Z dönüşümü

Dönüşümü asyon , Z için matematiksel olarak otomatik ve sinyal işleme eşdeğerdir, ayrık bir Laplace dönüşümü . Gerçek zamanlı bir etki alanı sinyalini karmaşık bir seri tarafından temsil edilen ve transform ed Z olarak adlandırılan bir sinyale dönüştürür .

Diğer şeylerin yanı sıra , sonsuz darbe yanıtlı dijital filtrelerin hesaplanmasında ve otomatik modda dinamik sistemleri ayrı bir şekilde modellemek için kullanılır .

Tanım

Matematiksel tanımı şu şekildedir: Z'deki dönüşüm, bir s dizisini (tamsayılar üzerinde tanımlanmış) z adlı karmaşık bir değişkenin S fonksiyonuna dönüştüren bir uygulamadır , öyle ki

S(z)=Z{s(değil)}=∑değil=-∞+∞s(değil)z-değil,z∈{z∈VS|∑değil=-∞+∞s(değil)z-değilvsÖdeğilverge}{\ displaystyle S (z) = {\ matematiksel {Z}} \ {s (n) \} = \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ dörtlü z \ in \ sol \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Büyük |} \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ dörtlü \ matematik {yakınsama} \ sağ \ rbrace}

n değişkeni genellikle ayrıklaştırılmış zamanı temsil eder , karmaşık değişken z sadece matematiksel bir varlıktır. s ( n ) üzerinde çalıştığımızda zaman alanında olduğumuzu söyleriz, S ( z ) üzerinde çalıştığımızda alan Fourier dönüşümüne benzer şekilde frekans olarak adlandırılır .

Evet , nedensel bir sinyalden bahsediyoruz. Tersine, evet , nedensel olmayan bir sinyalden bahsediyoruz. ∀değil<0, s(değil)=0{\ displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀değil>0, s(değil)=0{\ displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Nedensel sinyaller için tek taraflı Z dönüşümünü de kullanabiliriz  :

Z+{s(değil)}=∑değil=0+∞s(değil)z-değil{\ displaystyle {\ matematik {Z}} _ {+} \ sol \ {s \ sol (n \ sağ) \ sağ \} = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ sol (n \ sağ) z ^ {- n}}

Z'deki dönüşümün varlığı

Yakınsama alanı , serilerin yakınsadığı alt kümedir . Başka bir deyişle, diziye dönüşümün yakınsama alanı şu kümedir: VS{\ displaystyle \ matematik {C}}
z{\ görüntü stili z}(x(değil))değil∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑değil=-∞∞x(değil)z-değilexbenste}{\ displaystyle \ sol \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Büyük |} \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ dörtlü \ matrm { var} \ sağ \}}

Alt kümesi olan bu dizi kesinlikle birleşir denir yakınlaşma taç . Poz vererek geliyor:VS{\ displaystyle \ matematik {C}}z=ρebenθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ teta} ~}

|S(z)|=|∑değil=-∞∞x(değil)z-değil|⩽∑değil=-∞∞|x(değil)|ρ-değil=limDEĞİL,M→∞SDEĞİL,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ sol | \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ sağ | \ leqslant \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sol | x (n) \ sağ | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ sol (\ rho \ sağ),} ile SDEĞİL,M(ρ)=∑değil=-DEĞİLM|x(değil)|ρ-değil.{\ displaystyle S_ {N, M} \ sol (\ rho \ sağ) = \ toplam _ {n = -N} ^ {M} \ sol \ vert x (n) \ sağ \ dikey \ rho ^ {- n} .}

Mutlak yakınsaklık alanı bu nedenle bir taçtır S(z){\ görüntü stili S (z)}

VSvs={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ sol \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ sağ \ vert \ prec \ rho _ {2} \ sağ \}}

nerede her zaman anlamına gelir veya ve eşitsizliğin (geniş veya katı) (nis. ) gerekli ve yeterli koşul olduğu , böylece (nis. ) yönünde eğilim gösterdiğinde sonlu bir sınırı vardır . açıkça, ≺{\ görüntü stili \ önc}<{\ görüntü stili <}≤{\ görüntü stili \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ sol \ vert z \ sağ \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ sol \ vert z \ sağ \ vert \ prec \ rho _ {2}}SDEĞİL,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ sol (\ rho \ sağ)}M{\ görüntü stili M}DEĞİL{\ görüntü stiliN}+∞{\ displaystyle + \ elli}

