Sayı altın (veya altın bölüm, altın oranı veya ilahi oran ) a nın oranı , başlangıçta tanımlanan bir geometriye tek rapor olarak bir / b iki parçası arasında bulunan bir ve b bu şekilde toplamının oranı bir + b iki uzunlukları ile ilgili daha büyük olan ( a ), daha küçük olan ( b ) üzerindeki daha büyük olanın ( a ) değerine eşittir ve şöyle yazılır:
.Bu özelliği doğrulayan bir parçanın iki uzunluğa bölünmesine Öklid tarafından “aşırı ve ortalama neden” bölünmesi denir . Altın oran artık genellikle φ (phi) harfi ile gösterilir ve altın açı ile ilişkilidir .
Bu irrasyonel sayı , x 2 = x + 1 denkleminin tek pozitif çözümüdür . Buna değer:
.Normal beşgenin yapımında yer alır . Cebirsel özellikleri onu Fibonacci dizisine ve ikinci dereceden ℚ ( √ 5 ) alanına bağlar . Altın oran da (bazı doğada görülmektedir phyllotaxies örneğin, çiçek başları arasında ayçiçeği , Penrose kaldırım ait yarı-kristalleri (tarafından mimarlık) ya da bazı işler ve anıtlar içinde Le Corbusier tarafından müzik Xenakis tarafından boyama, Dalí ).
Bu oranın tarihi, kesin olarak bilinmeyen bir antik dönemde başlar ; aşırı ve ortalama nedenle de bölünmenin bilinen ilk söz görünen Elements of Euclid . Sırasında Rönesans , Luca Pacioli gökten gönderilen bir ideali ile ilişkilendirerek, bir İtalyan Fransisken keşiş, bir matematik gündemde koyar onu ders kitabı ve takma o “ilahi oran”. Bu vizyon geliştirilmiş ve zenginleştirilmiş estetik boyuta göre, ağırlıklı olarak içinde olduğu XIX inci ve XX inci terimleri "altın bölüm" ve "altın" doğmuş zaman yüzyıllar.
Estetik bir teori olarak kurulur ve mistik bir düzenin argümanlarıyla , fiziksel dünyanın yapılarının, özellikle güzellik ve özellikle uyum kriterlerinin anlaşılmasında önemli bir anahtar, hatta açıklayıcı olarak gerekçelendirilir ; daha sonra doğa ve yaşam bilimlerinde, insan vücudunun oranlarında veya resim, mimari veya müzik gibi sanatlarda varlığı iddia edilir. Besteci Xenakis veya şair Paul Valéry gibi bazı sanatçılar, popüler kitaplarla desteklenen bu vizyonun bir kısmına bağlı kaldılar. Tıp, arkeoloji veya doğa ve yaşam bilimleri aracılığıyla bilim, bu tür teorileri geçersiz kılar, çünkü bunlar istismar edici genellemelere ve yanlış varsayımlara dayanır.
Altın oran , orantı kavramına dayanan ilk geometrik orijin tanımına sahiptir :
Altın oranının tanımlanması - İki uzunlukları bir ve b (katı pozitif) oranı ise “altın oranını” saygılı bir için b oranına eşit olan bir + b için bir :
.Şekil 1'de gösterilen benzer üçgenlerin özelliklerinin bir sonucu olarak bu tanımın grafik bir yorumu vardır . Mavi segmentler a uzunluğunda ve kırmızı kısım b uzunluğundadır . A ve b ile tanımlanan orantının altın olduğunu söylemek, OAB ve OCA üçgenlerinin benzer olduğunu söylemektir . Öklid, “aşırı ve ortalama sebep” olarak adlandırdığı “altın oran”ı şu şekilde ifade eder: “Bir doğrunun tamamı en büyük segmentte olduğu gibi en büyük segmentte olduğunda, bir satırın aşırı ve ortalama sebeplerden kesildiği söylenir. en küçüğünde. "
a / b oranı , a ve b iki değerine bağlı değildir , çünkü bu iki sayı aşırı ve ortalama nedenle orantılıdır. Bu, altın oranın yeni bir tanımını verir:
Altın oranın tanımı - Altın oran , φ olarak belirtilen pozitif gerçek sayıdır, eğer a ve b , aşırı ve ortalama nedenle orantılı iki sayıysa, a / b fraksiyonuna eşittir . Şu formülle verilir:
.Bu nedenle yaklaşık değeri 1.6180339887'dir.
Altının oranını tanımlayan oran (1), eşitliğin a / b ile çarpılmasıyla elde edilen aşağıdaki gibi yazılabilir :
φ bu nedenle ikinci dereceden bir denklemin çözümüdür. Bu özellik üçüncü bir tanıma yol açar:
Altın oranın alternatif tanımı - Altın oran, aşağıdaki ikinci dereceden denklemin benzersiz pozitif çözümüdür :
.Bu denklem, bilinmeyen x'in tersinin x - 1'e eşit olduğunu gösteren denkleme eşdeğerdir (bu, 1 / φ'nin φ'nin kesirli kısmına eşit olduğu anlamına gelir ). Daha genel olarak, bütün güçler üs cp, n, pozitif ya da negatif tamsayı, bir şekilde cp yazılabilir n = bir N + b , n φ, bir N ve B , N olan nispi tamsayılar Fibonacci'yi dizisini takip edin.
Altın oranı tanımlamanın iki yolu vardır, orantı olarak ifade edilen geometrik olan ve bir denklemin benzersiz pozitif kökü olarak sayıyı tanımlayan cebirsel olan. Bu ikili yaklaşım bir cebir problemini, bu durumda ikinci dereceden bir denklemi geometrik bir yöntem kullanarak çözmeyi mümkün kılar: geometrik cebirden bahsediyoruz .
gösterilerHedef İlk başta, Şekil 1 'de bir yapı için olan, iki noktası dikkate O ve A arasında Öklid düzleminde bir mesafe bulunan a , birbirinden. Let I olmak çizgileri bu şekilde bir noktaya , AI ve OA olan dikey mesafe olduğu ve AI eşittir bir / 2. Γ, I çemberinin merkezidir ve A'dan geçer . Son olarak, iki B ve C noktası, şekilde gösterilen sırada OI doğrusu ve γ dairesinin kesişimleridir . Bu tanımlar , b mesafesi olarak O dan B . Yapı ile, mesafe ayırma B den C eşittir bir .
Şekil oluşturulduktan sonra, geriye OAB ve OCA üçgenlerinin benzer olduğunu göstermek kalıyor . Bunu yapmak için, ortak iki açıya sahip olduklarını göstermek yeterlidir. Açı AOB açı olduğunu göstermek için yeterli böylece, iki üçgen tarafından paylaşılan BAO eşittir OCA . Çizgi olarak OA olan tanjant çevreye bu sonuç bir sonucudur çizilebilen açısı teoremi . Üçgenler çok benzer.
İki benzer üçgen, orantılı olan büyük üçgenin taban olduğu Şekil ° C olan OA bu küçük üçgenin taban, OA büyük üçgenin bir tarafında olan OB küçük bir üçgen eşdeğer tarafında. Formül (1) elde ederiz.
Bir Let var kesinlikle olumlu uzunluğu ve c bir gerçek sayı daha küçük bir oran böyle bir / c aşırı ve ortalama nedeni olduğunu. Let OCA olmak mesafe üç hizalanmış noktaları gibi OB eşittir c ve BC için bir . γ, BC çaplı daire ve A , γ'nın noktası olsun, öyle ki OA doğrusu daireye teğet olsun.
Önceki ispatın argümanları, OAB ve OCA üçgenlerinin benzer olduğunu ve elde edilen şeklin bir önceki paragrafınki olduğunu göstermektedir. Sonuç olarak, c değeri önceki paragrafta hesaplanan b'ye eşittir . Bu, b'nin benzersizliğini gösterir .
Cp değerini hesaplamak için, eğer gerçeğini kullanarak bir ve b aşırı ve ortalama orantılı olmasından dolayı, daha sonra ( bir + b ) / bir cp eşittir. Uzunluk , bir bir seçilebilir, basit bir yöntemdir seçerek oluşur 1'e sonra eşittir φ değere eşit bir + b ya da 1 ile + b . Uzunluğu OC uzunluğunun eşittir OB ve bunun BC , ve bu nedenle , b + 1, altın sayısı. Burada 1 sayısı , yapım gereği 1/2 yarıçaplı C dairesinin çapını temsil eder .
OC'nin uzunluğu φ'ye ve ayrıca OI ve IC uzunluklarının toplamına eşittir . Pisagor arasındaki mesafe bu Şekil O ve I eşittir √ 5 /2 uzunluğuna çapraz 1 ve 1/2 dikdörtgen kenar uzunluğu. O I için C daire 1/2 yarıçapına eşittir. OC uzunluğu , istenen sonucu gösteren altın sayı φ ve (1+ √ 5 ) / 2'ye eşittir .
φ'nin hesaplanması için başka bir çözüm, üçüncü tanımı kullanmaktan ibarettir. φ değeri, ikinci dereceden denklemin pozitif çözümü ile verilir:
eşdeğer olduğu kolayca gösterilebilen denklem .İkinci dereceden denklemin diskriminantı 1 + 4 = 5'e eşittir, iki çözüm var, sadece biri pozitif, şunu çıkarıyoruz:
.İkinci dereceden denklem makalesinin girişinde diskriminant kullanmayan bir hesaplama önerilmiştir .
