Merkatörün Evrensel Enine
Projeksiyon Enine Mercator Evrensel (İngilizce Evrensel Enine Mercator UTM), Dünya yüzeyine uyan bir harita projeksiyonu türüdür . Almanya bunu Gauss-Krüger Projection adı altında kullanıyor . Bu çıkıntı, silindirin ekseninin, elipsoidin merkezinde yeryüzü elipsoidin kutuplarının eksenini dikey olarak kesiştiği silindirik bir çıkıntıdır .
Uygulamada, Dünya yüzeyini örtmek için kuzey yarımküre ile güney yarımküreyi ayırarak 6 derecelik 60 mile bölünmüştür. Yani toplam 120 bölge (Kuzey için 60 ve Güney için 60). Daha sonra bir düzlem gösterimi elde etmek için silindiri bir meridyen boyunca elipsoide teğet geliştiririz .
Kutup alanları (84.5 derece Kuzey enleminin ötesinde ve 80.5 derece Güney enleminin altında) teorik olarak bu projeksiyon sistemi tarafından kapsanmamaktadır, ancak kullanılan silindir her iki kutba teğettir.
Bununla birlikte, ekvatorun ötesinde 6 ° 'den fazla boylamı kapsayacak şekilde çıkıntının dikdörtgen bölümünü genişletmek kabul edilirse, bu gerçek bir engel değildir. Bu, genellikle, boylam uzantısının ekvator boyunca kabaca benzer olan iyi doğruluğu korumaya yardımcı olduğu haritalarda kullanılan şeydir.
Bu çıkıntının daha kesin bir varyasyonu, mükemmel bir silindir kullanmak değil, referans elipsoidin karşısındaki iki meridyen boyunca kutuplarda ve teğetlerde düzleştirilmiş bir silindiroid kullanmaktır.
Bu varyantın avantajı, mesafeleri referans meridyen boyunca korumaktır. Bu durumda da, kutupların etrafındaki mesafelerin kesinliği artık projeksiyon için seçilen referans meridyene bağlı değildir, daha sonra ince bir bant boyunca iki karşıt mili kapsayan kesintisiz bir dikdörtgen harita oluşturmak mümkün hale gelir (geniş tam olarak 6 ° ekvatorda).
Metropolitan Fransa bölgesi 3 bölgede yer almaktadır:
- UTM North, bölge 30: 6 derece Batı ile 0 derece Greenwich arasında;
- UTM Kuzey, bölge 31: 0 derece ile 6 derece Doğu Greenwich arasında;
- UTM Kuzey, bölge 32: 6 derece doğu ve 12 derece doğu Greenwich arasında.
Bir projeksiyon , Dünya yüzeyinde bir noktanın bulunmasını mümkün kılan jeodezik bir sistemle (örneğin WGS72 , WGS84 , RGF93 ) karıştırılmamalıdır. Herhangi bir projeksiyon herhangi bir jeodezik sistemle ilişkilendirilebilir; bugün kullanılan jeodezik sistem genellikle WGS84'e dayanıyorsa, yine de belirsizliklerden kaçınılması, jeodezik sistemin ve projeksiyonun adlarının ilişkilendirilmesi tavsiye edilir; örneğin Fransa'da NTF jeodezik sistemi yakın zamana kadar düzenleyici sistem olarak kaldı ve genellikle Lambert II genişletilmiş projeksiyonu ile ilişkilendirildi , ancak Lambert Bölgesi I'den IV'e projeksiyonları da bulduk .
UTM projeksiyonu, ekvatorun ve dikkate alınan bölgenin merkezi meridyeninin kesişme noktasının koordinatlar için sahip olacağı sanal bir referans noktası ile ilişkilendirilir:
- kuzey yarımküre için: apsis +500 km, koordinat 0;
- güney yarımküre için: apsis +500 km, ordinat +10 000 km.
Bu referans noktası ofseti, bölgenin tüm noktaları için pozitif koordinatlara sahip olmayı mümkün kılar.
Koordinatlar: coğrafi mi yoksa projeksiyon mu?
