Hamilton mekaniği

Hamilton mekaniği bir biçimde yeniden formüle Newton mekaniği . Biçimciliği, kuantum mekaniğinin teorik gelişimini kolaylaştırdı .

Bu tarafından formüle edilmiş , William Rowan Hamilton dan 1833 yılında Lagrange denklemlerinin zaten 1788 yılında klasik mekaniğini yeniden formüle.

Hamilton kanonik denklemleri

Lagrange mekaniğinin hatırlatıcıları

Gelen Lagrange mekaniği , hareket denklemleri ile bir sistemin K serbestlik derecesi bağlıdır genelleştirilmiş koordinatlar ve karşılık gelen hız burada, . $\ sol \ {q_ {i} \ sağ \} _ {{i = 1, ..., N}}$ $\ sol \ {{\ nokta {q}} _ {i} \ sağ \} _ {{i = 1, ..., N}}$ ${\ nokta {q}} _ {i} = {\ dfrac {dq_ {i}} {dt}}$

Bu nedenle Lagrangian , bu tip değişkenleri temsil eden indekslenmiş değişkenler olan bir fonksiyon olarak resmi olarak yazılabilir . ${\ matematik {L}} (q_ {i}, {\ nokta {q}} _ {i}, t)$ $DEĞİL$

eşlenik moment

Hamilton mekaniğinde, her genelleştirilmiş hız, eşlenik moment veya genelleştirilmiş momentum olarak da adlandırılan ilişkili momentum ile değiştirilir :

p_ {i} \ \ eşdeğer \ {\ kısmi {\ matematiksel {L}} \ fazla \ kısmi {\ nokta {q}} _ {i}}

Olarak kartezyen koordinatlar ise, hareket miktarları, doğrusal anlar eşdeğerdir kutupsal koordinatlarda karşılık geldikleri açısal anlar . Genelleştirilmiş koordinatlar keyfi olarak seçildiğinde, eşlenik momentlere sezgisel bir yorum vermek artık mümkün değildir.

Hamiltoniyen

Hamilton ise Legendre dönüşümü Lagrange'ına : ${\ matematiksel {H}}$

{\ matematik {H}} \ sol (q_ {i}, p_ {i}, t \ sağ) \ = \ \ toplam _ {k} ^ {N} {\ nokta {q}} _ {k} \ p_ {k} - {\ matematiksel {L}} (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)

Bu formülün sağ tarafında hızların eşlenik momentlerin bir fonksiyonu olarak ifade edildiği varsayılmaktadır.

Genelleştirilmiş koordinatlar denklemler zaman bağımsız ise , gösterilebilir isimli toplam enerjiye eşit kendisinin toplamına eşit olduğunda, kinetik enerji ve potansiyel enerji ( ). $t$ ${\ matematiksel {H}}$ $E$ $T$ $V$ ${\ matematiksel {H}} = E = T + V$

Hamilton kanonik denklemleri

Diferansiyel biçimde, tanımın iki üyesi şu hale gelir: ${\ matematiksel {H}}$

{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{matris} \ matematik {d} {\ matematik {H}} & = & \ toplam _ {i} \ sol [\ sol ({\ kısmi {\ matematik {H}} \ fazla \ kısmi q_ {i}} \ sağ) \ matrm {d} q_ {i} + \ sol ({\ kısmi {\ matematik {H}} \ aşırı \ kısmi p_ {i}} \ sağ) \ matrm {d} p_ { i} \ sağ] + \ sol ({\ kısmi {\ matematik {H}} \ fazla \ kısmi t} \ sağ) \ matrm {d} t \\\ matematik {d} {\ matematik {H}} & = & \ toplam _ {i} \ sol [{\ nokta {q}} _ {i} \ matematik {d} p_ {i} + p_ {i} \ matematik {d} {\ nokta {q}} _ {i } - \ sol ({\ kısmi {\ matematik {L}} \ fazla \ kısmi q_ {i}} \ sağ) \ matrm {d} q_ {i} - \ sol ({\ kısmi {\ matematik {L}} \ aşırı \ kısmi {\ nokta {q}} _ {i}} \ sağ) \ matematik {d} {\ nokta {q}} _ {i} \ sağ] - \ sol ({\ kısmi {\ matematik {L }} \ üzerinde \ kısmi t} \ sağ) \ matrm {d} t \ bitiş {matris}}}