ρ1=limit supdeğil→+∞|x(değil)|değil,ρ2=limit bilgisideğil→+∞1|x(-değil)|değil.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ sağ ok + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ sol \ dikey x (n) \ sağ \ dikey}}, \ dörtlü \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ sağ ok + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ sol \ vert x (-n) \ sağ \ dikey}}}.}

Makalenin geri kalanında yakınsama tepesinin boş olmadığı varsayılır ve Z'deki dönüşümler sadece için geçerlidir. VSvs{\ görüntü stili {\ matematik {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs{\ displaystyle z \ {\ matematik {C}} _ ​​{c}}

Z dönüşüm özellikleri

Aşağıda listelenen özellikleri gösteriyoruz:

doğrusallık

İki sinyalin doğrusal kombinasyonunun Z dönüşümü, her sinyalin Z dönüşümlerinin doğrusal kombinasyonudur.

Z{de1x1(değil)+de2x2(değil)}=de1Z{x1(değil)}+de2Z{x2(değil)} {\ displaystyle {\ matematik {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ matematik {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ matematiksel {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Vardiya

Bir sinyalin k örneğinin zaman kayması, sinyalin Z dönüşümünün z -k ile çarpılmasıyla sonuçlanır .

Z{x(değil-k)}=z-kZ{x(değil)}. {\ displaystyle {\ matematik {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ matematik {Z}} \ {x (n) \}. ~}ileri

Tek taraflı Z dönüşümünü kullandığımızda (yukarıya bakın),

Z+{x(değil+k)}=zk[Z+{x(değil)}-∑j=0k-1x(j)z-j]{\ displaystyle {\ matematik {Z}} _ {+} \ sol \ {x \ sol (n + k \ sağ) \ sağ \} = z ^ {k} \ sol [{\ matematik {Z}} _ { +} \ sol \ {x \ sol (n \ sağ) \ sağ \} - \ toplam _ {j = 0} ^ {k-1} x \ sol (j \ sağ) z ^ {- j} \ sağ] }evrişim

Bir evrişim ürününün Z dönüşümü, Z dönüşümlerinin ürünüdür.

Z{x∗y}=Z{x}Z{y} {\ görüntü stili {\ matematik {Z}} \ {x * y \} = {\ matematik {Z}} \ {x \} {\ matematik {Z}} \ {y \} \}

nerede . (x∗y)(değil)=∑k=-∞+∞x(değil-k)y(k){\ displaystyle \ sol (x * y \ sağ) \ sol (n \ sağ) = \ toplam _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sol (nk \ sağ) y \ sol (k \ sağ)}

Aslında,

Z({x∗y})(z)=∑değil=-∞+∞{x⋆y}(değil)z-değil=∑değil=-∞+∞∑k=-∞+∞x(değil-k)y(k)z-(değil-k)z-k=∑m=-∞+∞∑k=-∞+∞x(m)y(k)z-mz-k=(∑m=-∞+∞x(m)z-m)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ displaystyle {\ başlangıç ​​{dizi} {rcl} Z \ sol (\ sol \ {x * y \ sağ \} \ sağ) \ sol (z \ sağ) & = & \ toplam \ sınırlar _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sol \ {x \ yıldız y \ sağ \} \ sol (n \ sağ) z ^ {- n} \\ & = & \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ toplam \ limitler _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sol (nk \ sağ) y \ sol (k \ sağ) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ toplam \ limitler _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ toplam \ limitler _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sol (m \ sağ) y \ sol (k \ sağ) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & \ sol (\ toplam \ limitler _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sol (m \ sağ) z ^ {- m} \ sağ) \ sol (\ toplam \ limitler _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ sol (k \ sağ) z ^ {- k } \ sağ) \ bitiş {dizi}}}Üstel ile çarpma Z{dedeğilx(değil)}=X(zde){\ displaystyle {\ matematik {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ sol ({\ frac {z} {a}} \ sağ)}aşağıdakilerden Z'de dönüşüm ileX(z){\ görüntü stili X (z)}x(değil){\ görüntü stili x (n)} Evrim değişkeni ile çarpma

Genel olarak:

Z{değilkx(değil)}=(-zddz)kZ{x(değil)} {\ displaystyle {\ matematik {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ sol (-z {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} z}} \ sağ) ) ^ {k} {\ matematiksel {Z}} \ {x (n) \} \}

nerede biz k defa uygulandığını araçlarının operatörü(-zddz)kZ{x(değil)}{\ displaystyle \ textstyle \ sol (-z {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} z}} \ sağ) ^ {k} {\ matematik {Z}} \ {x (n) \ }}Z{x(değil)}{\ görüntü stili {\ matematiksel {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} z}}}

Bu formülü k = 1 sırasına yazarsak, türetme formülünü elde ederiz  :

Z{değilx(değil)}=-zddzX(z) {\ displaystyle {\ matematik {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} z}} X (z) \}

İlk değer teoremi

Izin bir nedensel sinyali ve sonra Z. dönüşümü onun: x(değil){\ görüntü stili x (n) \,}X(z){\ görüntü stili X (z) \,}

x(0)=limdeğil→0x(değil)=limz→+∞X(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ ila 0} x (n) = \ lim _ {z \ ila + \ infty} X (z)}

Nihai değer teoremi

Nedensel bir sinyal ve bunun Z'deki dönüşümünü düşünün . O zaman sol sınır olduğunda şunu yazabiliriz: x(değil){\ görüntü stili x (n) \,}X(z){\ görüntü stili X (z) \,}

limdeğil→+∞x(değil)=limz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ sağ ok 1, \ sol \ vert z \ sağ \ vert> 1} (z-1) X (z)} gösteri

Başlangıç değeri teoremi açık bir kanıt vardır: ayarlamak için yeterli ve yerine y ile 0 ifadesinde . y=z-1{\ görüntü stili y = z ^ {- 1}}X(y-1){\ displaystyle X (y ^ {- 1})}

Nihai değer teoremi için, not gerçeği vardır sekansı anlamına gelir sınırlı ve bu nedenle yakınsama yani arasında az Biz 1'e eşit ya da daha limdeğil→+∞x(değil){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(x(değil)){\ görüntü stili (x (n))}ρ1{\ görüntü stili \ _ {1}}X(z){\ görüntü stili X (z)}

(z-1)X(z)=limdeğil→∞Sdeğil(z){\ displaystyle (z-1) X \ sol (z \ sağ) = \ lim \ limitler _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ sol (z \ sağ)}

ile

Sdeğil(z)=x(0)z+∑ben=1değil(x(ben)-x(ben-1))z-ben{\ displaystyle S_ {n} \ sol (z \ sağ) = x (0) z + \ toplam \ limitler _ {i = 1} ^ {n} \ sol (x (i) -x (i-1) \ sağ ) z ^ {- i}}

ve bu işlev dizisi açıkta düzgün bir şekilde yakınsaktır . Nokta 1 , U'nun yapışmasına aittir ve for , 'ye yakınsar . "Çift limit teoremi"ne göre, bu nedenle, sen={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ sol \ {z \ in \ mathbb {C}: \ sol \ vert z \ sağ \ vert> 1 \ sağ \}}z→1{\ displaystyle z \ sağ ok 1}Sdeğil(z){\ displaystyle S_ {n} \ sol (z \ sağ)}x(değil){\ görüntü stili x (n)}

limz→1,|z|>1limdeğil→∞Sdeğil(z)=limdeğil→∞(limz→1,|z|>1Sdeğil(z))=limdeğil→∞x(değil).{\ displaystyle \ lim \ limitler _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limitler _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ sol (z \ sağ) = \ lim \ limitler _ {n \ rightarrow \ infty} \ sol (\ lim \ limitler _ {z \ rightarrow 1, \ sol \ vert z \ sağ \ vert> 1} S_ {n} \ sol (z \ sağ) \ sağ) = \ lim \ limitler _ {n \ rightarrow \ infty} x \ sol (n \ sağ).}

Ters Z dönüşümü

Ters Z dönüşümü şu şekilde verilir:

x(değil)=Z-1{X(z)}=12πben∮VSX(z)zdeğil-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ matematiksel {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ matematik {d} z \}

burada saat yönünün tersine hareket eden ve tamamen yakınsama alanına ait olan kapalı bir yol. VS{\ görüntü stili C}