Coğrafi koordinatlardan (Enlem / Boylam) ziyade projeksiyon koordinatlarının (örneğin E ve N UTM) kullanılması aşağıdaki nedenlerden dolayı genellikle avantajlı kabul edilir:
- Koordinatlar, hesaplamalarda kullanımı altmışlık sistemden daha kolay olan ondalık sisteme dayanmaktadır. Bununla birlikte, boylam ve enlemlerde, dakika ve saniye açıları kullanmak zorunda kalmadan her zaman "ondalık" derecelerde çalışabiliriz;
- Sistem "dikdörtgen" dir ve kilometre cinsinden ölçülür. Bu nedenle, UTM koordinatlarından yaklaşık mesafeleri doğrudan hesaplayabiliriz. Koordinatlı (315,1 km, 3,925,1 km) UTM bölgesi 13'teki bir nokta, bölge 13'teki noktadan (315,1 km, 3,924,1 km) tam olarak 1 kilometre uzaklıktadır. Bununla birlikte, bu uyuşma yalnızca noktalar aynı meridyende değilse yaklaşıktır ve bölge değiştirdiğimizde artık geçerli değildir.
GPS alıcıları , standart olarak WGS84 jeodezik sistemde bir konum sağlar . Bazı yeni yürüyüş haritaları UTM projeksiyonunu kullanır ve WGS84 jeodezik sistemine atıfta bulunur. Diğer haritalar (Fransa'da örneğin, diğer jeodezik sistemlere atıfta bulunarak, ulusal ya da yerel projeksiyonunu kullanıyoruz IGN yürüyüş haritaları bir kullanmak Lambert projeksiyonu marjlar. Dış bir UTM grid ile, ve UTM koordinatları).
Enlem, boylam (φ, λ) 'den UTM koordinatlarına (E, N) geçiş formülleri
Santimetre hassasiyetli formüller
Kesin formüller karmaşıktır ve pek kullanışlı değildir. Bir santimetre hassasiyetinde yaklaşık formüller öneriyoruz.
Geleneksel olarak, dünyayı bir Kuzey-Güney ekseni, ekvatordaki yarıçapı a = 6378.137 km ve eksantriklik e = 0.0818192 olan bir devir elipsoidi ile tanımlayan jeodezik sistem WGS 84'ü kullanıyoruz. Jeodezik enlem point ve boylam λ noktasını ele alıyoruz . Not referans meridyen (boylam hedef UTM bölgesinin tam ortasına tekabül eden) boylam.
λ0{\ displaystyle \ lambda _ {0}}
Açılar radyan cinsinden ifade edilir. Hesaplanacak ara değerler şunlardır:
ν(φ)=1/1-e2günah2φ{\ displaystyle \ nu (\ varphi) = 1 / {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}
AT=(λ-λ0)çünküφ{\ displaystyle A = (\ lambda - \ lambda _ {0}) \, \ cos \ varphi}
s(φ)=(1-e24-3e464-5e6256)φ-(3e28+3e432+45e61024)günah2φ+(15e4256+45e61024)günah4φ-35e63072günah6φ{\ displaystyle s (\ varphi) = (1 - {\ frac {e ^ {2}} {4}} - {\ frac {3e ^ {4}} {64}} - {\ frac {5e ^ {6 }} {256}}) \ varphi - ({\ frac {3e ^ {2}} {8}} + {\ frac {3e ^ {4}} {32}} + {\ frac {45e ^ {6} } {1024}}) \ sin 2 \ varphi + ({\ frac {15th ^ {4}} {256}} + {\ frac {45e ^ {6}} {1024}}) \ sin 4 \ varphi - { \ frac {35e ^ {6}} {3072}} \ sin 6 \ varphi}
T=bronzlaşmak2φ,VS=e21-e2çünkü2φ,k0=0,9996{\ displaystyle T = \ tan ^ {2} \ varphi, \ quad C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} \ cos ^ {2} \ varphi, \ quad k_ {0} = 0,9996}
Kuzey yarımkürede ve güney yarımkürede .
