Christoffel sembolleri
Gelen matematik ve fizik , Christoffel sembolleri (veya Christoffel katsayıları veya bağlantı katsayıları ) bir ifadesidir Levi-Civita bağlantı elde metrik tensörü . Belirlemek için örneğin, beton hesaplama araçları şunlardır: Christoffel sembolleri alanı geometri pratik hesaplamalarda kullanılan jeodezikler ait Riemann manifoldları , ama diğer taraftan kendi taşıma nedeniyle ilgili terimlerin sayısının özellikle nispeten uzundur .
Bunlar, uzay-zamanın eğriliği üzerindeki kütle ve enerji hareketini tanımlamak için genel görelilik çerçevesinde kullanılan temel araçlardır .
Aksine, Levi-Civita bağlantısı için biçimsel gösterimler , teorik sonuçların zarif bir şekilde ifade edilmesine izin verir, ancak pratik hesaplamalar için doğrudan bir uygulaması yoktur.
Eponymous Christoffel sembollerinin Alman matematikçi Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) onları kim tanıştırdı 1869 tarihli bir yazıda 3 Ocak.
ön elemeler
Aşağıda verilen tanımlar her ikisi için de geçerlidir Rieman manifoldları ve sözde Rieman manifoldları gibi kullanılanlar gibi, genel görelilik . Ayrıca, karşı değişken koordinatlar için daha yüksek endekslerin gösterimini ve kovaryant koordinatları için daha düşük göstergeleri kullanırız.
Tanım
Bir Riemanian veya pseudo-Riemanian manifoldunda , manifoldun tamamına uygulanan hiçbir koordinat sistemi yoktur. Yine de bir Lorentz koordinat sistemi yerel olarak tanımlanabilir (bir topolojik çeşitliliğin tanımına bakın : bir açık komşuluğun her noktasında, uzayda açık olana homeomorfik bulunabilir ).
M{\ görüntü stili M}M{\ görüntü stili M}$değil{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {n}}
Bildirdiğinden türevi mümkün bir evrimi değerlendirilmesini mümkün kılmaktadır vektör alanının hesabı, sadece kendi içine alarak yapısal değişiklikler , aynı zamanda bu koordinat sisteminin,. Bu nedenle, kutupsal koordinatlarda bir koordinat sistemi alırsak, iki vektör ve sabit değildir ve çalışılan noktaya bağlıdır. Kovaryant türevi, bu iki evrim faktörünü hesaba katmayı mümkün kılar.
V{\ görüntü stili V}er{\ görüntü stili e_ {r}}eθ{\ görüntü stili e _ {\ teta}}
Christoffel sembolleri daha sonra bildirdiğinden türevi ile, baz vektörlerinin gelişimi temsil etmektedir:
Γkjben{\ displaystyle \ Gama ^ {k} {} _ {ji}}
∇e→bene→j=Γkjbene→k{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {i}} {\ vec {e}} _ {j} = {\ Gama ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {k}}Böylece eğer biliniyorsa bağlantıdan Christoffel katsayılarını elde ederiz . Tersine, Christoffel katsayılarını bilmek, kovaryant türevinin özelliklerini kullanarak bağlantının ifadesini yeniden oluşturmayı mümkün kılar :
∇{\ görüntü stili \ nabla}
∇sen→v→=senben∂benvje→j+senbenvjΓkjbene→k{\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {u}} {\ vec {v}} = u ^ {i} \ kısmi _ {i} v ^ {j} {\ vec {e}} _ {j} + u ^ {i} v ^ {j} {\ Gama ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {k}}Vektörün koordinatları , tanıma göre noktalı virgülle belirtilir:
∇e→αv→{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}}}
∇e→αv→=vk;αe→k{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}} = {v ^ {k}} _ {; \ alpha} {\ vec {e}} _ { k}}Değiştirerek tarafından yukarıda ilgili olarak, elde ederiz:
sen→{\ görüntü stili {\ vec {u}}}e→α{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ alpha}}
vk;α=∂αvk+vjΓkjα{\ displaystyle {v ^ {k}} _ {; \ alpha} = \ kısmi _ {\ alpha} v ^ {k} + v ^ {j} {\ Gama ^ {k}} _ {j \ alpha}}Bu nedenle, gerçekten de vektörün evriminin hem içsel evrimine (terim ) hem de ikinci terime ve özellikle de Christoffel'in sembolüne eklenmiş bazın evrimine bağlı olduğunu görebiliriz .