Önceki hesaplamalar, bir cetvel ve bir pusula kullanarak , aşırı ve ortalama bir nedenin bir oranını çizmeyi mümkün kılar . Yöntem şekil 2'de gösterilmiştir. C merkezli ve 1 yarıçaplı (turuncu renkli) bir daire çiziyoruz . Ardından, yarıçapın sonundan, yarıçapa dik, 1/2 uzunluğunda bir parça (yeşil) yükseltiriz ve C ' merkezli ve 1/2 yarıçaplı bir daire çizeriz . Uçları C olan mavi doğru parçası ve CC'nin uzantısındaki C ' çemberinin noktası φ uzunluğundadır.
Dolayısıyla bu yöntem, bir "altın dikdörtgen", yani a ve b'nin aşırı ve ortalama akıl orantılı olacak şekilde uzunluğu a ve genişliği b olan bir dikdörtgen oluşturmayı mümkün kılar . Başka bir deyişle, bir dikdörtgenin uzunluğunun genişliğine oranı altın sayıya eşitse, bir dikdörtgenin altın olduğu söylenir. Ancak b genişliğinde altın bir dikdörtgen çizmek için daha basit bir yöntem (bkz. şekil 3) b kenarı olan bir kare çizmektir . Tabanın ortasını merkez alarak karşılıklı iki köşeden geçen bir daire çiziyoruz. Bu dairenin karenin tabanını uzanan çizgiyle kesişimi , altın dikdörtgenin a tabanının sonunu belirler .
Biri yatay, diğeri dikey formatta (şekil 4) iki özdeş dikdörtgen yan yana yerleştirilerek yeni bir dikdörtgenin ana hatları çizilir. Başlangıç dikdörtgeni, ancak ve ancak köşegeni büyük dikdörtgenin köşegeniyle çakışıyorsa altındır. Gerçekten de, şekil 3'ün a × b dikdörtgeni üzerine köşegen çizersek, elde edilen yatay dikdörtgen altın olur çünkü büyük olana homotetiktir ve uzunluğu b olduğundan, bu nedenle dikey dikdörtgenle aynıdır, bir sonraki paragrafta açıklandığı gibi altın olan.
Kenarları a × b olan altın bir dikdörtgenden b kenarının bir karesini çıkararak (şekil 3 ve 4), geriye b uzunluğunda ve a - b genişliğinde bir dikdörtgen kalır . Hızlı bir hesaplama, bu dikdörtgenin hala altın olduğunu gösterir:
.İşlemi tekrarlamak ve a - b kenarlarının bir karesini b × ( a - b ) kenarlarının altın dikdörtgenine entegre etmek mümkündür . Bu yöntem süresiz olarak genişletilebilir (Şekil 5). Her karede, şekildeki gibi, karenin her iki tarafında bir çeyrek daire çizilirse, bir spiral elde ederiz. Bu grafik, altın sarmal, kutupsal bir denklemin iyi bir tahminidir :
.Bu spiral, logaritmik spiralin özel bir halidir . Bu ailenin herhangi bir spirali gibi, karakteristik bir özelliği vardır: A , spiralin bir noktasıysa, o zaman spiralin merkezinden geçen çizgi ve A , spiral A'ya teğet ile sabit bir açıdır . Böyle bir spirale "eşkenar" denir.
Altın dikdörtgenin ne olduğu hakkında bir fikir edinmek için, ISO 7810 formatındaki bir ödeme kartına bakabiliriz (küçük tarafının en az bir milimetre küçültülmesi koşuluyla, uzunluk ve genişlik arasındaki oran yaklaşık %2'den daha düşüktür). altın oran ) veya pek çok karton kapaklı format arasında 11 × 18 cm formatında bir kitap (uzun kenarı en az iki milimetre küçültüldüğü takdirde, oran bu sefer %1'in biraz üzerinde daha yüksektir). A4 formatındaki bir kağıt yaprağı, altın bir dikdörtgeni temsil etmek için çok büyük, yakınlaştırmak için kısa kenarından iki buçuk santimetreden fazla çıkarmak gerekir ( bu formatlarda uzunluk ve genişlik arasındaki oran tam olarak , veya biraz daha az ).
Diğer şekiller, “altın yumurta” gibi altın oran kullanılarak çizilir.
Animasyon: Bir kareden altın bir dikdörtgenin inşasıBir düzenli beşgen aşırı ve orta nedenle oranını kullanılarak inşa edilmiştir. Çapında bir daire düşünün OP 1 ve yarıçap a soldaki Şekilde gösterilen. Eğer b gerçek sayı daha az olan bir şekilde bir ve b altın ile orantılı olan ve P 2 , P 3 , P 4 ve P 5 çapı dairenin kesişme OP 1 merkezi ile iki daire ile O ve yarıçap a + b ve b , sonra beş nokta P i bir beşgen tanımlar.
İlişkili pentagram (sağda şekle bakınız) şekil beşgen beş köşegenlerinin oluşan demek ki, aynı zamanda aşırı ve orta nedenlerinden birden oranlarını içeriyor. Basitçe , kenar uzunlukları altınla orantılı olan ikizkenar üçgenler kullanılarak ifade edilirler. Bu tür üçgenlere altın üçgenler denir . Orantılı bir taban kısmına sahip olan, sarı iki farklı tipi vardır bir ve iki tarafı b ve portakal bir baz ile orantılı olan , b ve iki tarafı , bir . Koyu üçgenler aynı rengin daha açık olanlarına benzer, açık ve koyu arasındaki oran hala altındır.
Sarı üçgenler, düz bir açının beşte biri ve 108 ° veya bir düz açının beşte üçü olmak üzere 36 ° 'lik iki açıya sahiptir. Böyle bir üçgene bazen "gümüş üçgen" denir. Turuncu üçgenler 72 ° 'lik iki açıya, düz açının beşte ikisi ve 36 ° açıya sahiptir. Kenarları her zaman a ve b olan altın ve gümüş üçgenler ile tüm Öklid düzlemini periyodik olmayan bir şekilde döşemek mümkündür. Böyle bir döşemeye Penrose denir .
geometrik gösterilerTrigonometri Bu paragrafta anlatılan farklı özellikler gösterebilir, geometriyi kullanarak bu sonuçları kurmak da mümkündür.
İlk lemma, farklı ispatların anahtarıdır. Let bir ve b ile bir > b aşırı ve ortalama aklın orantılı olarak iki uzunlukları. Her iki ABD böyle bir altın üçgen bir ve B bir mesafe yer almaktadır a birbirinden ve B ve D , bir mesafe en b .
Bu önerme sağdaki şekle karşılık gelmektedir. Yapım olarak, mesafeler AB ve AD eşit bir . Nokta düşünün E segment AB bulunan b ait A üçgen bu ve göstermek AEC (yeşil) eşittir BCD (sarı renkli). Bir açıları ve iki eşit kenarı olduğunu göstermek yeterlidir. AEC ve ABD üçgenleri benzerdir (çünkü her iki ikizkenar da aynı tepe noktasına sahiptir) ve a / b oranındadır . B ve D arasındaki mesafe b'ye eşit olduğundan , C ile E arasındaki mesafe a - b'ye eşittir (çünkü b / ( a - b ) = a / b ). Şimdi bu mesafe C ve D arasındaki mesafeyle aynıdır . Benzerliği üçgenler ACE ve AKB açı gösterir , ACE eşittir ADB . Son olarak, mesafe DB eşit olduğu AC . İki üçgenin iki kenarı ve bir açısı eşittir, bunlar aynıdır. Üçgen ACE altın üçgen benzer olan ADB , bir altın üçgen yanı sıra üçgeni BDC . Başlangıç üçgeni ile a / b orantılıdır .
Geriye ACB üçgeninin gerçekten para olduğunu kanıtlamak kalıyor . Bu mesafe kanıtlamak için yeterli B için C eşittir b . Şimdi, BDC üçgeni bir altın üçgen olduğundan, BC mesafesinin BD'ye eşit olduğunu ve dolayısıyla gösteriyi sonlandıran b'ye eşit olduğunu biliyoruz .
Önceki lemma bize ABC üçgeninin köşesi C olan ikizkenar olduğunu iddia ediyor . Bu nedenle DCB açısı CAB açısının iki katına eşittir ya da doğru notasyonlarla: μ = 2θ. Öte yandan, BCD üçgeni de bir altın üçgendir, ikizkenar zirvesi B'dir . Açıları θ, 2θ, 2θ'dir. Açıların toplamı 180 ° 'ye eşit olduğundan, 5θ = 180 °, yani θ = 36 ° elde ederiz. Hemen ardından μ = 2θ = 72 °, ardından η = 180 ° - μ = 108 ° gelir.
θ'nin yarım dönüşün beşte birine, μ'nin beşte ikisine ve η'nin beşte üçüne eşit olduğuna dikkat edin.