Pratikte, bu hesaplama genellikle kalıntı teoremi kullanılarak yapılır ve nedensel bir sinyal durumunda formül şöyle olur:

x(değil)=∑zk=pÖ^benesdezdeğil-1X(z)Res⁡{zdeğil-1X(z)}z=zk{\ displaystyle x (n) = \ toplam _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ operatöradı {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Diğer tersine çevirme yöntemleri Diğer inversiyon yöntemleri gitmek için için şunlardır: zamanki dönüşümlerinin tablodan geriye okuyarak; lineer kombinasyonların, evrişim çarpımının kurallarının uygulanması. Çaresizlik içinde her zaman z k +1 sayısal değerler vererek ve k + 1 lineer denklemler sisteminin k'ye çözümleri olan x (0) ila x (k) katsayılarını arayarak tanımlama yaparak ilerlemeye çalışılabilir. + 1 bilinmeyen. Veya tersine çevrilecek fonksiyonun Taylor veya Maclaurin açılımını bulmaya çalışın. Fonksiyonu olduğunda özel bir uygun durum ortaya çıkar a, rasyonel fraksiyon . Aslında:, P ve Q, 1 / z'de iki polinom olduğunda, bölme istenen hassasiyet derecesine kadar yapılabilir ve katsayıların sayısal değerleri doğrudan elde edilir , n 0 ile m arasında değişir. Bu durumda, gösterim bu durumda daha çok benimsenir . Bunun nedeni, ayrık veya örneklenmiş sistemler için transfer fonksiyonunun h (n) olarak yazılması ve Z'deki dönüşümünün genellikle bir çıktı (z cinsinden) ve bir girdi (z cinsinden) arasındaki bu bölüm biçiminde sunulmasıdır . Bu yaklaşımı göstermek için somut bir örnek:X(z){\ görüntü stili X (z)}x(değil){\ görüntü stili x (n)} X(z){\ görüntü stili X (z)}X(z)=P(z)S(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}x(değil){\ görüntü stili x (n)}H(z)=DEĞİLsenM(z)/DEDEĞİLÖM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=DEĞİLsenM(z)/DEDEĞİLÖM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Polinomların z cinsinden bölümü, sayısal yaklaşım.

Dikkat, bu yöntem tamamen sayısaldır, ters serinin analitik ifadesini sağlamaz. Bu örnekte H(z), iki polinomun 1/z'deki oranıdır. Pay, 2 ile çarpmaya benziyor, payda 1 nokta kaydırılıyor, ancak 2 / z'ye eşit mükemmel bir bölümden kaçınmak için biraz yanlış sayısal değerler seçiyoruz.

• Pay, 11'in kuvvetine göre, formun bir ifadesidir: DEĞİLsenM(z)=değilsenm0+değilsenm1(1/z)1+değilsenm2(1/z)2+⋯+değilsenm11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} DEĞİLsenM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2.3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4.22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8.21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10.2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12.2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12.22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12.4 \ cdot (1 / z ) ^ {10} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• Payda, 10'un kuvveti: DEDEĞİLÖM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1.1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2.1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3.1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 ,1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6.1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Burada polinomların bölünmesi "doğru düşmez", formun Q(z) bölümünün 10'un kuvvetine kadar bir yaklaşımıyla yetiniyoruz :
  ∑değil≥0qdeğil(1/z)değil{\ displaystyle \ toplam _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

S(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ {matrix} Q (z) & = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0.176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1 / z ) ^ {10}. \ Son {matris}}}

• Bu tamamlanmamış bölümün kalan R(z)'si:

$(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{matris} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0.011071 \ cdot ( 1 / z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0.478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0.098602 (1 / z) ^ {20 }. \ bitiş {matris}}}

Bu polinomların Öklid bölümü tanımına uyup uymadığını bir elektronik tablo veya elle kontrol edebiliriz : H (z) = NUM ​​​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM ( z) . Kalanın, bölümün katsayılarına kıyasla ihmal edilebilir olduğunu varsayıyoruz. Bu çeşitli polinomların diyagramları bir elektronik tablo üzerinde aşağıdaki gibi görselleştirilebilir.

Meraktan dolayı, H (z)'nin Q(z) yaklaşımının dürtü yanıtını gösterebiliriz . Benzer şekilde, Q(z)'nin bir Heaviside adımına indeks yanıtını gösterebiliriz .