DEĞİL0=0{\ displaystyle N_ {0} = 0}DEĞİL0=10.000km{\ displaystyle N_ {0} = 10000km}
UTM koordinatlarını kilometre cinsinden veren transit formülleri şunlardır :
E,DEĞİL{\ displaystyle E, N}
E=500+k0-deν(φ)(AT+(1-T+VS)AT36+(5-18T+T2)AT5120){\ displaystyle E = 500 + k_ {0} a \ nu (\ varphi) {\ Büyük (} A + (1-T + C) {\ frac {A ^ {3}} {6}} + (5- 18T + T ^ {2}) {\ frac {A ^ {5}} {120}} {\ Büyük)}}
DEĞİL=DEĞİL0+k0-de(s(φ)+ν(φ)bronzlaşmakφ(AT22+(5-T+9VS+4VS2)AT424+(61-58T+T2)AT6720)){\ displaystyle N = N_ {0} + k_ {0} a \, {\ Büyük (} s (\ varphi) + \ nu (\ varphi) \, \ tan \ varphi {\ Büyük (} {\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 9C + 4C ^ {2}) {\ frac {A ^ {4}} {24}} + (61-58T + T ^ {2}) { \ frac {A ^ {6}} {720}} {\ Büyük)} {\ Büyük)}}
Formül kullanımının ayrıntılı bir örneği
Ele alalım ", 5 ° 50'51 45 ° 09'33" biz, (0 ° ve 6 ° arasında bölge) bölgenin 31 içindedir ° 3. Şunları bulmalısınız: WGS84 elipsoidini dikkate alarak (yarı büyük eksen a = 6378137. M ve düzleştirme f = 1 / 298.257223563). Kare eksantrikliğin şu şekilde hesaplandığını unutmayın:
λ={\ displaystyle \ lambda =}φ={\ displaystyle \ varphi =}λ0={\ displaystyle \ lambda _ {0} =}
e2=2 f-f2{\ displaystyle e ^ {2} = 2 \ ff ^ {2}}
λ-λ0=0,0496983{\ displaystyle \ lambda - \ lambda _ {0} = 0,0496983} radyan
AT=0,0350442107{\ displaystyle A = 0,0350442107},
VS=0,0033510263{\ displaystyle C = 0,0033510263},
T=1.01117395{\ displaystyle T = 1,01117395},
ν(φ)={\ displaystyle \ nu (\ varphi) =} 1.00169,
s(φ)={\ displaystyle s (\ varphi) =}0.784340804,
ve sonunda
E=723,80393{\ displaystyle E = 723.80393}km ve km
DEĞİL=5004.57704{\ displaystyle N = 5004,57704}
Bir kürenin özel durumu için formüller
Hesaplanacak ara değerler şunlardır:
B=çünküφgünah(λ-λ0){\ displaystyle B = \ cos \ varphi \ sin (\ lambda - \ lambda _ {0})}
UTM koordinatlarını kilometre cinsinden veren transit formülleri şunlardır :
E,DEĞİL{\ displaystyle E, N}
E=500+k02ln(1+B1-B){\ displaystyle E = 500 + {\ frac {k_ {0}} {2}} \ ln \ sol ({\ frac {1 + B} {1-B}} \ sağ)}
DEĞİL=DEĞİL0+k0(Arctan(bronzlaşmak(φ)çünküλ)-ϕ0){\ displaystyle N = N_ {0} + k_ {0} (\ arctan ({\ frac {\ tan (\ varphi)} {\ cos \ lambda}}) - \ phi _ {0})}
Formüllerin gösterilmesi
Bir ön açıklama yapalım: "Mercator projeksiyonu" terimi, geoidin bir noktasını, onu saran silindirin karşılık gelen noktasına birleştiren bir çizgi olduğunu ima edebilir. Olay bu değil. Bu aynı zamanda geoid ve bir teğet koni arasındaki " Lambert projeksiyonu " gibi çoğu kartografik projeksiyon için de geçerli değildir . Ancak stereografik projeksiyon için durum budur . Bu nedenle formülleri bir projeksiyon kullanarak ispatlamayacağız .
Formülleri iki adımda göstereceğiz. İlk adım, kürenin konformal Mercator koordinatlarının kullanımını, bir devrim elipsoidi durumuna genelleştirir. Bunlara genelleştirilmiş Mercator koordinatları diyeceğiz.
İkinci adım, genelleştirilmiş Mercator koordinatlarından UTM koordinatlarına konformal bir dönüşümdür ve bu koordinatların referans meridyen boyunca çakıştığı konvansiyoneldir.