Burada kullanılan yöntem, iki köşenin ardışık olması durumunda, dairenin merkeziyle açılarının 72 ° olduğunu göstermekten ibarettir.
Açı p 4 AP 5 olan 72 °:İlk aşama, noktalar gerçeğinin bir sonucudur P 4 ve P 5 merkezi daire kesişimi olarak tarif edilmektedir O ve yarıçap b merkezi daire ile A ve yarıçap a . P 4 AO ve OAP 5 üçgenleri altın, P 4 AO ve OAP 5 açılarının her biri 36 °, bu da sonuca varmayı mümkün kılıyor.
Açı p 4 AP 2 olduğu 72 °:Arasındaki mesafe , O ve P 2 eşittir bir + b arasındaki, O ve A olarak ayrıca arasındaki A ve P 2 eşittir bir . OAP 2 üçgeninin gümüş bir üçgen olduğu sonucuna varıyoruz . OAP 2 açısı bu nedenle 108 ° 'dir. Farkla, P 4 AO açısı 36 ° olduğundan, P 4 AP 2 açısının 108 ° - 36 ° veya 72 ° olduğunu elde ederiz .
Açı p 2 AP 0 olan 72 °:OAP 2 açısı 108 ° ve OAP 0 açısı düz olduğundan P 2 AP 0 açısı 180 ° - 108 ° veya 72 ° 'ye eşittir.
Sonuç:Hala P 5 AP 3 ve P 3 AP 0 açılarını ölçmek için kalır . Bunun için, bu hat bildirimi için yeterli OA ekseni olan simetri dolayısıyla açısı beşgen, bir P 5 AP 3 eşit olan P 4 AP 2 ve p 3 AP 0 eşittir p 1 AP 0 uçları, gösteri.
Gümüş ve altın üçgenlerin ölçümlerinin analizi, beşgen ile ilişkili trigonometrik değerlerin belirlenmesini mümkün kılar. Tabanı φ olan ve dolayısıyla kenar uzunlukları 1 olan gümüş bir üçgen düşünelim. Ortası kesilmiş olan bu üçgen, sağdaki şekilde olduğu gibi, hipotenüs uzunluğu 1 olan bir dik üçgendir. Tabanı φ uzunluğundadır. / 2 çünkü gümüş dikdörtgenin yarım tabanına karşılık gelir. Şu sonucu çıkarabiliriz:
.Benzer bir akıl yürütme altın üçgen için de geçerlidir . Kenarların uzunluğu her zaman 1'dir, taban altınla orantılıdır, dolayısıyla φ –1 uzunluğundadır. 72 ° kosinüsünün (φ - 1) / 2'ye eşit olduğunu çıkardık. Bu değerlerden ve farklı formüllerden 36° açının katlarının yanı sıra yarımların trigonometrik fonksiyonları ile görüntüleri hesaplamak mümkündür.
Bir beşgenin farklı karakteristik değerlerini belirlemenin bir başka yolu da karmaşık düzlemi kullanmaktır . Köşelerin ekleri , birimin beşinci kökleridir . 5 bir Fermat sayısı olduğundan, Gauss-Wantzel teoremi , düzenli beşgenin bir cetvel ve bir pergel ile oluşturulabilmesiyle sonuçlanır: kökler, ikinci dereceden denklemlerin ardışık çözümleriyle elde edilir. Karmaşık düzlemde, beşgenin köşelerinin ekleri 1'dir ve beşinci siklotomik polinomun kökleri X 4 + X 3 + X 2 + X + 1'dir.
Altın oranı içeren trigonometrik fonksiyonların değerleriYarım açı formülünü uygulamak :
;çift açı ve tamamlayıcı açı formüllerinin yanı sıra 9°'nin katı olan tüm açıların kosinüslerini de belirleyebiliriz. Bazıları altın oran kullanılarak ifade edilir:
Ayrıca , açının yarısının kosinüsü için formülü uygulayarak şeklin açılarının kosinüsünü de belirleyebiliriz :
.Genel olarak:
.Geometriden başka bir yol, altın oranın, aritmetiğin özelliklerini daha iyi anlamamızı sağlar . Cebirsel özelliklerinin yanı sıra Fibonacci dizisi , sürekli kesirler veya belirli Diophantine denklemleri gibi ilk bakışta farklı olan konular arasındaki derin ilişkileri vurgular . Diophantine denklemi, katsayıları tamsayı ve istenen çözümleri tamsayı olan bir denklemdir.
Altın oran, φ 2 = 1 + φ denkleminin çözümüdür . φ bir sayı sisteminin temeli olarak kullanılırsa bu özelliğin dikkate değer sonuçları vardır ( altın bazına bakınız ). Ayrıca, φ'yi iç içe karekökler biçiminde yazmaya da izin verir :
.Altın oranı da ilgilidir , belirli bir halka ait cebirsel tamsayı . Referanslar, bağıl tamsayılarınkilere kıyasla değiştirilir , ancak analoji yoluyla "tam" kelimesi hala kullanılmaktadır: altın sayı cebirsel bir tam sayıdır ve hatta ikinci dereceden bir tamsayıdır . "Bütün"e eklenen kelime farkı gösterir. Örneğin , olağan tamsayılarda asal sayı olan 11, bu yeni sayılar evreninde asal bir öğe değildir .
Devam eden kesir , gerçek bir sayıya yaklaşmanın bir yoludur ; altın oran durumunda, basittir. 1 veya 1+1/1 değerleri ile yaklaşılabilir. Aşağıdaki kesir daha kesindir:
.Bu yöntemin sonsuz uzantısı tam olarak altın oranı verir:
.Gerçekten de, sağ taraf , yapım yoluyla, yani x 2 = x + 1'i karşılayan pozitif bir irrasyonel x'i temsil eder . Bu x sayısı bu nedenle φ'ye eşittir.
Altın sayıya sistematik olarak yaklaşan sürekli kesir, katsayılarının her biri için mümkün olan en küçük değere, yani 1'e sahiptir. Bu irrasyonel sayı ve ona eşdeğer olanların tümü , gerekçelere göre en zayıf yaklaşanlardır. Onun hakkında gerçek sayıların “en irrasyonel”i olduğu söylenir (bkz. Hurwitz'in Diophantine yaklaşımları üzerine teoremi ).
Mekanizmanın grafik açıklamalarıAyrıntılı makalede daha klasik ve titiz bir gösteri sunulmaktadır.
Devam eden kesri göstermenin bir yolu aşağıdaki gibidir. İlk önce yan yana ve yan 1 olan iki kareden oluşan bir dikdörtgen çiziyoruz. Bunlar sağdaki şekilde 1 numaralı iki karedir . Şeklin uzunluğu ve genişliği arasındaki oran, altın oranın tam sayısındaki en iyi yaklaşım olan 2'ye eşittir. Önceki şeklin uzunluğuna eşit bir yan kare ekleyin. Böyle bir karenin 2 kenarı vardır, buraya 1+1 yazmak akıllıca olur. Uzunluk-genişlik oranı 3/2 olan ve 1 + 1/2 veya hatta 1 + 1 / (1+1) şeklinde yazılan üç kareden (ikisi 1 numaralı ve biri 2 numaralı) bir dikdörtgen elde ediyoruz. Bir önceki dikdörtgenin, yani şekilde 3 numaralı dikdörtgenin uzunluğuna eşit bir kenar karesi ile yineleyerek şunu buluruz:
.Yaklaşım kesin olmaya başlar: 1,66 değerindedir…; altın oranın değeri 1,62... Bir öncekinin uzunluğunu bir kare kenara alarak işlemi tekrarlıyoruz; 1 + 3/5 yazılmış ve önceki hesaplama ile 8/5 gibi bir rapor elde edilir:
.Şeklin son yinelemesi, uzunluk-genişlik oranı yüzde 13/8 olan bir dikdörtgen verir. İşlem sonsuza kadar tekrarlanırsa, altın oranın sürekli bir kesir olarak ifadesini elde ederiz :
.Bu sonucun daha önce bahsedilen geometrik bir sonucu vardır. Dikdörtgen oluşturma işlemi yeterli sayıda yinelenirse. Maksimum boyutta bir karenin çıkarılması, ölçüm hataları dışında ilk dikdörtgenle aynı oranda dikdörtgen bir alan bırakır. Altın bir dikdörtgen alıyoruz.
Devam eden kesir ile elde edilen pay ve payda çiftlerinin hesaplanması, aşağıdaki değerleri verir (1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3), ... payda karşılık gelir önceki kesrin payına. Ayrıca eşittir n- Fibonacci dizisi (th terimi F , n ). Tümevarım ile tanımlanır:
.Fibonacci dizisi bu nedenle altın oranın yaklaşımlarını sağlar:
.Yakınsama hızı doğrusal olduğu; arasındaki fark F , n + 1 / F , n ve cp olarak, bir mutlak değer az, kare tersinin F , n . Örneğin, F 16 / F 15 = 987/610 = 1.6180327… kesri milyonda birine yakın bir kesinlik sunar.