Daha önce verilen eşlenik momentlerin tanımını ve Lagrange'ın minimum eylem ilkesini çeviren Euler Lagrange denklemlerini kullanarak, Hamilton'un kanonik denklemleri olarak adlandırılan Hamilton hareket denklemleri elde edilir :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} \ = \ {\ frac {\ kısmi {\ matematik {H}}} {\ kısmi p_ {i}}} \ dörtlü; \ qquad {\ nokta {p }} _ {i} \ = \ - {\ frac {\ kısmi {\ matematik {H}}} {\ kısmi q_ {i}}} \ dörtlü; \ qquad {\ frac {\ kısmi {\ matematik {H} }} {\ kısmi t}} \ = \ {\ frac {\ matematik {d} {\ matematik {H}}} {\ matematik {d} t}} \ = \ - \ {\ frac {\ kısmi {\ matematiksel {L}}} {\ kısmi t}}}

Not: eşitlik şu şekilde gösterilmiştir: ${\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d} {\ matematik {H}}} {\ matematik {d} t}} = - \ {\ frac {\ kısmi {\ matematik {L}}} {\ kısmi t }}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d} {\ matematik {H}}} {\ matematik {d} t}} = {\ frac {\ matematik {d} (p_ {i} {\ nokta {q}) } _ {i} - {\ matematik {L}})} {\ matematik {d} t}} = p_ {i} {\ ddot {q}} _ {i} + {\ nokta {p}} _ { i} {\ nokta {q}} _ {i} - {\ frac {\ kısmi {\ matematik {L}}} {\ kısmi q_ {i}}} {\ nokta {q}} _ {i} - { \ frac {\ kısmi {\ matematik {L}}} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {i}}} {\ ddot {q}} _ {i} - {\ frac {\ kısmi {\ matematik {L}}} {\ kısmi t}} = - {\ frac {\ kısmi {\ matematik {L}}} {\ kısmi t}}}$

Son eşitlik için eşlenik momentlerin tanımı ve Euler Lagrange denklemleri kullanılır.

Hamilton denklemleri birinci mertebeden diferansiyel denklemlerdir ve bu nedenle çözülmesi ikinci mertebeden Lagrange denklemlerinden daha kolaydır. Bununla birlikte, bu denklemlere yol açan adımlar Lagrange mekaniğinin adımlarından daha karmaşıktır: genelleştirilmiş koordinatlardan ve Lagrange'dan Hamiltonian'ı hesaplamak, genelleştirilmiş hızları eşlenik momentlerin bir fonksiyonu olarak ifade etmek ve bunları Hamiltoniyenin tanımı.

Lagrange'ın yöntemi matematiksel işlemler açısından daha az ağırdır. Hamilton yaklaşımının ana avantajı, formalizminin basitliği sayesinde mekanikte teorik bir temel sağlamaktır. Örneğin, kuantum mekaniği , Hamilton mekaniğine dayalı bir formalizm kullanır.

Hamilton'ın kanonik denklemleri ile Maxwell'in denklemleri arasında da belirli bir benzerlik olduğunu not edebiliriz .

Temel örnek: bir eksen üzerindeki göreli olmayan parçacık

Bir eksen üzerinde hareket eden göreli olmayan bir kütle parçacığı olsun . Bu parçacığın konumunu bir koordinatla buluyoruz . Ayrıca parçacığın potansiyel enerjiden türetilen bir kuvvete maruz kaldığını varsayalım . Lagrange şu şekilde yazılır: $m$ $q$ $V (q)$

{\ matematik {L}} (q, {\ nokta {q}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \, m \, {\ nokta {q}} ^ {2} \ - \ V (q)

Eşlenik moment daha sonra değer:

p \ = \ {\ kısmi {\ matematik {L}} \ üzerinde \ kısmi {\ nokta {q}}} \ = \ m \, {\ nokta {q}}

olağan momentumla özdeşleşir. Bu formül tersine çevrilebilir:

{\ nokta {q}} \ = \ {\ frac {p} {m}}

Daha sonra Hamiltonian by Legendre dönüşümü elde ederiz:

{\ matematik {H}} (q, p) \ = \ {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ + \ V (q)

Kanonik denklemler daha sonra şunlara yol açar:

{\ nokta {q}} \ = \ {\ frac {\ kısmi {\ matematik {H}}} {\ kısmi p}} \ = \ {\ frac {p} {m}}

ve Newton'un dinamiği denklemine:

{\ dot {p}} \ = \ - \ {\ frac {\ kısmi {\ matematik {H}}} {\ kısmi q}} \ dörtlü \ Longrightarrow \ dörtlü m \, {\ ddot {q}} \ = \ - \ {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi q}}

Alan teorisine uygulanan Hamiltonyen

Faz boşluğu

Öklid uzayında dinamik

Şu anda aşağıdaki şekilde tanımlanan serbestlik derecelerine sahip bir sistemi ele alalım : $DEĞİL$ $t$

genelleştirilmiş koordinatlar , . Bu koordinatları bir vektörünün bileşenleri olarak görebiliriz . $DEĞİL$ $q_ {i} (t) \ içinde {\ mathbb {R}}$ $(i = 1, \ nokta, N)$ ${\ matematik bb {R}} ^ {N}$

Kombine kere , . Bu koordinatları başka bir vektörün bileşenleri olarak da görebiliriz . $DEĞİL$ $p_ {i} (t) \ {\ mathbb {R}} içinde$ $(i = 1, \ nokta, N)$ ${\ matematik bb {R}} ^ {N}$

Her an, koordinatlar , bir noktayı tanımlar içinde faz alanı içinde boyutları. $2N$ $(q_ {i} (t), p_ {i} (t))$ $x (t)$ $\ Gama = {\ mathbb {R}} ^ {N} \ kere {\ mathbb {R}} ^ {N} = {\ mathbb {R}} ^ {{2N}}$ $2N$

Diferansiyel manifold üzerinde dinamik

Genelleştirilmiş koordinatları , boyutları olan bir diferansiyel manifold üzerindeki bir noktanın konumunu belirleyen serbestlik dereceli bir sistem düşünün . Konjügat an sonra cotangent alan bir elemandır yönünde . $DEĞİL$ $DEĞİL$ $q_ {i} (t)$ $p$ $M$ $DEĞİL$ $p_ {j} (t)$ $T_ {p} ^ {{\ yıldız}} M$ $j$

Her bir anda, koordinatlar , bu durumda bir nokta tanımlayan içinde faz alanı ile tanımlanır elyaf alanı için cotangent 2N boyutları. Bu faz uzayı, doğal olarak aşağıdakiler tarafından tanımlanan simplektik form ile sağlanır : $2N$ $(q_ {i} (t), p_ {j} (t))$ $x (t)$ $\ Gama = T ^ {{\ yıldız}} M$ $\ omega \,$

\ omega = \ toplam _ {i} {{\ rm {d}}} q_ {i} \ kama {{\ rm {d}}} p_ {i}

Hamilton akışı

Bir başlangıç koşulundan kanonik Hamilton denklemlerine göre sistemin dinamik evrimi , Hamiltonian akışını , yani aşağıdaki gibi bir parametreye sahip sürekli grubu oluşturur : ${\ displaystyle x_ {0} = (q_ {i0}, p_ {j0})}$ $\ phi _ {t}: \ Gama \ ila \ Gama$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

Faz uzayındaki konumların ardışıklığı, yörünge adı verilen sürekli bir eğri ile sonuçlanır . $x (t)$

Liouville teoremi

Hamilton akışı muhafaza ölçü arasında Liouville faz alanı. Bu olduğunda Öklid bu değişmez ölçü akışı altında basitçe Lebesgue ölçümü ile : ${\ mathbb {R}} ^ {{2N}}$

{\ displaystyle \ matrm {d} \ mu _ {L} \ = \ \ prod _ {k = 1} ^ {N} \ matrm {d} q_ {k} \, \ matrm {d} p_ {k}}

Bu teoremin ispatı, faz uzayındaki "hız"ın diverjansının sıfır olduğu gerçeğine dayanmaktadır:

{\ matematik {div}} \ {\ vec {v}} \ = \ \ toplam _ {{k = 1}} ^ {N} \ sol [\ {\ frac {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {k}} {\ kısmi q_ {k}}} \ + \ {\ frac {\ kısmi {\ nokta {p}} _ {k}} {\ kısmi p_ {k}}} \ \ sağ] \ = \ 0

sonuçlandırmak için kanonik denklemleri kullandığımız yer. Başka bir deyişle, faz uzayındaki “Hamilton sıvısı” sıkıştırılamaz.

