Modülerlik teoremi (daha önce adı Taniyama-Weil varsayım veya Shimura Taniyama-Weil varsayım veya Shimura Taniyama varsayım ) bildiren herhangi için eliptik eğri ℚ üzerinde, bir vardır modüler formu uygunluk M'nin bir alt grup için ağırlıkça 2 0 ( N ), eliptik eğri ile aynı L fonksiyonuna sahiptir .
Fermat'ın son teoremini çıkarmak için yeterli olan bu sonucun çoğu Andrew Wiles tarafından gösterilmiştir . Tekniklerinden yararlanarak, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond ve Richard Taylor , 1999'da kalan vakaları tedavi etti.
Bu teorem, Robert Langlands tarafından örüntüleri ve otomorfik gösterimleri birbirine bağlayan çok özel bir varsayım durumudur .
Eliptik eğri (bir afin parçası) E ℚ (tanımlı alan bir rasyonel sayı ) tip bir denklem ile verilmektedir
katsayıların tam sayı olduğu. Bu kadar minimal bir denklem seçebiliriz (yani ayırıcı minimumdur).
Eğer p bir asal sayı ise , modulo p'yi E'yi tanımlayan bu minimum denklemin katsayılarını indirgeyebiliriz ; sonlu bir sayı dışındaki tüm p değerleri için , indirgenmiş denklem sonlu F p alanı üzerinde eliptik bir eğri tanımlar . İndirgenmiş denklemin n p çözümü vardır. O zaman sonucun , eliptik eğri E'nin önemli bir değişmezi olan p = p - n p olduğunu düşünebiliriz .
Dahası, modüler bir form da bir dizi katsayıya yol açar. Sekansı, bu şekilde bir eliptik eğri bir p modüler formundan elde edilen kabul eder adlandırılır modüler . Modülerlik teoremi şunu öngörür:
"ℚ üzerindeki tüm eliptik eğriler modülerdir . "Zayıf bir versiyon Yutaka Taniyama tarafından dile getirildi .Eylül 1955, Tokyo'daki bir konferanstaki sorunlu bir oturum sırasında : Mellin dönüşümü eliptik eğrinin Hasse-Weil L fonksiyonunu verecek bir şekil bulmanın mümkün olup olmadığını sordu . Bir dizi makalede, her modüler form için inşa edilen Gorō Shimura , iyi özelliklere (özellikle ağırlık 2 ve rasyonel katsayılarla) yeterli bir eliptik eğri verdi, yani "Eliptik" ve "modüler" arasındaki sözlüğün yarısını oluşturdu. Taniyama 1958'de intihar etti.
Bu varsayım, 1960'larda André Weil tarafından modülerliğin Hasse-Weil L işlevlerindeki basit özelliklerden kaynaklanacağını gösterdiğinde yeniden formüle edildi . Bu formülasyon, varsayımı daha inandırıcı hale getirdi ve Weil'in adı onunla uzun bir süre, bazen de yalnızca özel olarak ilişkilendirildi. Ayrıca Langlands programında önemli bir bileşen haline geldi .
1960'larda Yves Hellegouarch , Fermat'ın son teoremine karşı örneklerle ilişkili eliptik eğrilerin özelliklerini inceledi . 1980'lerde Gerhard Frey tarafından kurtarma ve Jean-Pierre Serre tarafından (içinde) belirtilen bu fikir, Ken Ribet'in "Hellegouarch-Frey'in" bu eğrileri için Shimura-Taniyama-Weil'in Fermat'ın Son Teoremini ifade ettiğini göstermesine izin verdi . 1994'te Andrew Wiles , eski öğrencisi Richard Taylor'ın yardımıyla , Fermat'ın son teoreminin ispatı için yeterli olan özel bir varsayım durumu ( yarı kararlı eliptik eğriler durumu ) gösterdi.
Tüm varsayım nihayet 1999'da Breuil, Conrad, Diamond ve Taylor tarafından Wiles'ın fikirlerine dayanarak gösterildi.
Bundan Fermat'ın son teoremine uygun olarak belirli sayıda sonuç çıkarılabilir. Örneğin: "hiçbir küp, n ≥ 3 ile birbirine asal olan iki n'inci gücün toplamı değildir ".
İçinde Mart 1996Wiles, Wolf Ödülü'nü Robert Langlands ile paylaştı . Her ikisi de tam bir varsayımı göstermese de, gösterilmesine yol açan temel sonuçları belirledikleri kabul edildi.
La Serre varsayım (in) kendisi Fermat'ın Son Teoremi üzerine Shimura-Taniyama-Weil (doğrudan) yol açacağını göstermişti "düzeyinde 1", tarafından 2005 yılında gösterilmiştir Chandrashekhar Khare ve Jean-Pierre Wintenberger Wiles çalışmalarına dayalı . Genel durumu 2008'de gösterdiler.