Tersine, Binet'in formülü , Fibonacci dizisini altın oranın bir fonksiyonu olarak ifade eder:
. gösteriEşdeğeri çıkarıyoruz :
.Gerçekten de, –1 / strictly kesinlikle -1 ile 0 arasındadır, bu nedenle güçleri giderek daha fazla 0'a yaklaşırken, of'ninkiler sonsuzluğa yönelir. (–1 / φ) n'deki terimi ihmal ederek, önceki ifadeye en yakın tamsayıyı alırsak, şunu elde ederiz:
.Devamı fraksiyon rasyonel yaklaşımlar sağlar F , n + 1 / F n için "hemen hemen" çözeltilerdir Yukarıdaki denklemde (1) . Daha açık olarak, ( F , n + 1 / F n ) 2 - ( E n + 1 / F n ) 1 - ki değil (altın oranı mantıksız olduğundan), ancak (1) için 0 eşit ait N / K , n 2 veya tekrar:
.Bu Diophantine denklemi ile ilgilidir:
.Durumda , n , a = 5 Brahmagupta kimliği alır değişken dönüşümü ile , aşağıdaki biçimde:
.( a , b ) ve ( c , d ) denklem (2)'nin iki çift çözümünü oluşturuyorsa, bu özdeşlik bu nedenle e = ac + bd ve f = ad + bc + ile verilen yeni bir çözüm ( e , f ) sağlar. bd . Aşağıdaki özel "çarpma"nın keşfi böylece önemsiz olmayan bir çözümden istendiği kadar çok çözüm oluşturmayı mümkün kılar:
.Gerçekten de ( x , y ) çözümünü kendisiyle birleştirerek yeni bir çözüm elde ederiz: ( x 2 + y 2 , 2 xy + y 2 ) ve bu işlemi tekrarlayabiliriz.
Ayrıca ( F p –1 , F p ) ile ( F q –1 , F q ) birleştirerek ( F p + q –1 , F p + q ) elde ettiğimize dikkat edin .
a + φ b ( a ve b bağıl tamsayıları ile) biçimindeki gerçek sayıların ℤ [φ] ile gösterilen kümesi, toplamayla değil, aynı zamanda çarpmayla da kararlıdır, çünkü φ 2 = 1 + φ (adım adım, tüm φ'nin güçleri bu nedenle ℤ [φ]'dedir; daha kesin olarak, φ n = F n –1 + F n φ, burada ( F n ) Fibonacci dizisini gösterir).
Bu yüzden, bir yapı, bir yanı ve bir çarpma ile donatılmış değişmeli halka içerir . ℤ [φ]'nin ikinci dereceden ℚ ( √ 5 ) alanının " tamsayı " öğelerinin , yani X 2 + cX + d biçimindeki bir polinomun kökleri olan , c ve d bağıl tamsayılar.
[Φ] halkası ℤ olan Öklid olduğu, bir sahiptir, Öklid bölümü ilgili tam sayı halka ℤ benzer. Bachet-Bézout teoremi , Öklid'in lemması veya aritmetiğin temel teoremi gibi ℤ üzerindeki olağan aritmetik araçlarının tümü Öklid bölünmesinin sonuçlarıdır.
ℤ'nin aritmetiğini anlamak genellikle asal sayıları anlamayı içerir . ℤ [φ] halkası da kendi asal elemanlarına sahiptir . 11 = (3 + 2φ) (5 - 2φ) karşı örneğinin gösterdiği gibi, ℤ asal sayısı ℤ [φ]'de her zaman asal değildir . Bu fark, klasik teoremlerin uygulanmasında değişiklikler meydana getirir. Örneğin, Fermat'ın Küçük Teoreminin bir analogu , bir p asal sayısının φ p –1 - 1'i yalnızca ± 1 modulo 5 ile uyumluysa böldüğünü gösterir .
Bazı tarihçiler, altın oranın tarihinin bu değerin belirli bir çalışmanın konusu olmasıyla başladığını düşünürler. Diğerleri için, altın oran kullanılarak hesaplanan en az bir oran içeren geometrik bir şekil belirlemek yeterlidir. Keops piramit (yaklaşık 2600 BC) bu son kongre, kökeni için iyi bir aday göre olur .
Tarihçilerin hepsi, eski kökenin varlığı konusunda hemfikirdir , ancak kesin bir dönem belgesinin yokluğu, köken hakkında tartışılmaz bir bilgi birikimini engellemektedir. Bu bağlamda, bazen altın oranın kökeninin Pisagorcularda olduğu hipotezi ileri sürülür : onlar düzenli oniki yüzlüleri bilir ve inşa ederlerdi.
Pisagorcular zaten ikizkenar üçgenler kullanan bir beşgen yapısını biliyorlardı . O zaman, altın bölümün çalışması, esasen geometrik olan Hypsicles , bir Yunan matematikçi II inci yüzyıl M.Ö.. AD , düzenli çokyüzlülerin ölçümü için kullanır . Bir pentagon mevcut olduğunda geri döner.
Aritmetik yaklaşım başlangıçta, herhangi bir sayının rasyonel olmasını isteyen Pisagor önyargısı tarafından engellenir (altın oranın olmadığını unutmayın). Platon bu zorluğu çağrıştırır. Muhtemelen normal çokgenler için tarih geri bazı köşegenlerinin irrasyonelliğin ilk kanıt V inci yüzyıl M.Ö.. AD . Platon , √ 5'in ve dolayısıyla altın oranın irrasyonelliğini gösteren hocası Theodore of Cyrene'nin çalışmasından alıntı yapar . Bu andan itibaren, Yunan matematikçiler köşegen ve yan sayılara yaklaşmak için algoritmalar keşfettiler . Çok daha sonra, Kahraman İskenderiye'nin , bir matematikçi ben st yüzyıl tabloları kullanarak bu yaklaşımı furthers trigonometrik ait Batlamyus .
İlk tartışmasız matematiksel metni olmasıdır Elements of Öklid (yak. 300 BC). Olarak 3 inci tanımı kitap vi altın oranı geometrik oran olarak tanımlanır:
“ Tamamen en büyük segmente göre olduğu için, en büyüğü görece en küçüğüne göre olduğunda, düz bir çizginin aşırı ve ortalama bir nedenle kesildiği söylenir. "
Beşgen, ikosahedron ve düzenli dodekahedron ile ilişkisi vurgulanmıştır. Bu nedenle, Pisagorcular tarafından zaten çözülmüş olan geometrik problemlerle bağlantılıdır, ancak bilim tarihçisi Thomas Heath'e göre ( Proclus'a dayanarak ), muhtemelen Platon'dur, o zaman onu başlı başına bir inceleme nesnesi haline getirir :
“Platon'un (altın oranın ) çalışmasını içsel bir konu olarak başlattığı fikri , Eucl'in sorunu olduğu varsayımıyla hiç de çelişkili değildir . II . Pisagorcular tarafından çözüldü. "
Arapça matematik Bunlara bir yeni bir görünüm, daha sonra adı verilen altın getir. Onlar için ilgisini temsil eden geometrik özellikleri değil, ikinci dereceden denklemlerin bir çözümü olduğu gerçeğidir . Harizmi , bir Pers matematikçi VIII inci yüzyıl , iki parça halinde on adet uzunluğa bölünmesi birkaç sorunları var. Bunlardan birinin çözümü, başlangıç boyutunun altın sayıya bölünmesidir. Ebu Kamil , ikisi altın oran ile bağlantılı olan aynı nitelikte başka sorular önermektedir. Öte yandan, ne El-Harezmi ne de Ebu Kamil için aşırı ve orta akıl oranı ile olan ilişki vurgulanmıştır. Bu nedenle, altın oran ile olan ilişkinin onlar için açık olup olmadığını bilmek zorlaşıyor.
Daha çok Fibonacci adıyla tanınan Leonardo Pisano , Abu Kamil denklemlerini Avrupa'ya tanıttı. Liber Abaci adlı kitabında , sadece 10 birimlik bir doğrunun iki parçasının uzunluğunu bulmakla kalmıyor, aynı zamanda bu sayılar ve Öklid oranı arasındaki ilişkiyi de açıkça gösteriyor. Onun kitabı tanıttı şimdi kendi adını taşıyan paketi bilinen, "Hint Adaları" olarak beri VI inci yüzyıl . Öte yandan altın oran ilişkisi yazar tarafından algılanmamaktadır. Bu dizinin bir elemanı, önceki iki dizinin toplamıdır.
1260'da Campanus , altın sarmalda görselleştirebileceğimiz sonsuz bir inişle φ'nin mantıksızlığını gösterir .
Sonunda XV inci yüzyılda , Luca Pacioli başlıklı bir kitap yazdı ilahi oran gösterildiği, Leonardo da Vinci . Matematiksel yön yeni değilse, altın oran sorununun ele alınması emsalsizdir. Sayının ilgisi matematiksel olduğu kadar mistik özelliklerinde de yatmıyor, "Tanrı'ya ait niteliklerle uyuşuyorlar ..." Pacioli onu ikna eden on nedeni aktarıyor. Kıyaslanamazlığına form yazarın kalemi alır "Farklı Allah çok deyişle tanımlanamaz ve kelimeler bize oran bildiğimiz ki bir sayı ile belirlenmesi mümkün değildir bu yüzden anlamak, ne de bazıları tarafından ifade yapamaz rasyonel nicelik, ancak her zaman gizemli ve gizlidir ve matematikçiler tarafından irrasyonel olarak nitelendirilir ” .