v→{\ görüntü stili {\ vec {vb}}}∂αvk{\ displaystyle \ kısmi _ {\ alpha} v ^ {k}}Γkjα{\ displaystyle \ Gama ^ {k} {} _ {j \ alpha}}
Bu sonuç, 1. dereceden bir tensör olan bir vektör için geçerlidir. Bir derece ve derece tensörü için aynı şeyi elde edebiliriz:
v→{\ görüntü stili {\ vec {vb}}}j+ben{\ görüntü stili j + l}(ben,j){\ görüntü stili (l, j)}
Tben...jk...ben;m=Tben...jk...ben,m + ΓbendeğilmTdeğil...jk...ben + ... + ΓjdeğilmTben...değilk...ben - ΓskmTben...js...ben - ΓsbenmTben...jk...s{\ displaystyle {T ^ {i \ dots j}} _ {k \ dots l; m} = {T ^ {i \ dots j}} _ {k \ dots l, m} \ + \ {\ Gama ^ { i}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {\ mathbf {n} \ nokta j}} _ {k \ nokta l} \ + \ \ nokta \ + \ {\ Gama ^ {j}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {i \ dots \ mathbf {n}}} _ {k \ nokta l} \ - \ {\ Gamma ^ {\ mathbf {s}}} _ {km} {T ^ {i \ dots j}} _ {\ mathbf {s} \ dots l} \ - \ {\ Gama ^ {\ mathbf {s}}} _ {lm} {T ^ {i \ nokta j}} _ { k \ noktalar \ matematikbf {s}}}Yukarıda kalın harflerle yazılan endeksler, Christoffel'in farklı bileşenlerinin katkılarını vurgulamaktadır. Kontravaryant indekslerin Christoffel katsayısının pozitif katkısına ve kovaryant indekslerin negatif bir katkıya yol açtığını gözlemliyoruz.
Metrik tensörden ifade
Çoğu zaman, Christoffel katsayıları metrik tensör hesaplanır hesaba gerçeği dikkate alarak,
gbenk{\ displaystyle g_ {ik}}
∇e→αg→benk=0{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {g}} _ {ik} = 0}çünkü metrik yerel olarak korunur : uzayda her noktada yerel olarak bir Lorentz koordinat sistemi vardır.
, mertebe 2 ve sıra (0,2) tensörüne uygulandığında , yukarıda verilen Christoffel katsayılarının denklemi (2 kovaryant koordinat 2 “negatif” katkı verir), not ederek :
g{\ görüntü stili g}gbenk,ℓ=∂gbenk∂xℓ{\ displaystyle g_ {ik, \ ell} = {\ frac {\ kısmi g_ {ik}} {\ kısmi x ^ {\ ell}}}}
gbenk;ℓ=gbenk,ℓ-gmkΓmbenℓ-gbenmΓmkℓ. {\ displaystyle \, g_ {ik; \ ell} = g_ {ik, \ ell} -g_ {mk} \ Gama ^ {m} {} _ {i \ ell} -g_ {im} \ Gama ^ {m} {} _ {k \ ell}. \}Daha sonra, indekslere izin vererek ve katsayıların birkaç değerini ifade ederek buluruz:
Γbenkℓ=12gbenm(∂gmk∂xℓ+∂gmℓ∂xk-∂gkℓ∂xm)=12gbenm(gmk,ℓ+gmℓ,k-gkℓ,m), {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ sol ({\ frac {\ kısmi g_ {mk}} {\ kısmi x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ kısmi g_ {m \ ell}} {\ kısmi x ^ {k}}} - {\ frac {\ kısmi g_ {k \ ell}} {\ kısmi x ^ {m}}} \ sağ) = {1 \ üzerinde 2} g ^ {im} (g_ {mk, \ ell} + g_ {m \ ell, k} -g_ {k \ ell, m}), \ }burada tensör , Kronecker sembolü kullanılarak tanımlanan tensörün tersidir .
gbenj{\ displaystyle g ^ {ij}}gbenj{\ displaystyle g_ {ij}}gkbengbenben=δkben{\ displaystyle g ^ {ki} g_ {il} = \ delta ^ {k} {} _ {l}}
Not : Christoffel sembolleri tensör aynı yazımı rağmen, öyle değil tensör . Aslında, koordinat değişimi sırasında tensörler gibi dönüşmezler.
