Gelen matematik , spesifik olarak geometri , standardizasyon teoremi arasında Poincare herhangi söylüyor alan bir kabul Riemannsal metrik bir eğriliği sabit. Bunu düşünebiliriz standardizasyon teoremi ait Riemann herhangi basit bağlantılı Riemann yüzeyi bijection olduğunu iddia ederek, uygun planı, küre veya disk sürücüsüyle, özel bir durum ve bir Geometrikleştirme varsayım ait Thurston tarafından 2004 yılında ortaya, Grigori Perelman bir edilir genelleme.
En genel haliyle, herhangi olduğunu Poincaré'in örnekleme teoremi devletler yüzey sabit eğriliğin bir yüzeye azaltılmış veya olabilir, daha doğrusu, bu:
Teoremi - Herhangi bir Rieman manifoldu boyut 2 arasında olduğu konformal bir eşleşme bir Rieman manifoldu ile sabit Gauss eğrilik .
Bu sonuç, 1880 civarında Felix Klein'ın , daha sonra 1900 civarında Paul Koebe ve Henri Poincaré'nin çalışmalarıyla , Poincare'in 1907'de analitik fonksiyonların standardizasyonu hakkındaki makalesinde genel bir gösteri yapmadan önce yavaş yavaş elde edildi ; bu nedenle teorem bazen Klein-Poincare tekdüzeleştirme teoremi adı altında bilinir.
Poincaré'in teoremi.Yüzeylerin sınıflandırması sağlar: bir yüzeyi olan bölüm ayrı bir alt-grubu ile aşağıdaki üç yüzeylerinin birinin izometrileri grubu , bu yüzeyin:
İlk durum, pozitif Euler karakteristiğinin yüzeylerine karşılık gelir : topolojik olarak, küredir ve gerçek yansıtmalı düzlemdir (projektif düzlem, özdeşlik ve merkezi simetri tarafından oluşturulan iki elemanlı grup tarafından kürenin bölümüdür); karşılık gelen metriklerin eliptik olduğunu söylüyoruz .
İkinci durum şu yüzeylere karşılık gelir: Öklid düzlemi , silindir , Möbius şeridi , torus ve Klein şişesi (örneğin, torus, doğrusal olmayan iki düzlem tarafından oluşturulan grup tarafından düzlemin bölümüne karşılık gelir). aynı şekilde, Möbius şeridi, bir ötelemenin ürünü tarafından oluşturulan grup ve bu ötelemeye paralel eksen simetrisi tarafından düzlemin bölümüdür). Kompakt yüzeyler için (topolojik olarak son ikisine eşdeğer), Euler'in boş karakteristiği olanlarla ilgilidir. Karşılık gelen metriklerin parabolik veya düz olduğunu söylüyoruz .
Üçüncü durum, negatif Euler karakteristiğine sahip yüzeylere karşılık gelir: aslında, hemen hemen tüm yüzeyler bu durumda ve hiperbolik bir metriğe sahip oldukları söyleniyor .
Kompakt yüzeyler için, bu sınıflandırma Gauss-Bonnet teoremi ile tutarlıdır; bu , eğrilik sabitse, bu eğriliğin işaretinin Euler karakteristiğininkiyle aynı olduğu anlamına gelir.
Son olarak, bu sınıflandırma, karşılık gelen karmaşık cebirsel eğrinin Kodaira boyutunun (in) değeri tarafından belirlenenle aynıdır .
Riemann yüzeylerinin incelenmesine geçerek, tam bir sınıflandırma yapmak mümkündür: aslında, belirli bir yönlendirilmiş yüzey üzerinde, bir Riemann metriği doğal olarak aşağıdaki gibi hemen hemen karmaşık bir manifold yapısını indükler : v bir teğet vektör ise, J'yi tanımlarız ( v ) aynı normun vektörü olarak, v'ye dik ve teğet düzlemin tabanı ( v , J ( v )) pozitif olarak yönlendirilecek şekilde. Bir yüzeydeki neredeyse karmaşık herhangi bir yapı integrallenebilir olduğundan, bu yönlendirilmiş yüzeyi bir Riemann yüzeyine dönüştürür. Bu nedenle, önceki sınıflandırma, Riemann yüzeylerinin bir sınıflandırmasına eşdeğerdir: herhangi bir Riemann yüzeyi, ayrı bir alt grubun serbest, uygun ve holomorfik hareketiyle evrensel kapsamının bir bölümüdür ve bu evrensel kapsamın kendisi, aşağıdakilerden birine eşdeğerdir . aşağıdaki üç kurallı etki alanı :
Bu, tüm Riemann yüzeylerini evrensel kaplamalarının (sırasıyla) küre, düzlem veya birim disk olmasına bağlı olarak eliptik, parabolik veya hiperbolik olarak sınıflandırmayı mümkün kılar .
Özellikle, Riemann'ın tekdüzeleştirme teoremini ( uyumsal haritalama teoreminden tarihsel olarak bağımsız olarak elde edilmiştir ) çıkarıyoruz :
Teoremi - Herhangi bir Riemann yüzeyi basit bağlantılı olan tutarlı üç biri (ve sadece bir) ile standart alan şunlardır: açılan tahrik ünitesi, kompleks düzlem, ve Riemann küresi
Aşağıdaki grafikler Mandelbrot kümesinin ve segmentin tümleyenlerinin standardizasyonlarına karşılık gelir ( Julia kümesi 'ye karşılık gelir ).
Bu durumlarda, varlığı Riemann teoremi tarafından onaylanan holomorfik önermeleri açıkça oluşturmak mümkündür: Holomorfik dinamikler makalesinde daha fazla ayrıntı bulunacaktır .
Tanıştırarak Ricci akışını , Richard S. Hamilton gösterdi, kompakt bir yüzeye, bu akış üniformalar metrik, bu kadar sabit eğriliğin bir metrik doğru uzanacak söylemektir. Ancak ispatı standardizasyon teoremine dayanıyordu. 2006 yılında, bu yakınsamanın bağımsız bir kanıtı keşfedildi, bu da tekdüzeleştirme teoremini bu şekilde göstermeyi mümkün kıldı.
3. boyutta, Thurston geometrileri adı verilen sekiz geometri vardır . Bu geometrilerden birini herhangi bir 3-manifold üzerine koyabilirsiniz , ancak Thurston'ın geometrileştirme varsayımı , herhangi bir kapalı 3-manifoldun parçalara ayrılabileceğini söylüyor géométrisables; bu varsayım 2004 yılında Grigori Perelman tarafından kanıtlanmıştır .