Sabit enerji hiper yüzeyi

Zaman içinde ötelenerek değişmez bir Hamilton sistemi her zaman enerjinin korunumunu sağlar:

\ forall \ t, \ dörtlü {\ matematiksel {H}} (q_ {i} (t), p_ {i} (t)) \ = \ E

böylece dinamikleri her zaman hiperyüzey sınırlandırılmıştır olarak boyutları. Bu durumda, faz uzayındaki akış altında Liouville ölçüm değişmezi, sabit enerjinin hiper yüzeyinde akış altında, aşağıdaki şekilde tanımlanan değişmez bir ölçümü indükler: $\ scriptstyle S_ {E} \ altküme \ Gama$ $2N-1$

{\ matematik d} \ mu _ {S} \ = \ {\ frac {{\ matematik d} \ Sigma} {\ | {\ matematik {derece}} \ H \ |}}

faz uzayındaki metrik tarafından indüklenen hiper yüzey üzerindeki ölçüm nerede . ${\ matematik d} \ Sigma$ ${\ görüntü stili \ komut dosyası stili S}$

Entegre sistem

Buna ek olarak enerjiden bağımsız başka hareket sabitleri de olabilir. Üzerinden tanımlanan bir öteleme değişmez sistemi zaman zaman alır bağımsız hareket sabitleri, olduğu söylenir entegre edilebilir . Dinamikleri o zaman özellikle basittir. ${{\ mathbb R}} ^ {{2N}}$ $DEĞİL$

İlgili Makaleler

bibliyografya

Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 1: Mekanik [ baskıların ayrıntıları ]

(in) Tom Kibble ve FH Berkshire, Klasik Mekanik , Prentice Hall ( 4 th edition, 1997) ( ISBN 0-582-25972-X ) .Newton temellerinden Lagrange ve Hamilton'un daha gelişmiş formalizmlerine kadar mekanikte dikkate değer bir giriş dersi. Kibble, Imperial College London'da Teorik Fizik Fahri Profesörüdür . Bunun için 4 th (ortak yazar ile) baskısında, kaos teorisinin fikirlere iki giriş kaos dahil edilmiştir. Seviye: ilk üniversite döneminden itibaren. (Dunod tarafından yayınlanan önceki baskının Fransızca çevirisi vardı.)

(in) Herbert Goldstein , Charles P. Poole ve John L. SAFKO, Klasik mekaniği (in) , Addison-Wesley ( 3 th edition, 2001).Bu kitap, mekaniğin modern teorik yönleri - Lagrange ve Hamilton formülasyonları - hakkında bir referanstır. İşbirliğiyle hazırlanan bu üçüncü baskı, kaos teorisindeki son gelişmelere ilişkin bir bölümle tamamlanmıştır . Üç cisim problemine ayrılan Bölüm 3 de kısmen revize edilmiştir. Yüksek lisans üniversite seviyesi. (Bir önceki baskının Fransızca çevirisi vardı.)

(in) Vladimir Arnold , klasik mekaniğin Matematiksel yöntemleri , Springer Verlag ( 2 inci baskı, 1989).Öğretmenlik lider bir Rus matematikçi tarafından - Matematiksel açıdan modern formülasyonları içinde (özellikle geometrik) teorisi - Lagrange ve Hamilton XXI inci de yüzyılın Paris-Dauphine Üniversitesi'nde . Seviye: ikinci üniversite döngüsü.

(in) , Ralph Abraham ve Jerrold Marsden , mekanik Temel Benjamin / Cummings Publishing Company, ( 2 inci baskı, 1978).Mekaniğin "à la Bourbaki " titiz bir aksiyomatik açıklamasını sunan bir kitap . Asgari yüksek lisans üniversite seviyesi.

(in) Walter Thirring (in) , klasik matematiksel fizik - Dinamik sistemler ve alan teorisi , Springer-Verlag ( 3 inci baskı, 1997).Bu kitabın ilk yarısı , Viyana Üniversitesi'nden bir matematiksel fizikçi tarafından mekaniğin titiz bir sunumudur . Seviye: ikinci üniversite döngüsü.