Pacioli kitabının gönderilişini şöyle yazıyor: "Felsefe, perspektif, resim, heykel, mimari, müzik ve diğer matematik disiplinlerini incelemeyi seven herkesin çok hassas, ince ve takdire şayan doktrin ve çok gizli bir bilime değinen çeşitli sorulardan zevk alacak. ” , Ancak bu oranın uygulanma şekli konusunda sağduyulu. Mimari konusundaki incelemesinde yazar, kendisini antik Roma'nın bir mimarı olan Vitruvius'un oranlarıyla sınırlar . İnsan vücudunun görüntüsünde seçilen tam sayıların kesirlerine karşılık gelirler. Yunan Phidias'tan bir heykeli örnek olarak verirse, sadece altın oranı düzenli bir on ikiyüzlü , özün beşgen sembolü ile ilişkili bir figür, ilahi olanın bir temsili olarak görmek içindir. Rönesans mimarları altın oranı kullanmazlar.
Dönemin matematikçileri de dışlanmadı. Gerolamo Cardano ve Raphael Bombelli gibi polinom denklemlerinin uzmanları, ikinci dereceden denklemlerle altın sayısının nasıl hesaplanacağını gösteriyor. Daha şaşırtıcı bir sonuç anonimdir. Bir el yazısı başından itibaren not XVI inci yüzyılda ve 1509 Öklid Pacioli elemanlarının çeviri yazılmış, Şekil Fibonacci dizisi ve altın oranı arasındaki ilişkinin bilgisi. Dizideki bir terimi emsaline bölersek, altın oranın yaklaşık bir değerini buluruz. Terim ne kadar yüksek olursa, yaklaşım o kadar iyi olur ve istendiği kadar kesin olabilir. Bu sonuç daha sonra Johannes Kepler ve ardından Albert Girard tarafından bulundu . Kepler altın orandan çok etkileniyor, bunun için “Geometri iki büyük hazine içeriyor: biri Pisagor teoremi; diğeri, bir çizginin ortalama ve aşırı neden olarak bölünmesidir. Birincisi altın bir kurala benzetilebilir; değerli bir mücevherden ikincisi” .
Matematik cephesinde, ilgi azalıyor. Gelen XVIII inci yüzyılın , altın oran ve düzenli polyhedra kabul edilir "geometrinin bir işe yaramaz dalı olarak yeterince adaletle" . Altın orana ilişkin olarak, sonraki yüzyılda buna hala biraz dikkat ediyoruz: Jacques Binet, 1843'te , belki ondan önce bilinen, ancak şimdi adını taşıyan formülü gösterdi : : harfi d'yi gösteriyorsa , ancak , Fibonacci dizisinin n'inci terimi şu şekilde verilir: (φ n - (1 - φ) n ) / √ 5 . Çalışmaların çoğu Fibonacci dizisine odaklanıyor. Édouard Lucas , ilk kez “Fibonacci dizisi” adını verdiği bu diziyle ilişkili ince özellikler bulur. En önemli sonucu, Fibonacci dizisindeki asal sayıların görünüm yasası olarak adlandırılır .
Bu yüzyılda “altın bölüm”, ardından “altın sayı” terimleri ortaya çıktı. Martin Ohm tarafından yazılmış bir temel matematik kitabının yeniden baskısında bulunurlar . Bu ifade bir dipnotta alıntılanmıştır: "Bazı insanların böyle iki parçaya bölünmeyi altın bölüm olarak adlandırma alışkanlığı vardır ." " Bu yeniden yayın, 1826 ile 1835 arasındaki bir dönemde ortaya çıktı, ancak kökeni bir sır.
Alman filozof Adolf Zeising'in çalışmasıyla yüzyılın ortalarında ilgi yeniden ortaya çıktı . Bununla birlikte, altın oran gerçek bir sistem haline gelir, hem sanat - mimari, resim, müzik gibi - hem de bilim - biyoloji ve anatomi ile birçok alanı anlamanın anahtarı olur. Yaklaşık on yıl sonra, üzerine bir makale yayınladı pentagram , “Bu oran en belirgin ve örnek tezahürü” . Pisagor metafiziğinin yeniden okunması, onun pentagrama ve dolayısıyla altın orana dayanan evrensel bir yasa olduğu sonucuna varmasına izin verir. Şüpheli bir bilimsel yaklaşıma rağmen, Zeising'in teorisi çok başarılı.
Fransa'da güzelliği bilimsel olarak kodlayabilmek popüler bir fikirdir. Boyutları Louvre ve ark de Triomphe'e dikkatle ölçülmüştür. Heyetler, Mısır piramitlerinin ve Parthenon'un boyutunun tam olarak ölçülmesinden sorumludur . Katedraller geride bırakılmamalıdır. Fransa, şampiyonunu , zamanının pozitivist ruhunun bir parçası olan bir bilim adamı olan Charles Henry'de bulur . Bir kurucu metinde, noktacı hareketin kökeninde , altın oranı bir renk ve çizgiler teorisi ile ilişkilendirir. Seurat veya Pissarro gibi ressamlar üzerindeki etkisi göz ardı edilemez, ancak altın orana olan bağlılığı Alman meslektaşı kadar derin değil: 1895'te nihayet güzeli ölçme fikrini terk etti. .
Altın oranın popülaritesi, pozitivizmin çöküşüyle ölmek şöyle dursun, yüzyılın ilk yarısında arttı. Romanya prensi Matila Ghyka tartışmasız kantor oldu. Bir önceki yüzyılın tezlerini alır ve genelleştirir. Zeising gibi, her şeyden önce deniz kabukları veya bitkiler gibi doğadan örneklere dayanır. Bu evrenselliği, selefinden daha esnek kurallarla mimarlığa uygular. Bu teori, notasyonları zaten etkilemişti, altın oran, Parthenon'un tasarımcısı olan heykeltıraş Phidias'a atıfta bulunularak not edildi.
Ghyka'da mistik boyut yoktur ve kökenini Pisagor felsefesinde bulur . Pisagorcular arasında altın oran hakkında yazılı bir kaydın olmaması, gizlilik kültü ile açıklanabilir. Bu fikir yaygın ezoterik düşüncelerin hareketlerin tarafından alınır ve genelleştirilmiş XX inci yüzyıl . Altın oran, Gül Haçlılar veya ilgili hareketler arasında İlkel Gelenek veya Okült Bilgi olarak adlandırılan kayıp bir bilginin izi olacaktır . Bu düşünce hareketi Almanya'da geliştirilen fikirler üzerine inşa XIX inci yüzyıl , altın sayısının varlığı hangi - Franz Liharzik (1866 1813) tarafından π ve sihirli kareler kanıtı "tartışılmaz" dir içeriden küçük bir grup matematiksel mutlak sahip Bilim.
In 1929 , eskidendi fikirler rahatsız bir zaman, Ghyka altın oran üzerine yaptığı çalışmadan bir sonuç olarak çizmek için tereddüt etmedi, onun ırkı olarak kabul ne üstünlüğü: "Geometrik bakış açısı zihinsel gelişimini karakterize […] tüm Batı uygarlığı içinde […] beyaz ırka teknik ve politik üstünlüğünü veren Yunan geometrisi ve geometrik duygusuydu. " Eğer prens altının bu yönü üzerinde çok zayıf ısrar ediyorsa, diğerlerinde hiç tereddüt yoktur. Farklı ilahi oranlara sahip bir popülasyonun morfolojisinin yeterliliğini, ırk olarak nitelendirilen bir üstünlük çıkarımı yapmak için kullanırlar . Bu kriter, en ufak bir analize gerek kalmadan belirli popülasyonları kınamayı mümkün kılar. Altın oran, şimdi bile, kültürel, sosyal veya etnik üstünlüğün iddia edilen kanıtlarına tabidir.
Bu aşırı fikirleri onaylamadan, bazı entelektüeller veya sanatçılar altın oran veya onun efsanesine karşı gerçek bir büyülenme yaşarlar. Besteci Iannis Xenakis bazı bileşimler için matematiksel özelliklerini kullanır. Mimar Le Corbusier insan morfolojiye göre bir binanın boyutlarını kurulması fikrini kaplıyor ve bunun için altın oranı kullanır. Şair ve entelektüel Paul Valéry , defterlerinde ve Sütunlar Canticle (1922) de dahil olmak üzere çeşitli şiirlerinde bahsettiği altın oran ile çok ilgilendi :
“Altın sayıların kızları,
Cennetin yasalarında güçlü , Üzerimize
düşer ve uykuya dalar
Bal rengi bir tanrı. "
Ressam Salvador Dalí , örneğin Son Akşam Yemeğinin Ayini adlı bir tablosunda, resminde altın orana ve mitolojisine atıfta bulunur .