H(z)'nin, formun Q(z) bölümü tarafından daha az kesin bir yaklaşımıyla tatmin olsaydık

∑değil≥0qdeğil(1/z)değil{\ displaystyle \ toplam _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} örneğin 5'in kuvvetine kadar: S(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} çok daha az kesin olan biraz farklı tepki eğrileri elde ederiz (kesinlik yaklaşık olarak 6 kat daha fazladır). Yaklaşım derecesinin seçimi, diğer bir deyişle, hesaplamaların kesinliği ve ağırlığı arasındaki en iyi uzlaşma, uğraştığımız spesifik problemin somut incelemesi tarafından belirlenir.   X (z) katsayılarının yaklaşık olarak tanımlanmasıyla işlem. den ' ye gitmek için , eğer hiçbir yöntem yol açmıyorsa, çaresizlik içinde her zaman z k + 1 sayısal değerler vererek ve çözüm olan x (0) ila x (k) katsayılarını arayarak tanımlama yaparak ilerlemeye çalışabiliriz. k + 1 bilinmeyenli bir k + 1 lineer denklem sistemi. Misal:X(z){\ görüntü stili X (z)}x(değil){\ görüntü stili x (n)}   Rasyonel kesirlerin kullanımı, Fibonacci dizisinin transfer fonksiyonuna örnek.

Fibonacci dizisi üreten dizisi olan ∑değil∈DEĞİLFdeğilXdeğil=X1-X-X2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ matematik {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} yani Z'deki dönüşümü

F(z)=zz2-z-1{\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Binet formülünü bulmak için ters dönüşüm yapalım. Rasyonel kesirler yöntemi denenebilir. Paydanın iki kutbu vardır ve bunlar altın sayısıdır  : ve karşıtının tersi: . Aşağıda karşılaşılan hesaplamalar için aşağıdaki ve  : özelliklerini kullanacağız ve z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ görüntü stili z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ 2 üzeri}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ 2 üzeri}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ görüntü stili z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ görüntü stili (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

İşlev, biraz yeniden yazdığımız temel rasyonel kesirlere ayrılır:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ sol ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ sol (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ sağ)}.

Türün bir kısmı aşağıdaki gibi işlenebilir: 1/(z-z0){\ displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

İlk kısım olağan üstel formülün dönüşümüdür , ikinci kısım 1 / z bir çentikteki saf gecikmedir. Böylece bu temel kesrin ters dönüşümü , lineer kombinasyon kurallarını uygulayarak aranan diziyi hesaplıyoruz: z0değil{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0değil-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fdeğil=15(z0⋅z0değil-1-z1⋅z1değil-1)=15(z0değil-z1değil).{\ displaystyle {\ matematik {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ sol (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ sol (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ sağ).}  

Diğer dönüşümlerle ilişki

Laplace dönüşümü

Teoremi  -  Let olmak x (bir fonksiyonu olarak bir dağılım gösteren, üzerine birlikte), bir sinyal bir belirsiz türevlenebilir fonksiyonu olduğu varsayılır, ve

Δ(t)=∑değil=-∞∞δ(t-değilT){\ displaystyle \ Delta \ sol (t \ sağ) = \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ sol (t-nT \ sağ)}

Dirac tarağı ( ılıman dağılımlar alanına aittir ). ile tanımlanan örneklenmiş sinyal , şu şekilde yazılabilen bir dağılımdır. S′{\ displaystyle {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}xe=xΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

xe(t)=∑değil=-∞∞x(değilT)δ(t-değilT)=∑değil=-∞∞x[değil]δ(t-değilT){\ displaystyle x_ {e} \ sol (t \ sağ) = \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol (nT \ sağ) \ delta \ sol (t-nT \ sağ ) = \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol [n \ sağ] \ delta \ sol (t-nT \ sağ)}.