Üçüncü adım, Lambert koordinatlarını doğrudan bulmak için aynı yaklaşımı kullanır.
Adım 1: Genelleştirilmiş Merkatör koordinatları (x, y)
Gelince Mercator projeksiyonu poz . Bu, işlevi belirleyecektir .
x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}y(φ){\ displaystyle y (\ varphi)}
Elipsoidin dikkate alınan noktası ile Kuzey-Güney ekseni arasındaki mesafeye diyelim . Meridyen boyunca eğrilik yarıçapı diyelim . Elipsoid üzerindeki küçük bir yer değiştirme bir mesafeye karşılık gelir:
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}R(φ){\ displaystyle R (\ varphi)}dφ,dλ{\ displaystyle d \ varphi, d \ lambda}
ds2=R2(φ)dφ2+ρ2(φ)dλ2{\ displaystyle ds ^ {2} = R ^ {2} (\ varphi) d \ varphi ^ {2} + \ rho ^ {2} (\ varphi) d \ lambda ^ {2}}
elipsoidin metrik tensörü olarak adlandırılır .
Konformal koordinatlar olma şartı, yazılacak metrik tensöre yükler:
x,y{\ displaystyle x, y}
ds2=R2(φ)dφ2+ρ2(φ)dλ2=k(φ,λ)(dx2+dy2){\ displaystyle ds ^ {2} = R ^ {2} (\ varphi) d \ varphi ^ {2} + \ rho ^ {2} (\ varphi) d \ lambda ^ {2} = k (\ varphi, \ lambda) (dx ^ {2} + dy ^ {2})}
fonksiyon nerede . Sözleşme şunu ima eder
ve
k(φ,λ){\ displaystyle k (\ varphi, \ lambda)}x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}k(φ,λ)=ρ2(φ){\ displaystyle k (\ varphi, \ lambda) = \ rho ^ {2} (\ varphi)}
dy(φ)dφ=R(φ)ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {dy (\ varphi)} {d \ varphi}} = {\ frac {R (\ varphi)} {\ rho (\ varphi)}}}
Aşağıda buna ihtiyacımız olmasa da, bu diferansiyel denklem büyük bir zorluk olmadan entegre edilir (açılmışa bakın, genelleştirilmiş konformal Merkatör koordinatlarının ifadesi bulunur:
x(λ)=λ,y(φ)=ln(bronzlaşmak(φ2+π4)(1-egünahφ1+egünahφ)e/2){\ displaystyle x (\ lambda) = \ lambda, \ qquad y (\ varphi) = \ ln \ sol (\ tan \ sol ({\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {\ pi} { 4}} \ right) \ left ({\ frac {1-e \ sin \ varphi} {1 + e \ sin \ varphi}} \ sağ) ^ {e / 2} \ sağ)}
İfadeleri ve ve entegrasyon ayrıntıları
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}R(φ){\ displaystyle R (\ varphi)}
Mercator'da ve Lambert ve UTM projeksiyon sistemlerinde yeryüzü elipsoidi için kullanılan elipsin ad-hoc parametrik temsili şöyledir:
x(φ)=-deν(φ)çünkü(φ){\ displaystyle x (\ varphi) = bir \ nu (\ varphi) \ cos (\ varphi)}, y(φ)=-de(1-e2)ν(φ)günah(φ){\ Displaystyle y (\ varphi) = bir (1-e ^ {2}) \ nu (\ varphi) \ sin (\ varphi)}
sırasıyla elipsin küçük eksenine olan mesafe , bu durumda Kuzey-Güney ekseni ve ana eksene olan mesafe, bu durumda ekvator düzlemine olan mesafe ile
ρ(φ){\ displaystyle \ rho (\ varphi)}
ν(φ)=1/1-e2günah2φ{\ displaystyle \ nu (\ varphi) = 1 / {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}
Bunu doğrulamak kolaydır b2/-de2=1-e2{\ displaystyle b ^ {2} / a ^ {2} = 1-e ^ {2}}
x2-de2+y2b2=1{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}
Ayrıca bunu kolayca doğrularız
dx=--de(1-e2)ν3(φ)günahφdφ{\ displaystyle dx = -a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) \ sin \ varphi d \ varphi} ve dy=-de(1-e2)ν3(φ)çünküφdφ{\ displaystyle dy = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) \ cos \ varphi d \ varphi}
ve enlem gibi , elipse normalin ana eksenle oluşturduğu açı. Diferansiyel yay elemanına bakarsak , bize eğrilik yarıçapına neyin eriştiğini buluruz .