Matematiksel olarak, altın oran zıt bir yörünge izler, aurası sadece azalır ve saf araştırma alanını terk eder. Bununla birlikte, bir istisna vardır, Fibonacci dizisi üzerine Fibonacci Quarterly incelemesi . Öte yandan, altın oran bazı bilimsel konuların anahtarı gibi görünmektedir. Çam kozalağı pulları gibi bazı bitkilerde bulunan spiralle ilgili filotaksis sorunu, gerçekten Öklid oranıyla bağlantılı mı? Bu soru, geçen yüzyıldan beri çok mürekkebin konusu olmuştur. Wilhelm Hofmeister , bu sarmalın basit bir kuralın sonucu olduğunu varsayar . Alman botanikçi Julius von Sachs için bu, yalnızca öznel, gururlu bir matematik oyunudur. 1952'de bilgisayar biliminin kurucu babası bir bilim adamı olan Alan Turing , Hofmeister'in haklı olduğunu kanıtlayacak bir mekanizma önerdi. İki Fransız fizikçi, Stéphane Douady ve Yves Couder , sonunda Hofmeister ve Turing'i doğrulayan deneyi buldular. Bitki dünyasında altın oranın varlığı ne tesadüfi ne de öznel görünüyor.
Altın oranın her yerde mevcut olduğu tezi sıklıkla ele alınır. Bu fenomen hakkında kesin bir fikir, insanların çalışmasıyla ilgili olarak zorsa, bu sorunun doğa bilimleri için ortaya koyduğu görüş farklılığını anlamak daha kolaydır. Altın oranı bir fenomenle ilişkilendirmek için kullanılan kriterlerin kullanılmasından gelir.
Bitki dünyasında, çam kozalaklarının pulları, logaritmik olarak adlandırılan belirli spiraller oluşturur . Bu spiraller, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı kullanılarak oluşturulur . Bu sayı altın sayıya eşit ise oranlar Öklid'in ortalama ve uç oranına karşılık gelir ve Fibonacci dizisi ortaya çıkar. Bu fenomen , bir ayçiçeği çiçeğinin organlarında meydana gelir . Bu durumda altın oranın varlığı tartışmalı değildir.
Bu sayı değilse Diğer yandan, daha sonra altın oranı ne Fibonacci dizisi de bu tarafından oluşturulanlar gibi, karşılık gelen, logaritmik spiral çalışmada alakalı altın orana eşit mollusk kabuk nautilus , bir tavus kuşunun veya hatta bazı galaksilerin tüylerindeki gözler .
Gelen mineraloji vardır kristaller olan atomuna bir beşgen desende düzenlenir. Beşgenin kenarları ve köşegenleri arasındaki oranlar altın oranı içerir. Aynı zamanda sözde yarı kristal yapılarda da bulunur . Atomlar periyodiklik göstermeden boşluğu dolduran altın üçgenler çizer, bir Penrose döşemesi elde ederiz . Yukarıdakiyle aynı nedenle, altın oran mevcuttur ve Fibonacci dizisini buluruz . Beşgen tüm kristallerde mevcut değildir. Bir elmasın yüz merkezli kübik yapısı altın oranı içermez.
Dolayısıyla, analiz eksenine bağlı olarak, altın oranın her yerde bulunmasının cevabı farklıdır. Tarlada bir bilim adamı için, gibi birkaç konularla sınırlı sonunda nadir golden, kullanımı filotaksi ayçiçeği veya kristalografisi ait kuvars . Kendi alanını daha iyi anlamak için açıklayıcı kavramlar ararsa, Öklid'in oranı nadiren bunlardan biridir. Diğerleri, kriter olarak estetiğin yanı sıra benzetmeyi de kullanır. İlahi oran onlar için göklerde, hayvan ve bitki yaşamında, minerallerde ve nihayet tüm doğada mevcuttur.
In biyoloji , çam ağacının gövdesinde ya da ananas uyarmaktadır kabuğundan ölçeklerin sipariş spiraller tam sayılar tarafından sipariş, genellikle altın oran ile ilişkili. Soldaki şekilde, her biri bir yönde 13 ölçek ve diğer yönde 8 ölçek tarafından oluşturulan 13 spiral olmak üzere 8 spiral vardır. Bu spirallerin oranları altın bir spiralinkinden çok farklı değildir. 8 ve 13 sayıları Fibonacci dizisinin ardışık iki sayısıdır ve oranları altın orana yakındır. Benzer bir durum ortaya çıkar organlarındaki , ayçiçeği tamsayılar (21,34), (34,55) ve (55,89) çiftler halinde bu kez. Bu çiftlerin her biri, Fibonacci dizisinin ardışık iki tamsayısına karşılık gelir.
Filotaksis her zaman altın oran yasalarına uymaz. Sağda, yapraklarda benzer bir mekanizma görüyoruz, iki spiral hala logaritmik ama artık altın oranını takip etmiyor. Bir yöndeki ve diğerindeki spirallerin sayısı eşittir.
Bu mekanizma Hofmeister'in kuralı tarafından yönetilir : “Primordium, mevcut en büyük uzayda periyodik olarak görünür. » Bir taslaklarının tekabül eden bir bir tesisin bir parçasının embriyo: ölçekte, yaprak, stamen, vs. Bu mekanizma, primordia tarafından yayılan morfojen adı verilen engelleyici bir maddenin üretimi ile kontrol edilir. Bu nedenle, yeni bir büyüme ancak öncekilerden mümkün olduğunca uzağa doğabilir.
Achimenes erecta durumunda , gövde yaprağa göre hızlı büyür, ikinci yaprak ters yönde doğar, gövdenin büyümesinin yeni bir primordiumun ortaya çıkma zamanına oranı en iyi üçüncü pozisyonda olmasına neden olur. birinci tabakaya üçte biri ve ikinciye üçte ikilik bir açı. Son olarak, birbirine göre üçte bir oranında kaydırılmış üç sayfanın görünümünü elde ederiz, ardından önceki kümeye göre altıda bir tur kaydırılmış yeni bir üç yaprak kümesini elde ederiz.
Çam kozalağı, primordium ölçeği için aynı kuralı takip eder. İki primordia arasındaki gövdenin büyümesi çok daha ılımlıdır. Üçüncü primordium bu nedenle, ilk primordiumun yanında biraz daha küçük bir açıyla, ilk ikisi arasında doğar, gövde biraz büyümüştür. Douady ve Couder, böyle bir mekanizmanın, set başına spiral sayıları Fibonacci dizisinin iki ardışık elemanına karşılık gelen, zıt yönlerde iki altın spiral seti ürettiğini göstermiştir. İki primordia'nın görünümü arasındaki büyüme ne kadar küçükse, dizideki ardışık iki öğe o kadar yüksek olur.
İnsan vücudu, genellikle altın oran ile ilişkilendirilen bir konudur. Farklı yönleri var. Her şeyden önce bilimsel: Birçok kez sorulan soru, ayçiçeği çiçeği gibi vücudun altın oran ile az çok doğrudan bir ilişkisi olup olmadığıdır. Sanatsal anlamda, “ilahi oran” bedeni temsil etmek için kullanılabilir mi? Son olarak, estetik bir sorun var. Besteci Xenakis'in düşündüğü gibi altın oran vücudumuzla bağlantılıysa, kullanımı uyum elde etmek için bir teknik olabilir.
Aranan ilk korelasyon, insan vücudunun boyutlarındadır. Tek başına altın oran kullanılarak oluşturulmuş bir ölçüm sisteminin denenmesine yol açar. Zeising, bütün bir anatomiyi bu aritmetiğe dayandırır. Güçlü bir hevesten sonra, bu yaklaşım sonunda terk edildi. Oranları çok kesin değil ve insan vücudunun anatomisine çok zayıf uyuyorlar. Örneğin, kafatasının oranları gerçekçi değildir. Daha da derin olan diğer nedenler, bu nitelikteki bir sürecin terk edilmesinin nedenidir. Tıbbi anatomi belirli oranda aramayan, ancak aşılması halinde sınırları olduğunu, patolojik hale gelir. Uzunluk aralıklarının yanı sıra basit kesirler kullanır, ancak asla altın oranı kullanmaz. Önkol uzunluğunun elin uzunluğuna oranında olduğu gibi, bazılarının ilahi bir oran gördüğü yerde, elin uzunluğu ile önkolun uzunluğu arasındaki oranı hesaplayan bilimsel anatomist 2/3'ü görür. İki yaklaşım arasındaki %8'den az fark, bireyler arasında gözlemlenen farklılıklar göz önüne alındığında, bu tür bir karmaşıklığı haklı çıkarmaz. Bir paleontolog olan Stephen Jay Gould , o zamanın doktrinlerini desteklemeyi amaçlayan antropometrik ölçümlerin yazarları tarafından nasıl önyargılı olduğunu göstermiştir.
Diğer bir sebep de insanın boyutlarının sürekli değişmesidir. Bir yüzyılda, ortalama bir Fransız'ın boyu dokuz santimetre arttı ve bu büyüme tekdüze değil. Bir insan vücudunun orantı oyunu esasen dinamik olduğundan, insan anatomisinin evrensel anahtarı olan tek bir orantı hayal etmek zordur. Bu türden bir yaklaşım, fazla kuralcı ve zamansız, anatomide pek bilimsel bir anlam ifade etmez. Bu araştırma dizisi artık geçerli değilse, bu, insan vücudundaki altın oran arayışından vazgeçilmesi anlamına gelmez. Artık dikkatin kaynağı beyindir. Bu teori azınlıkta kalır ve tartışmalıdır.