Çoğu yazar, Christoffel'in sembollerini burada izlenen uzlaşım olan holonomik koordinatlar temelinde tanımlamayı seçer . Holonomik olmayan koordinatlarda , Christoffel'in sembolleri daha karmaşık bir formülasyonda ifade edilir:
Γbenkℓ=12gbenm(∂gmk∂xℓ+∂gmℓ∂xk-∂gkℓ∂xm+vsmkℓ+vsmℓk-vskℓm) {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ sol ({\ frac {\ kısmi g_ {mk}} {\ kısmi x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ kısmi g_ {m \ ell}} {\ kısmi x ^ {k}}} - {\ frac {\ kısmi g_ {k \ ell}} {\ kısmi x ^ {m}}} + c_ {mk \ ell} + c_ {m \ ell k} -c_ {k \ ell m} \ sağ) \}burada olan geçiş katsayılarının bir baz, yani
vskℓm=gmpvskℓp{\ displaystyle c_ {k \ ell m} = g_ {mp} c_ {k \ ell} {} ^ {p}}
[ek,eℓ]=vskℓmem {\ displaystyle [e_ {k}, e _ {\ ell}] = c_ {k \ ell} {} ^ {m} e_ {m} \, \}burada baz vektörleri ve vardır karşılık gelir Yalan kanca . İki holonomik olmayan temel örnek, örneğin küresel veya silindirik koordinatlarla ilişkili olanlardır.
ek{\ görüntü stili e_ {k}}[.,.]{\ görüntü stili [.,.]}
Örneğin, metrik tensörün sadece sabit olmayan şartlar küresel koordinatlar olarak , ve sahip , , . Metrik tensörün bir fonksiyonu olarak Christoffel sembolünün sıfır olmayan elemanları bu nedenle azdır:
gθθ=r2{\ displaystyle g _ {\ teta \ teta} = r ^ {2}}gϕϕ=r2günah2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta}gθθ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ teta \ teta, r} = 2r}gϕϕ,r=2rgünah2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r \ günah ^ {2} \ teta}gϕϕ,θ=2r2çünküθgünahθ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, \ teta} = 2r ^ {2} \ cos \ teta \ günah \ teta}
Γθθr=-rΓϕϕr=-rgünah2θΓrθθ=Γθrθ=r-1Γϕϕθ=-çünküθgünahθΓrϕϕ=Γϕrϕ=r-1Γϕθϕ=Γθϕϕ=maliyetθ{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} \ Gama _ {\ teta \ teta} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \ günah ^ {2 } \ teta \\\ Gama _ {r \ teta} ^ {\ teta} = \ Gama _ {\ teta r} ^ {\ teta} & = r ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {\ teta} & = - \ cos \ teta \ günah \ teta \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = r ^ {-1} \\\ Gamma _ {\ phi \ teta} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ teta \ phi} ^ {\ phi} & = \ cot \ teta \ uç {hizalı}}}Benzer şekilde, metrik tensörün sadece sabit olmayan terimi, silindir koordinatlarda olan ve elimizdeki . Metrik tensörün bir fonksiyonu olarak Christoffel sembolünün sıfır olmayan elemanları bu nedenle azdır:
gϕϕ=r2{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2}}gϕϕ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r}
Γϕϕr=-rΓrϕϕ=Γϕrϕ=1r{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} \ Gama _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = {\ frac {1} {r}} \ end {hizalanmış}}}kasılma
Robotikte kullanım
Christoffel'in sembolleri , eklemli mekanik sistemlerin rasyonel mekaniğine göre dinamik modellemesinde görünür .
Eklem değişkenleri olan böyle bir sistem düşünün .