φ{\ displaystyle \ varphi}ds=(dx2+dy2)=-de(1-e2)ν3(φ)dφ{\ displaystyle ds = {\ sqrt {(}} dx ^ {2} + dy ^ {2}) = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi) d \ varphi}R(φ)=-de(1-e2)ν3(φ){\ Displaystyle R (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ nu ^ {3} (\ varphi)}
Diferansiyel denklemi entegre etmek için bazı göstergeler ([eq: Diferansiyel-Mercator])
Dır-dir
dy(φ)dφ=R(φ)ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {dy (\ varphi)} {d \ varphi}} = {\ frac {R (\ varphi)} {\ rho (\ varphi)}}}
yazılan da
dy=1-e21-e2günahφ2çünküφdφçünküφ2{\ displaystyle dy = {\ frac {1-e ^ {2}} {1-e ^ {2} {\ sin \ varphi} ^ {2}}} {\ frac {\ cos \ varphi d \ varphi} { {\ cos \ varphi} ^ {2}}}}
ve poz sen=günahφ{\ displaystyle u = \ sin \ varphi}
dy=(11+sen+11-sen-e2(11+esen+11-esen))dsen2{\ displaystyle dy = \ left ({\ frac {1} {1 + u}} + {\ frac {1} {1-u}} - e ^ {2} \ left ({\ frac {1} {1 + eu}} + {\ frac {1} {1-eu}} \ sağ) \ sağ) {\ frac {du} {2}}}
Küçük bir hesaplama bunu gösterir ve sonuca ulaşırız ([eq: Mercator]).
1+günahφ1-günahφ=bronzlaşmak(φ/2+π/4)2{\ displaystyle {\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} = \ tan (\ varphi / 2 + \ pi / 4) ^ {2}}
Adım 2: genelleştirilmiş Mercator koordinatlarından (x, y) UTM koordinatlarına (E, N)
İkinci adım, genelleştirilmiş konformal Mercator koordinatlarının x, y'nin UTM koordinatlarına X, Y'ye uygun bir dönüşümüdür.
Böyle bir uygun dönüşümün, ve
ile karmaşık değişkenlerde
analitik bir fonksiyon kullanılarak yazıldığı özelliğini kullanırız .
Z=f(z){\ displaystyle Z = f \ sol (z \ sağ)}Z=Y+benX{\ displaystyle Z = Y + iX}z=y+benx{\ displaystyle z = y + ix}
Genellik kaybı olmaksızın, referans meridyenin içinde olduğu varsayılır . Geleneksel olarak, UTM koordinatları, referans meridyenin içeride olduğu ve bunun boyunca mesafeyi ölçeceği şekildedir , yani bunu söyler . Meridyen yayı
boyunca enlem noktası ile ekvator arasındaki mesafeyi elde etmek için bu son denklemi entegre ediyoruz (bu ikinci tipin eliptik integralidir , ancak kullanmayacağız). Referans meridyende bu nedenle elimizde:
x=λ=0{\ displaystyle x = \ lambda = 0}X=0{\ displaystyle X = 0}Y{\ displaystyle Y}dY=ds=R(φ)dφ{\ displaystyle dY = ds = R (\ varphi) d \ varphi}s(φ)=∫0φR(ψ)dψ{\ displaystyle s (\ varphi) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} R (\ psi) d \ psi}φ{\ displaystyle \ varphi}
Y(0,y)=s(φ(y))=(s∘φ)(y){\ Displaystyle Y (0, y) = s (\ varphi (y)) = \ sol (s \ circ \ varphi \ sağ) \ sol (y \ sağ)}
ve analitik uzatma ile çıkarılır ki
Y(x,y)+benX(x,y)=s∘φ(y+benx){\ displaystyle Y (x, y) + iX (x, y) = s \ circ \ varphi (y + ix)}
Enine bir Mercator haritasında, referans meridyenden çok az sapma vardır . Bir dolayısıyla kullanabilirsiniz sınırlı gelişimini değişkene göre de, :