Sanatsal kısıtlamalar farklı bir doğaya sahiptir. Doktorların çalışmalarına özen gösteren sanatçılar, insan vücuduna özgü hayali modüller veya orantı sistemleri. Bu yaklaşımı dayatan onu temsil etme arzusudur. Mısırlılarınki çok eski bir modüldür; tam boyutun göbeğin yüksekliğine oranı olan klasik oran, altın orandan nispeten uzak olan 19/11 olarak tahmin edilmektedir. Modüller, genel olarak, tamamen kesirlidir. Vitruvius, Cousin, Vinci veya Dürer tarafından bize bildirilen, Mısırlılar tarafından Polycletus tarafından icat edilen durum böyledir . Ancak, Dürer'in evrensel bir kanona inandığını çıkarmak zordur. Her biri kendi oranlarına sahip çok sayıda güzellik türüne dayanan bir anlayış başlattı.
Altın oranın içsel bir görsel kaliteye sahip olduğu fikri yaygın olarak dile getirilmektedir. Bir argüman, birçok şaheserde ilahi oranın varlığıdır. Bununla birlikte, kesin yorumlar nadirdir, bu da bizi yazardan doğrudan bilgi almadan Öklid'in raporunu aramaya yönlendirir. Tablo ile uyumlu bir geometrik şeklin varlığı, bazıları için bir ispat unsurudur. Diğerleri için, bu nitelikteki bir yaklaşım inandırıcı değildir.
Bir örnek Bunun olan Venüs'ün Doğum tarafından Sandro Botticelli . 172,5 × 278.5 cm boyutlarındaki orantıya tam olarak uygundur. Altın dikdörtgenle ilişkilendirilen kare, tablonun ritmine karşılık gelir; son olarak, kalan dikdörtgenin köşegeni ve simetrik olanı kuvvet çizgileridir. Bu akıl yürütme bazı uzmanları ikna etmedi. Resim , ustanın bir başka resmi olan Le Printemps ile bir diptiğin parçası gibi görünüyor . Tanrılardan biri olan Aura'nın kanadı tuhaf bir şekilde kesilir. Bunun dibine ulaşmak için, bir analiz yapılır. Karar açık: Botticelli, Printemps'inkine benzer bir beden seçmişti ; Üst Doğum 32.5 tarafından kesilir cm ve büyüklüğünü tasarlanmıştır zaman olduğu Printemps'e . Bu durumda, ilahi oran yaratıcı tarafından seçilmedi.
Bazıları için güzelliğin bilimsel bir temeli vardır: “[…] tanrısallığın hizmetkarı doğa, insanı şekillendirirken, kafasını istenilen oranlarda düzenlemiştir […]” . Bu fikir Pacioli'nin bir icadı değil, Leon Battista Alberti'nin resim üzerine yazdığı, perspektifin ilk kurallarını belirleyen incelemesi , zaten benzer bir felsefenin örneğiydi. Bilimsel yasaların keşfi , resmi değiştirir ve yeni bir ideali somutlaştırmaya izin verir. Alberti'nin matematiksel yaklaşımı geniş bir konsensüs sağlarken, ilahi orantı yasası için benzer bir başarıyı önermek için çok az kanıt vardır.
Bir örnek Vinci davasıdır. Pacioli onun yakın bir arkadaşıdır, Vinci onun teorilerini kitabını örnekleyecek kadar bilir. Sayesinde onun codices , onun Boyama üzerindeki Treatise ve kaynakları birden fazla analiz, resim orantılı üzerinde Vinci'nin düşüncesi bize bilinmektedir. Usta için resim bir bilime benziyorsa, tezleri arkadaşınınkinden çok uzaktır. İlk kaynağı matematik değil, gözlem ve deneyimdir: "...deneyim iyi yazanların efendisi olmuştur, onu öğretmen olarak seçiyorum ve her halükarda ona başvuracağım" . Bu tutum, örneğin insan oranlarının seçiminde yansıtılır. Çoklu diseksiyonlar yoluyla, farklı kemik ve kasların boyutları arasındaki ilişkileri sistematik olarak ölçer. Tıbbi çizelgeleri onu, ilişkileri modern tıbbınkiyle aynı nitelikte olan bir anatomi anlayışına götürür: çok sayıdadırlar ve küçük tamsayı faktörlerinden oluşan kesirlerin yardımıyla ifade edilirler. Vinci bilimi, perspektif gibi halihazırda işlenen konulara da uygulanır. Bir kez daha mantığı, matematiksel katılıktan çok gözleme daha yakındır. Alberti'nin yasalarına eklediği yasalar renkle ilgilidir: uzaktaki bir şey, renginin maviye doğru çekildiğini ve netliğin "uzaklaşan şeylerin mesafelerine oranla nasıl daha az keskin olması gerektiğini" görür . Vinci'deki orantıyı yöneten kurallar inceliklidir ve gözlemleriyle ilgisi olmayan bir oranın doğrudan uygulanması gibi "Albertçi ifadeler , onun gözünde çok net" ile çelişir .
Sağdaki Aziz Jerome gibi, bir ressamda bulunan birçok altın dikdörtgen örneği, ressam tarafından gerekçesiz olarak veya burada olduğu gibi yazarı tarafından belirlenen kurallara aykırı olarak orantıya yaklaştığını varsayar. Ne Arasse , Vinci üzerine yaptığı hacimli çalışmasında, ne de Marani'de bu nitelikte bir açıklamaya atıfta bulunmaz .
Altın oran , 1911'de Jacques Villon'un etrafında oluşturulan bir grup olan ve “Altın Bölüm” olarak da adlandırılan Puteaux grubunun ressamlarını da etkiledi. Ancak altın oranı resimde kullanmaları, salt matematiksel olmaktan çok sezgiseldir.
Eski binalarda altın oranın kullanımı tartışmalı bir konudur. Prens Ghyka için arkeoloji, altın oran olan güzellik kanonunun evrenselliğinin kanıtını sunuyor. Ana argüman, çok sayıda örnektir. Prens, selefi Zeising'in işini devralır ve onu önemli ölçüde zenginleştirir. Epidaurus tiyatro adımları iki dizi, 21 ve 34 aşamaları, Fibonacci dizisi iki ardışık elemanlarının diğer yer alır.
Keops Piramidi daha geniş bir kitleye ikna eder. Bu örnek ortasından alıntı XIX inci yüzyılda neredeyse toplam cehalet bir anda Mısırbilim sayısız mitlere yol açmaktadır. Piramidin boyutları ile altın oran arasındaki örtüşme burada mükemmel. Yüzlerden birinin en büyük eğiminin uzunluğu ile bir kenarın yarım uzunluğunun oranı, %1'den daha az bir doğrulukla altın orana karşılık gelir. Profesyonellerin şüpheciliği, Mısır medeniyetinin mevcut bilgisinin sonucudur. Nitekim bilinen belgelerde eğimleri ölçmek için kullanılan uzunluk sistemleri ile yatay uzunlukları örtüşmediğinden aralarındaki ilişkiyi yorumlamak pek bir anlam ifade etmemektedir. Bu nitelikteki bir seçimi haklı çıkaracak en ufak bir dini veya estetik iz de bulamıyoruz. Bu zayıflık, bu hipotezin kökenindeki Taylor'ı, Herodot'tan sıfırdan bir alıntı oluşturmaya iter.
Yunanistan örneği daha da popüler ve geniş çapta destekleniyor. Ancak Yunan kültürü ile altın oran arasındaki uçurum uzmanların kafasını karıştırıyor. Bir karenin veya Öklid'in köşegeni olan bu ölçülemez oranlar , Pisagor zamanında bir skandal, tanrılara ihanet olarak yaşanır. Bir Yunanlı, bir sayının tam sayıların bir bölümünden başka bir şey olabileceğini düşünmez. Öklidler gibi sayı olmayan oranların varlığı, Pisagorcuların felsefi ve mistik değerlerinin aksine bir entelektüel kaos kaynağıdır. Söylenir Metapont ait Hippasus bir bir Diagonal'in karşılaştırılamayacaklarını ait skandal maruz ettiği için Pisagoryenler kardeşliği çıkarılmıştır düzenli dodecahedrona , başka onun dinsizlikle sonucu, o boğuldu istediğini belirtir. Anıtlar için bu kadar olumsuz bir oranın kullanılması şaşırtıcı görünüyor. Yunan mimari metinleri, binaların oranlarını tanımlamak için rasyonel sayıların kullanımını onaylar. Ahenkli oranlar ile uzun uzadıya anlatılıyor Vitruvius ünlü bir mimar, yazar , on hacim tez De architectura'dan . Bunu yapmak için, ix . ciltte Platon, Pisagor veya diğer matematikçilerin matematiğinden geniş ölçüde yararlanır . Oranlar arasında modülünden gelen Polycletus , çağdaş Yunan heykeltıraş Phidias . Vitruviusçu inceleme, karenin köşegeni dışında hiçbir irrasyonel orantı izi içermez.