[q1,q2,⋯,qDEĞİL]{\ displaystyle [q ^ {1}, q ^ {2}, \ cdots, q ^ {N}]}
Sistemin atalet matrisi (simetrik, pozitif tanımlı), not edilen kinetik enerjisi şöyle yazılır:
Mbenj{\ displaystyle M_ {ij} \,}
T=12Mbenjq˙benq˙j. {\ displaystyle \ matematik {T} = {\ frac {1} {2}} M_ {ij} {\ nokta {q}} ^ {i} {\ nokta {q}} ^ {j}. \}Daha sonra sistemle metrik bir Riemann konfigürasyon uzayı ilişkilendirebiliriz :
ds2=Mbenjdqbendqj.{\ displaystyle \ matematik {d} s ^ {2} = M_ {ij} \ matematik {d} q ^ {i} \ matematik {d} q ^ {j}. \,}
Aşağıdaki notasyonlarla:
-
V(q){\ görüntü stili {\ mathfrak {V}} (q)}, potansiyel enerji (yerçekimi yoğunluğu ile orantılıdır).
-
Vk(q)=∂V∂qk{\ displaystyle V_ {k} (q) = {\ frac {\ kısmi {\ mathfrak {V}}} {\ kısmi q ^ {k}}}} .
-
τk {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \, \}, aktüatörlerin kuvvetleri (buna muhafazakar olmayan sürtünmeyi ekleyebiliriz).
Ve Christoffel'in birinci türden sembollerini tanıtarak:
Γbenjk=12(∂Mjk∂qben+∂Mkben∂qj-∂Mbenj∂qk). {\ displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} \ sol ({\ frac {\ kısmi M_ {jk}} {\ kısmi q ^ {i}}} + {\ frac {\ kısmi M_ {ki}} {\ kısmi q ^ {j}}} - {\ frac {\ kısmi M_ {ij}} {\ kısmi q ^ {k}}} \ sağ). \}Hareket denklemleri, aşağıdaki formu alan Lagrange denklemleridir :
Mjk(q)q¨j+Γbenjk(q)q˙benq˙j+Vk(q)=τk. {\ displaystyle M_ {jk} (q) {\ ddot {q}} {\,} ^ {j} \, + \, \ Gama _ {ijk} (q) {\ nokta {q}} {\,} ^ {i} \! {\ dot {q}} {\,} ^ {j} + V_ {k} (q) = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \,. \}Pratikte bu denklemlerin katsayılarının cebirsel olarak hesaplanması sembolik hesaplama yazılımları ile mümkündür.
Notlar ve referanslar
-
Chen 2014 , bölüm. 2 , § 2.3 , geri . 2.1 , s. 37.
-
Fré 2018 , böl. 7 , § 7.5 , s. 210.
-
Taillet, Villain ve Febvre 2018 , sv afin bağlantısı, s. 149, sütun. 1 .
-
Hazewinkel 1988 , sv Christoffel sembolü, s. 140, sütun. 1 .
-
Springer 2012 , böl. 9 , § 9.1 , s. 109, n. 1 .
-
Christoffel 1869 .
-
Christoffel 1869 , s. 70.
-
Bir tensör olan bir tensörün kovaryant türevi, tensör olmayan kısmi türevinin ve bu tensörle çarpılan Christoffel sembollerinin toplamı olduğundan, ikincisi tensör olamaz (toplamların ve tensörlerin ürünleri tensör verir).
-
(içinde) Alessandro De Luca, Dipartimento di Ingegneria Informatica, otomatikleştirme Antonio Ruberti - DIAG (Facoltà di Ingegneria dell'informazione Informatica e Statistica Università di Roma "La Sapienza"), " Dinamik robot modeli.: Lagrange » , Robotics 2 (Erişim Tarihi: 20 Eylül 2013 ) , s. 20-22
-
André Lichnérowicz , Tensör hesabının Elemanı , Paris, Armand Colin , col. "Matematik Bölümü" ( n o 259), 4. basım, 1958 ( repr. 8. Baskı, 1967), 4. basım, revize ed. ( 1 st ed. 1950), 218 , s. , {birim, böl. 6 ("Holonomik sistemlerin dinamiği. A-Zamandan bağımsız bağlantılar"), s. 133-148
-
Dikkat, i, j, k endekslerinin yazılma sıralarında farklılıklar vardır.