x=0{\ displaystyle x = 0}x=λ{\ displaystyle x = \ lambda}x=0{\ displaystyle x = 0}
Y+benX=∑değil=0∞bendeğilλdeğildeğil!∂değil(s∘φ)∂ydeğil{\ displaystyle Y + iX = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} i ^ {n} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ frac {\ kısmi ^ {n } \ left (s \ circ \ varphi \ right)} {\ kısmi y ^ {n}}}}
gerçek ve hayali parçaları belirleyerek elde ettiğimiz:
X=∑değil=1,3,5 ..∞-1değil-12λdeğildeğil!∂değil(s∘φ)∂ydeğilY=∑değil=0,2,4 ..∞-1değil/2λdeğildeğil!∂değil(s∘φ)∂ydeğil{\ displaystyle X = \ toplam _ {n = 1,3,5 ..} ^ {\ infty} -1 ^ {\ frac {n-1} {2}} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ frac {\ kısmi ^ {n} \ left (s \ circ \ varphi \ right)} {\ kısmi y ^ {n}}} \ qquad Y = \ sum _ {n = 0,2, 4 ..} ^ {\ infty} -1 ^ {n / 2} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} {\ Frac {\ kısmi ^ {n} \ left (s \ circ \ varphi \ right)} {\ kısmi y ^ {n}}}}
İlk türev, önceki ilişkiler kullanılarak kolayca hesaplanır:
∂s∘φ∂y=∂s(φ)∂φ∂φ∂y=R(φ)ρ(φ)R(φ)=ρ(φ){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi s \ circ \ varphi} {\ kısmi y}} = {\ frac {\ kısmi s (\ varphi)} {\ kısmi \ varphi}} {\ frac {\ kısmi \ varphi} {\ kısmi y}} = R (\ varphi) {\ frac {\ rho (\ varphi)} {R (\ varphi)}} = \ rho (\ varphi)}
İkinci türev, bir öncekinin aynı şekilde farklılaştırılmasıyla elde edilir.
∂2s∘φ∂y2=∂ρ(φ)∂φρ(φ)R(φ)=-ν(φ)günahφçünküφ{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} s \ circ \ varphi} {\ kısmi y ^ {2}}} = {\ frac {\ kısmi \ rho (\ varphi)} {\ kısmi \ değişken}} {\ frac {\ rho (\ varphi)} {R (\ varphi)}} = - \ nu (\ varphi) \ sin \ varphi \ cos \ varphi}
Bu şekilde düzene devam ederek , kendimizi birinci sırayla sınırlayarak ve önceki notasyonları kullanarak nihayet elde ederiz:
değil=6{\ displaystyle n = 6}e′2=e2/(1-e2){\ displaystyle e '^ {2} = e ^ {2} / (1-e ^ {2})}
X=-deν(φ)( AT+(1-T+VS)AT36+(5-18T+T2+72VS-58e′2)AT5120)+...{\ displaystyle X = a \ nu \ sol (\ varphi \ sağ) \ sol (\ A + (1-T + C) {\ frac {A ^ {3}} {6}} + (5-18T + T ^ {2} + 72C-58e '^ {2}) {\ frac {A ^ {5}} {120}} \ sağ) + \ ldots}
Y=-des(φ)+-deν(φ)bronzlaşmakφ(AT22+(5-T+9VS+4VS2)AT424+(61-58T+T2+600VS-330e′2)AT6720)+...{\ displaystyle Y = (\ varphi) + a \ nu \ sol (\ varphi \ sağ) \ tan \ varphi \ sol ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 9C + 4C ^ {2}) {\ frac {A ^ {4}} {24}} + (61-58T + T ^ {2} + 600C-330e '^ {2}) {\ frac {A ^ {6 }} {720}} \ sağ) + \ ldots}
Son olarak, UTM koordinatları tam olarak değil , ancak geleneksel olarak azaltılır ve kaydırılır:
DEĞİL,E{\ displaystyle N, E}X,Y{\ displaystyle X, Y}
E=500+k0XUTMDEĞİL=DEĞİL0+k0YUTM{\ displaystyle E = 500 + k_ {0} X_ {UTM} \ quad N = N_ {0} + k_ {0} Y_ {UTM}}
indirgeme faktörü ile ve yukarıda verilmiştir.