Karşılık , genel terim dizisinin Z dönüşümünün yakınsama tepesi üzerindeki örneklenmiş sinyalin (bu boş olmayan yakınsama bandı varsayılarak) Laplace dönüşümünün yakınsama bandının bir tahminidir ve elimizde p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapto z = e ^ {pT}} Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ görüntü stili x_ {e}}X(z){\ görüntü stili X (z)}x[değil]{\ görüntü stili x [n]}

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} \ sol (p \ sağ) = X \ sol (z \ sağ) \ sol \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ sağ.}. gösteri

Ya yakınsama bandına ait . O zaman (yeni bir yazı kötüye kullanımı ile) Fourier dönüşümüne ait ve tanım gereği burada belirtilir . Azalan fonksiyonların ( ikisi olan) Schwartz uzayı nerede olsun . Elimizde (hala uygunsuz yazılı olarak) p=α+benω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-αtxe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S′{\ displaystyle {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}Xe(p)=F(e-αtxe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ sol (p \ sağ) = {\ matematik {F}} \ sol (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ sol (t \ sağ) \ sağ) \ sol ( \ omega \ sağ)}F{\ görüntü stili {\ matematik {F}}}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ {\ matematik {S}}}S{\ görüntü stili {\ matematik {S}}}S′{\ displaystyle {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}

⟨Xe(α+benω),φ(ω)⟩=⟨xe(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑değil=-∞∞δ(t-değilT)x(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑değil=-∞∞x(değilT)e-değilαTδ(t-değilT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑değil=-∞∞x(değilT)e-değilαT(Fδ(t-değilT)),φ(ω)⟩=⟨∑değil=-∞∞x(değilT)e-değilαTe-benωdeğilT,φ(ω)⟩=⟨∑değil=-∞∞x(değilT)e-değil(α+benω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} \ sol \ langle X_ {e} \ sol (\ alpha + i \ omega \ sağ), \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ rangle & = \ sol \ langle x_ {e} \ sol (t \ sağ) e ^ {- \ alpha t}, ({\ matematik {F}} \ varphi) \ sol (t \ sağ) \ sağ \ aralık \\ & = \ sol \ langle \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ sol (t-nT \ sağ) x \ sol (t \ sağ) e ^ {- \ alpha t}, ({\ matematik { F}} \ varphi) \ sol (t \ sağ) \ sağ \ aralık \\ & = \ sol \ langle \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol (nT \ sağ) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ sol (t-nT \ sağ), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ sol (t \ sağ) \ sağ \ rangle \\ & = \ sol \ açı \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol (nT \ sağ) e ^ {- n \ alpha T} ({\ matematik {F}} \ delta \ sol (t- nT \ sağ)), \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ aralık \\ & = \ sol \ langle \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol (nT \ sağ) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ aralık \\ & = \ sol \ langle \ toplam \ limitler _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ sol (nT \ sağ) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ rangle \ bitiş {hizalanmış}}}

Sonuç olarak

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ sol (z \ sağ) \ sol \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ sağ.}.

Yukarıdaki eşitlikler geçerlidir, çünkü dualitenin her kancasında solda temperli bir dağılım ve sağda azalan bir fonksiyona sahibiz; Bu nedenle, ikame yakınsama bandı gönderir ve örneklenen sinyalin yakınsama halkaya ait . p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapto z = e ^ {pT}}Bvs{\ görüntü stili {\ matematik {B}} _ {c}}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ görüntü stili x_ {e}}VSvs{\ görüntü stili {\ matematik {C}} _ ​​{c}}X(z){\ görüntü stili X (z)}

Karşılıklı olarak, genel terimlerin sırası olsun  ; ayarlayalım ve . Karmaşık sayı ait genel terimlerin dizisi halinde ve yalnızca alana ait “yavaş büyüyen sekansları” (yani dizilerin arasında bir olan bir tam sayı vardır gibi için ., Fourier, böyle bir devamı dönüşümüdür - periyodik dağılımx[değil]{\ displaystyle x \ sol [n \ sağ]}xα[değil]=x[değil]e-αdeğilT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ sol [n \ sağ] = x \ sol [n \ sağ] e ^ {- \ alpha nT}}p=α+benω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}z=epT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs{\ görüntü stili {\ matematik {C}} _ ​​{c}}xα[değil]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ sol [n \ sağ]}s′{\ displaystyle \ matematik {s} ^ {\ asal}}k>0{\ görüntü stili k> 0}de[değil]=Ö(değilk){\ displaystyle a \ sol [n \ sağ] = O (n ^ {k})}değil→∞{\ displaystyle n \ sağ ok \ infty}2π/T{\ görüntü stili 2 \ pi / T}

(Fde)(ω)=∑değil=-∞∞de[değil]e-bendeğilωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ sol (\ omega \ sağ) = \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ sol [n \ sağ] e ^ { -in \ omega T}}.

