpha} -p _ {\ gamma} \ cos \ beta) \ sin \ gamma + p _ {\ beta} \ sin \ beta \ cos \ gama \ sağ) ^ {2} + {\ frac {p _ {\ gamma} ^ {2}} {2I_ {3}}}. \\\ end {dizi}}}
Kuantum mekaniğinde sert döndürücü
Her zamanki gibi niceleme, genelleştirilmiş momentlerin, kanonik olarak konjuge değişkenlere (konumlar) göre ilk türevleri veren operatörlerle yer değiştirmesiyle sağlanır . Yani,
pα⟶-benℏ∂∂α{\ displaystyle p _ {\ alfa} \ longrightarrow -i \ hbar {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ alfa}}}Aynı için ve ve . Bu yasanın, üç Euler açısının işlevini, zaman türevlerini ve rijit döndürücüyü karakterize eden atalet momentlerini , zamana veya eylemsizlik momentlerine bağlı olmayan basit bir diferansiyel operatör ile değiştirdiği unutulmamalıdır. sadece bir Euler açısı ile ilgilidir.
pβ{\ displaystyle p _ {\ beta}}pγ{\ displaystyle p _ {\ gamma}}pα{\ displaystyle p _ {\ alpha}}
Niceleme yasası, klasik açısal momentlere karşılık gelen operatörleri elde etmek için yeterlidir. İki tür vardır: mutlak referans çerçevesine bağlı veya katı cisme bağlı referans çerçevesine bağlı açısal momentum operatörleri. Her ikisi de vektör operatörüdür, yani her ikisi de ilgili referans çerçevelerini döndürerek birbirine dönüşen üç bileşene sahiptir. Katı döndürücünün açısal momentum operatörlerinin açık formu burada verilmiştir (çarpım faktörüne kadar ). Rijit gövdeye bağlı çerçeve için açısal momentum operatörleri formda yazılır . Anormal anahtarlama koşullarını karşılarlar .
ℏ{\ displaystyle \ hbar}P^ben{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {P}}} _ {i}}
Niceleme kuralı, klasik Hamiltoniyenden kinetik enerji operatörünü elde etmek için yeterli değildir . Klasik ile gidip , ve bu fonksiyonların tersleri, klasik Hamiltoniyen'de bu trigonometrik fonksiyonların pozisyonu isteğe bağlıdır. Nicemlemeden sonra, anahtarlamaya artık izin verilmez ve Hamiltoniyende (enerji operatörü) operatörlerin ve işlevlerin sırası çok önemli hale gelir. Podolsky, 1928'de Laplace-Beltrami operatörünün (çarpılarak ) kinetik enerji kuantum operatörü için uygun biçime sahip olduğunu bildirdi . Bu operatör genel biçime sahiptir (toplama kuralı: toplam, tekrarlanan endekslerde yapılır - bu durumda üç Euler açısı üzerinde yapılır ):
pβ{\ displaystyle p _ {\ beta}}çünküβ{\ displaystyle \ cos \ beta}günahβ{\ displaystyle \ sin \ beta}-12ℏ2{\ displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} \ hbar ^ {2}}q1,q2,q3≡α,β,γ{\ displaystyle q ^ {1}, \, q ^ {2}, \, q ^ {3} \ equiv \ alpha, \, \ beta, \, \ gamma}
H^=-ℏ22|g|-1/2∂∂qben|g|1/2gbenj∂∂qj,{\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ tfrac {\ hbar ^ {2}} {2}} \; | g | ^ {- 1/2} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi q ^ {i}}} | g | ^ {1/2} g ^ {ij} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi q ^ {j}}},}tensörün determinantı nerede g:
|g|{\ displaystyle | g |}
|g|=ben1ben2ben3günah2βvegbenj=(g-1)benj.{\ displaystyle | g | = I_ {1} \, I_ {2} \, I_ {3} \, \ sin ^ {2} \ beta \ quad {\ hbox {ve}} \ quad g ^ {ij} = (\ mathbf {g} ^ {- 1}) _ {ij}.}Metrik tensörün tersi yukarıda verildiğinde, kinetik enerji operatörünün Euler açıları cinsinden açık formu, basit ikame ile izler. Karşılık gelen özdeğer denklemi , ilk olarak Kronig ve Rabi (simetrik rotatörün özel durumu için) tarafından çözülen formdaki rijit rotatör için Schrödinger denklemini sağlar . Bu, Schrödinger denkleminin analitik olarak çözülebildiği birkaç durumdan biridir. Tüm bu davalar, bu denklemi formüle ettikten sonra bir yıl içinde çözüldü.