k0=0.9996{\ displaystyle k_ {0} = 0,9996}DEĞİL0{\ displaystyle N_ {0}}
Adım 3: Genelleştirilmiş Mercator koordinatlarından Lambert koordinatlarına
Lambert ve Merkatör çıkıntılar çok Mercator'da Lambert ve haklı olacağı ilişkili bir analitik fonksiyonuna geçer konformal bir uçaktan düzlem dönüşüm vardır, konformal gibidir:
veya ve iki gerçek parametre ve ya ve Merkatör koordinatlarıdır. Kutupsal koordinatlarda, yani poz vererek , bu verir
ZL=XL+benYL=Kebendeğil(x(λ)+beny(ϕ)){\ displaystyle Z_ {L} = X_ {L} + iY_ {L} = Ke ^ {\ solda (x (\ lambda) + iy (\ phi) \ sağ)}}K{\ displaystyle K}değil{\ displaystyle n}x(λ){\ displaystyle x (\ lambda)}y(ϕ){\ displaystyle y (\ phi)}XL+benYL=ρ(ϕ)benθ(λ){\ displaystyle X_ {L} + iY_ {L} = \ rho (\ phi) ^ {i \ theta (\ lambda)}}ρ(ϕ)=Ke-değily(ϕ)θ(λ)=değilλ{\ displaystyle \ rho (\ phi) = Ke ^ {- ny (\ phi)} \ qquad \ theta (\ lambda) = n \ lambda}
Böylece sabit meridyenler ışınlardır ve sabit paralellikler , ışınlarla ortogonal bir ağ oluşturan eş merkezli dairelerin yayları haline gelir. Bu harita, tepe noktası bir direğin görüntüsü olan bir koninin gelişimidir. Lambert, uzunluklara automécoïques ve . Alanda, bu uzunluklar Lambert haritasındaki uzunluğa ve dolayısıyla iki denkleme eşittir ve eşit olmalıdır :
λ{\ displaystyle \ lambda}ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}ϕ2{\ displaystyle \ phi _ {2}}2π-deν(ϕ1)çünküϕ1{\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1}}2π-deν(ϕ2)çünküϕ2{\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2}}2πdeğilρ(ϕ1){\ displaystyle 2 \ pi n \ rho (\ phi _ {1})}2πdeğilρ(ϕ2){\ displaystyle 2 \ pi n \ rho (\ phi _ {2})}2π-deν(ϕ1)çünküϕ1=2πdeğilKe-değily(ϕ1)2π-deν(ϕ2)çünküϕ2=2πdeğilKe-değily(ϕ2){\ displaystyle 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1} = 2 \ pi nKe ^ {- ny (\ phi _ {1})} \ qquad 2 \ pi a \ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2} = 2 \ pi nKe ^ {- ny (\ phi _ {2})}}
Önceki eşitliklerin birinde veya diğerinde ikame ile
verir
ve çıkarılır.
değil=ln(ν(ϕ1)çünküϕ1)-ln(ν(ϕ2)çünküϕ2)y(ϕ2)-y(ϕ1){\ displaystyle n = {{\ ln (\ nu (\ phi _ {1}) \ cos \ phi _ {1}) - \ ln (\ nu (\ phi _ {2}) \ cos \ phi _ {2 })} \ üzerinden {y (\ phi _ {2}) - y (\ phi _ {1})}}}K{\ displaystyle K}
Kutupsal koordinatların ifadelerinden ve meridyen ile referans paralelinin kesişme noktasındaki orijini alarak Lambert koordinatlarını buluruz .
UTM koordinatlarını (E, N) enlem, boylama (φ, λ) geçirmek için formüller
Santimetre hassasiyetli formüller
Hesaplanacak ara değerler şunlardır:
ϕ1=M-1(DEĞİL-DEĞİL0){\ displaystyle \ phi _ {1} = M ^ {-} 1 (N-N_ {0})}güney mesafesi
nerede .