Bize sekansı alalım ile dağıtım (kötüye gösterimde) gibi tanımlanmıştır tarafından de_{\ displaystyle {\ altı çizili {a}}}

de_(t)=∑değil=-∞∞de[değil]δ(t-değilT){\ displaystyle {\ altı çizili {a}} \ sol (t \ sağ) = \ toplam \ limitler _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ sol [n \ sağ] \ delta \ sol (t- nT \ sağ)}.

Harita , ılıman dağılımlar uzayında bir monomorfizmdir ve Fourier dönüşümü, . Daha sonra elde ederiz (hala küfürlü gösterimde) de↦de_{\ displaystyle a \ mapsto {\ altı çizili {a}}}s′{\ displaystyle \ matematik {s} ^ {\ asal}}S′{\ displaystyle {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}S′{\ displaystyle {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}

(Fde)(ω)=de_(t)e-benωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ sol (\ omega \ sağ) = {\ altı çizili {a}} \ sol (t \ sağ) e ^ {- i \ omega t}}.

Yukarıdakiler gösteriyor ki

⟨Xe(α+benω),φ(ω)⟩=⟨(Fxα_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ sol \ langle X_ {e} \ sol (\ alpha + i \ omega \ sağ), \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ rangle = \ sol \ langle ({\ mathcal {F} } {\ altı çizili {x _ {\ alpha}}}) \ sol (\ omega \ sağ), \ varphi \ sol (\ omega \ sağ) \ sağ \ rangle.}

Özetleyelim: eğer , o zaman , bu nedenle , bu nedenle , bu nedenle (küfürlü gösterim) , bu nedenle . Bu nedenle, yazışmanın on'un bir surjection olduğunu gösterdik . z∈VSvs{\ displaystyle z \ {\ matematik {C}} _ ​​{c}}(xα[değil])∈s′{\ displaystyle \ sol (x _ {\ alpha} \ sol [n \ sağ] \ sağ) \ in \ mathbf {s} ^ {\ asal}}xα_∈S′{\ displaystyle {\ altı çizili {x _ {\ alpha}}} \ in {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}Fxα_∈S′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ altı çizili {x _ {\ alpha}}} \ {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(α+benω)∈S′{\ displaystyle X_ {e} \ sol (\ alpha + i \ omega \ sağ) \ {\ matematik {S}} ^ {\ asal}}p∈Bvs{\ displaystyle p \ {\ matematik {B}} _ {c}}p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapto z = e ^ {pT}}Bvs{\ görüntü stili {\ matematik {B}} _ {c}}VSvs{\ görüntü stili {\ matematik {C}} _ ​​{c}}

Fourier dönüşümü ve ayrık Fourier dönüşümü

Birim çember yakınsama taç aitse , Fourier dönüşümü olan dizinin poz alınmasıyla mümkün olduğunu bulmuştur birim çember, bu dizinin dönüşümü Z kısıtlama alınarak elde . Fourier dönüşümü aslında -periyodik fonksiyonu (o biz ayarlarsanız -periyodik ve bir değişken olarak nabız almak ). Eğer bir reel sayılar dizisi ise , bu nedenle aralıkta değiştiği varsayılabilir . VSvs{\ görüntü stili {\ matematik {C}} _ ​​{c}}(x[değil]) {\ görüntü stili (x [n]) \}z=ebenθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ teta}}2π{\ görüntü stili 2 \ pi}θ↦X(ebenθ){\ displaystyle \ teta \ mapto X \ sol (e ^ {i \ teta} \ sağ)}2π/T{\ görüntü stili 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ teta = \ omega T}ω{\ görüntü stili \ omega}(x[değil]) {\ görüntü stili (x [n]) \}X(e-benθ)=X(ebenθ)¯{\ displaystyle X \ sol (e ^ {- i \ teta} \ sağ) = {\ üst çizgi {X \ sol (e ^ {i \ teta} \ sağ)}}}θ{\ görüntü stili \ teta}[0,π[{\ displaystyle \ sol [0, \ pi \ sağ [}