-
klasik Öğle, bakın örneğin: (in) Scott Robert Ploen , Dynamics ve Kontrol Çoklu Kütle Sistemleri için geometrik Algoritmalar , Irvine, Kaliforniya Press Üniversitesi ,1997, 158 s. , {birim ( çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuma ) , böl. 3 (“Açık Zincirli Çok Gövdeli Sistemlerin Dinamiği - Join Space”) , s. 548-552
-
Mekaniğin vektör formülasyonuna dayalı, bu katsayıların sayısal olarak hesaplanmasını sağlayan algoritmalar da vardır.
Şuna da bakın:
bibliyografya
: Bu makale için kaynak olarak kullanılan belge.
-
[Chen 2014] (in) Bang-Yen Chen , sonlu tipin toplam ortalama eğriliği ve alt manifoldları [ "toplam ortalama eğrilik ve sonlu alt çeşitler"], Singapur, World Scientific , al. "Saf matematikte dizi" ( n o 27),Aralık 2014, 2 nci baskı. ( 1 st ed. Nisan 1984), 1 cilt. , XVIII -467 s. , 15,2 × 22,9 cm ( ISBN 978-981-4616-68-3 ve 978-981-4616-69-0 , EAN 9789814616683 , OCLC 904980109 , DOI 10.1142/9237 , SUDOC 184331854 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuyun ).
-
[Fré 2018] (tr) Pietro Giuseppe Fré , Mekan ve simetrinin kavramsal tarihi: Platon'dan üst dünyaya [“ Uzay ve simetrinin kavramsal tarihi: Platon'dan süper evrene”], Cham, Springer , coll hariç . ,Eylül 2018, 1 st ed. , 1 cilt , XVI -319 s. , hasta. ve şek. , 15.6 × 23.4 cm ( ISBN 978-3-319-98022-5 ve 978-3-030-07440-1 , EAN 9783319980225 , OCLC 1064943543 , DOI 10.1007 / 978-3-319-98023-2 , SUDOC 230542409 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuyun ). .
- Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Tensör kalkülüsüne giriş, Fizik uygulamaları , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .
-
[Springer 2012] (tr) Charles Eugene Springer , Tensör ve vektör analizi: diferansiyel geometriye uygulamalarla [“Vektör ve tensör analizi: diferansiyel geometriye uygulamalarla ”], Mineola, Dover ,Kasım 2012, 1 st ed. , 1 cilt , X- 242 s. , hasta. ve şek. , 15.2 × 22.9 cm ( ISBN 978-0-486-49801-0 , EAN 9780486498010 , OCLC 898.680.629 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuma ).
Orijinal yayın
Sözlükler ve ansiklopediler
-
[Hazewinkel 1988] (içinde) Michiel Hazewinkel ( ed. ), Matematik Ansiklopedisi : Sovyet matematik ansiklopedisinin güncellenmiş ve açıklamalı bir çevirisi [ "Matematik Ansiklopedisi: çeviri, güncellenmiş ve açıklamalı, Sovyet matematik ansiklopedisi »], T. II : C , Dordrecht, Reidel - Kluwer Academic , hors col. ,Temmuz. 1988, 1 st ed. , 1 cilt , IX -508 s. , hasta. ve şek. 30 cm ( ISBN 978-1-55608-001-2 ve 978-94-009-6002-2 , EAN 9781556080012 , OCLC 491.733.064 , bildirim BNF n O FRBNF37357904 , DOI 10.1007 / 978-94-009-6000-8 , SUDOC 075475073 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuyun ) , sv Christoffel sembolü [“Christoffel sembolü”], s. 140, sütun. 1-2.
-
[Taillet, Villain ve Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain ve Pascal Febvre , Fizik Sözlüğü , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , coll dışında . / fiziksel,Ocak 2018, 4 th Ed. ( 1 st ed. Mayıs 2008), 1 cilt. , X -956 s. , hasta. ve şek. , 17 x 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , bildirim BNF n O FRBNF45646901 , SUDOC 224.228.161 , online sunumu , online okuyun ) , sv afin bağlantısı, s. 149, sütun. 1. .
İlgili Makaleler