Son olarak, şehzadenin seçtiği örnekler tartışmalıdır. Parthenon'un cephesindeki ilahi oranı bulmak, alınlığın dört basamağından üçünü dahil etmek veya çatıyı kesmek gibi özel gelenekler gerektirir. Spesifik olmayan önlemlerin kullanılması farklı bir oran verir. Altın oranın Yunan anıtlarının oranlarında görünmesini sağlamak için Ghyka, 1 / φ 4 gibi kesirler kullanmaktan çekinmez . Patrice Foutakis 15 tapınaklar boyutlarını, 18 anıtsal mezarlar, lahitler 8 ve dönem için 58 temel taşları değerlendirilmiş V inci için yüzyılda II inci yy. Tapınaklar, insanlar ve tanrılar arasındaki iletişim için önde gelen yerlerdi; mezarlar, lahitler ve mezar dikilitaşları, ölümlülerin maddi yaşamdan ölümsüz yaşama geçişiyle doğrudan bağlantılıydı. Altın oran ilahi, mistik veya estetik özellikleri ima ediyorsa, bu tür yapıların çoğu altın oran kuralına uyacaktır. Orijinal araştırmanın sonucu net: altın sayısı Yunan mimarisinin tamamen yok oldu V inci yüzyılda ve önümüzdeki altı yüzyıllardır neredeyse hiç yok. Altın oran uygulaması Dört çok nadir ve bu nedenle değerli örnekler eski bir kulede tespit edilmiştir Modon , Pergamon Büyük Sunak , bir cenaze stel Edessa ve anıtsal mezar Pella . Bu, antik Yunan inşaatlarında altın oranın kullanımına dair ilk kanıttır, ancak bu yazara göre, antik Yunanlıların mimarideki altın sayısı konusundaki kayıtsızlığına tanıklık eden marjinal bir kullanım.
Le Corbusier , mesleğinde altın oranın kullanımını teorize eden mimardır. Vitruvius'un bir binayı bir insan vücudunun boyutlarıyla orantılamaktan oluşan fikrini benimserse, onunla Öklid'in oranının kullanımını haklı çıkaran diğer unsurları ilişkilendirir.
Sadece insanlarınki gibi on veya bilgisayarlarınki gibi iki ile değil, 1 dışında herhangi bir kesinlikle pozitif gerçek sayı b ile bir konumsal sayı sistemi oluşturabiliriz . Bu tür bir sistemde, temel B 10 not edilir ve kare b 2 altın oranı ile inşa edilen bir sistem olarak adlandırılır 100 not edilir altın baz . Görünüşe göre Le Corbusier mimariye en uygun olanı.
Bu harmonik ölçek , ifadesini kullanmak için, pratik ve soyut olan ondalık metrik sistemin avantajlarını, İngiliz inç ve fit sisteminin doğal ama pratik olmayan avantajlarıyla uzlaştırır. Le Corbusier , farklı onlukları , yani burada altın oranın güçlerini insan boyutlarına ayarlayarak , iki avantajı birleştiren bir sistem elde etmeye çalışır. İkinci birim önkol büyüklüğünde, üçüncüsü göbekten başın tepesine kadar olan mesafe, dördüncüsü ayakta duran bir adamın yer ile göbek arasındaki mesafe ve beşincisi bir yetişkinin beli. .
Mimari açısından bu yaklaşım, Vitruvius'un kanonik idealini somutlaştırmanın doğal bir yolunu sunar . Her onluk bir insan oranına karşılık gelir ve farklı oranlar birbirine karşılık gelir. Şehir planlaması açısından , Le Corbusier bir standardizasyon aracı bulmaya çalışıyor. In 1950 , ilk hacminin yayınlanma tarihi Modulor , isim o bu sisteme verdi rekonstrüksiyon ihtiyaçları geniş ve üretimin rasyonalizasyon zorunluydu. Yazar yaşamak için bir makineden bahsediyor . Bu yaklaşım aynı zamanda estetik bir amacı da hedefler. Standardizasyonun bir avantajı vardır, daha fazla uyum sağlar . Regülatör kurgusu, yani Fibonacci dizilimi üzerine kurulu dizi rol oynamaktadır: “Regülatör kurgusu şiirsel ya da lirik bir fikir sunmuyor; temaya hiç ilham vermiyor; o bir yaratıcı değildir; o bir dengeleyici. Saf plastisite sorunu ” .
1950'lerden itibaren, Le Corbusier mimari çalışmalarını tasarlamak için modüloru sistematik olarak kullandı. Marsilya Radiant Şehir veya Notre-Dame-du-Haut Şapeli Ronchamp iki ünlü örnekleridir.
Müzik, altın oran hem aranan uyum ve ritim .
Buradaki armoni terimi, aynı anda çalınan farklı notaları seçmenize izin veren bir tekniği belirtir. Bir dönemde XVI inci başlangıcına yüzyıl XX inci yüzyıl, bu temelde tonal müzik gibi, Bach veya Mozart . Hiçbir dizi iki nota altın oran tanımlamaz . En yakın yaklaşıklık , frekansları 8/5 = 1.6'lık bir oran tanımlayan iki ses tarafından elde edilen küçük altıncıdır (5/3 = 1.66'lık bir frekans oranına karşılık gelen büyük altıncı, bir yaklaşık eksi iyidir). Bu nedenle, altın oran genellikle müzik aranmaktadır XX inci yüzyılın. Dekatonik veya 10-TET ( on tonlu eşit mizaç ) aralığı gibi yeni aralıklar keşfedilmiştir . İçinde oktav 10 eşit parçaya bölünmüştür. Her derece daha sonra 2 1/10'luk bir farkı temsil eder . Bu skala için altın oran, birbirinden 7 derece ile ayrılan iki nota ile tanımlanan orana yakındır. Yine de burada altın oranın varlığı biraz tesadüfi. 7 derece arasındaki fark, yaklaşık olarak 1,624'e eşit 2 7/10 oranını verir .
Ritim daha çok altın oran ile ve daha geniş bir müzik dönemi boyunca ilişkilendirilir. Bach tarafından tedavisi , lavta için Do minör Süit (BWV 997) ve Aziz Matta'ya göre Tutku (BWV 244) arasındaki analoji üzerine bir doktora tezinin konusudur . Roy Howat, Debussy'nin , katıldığı ve orantıları ve altın oranı analiz ettiği Sembolist incelemelerle ilişkili olduğunu gösteriyor . Ayrıca La Mer veya Reflets dans l'eau gibi eserler aracılığıyla bu yaklaşımı nasıl bulduğumuzu da gösteriyor . Çalışmalar Erik Satie , Béla Bartók , Karlheinz Stockhausen ve hatta Jean-Louis Florentz için benzer sonuçlar gösteriyor . Elektroakustik müziğin bazı bestecileri , kısmi frekansları altın orana dayanan sentetik sesler yapmışlardır .
Altın oranın kullanımının yazar tarafından açıklandığı Xenakis gibi besteciler dışında, kesin kanıtın olmaması fikir birliğini engellemektedir. Tartışma yine de, örneğin arkeolojide yaygın olandan farklı bir niteliktedir. Burada, altın oranın yaygın bir şekilde kullanılmasına elverişli konum, IRCAM gibi profesyonel kurumlar veya Montreal'deki gibi bir doktora tezi tarafından savunulmaktadır .
Yinelenen bir soru, altın oran ile ilişkili güzellik fikrinin bilimsel bir gerçekliğinin var olup olmadığıdır. Bilimsel bir estetik teorisinin genel çerçevesinin bir parçasıdır. Xenakis gibi bazı sanatçılar buna ikna olmuş durumda: “Ancak müzikal süreler, insan uzuvlarını harekete geçiren kas boşalmaları tarafından yaratılır. Bu uzuvların hareketlerinin, bu sayıların boyutlarıyla orantılı zamanlarda meydana gelme eğiliminde olduğu açıktır. Dolayısıyla sonuç: Altın orana göre olan süreler insan vücudunun hareketleri için daha doğaldır” . Resim sanatı alanında Charles Henry, altın oranı bu doğaya ilişkin geniş bir teoriye kaydeder ve yalnızca orantılarla değil, aynı zamanda renk ve karşıtlıklarla da ilgilenir.
Alman filozof Gustav Fechner , Émile Durkheim'ınkine benzer bir sosyolojik yaklaşımın habercisi olarak , güzellik ve altın dikdörtgen arasındaki insan ilişkisini bilimsel olarak doğrulamak için istatistiksel deneyler dener . Formlar, en estetik oranları değerlendiren bir kitleye sunulur. Sonuçlar ilahi orantı yardımıyla inşa edilmiş bir güzellik kanonunun varlığı yönünde ise, seçilen protokol mevcut titizlik kriterlerine uymuyor. İkinci, daha nesnel bir deneyim, 16/9 televizyona yakın bir format tercihini gösterir . Bir kez daha ve daha titiz doğasına rağmen, böyle bir formatın evrensel karakteri kurulmamıştır.
Xenakis, Valéry veya Le Corbusier gibi sanatçıların sezgileri, altın oranın estetik bir aşkınlığının varlığını öne sürüyorsa, bugün hiçbir bilimsel yaklaşım bu hipotezin doğrulanmasına izin vermiyor.
Togo bayrağı altın dikdörtgenin oranlara sahip.