Fourier dönüşümü yavaş büyüyen diziler için tanımlanabilir (o a, -periyodik dağılımı ) ve Z (yukarıdaki gösteri bakınız) dönüşümü, bu genel Fourier dönüşümü. 2π{\ görüntü stili 2 \ pi}

Z dönüşümü ile ayrık Fourier dönüşümü (DFT) arasında da bir ilişki vardır . Bir destek sinyalinin TFD'si (ile ) içinde değerlendirilerek elde edilir . {xdeğil}{\ displaystyle \ sol \ {x_ {n} \ sağ \}}{0,1,...,DEĞİL-1}{\ displaystyle \ sol \ {0,1, ..., N-1 \ sağ \}}X(z){\ görüntü stili X (z)}z=eben2πkDEĞİL{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,DEĞİL-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Olağan Z dönüşümleri

Aşağıda, üniter dürtü ya da “ifadesini temsil eder Kronecker'in dizisi  için (1 eşit” , aynı zamanda yazılabilir ve aksi takdirde, 0 , olan Kronecker'in sembolü ); Öte yandan, üniter adımı belirtir ( aksi halde 1'e ve 0'a eşittir ). δ[değil]{\ görüntü stili \ delta [n] \,}değil=0{\ görüntü stili n = 0}δ0değil{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δbenj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}sen[değil]{\ görüntü stili u [n] \,}değil≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Z dönüşümleri

	sinyal x(değil){\ görüntü stili x (n)}	Z'ye dönüştürüldü X(z){\ görüntü stili X (z)}	yakınsama alanı
1	δ[değil]{\ görüntü stili \ delta [n] \,}	1{\ görüntü stili 1 \,}	VS {\ displaystyle \ matematik {C} \}
2	sen[değil]{\ görüntü stili u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ görüntü stili | z |> 1 \,}
3	değilsen[değil]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ görüntü stili | z |> 1 \,}
4	dedeğilsen[değil]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-dez-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|de|{\ görüntü stili | z |> | a | \,}
5	değildedeğilsen[değil]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	dez-1(1-dez-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|de|{\ görüntü stili | z |> | a | \,}
6	-dedeğilsen[-değil-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-dez-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|de|{\ görüntü stili | z | <| bir | \,}
7	-değildedeğilsen[-değil-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	dez-1(1-dez-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|de|{\ görüntü stili | z | <| bir | \,}
8	çünkü⁡(ω0değil)sen[değil]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1çünkü⁡(ω0)1-2z-1çünkü⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ görüntü stili | z |> 1 \,}
9	günah⁡(ω0değil)sen[değil]{\ displaystyle \ günah (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1günah⁡(ω0)1-2z-1çünkü⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ günah (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ görüntü stili | z |> 1 \,}
10	dedeğilçünkü⁡(ω0değil)sen[değil]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-dez-1çünkü⁡(ω0)1-2dez-1çünkü⁡(ω0)+de2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + bir ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|de|{\ görüntü stili | z |> | a | \,}
11	dedeğilgünah⁡(ω0değil)sen[değil]{\ displaystyle a ^ {n} \ günah (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	dez-1günah⁡(ω0)1-2dez-1çünkü⁡(ω0)+de2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ günah (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + bir ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|de|{\ görüntü stili | z |> | a | \,}

Notlar ve referanslar

Notlar

1. Bourles 2010 , §12.3.5
2. göre Lang 1993 , §II.2
3. Bourles 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barriere 1966 , Bölüm. II
4. Bourles 2010 , §10.2.3
5. Hesaplamanın bir aşamasında ve neyi doğrulayabileceğimizi ters çevirdik ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ görüntü stili {\ matematik {F}}}∑{\ görüntü stili \ toplam}
6. Bourles 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , Bölüm. 10, §4, Öngörü 9.
8. Bourles 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Referanslar

• Henri Bourles , Lineer Sistemler , John Wiley & Sons ,2010, 544  s. ( ISBN  978-1-84821-162-9 ve 1-84821-162-7 )
• (tr) Serge Lang , Kompleks Analiz (3. baskı) , New York / Berlin / Paris vb., Springer,1993, 458  s. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , Teorik otomatikler kursu , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Fizik bilimleri için matematiksel yöntemler , Hermann,1965

Şuna da bakın:

• Dijital filtre
• Laplace dönüşümü # Nihai değer
• Aktarım işlevi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">