M(y){\ displaystyle M (y)}
DEĞİL1=k0(1-e2günah2ϕ1)1/2{\ displaystyle N_ {1} = {\ frac {k_ {0}} {(1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi _ {1}) ^ {1/2}}}}
R1=k0(1-e2)(1-e2günah2ϕ1)3/2{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {k_ {0} (1-e ^ {2})} {(1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi _ {1}) ^ { 3/2}}}}
t1=bronzlaşmak(ϕ1){\ displaystyle t_ {1} = \ tan (\ phi _ {1})}
η1=e21-e2vsÖs2ϕ1{\ displaystyle \ eta _ {1} = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} cos ^ {2} \ phi _ {1}}
Jeodezik koordinatları veren geçiş formülleri şunlardır :
ϕ,λ{\ displaystyle \ phi, \ lambda}
ϕ=ϕ1-t1(E-500)22!R1DEĞİL1+t1(E-500)44!R1DEĞİL13(5+3t12+η12-4η14-9η12t12)-t1(E-500)66!R1DEĞİL15(61+90t12+46η12+45t14-252t12η12)+t1(E-500)88!R1DEĞİL17(1385+3633t12+4095t14+1575t16){\ displaystyle \ phi = \ phi _ {1} - {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {2}} {2! R_ {1} N_ {1}}} + {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {4}} {4! R_ {1} N_ {1} ^ {3}}} (5 + 3t_ {1} ^ {2} + \ eta _ {1} ^ { 2} -4 \ eta _ {1} ^ {4} -9 \ eta _ {1} ^ {2} t_ {1} ^ {2}) - {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {6}} {6! R_ {1} N_ {1} ^ {5}}} (61 + 90t_ {1} ^ {2} +46 \ eta _ {1} ^ {2} + 45t_ {1} ^ {4} -252t_ {1} ^ {2} \ eta _ {1} ^ {2}) + {\ frac {t_ {1} (E-500) ^ {8}} {8! R_ {1} N_ {1} ^ {7}}} (1385 + 3633t_ {1} ^ {2} + 4095t_ {1} ^ {4} + 1575t_ {1} ^ {6})}
λ=E-500çünküϕDEĞİL1-(E-500)33!çünküϕDEĞİL13(1+2t12+η12)+(E-500)55!çünküϕDEĞİL15(5+6η12+28t12-3η12+8t12η12)-(E-500)77!çünküϕDEĞİL17(61+662t12+1320t14+720t16){\ displaystyle \ lambda = {\ frac {E-500} {\ cos \ phi N_ {1}}} - {\ frac {(E-500) ^ {3}} {3! \ cos \ phi N_ {1 } ^ {3}}} (1 + 2t_ {1} ^ {2} + \ eta _ {1} ^ {2}) + {\ frac {(E-500) ^ {5}} {5! \ Cos \ phi N_ {1} ^ {5}}} (5 + 6 \ eta _ {1} ^ {2} + 28t_ {1} ^ {2} -3 \ eta _ {1} ^ {2} + 8t_ { 1} ^ {2} \ eta _ {1} ^ {2}) - {\ frac {(E-500) ^ {7}} {7! \ Cos \ phi N_ {1} ^ {7}}} ( 61 + 662t_ {1} ^ {2} + 1320t_ {1} ^ {4} + 720t_ {1} ^ {6})}
Bir kürenin özel durumu için formüller
Ters izdüşüm için, hesaplanacak ara değerler şunlardır:
D=DEĞİL-DEĞİL0k0+ϕ0{\ displaystyle D = {\ frac {N-N_ {0}} {k_ {0}}} + \ phi _ {0}}
E′=E-500k0{\ displaystyle E '= {\ frac {E-500} {k_ {0}}}}
Jeodezik koordinatları veren geçiş formülleri şunlardır :
ϕ,λ{\ displaystyle \ phi, \ lambda}
ϕ=Arcsin(günahDcoshE′){\ displaystyle \ phi = \ arcsin ({\ frac {\ sin D} {\ cosh E '}})}
λ=Arctan(sinhE′çünküD){\ displaystyle \ lambda = \ arctan ({\ frac {\ sinh E '} {\ cos D}})}
Ayrıca görün
Referanslar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">