Kuartik denklem
Gelen matematik , bir dördüncü mertebeden denklem a, polinom derecesi 4.
Kuartik denklemler, üçüncü derece denklemleri çözme yöntemleri öğrenilir öğrenilmez çözüldü . Ferrari yöntemi ve Descartes yöntemi art arda geliştirildi .
Yöntem bir Lagrange , aşağıda tarif edilen, özellikleri elde edilir simetrik polinom inşa n polinom köklerinin derecesi n .
Tarihin parçaları
Kuartik denklemi çözme yöntemi, iki yüzyıldır Ludovico Ferrari (1522-1565) tarafından oluşturulmuştur. Onun yöntemi , dördüncü derecenin denkleminin kübik çözümlemesi (içinde) - veya azaltılmış - adı verilen üçüncü dereceden bir denklemi indirmeye izin verir ; İlk kez 1545 yılında Jérôme Cardan tarafından Ars Magna adlı çalışmasında yayınlandı (Cardan, bu yöntemin kendisine Ferrari tarafından kendi isteği üzerine gösterildiğini açıkça söylüyor). Burada geliştirilen yöntem, polinomların köklerini içeren ifadelerin varyasyonlarının özelliklerini kullanır. Bu analiz , ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözümlerini yöneten genel ilkeleri anlamaya çalışan Joseph-Louis Lagrange'ın çalışmasına karşılık gelir . Resmi miktarlarda, polinom müdahale simetrik ya da değil polinom köklerini dikkate fikri, daha derecesi arttıkça polinomlar uygulanan veya 5'e eşit, verimli bir girişimdir, teoremi yol açacaktır Evariste Galois'in olan Şekil olduğu genel olarak, derece 5 veya daha yüksek bir polinom denklemi, radikal olarak çözülebilir değildir .
3. derece terimin ortadan kaldırılması
By polinom denklemlerinin bir tekniktir ortak (herhangi bir derece), denklem
-dex4+bx3+vsx2+dx+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}bölme sonra azaltan bir ve değişken değiştirme formun bir denklemex=y-b4-de{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}
y4+py2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}ile
p=vs-de-3b28-de2,q=d-de-bvs2-de2+b38-de3ver=e-de-bd4-de2+vsb216-de3-3b4256-de4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {ve}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}.
Daha sonra denklem (2) Ferrari'nin , Descartes'in yöntemiyle veya "Lagrange" ın altındaki yöntemle çözülebilir . Üçü de farklı görünümler altında dört çözüm için aynı formülü sağlar.
Lagrange yöntemi
Yöntemin prensibi
4 kökünden oluşan bir ifade bulma sorunudur .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}ve permütasyonlarla sadece 3 farklı değerin elde edilmesine izin verilir.
Örneğin permütasyonlarla sadece değerlerin verilmesine izin verilen durum budur.
-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}
z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})},
z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})},
z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}.
Herhangi bir simetrik polinomu, simetrik bir polinomu olarak ifade edilebilir .
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
Özellikle, polinomun katsayıları p , q ve r kullanılarak ifade edilebilir . Mülkün
R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}hesaplamaları kolaylaştırır.
O zaman şunu gösteriyoruz:
-
z1+z2+z3=-2p{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p} ;
-
Σben<jzbenzj=p2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r} ;
-
z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}.
Üç gerçek sayı denklemin çözümleridir
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
z3+2pz2+(p2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}.
Artık bunu bilmeye dayalı olarak bulunacak .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}
Sonra fark ederiz ki
z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}}
z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}}
z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}
Böylece
y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}ve ,
y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}}
y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}ve ,
y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}}
y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}} ve
y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}
(burada gösterim, 'nin kareköklerinden biri olarak anlaşılmalıdır ).
zben{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zben{\ displaystyle z_ {i}}
Değerleri daha sonra basit toplama ile bulunur.
yben{\ displaystyle y_ {i}}
Bilanço
Çözümler
y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}vardır
y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })}
y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })}
y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})}
y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}
burada , ve 3. dereceden polinom R'nin üç kökü, çözümleyici kübik veya indirgenmiş olarak adlandırılır:
z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}
R(z)=z3+2pz2+(p2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}.