Şu anda aşağıdaki gibi ilerlemek gelenekseldir. Katı cisme bağlı çerçevede açısal momentum operatörleri ile ifade edilebileceğini gösterebiliriz (bu gösterimde diferansiyel operatörlerin trigonometrik fonksiyonlarla değişmeleri dikkatle gerçekleştirilmelidir). Sonuç, bağlantılı referans çerçevesinin koordinatlarında ifade edilen klasik formülle aynı biçime sahiptir:
H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
H^=12[Px2ben1+Py2ben2+Pz2ben3].{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ tfrac {1} {2}} \ sol [{\ frac {{\ mathcal {P}} _ {x} ^ {2}} {I_ {1}} } + {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {y} ^ {2}} {I_ {2}}} + {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {z} ^ {2}} {I_ {3}}} \ sağ].}Wigner'ın D matrisi üzerindeki eylemi basittir. Özellikle :
P^ben{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {P}}} _ {i}}
P2Dm′mj(α,β,γ)∗=ℏ2j(j+1)Dm′mj(α,β,γ)∗ileP2=Px2+Py2+Pz2,{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} \, D_ {m'm} ^ {j} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} = \ hbar ^ {2} j (j +1) D_ {m'm} ^ {j} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} \ quad {\ hbox {with}} \ quad {\ mathcal {P}} ^ {2} = {\ mathcal {P}} _ {x} ^ {2} + {\ mathcal {P}} _ {y} ^ {2} + {\ mathcal {P}} _ {z} ^ {2},}bu nedenle küresel döndürücü ( ) için Schrödinger denklemi -dejenere enerji için çözülür ve eşittir .
ben=ben1=ben2=ben3{\ displaystyle I = I_ {1} = I_ {2} = I_ {3}}(2j+1)2{\ displaystyle (2g + 1) ^ {2}}ℏ2j(j+1)2ben{\ displaystyle {\ tfrac {\ hbar ^ {2} j (j + 1)} {2I}}}
Simetrik üst kısım (simetrik bir döndürücü) ile karakterize edilir . Yine de, prolate (puro şeklinde) bir topaç . İkinci durumda, Hamiltoniyen'i yazıyoruz:
ben1=ben2{\ displaystyle I_ {1} = I_ {2}}ben3<ben1=ben2{\ displaystyle I_ {3} <I_ {1} = I_ {2}}
H^=12[P2ben1+Pz2(1ben3-1ben1)],{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ tfrac {1} {2}} \ sol [{\ frac {{\ mathcal {P}} ^ {2}} {I_ {1}}} + {\ mathcal {P}} _ {z} ^ {2} {\ Big (} {\ frac {1} {I_ {3}}} - {\ frac {1} {I_ {1}}} {\ Big)} \ sağ],}ve kullanıyoruz:
Pz2Dmkj(α,β,γ)∗=k2Dmkj(α,β,γ)∗.{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {z} ^ {2} \, D_ {mk} ^ {j} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} = k ^ {2} \, D_ {mk} ^ {j} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*}.}Yani,
H^Dmkj(α,β,γ)∗=EjkDmkj(α,β,γ)∗ileEjk=j(j+1)2ben1+k2(12ben3-12ben1).{\ displaystyle {\ hat {H}} \, D_ {mk} ^ {j} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} = E_ {jk} D_ {mk} ^ {j} (\ alpha , \ beta, \ gamma) ^ {*} \ quad {\ hbox {with}} \ quad E_ {jk} = {\ frac {j (j + 1)} {2I_ {1}}} + k ^ {2 } \ left ({\ frac {1} {2I_ {3}}} - {\ frac {1} {2I_ {1}}} \ sağ).}Özdeğer , aynı özdeğere sahip tüm özfonksiyonlar için dejenere zamanlardır . | K | ile enerjiler > 0, dejenere zamanlardır. Simetrik topaç için Schrödinger denkleminin bu kesin çözümü ilk olarak 1927'de bulundu.
Ej0{\ displaystyle E_ {j0}}2j+1{\ displaystyle 2d + 1}m=-j,-j+1,...,j{\ displaystyle m = -j, -j + 1, \ noktalar, j}2(2j+1){\ displaystyle 2 (2g + 1)}
Asimetrik yönlendiricinin ( ) sorunu tam olarak çözülemiyor.
ben1≠ben2≠ben3{\ displaystyle I_ {1} \ neq I_ {2} \ neq I_ {3}}
Notlar ve referanslar
-
B. Podolsky, Phys. Rev., cilt. 32, p. 812 (1928)
-
R. de L. Kronig ve II Rabi, Phys. Rev., cilt. 29, s. 262-269 (1927).
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
- DM Dennison, Rev. Mod. Fizik, cilt. 3 , s. 280-345, (1931) (ve özellikle Bölüm 2: Çok atomlu Moleküllerin Dönüşü ).
- JH Van Vleck, Rev. Mod. Fizik, cilt. 23 , p. 213-227 (1951).
- McQuarrie, Donald A, Kuantum Kimyası , Mill Valley, Kaliforniya, Üniversite Bilim Kitapları,1983( ISBN 0-935702-13-X )
- H. Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics , Third Ed., Addison Wesley Publishing Company, San Francisco (2001) ( ISBN 0-201-65702-3 ) . (Bölüm 4 ve 5)
- VI Arnold, Klasik Mekaniğin Matematiksel Yöntemleri , Springer-Verlag (1989), ( ISBN 0-387-96890-3 ) . (Bölüm 6).
- HW Kroto, Molecular Rotation Spectra , Dover Inc., New York, (1992).
- W. Gordy ve RL Cook, Microwave Molecular Spectra , Üçüncü Baskı, Wiley, New York (1984).
- D. Papoušek ve MT Aliev, Molecular Vibrational-Rotational Spectra , Elsevier, Amsterdam (1982).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">