By , karesi değerinde olan sayılardan birini anlamalıyız . Eşzamanlı olarak hepsini karşıtlarına dönüştürmenin, bütünü dönüştürdüğünü fark ediyoruz . Bu nedenle, ürünün –q değerinde olması için "iyi" kareköklerin seçilmesi gerekir .
zben{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zben{\ displaystyle z_ {i}}zben{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}
Vaka envanteri
Katsayıları halinde p , q ve r, gerçek, çokterimli köklerinin ürünü olup, bu fark , R olduğu bu nedenle polinom köklerinin şekline sınırlıdır, R ve Dördüncü denklemin çözümlerine.
q2{\ displaystyle q ^ {2}}
- R'nin üç kökü gerçek pozitifse, dört gerçek değer elde ederiz.
- R'nin üç kökü de gerçek ve ikisi negatifse, iki çift eşlenik kompleks elde ederiz.
- Eğer R bir gerçek köke ve iki eşlenik kompleks köke sahipse, gerçek kök pozitiftir ve iki gerçek değer ve iki eşlenik kompleks elde ederiz.
Özel denklemler
Dördüncü derece denklemlerden bazıları, özellikle, sadece ikinci dereceden denklemlerin yardımıyla çözülebilir ; bu, çift şeritli denklemler ve simetrik denklemler veya daha genel olarak .
-dex4+bx3+vsx2+dx+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}-ded2=eb2{\ displaystyle reklam ^ {2} = eb ^ {2}}
Dörtlü denklemler
Şeklinde yazılırlar
-dex4+bx2+vs=0{\ displaystyle balta ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}ve değişkeni değiştirerek çözülür
y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}ve çözünürlüğü
-dey2+by+vs=0{\ displaystyle ay ^ {2} + yazan + c = 0}.
Dörtlü denklemlerin yanı sıra 4. derecenin diğer bazı denklemleri de dairesel veya hiperbolik trigonometri ile çözülebilir .
Simetrik denklemler
Şeklinde yazılırlar
-dex4+bx3+vsx2+bx+-de=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}ve değişkeni değiştirerek çözülür
z=x+1x{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}ve çözünürlüğü
-dez2+bz+vs-2-de=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}.
Bu süreç, formun denklemlerine genelleştirilmiştir
-dex4+bx3+vsx2+kbx+k2-de=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}( k ≠ 0 ile ), ayarlayarak çözülür
z=x+kx{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}.
Notlar ve referanslar
-
Van der Waerden 1985 .
-
Joseph Louis de Lagrange , Denklemlerin cebirsel çözünürlüğü üzerine düşünceler ,1770( çevrimiçi okuyun ) , s. 263-268.
-
Olivier Gebuhrer, " Denklemlerin cebirsel çözünürlüğü üzerine yansımalara davet ", L'Ouvert , IREM de Strasbourg, n o 45,1986, s. 31-39 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Bu sayfanın altındaki bağlantıyı izleyerek, örneğin 4. bölüme (özel çözme yöntemleri) bakın ve Vikiversite dersinin 4. derece denklemler üzerine alıştırması 4-6 .
-
Lagrange 1770 yöntemlerinin daha sadık bir açıklaması için bkz. Serret 1879 , s. 475-480 veya bölüm “Lagrange yöntemi” sonu Vikiversite üzerinde .
-
Tüm bu bölüm hakkında daha fazla ayrıntı için , Wikiversity'nin 4. derece denklemlerle ilgili dersinin 4. Bölümüne (Özel Çözüm Yöntemleri) bakın .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
: Bu makale için kaynak olarak kullanılan belge.
-
Küçük matematik ansiklopedisi , Didier
-
Jacqueline Lelong-Ferrand ve Jean-Marie Arnaudiès , Matematik kursu - Cebir , Dunod
-
Joseph-Alfred Serret , Yüksek cebir kursu , t. 2,1879, 4 th Ed. ( 1 st ed. 1849) da ( okuma çizgi ) , s. 471-482
-
(tr) BL van der Waerden , Cebir Tarihi , Springer ,1985( ISBN 3-642-51601-7 )