Bir yüzük üzerinde cebir

Gelen matematik ve daha kesin olarak , genel cebir , bir cebri bir fazla değişmeli halka A bir bir cebirsel yapısı aşağıdaki gibi tanımlanır:

( E , A , +, ∙, ×) A üzerinde bir cebirdir veya eğer:

1. ( E , +, ∙) A üzerindeki bir modüldür ;
2. İç bileşimin kanunu gelen x, E x E için E , bir iki-doğrusal .

Tanımlar

Let A olmak değişmeli bir halka ve E bir modül üzerinde A a ile donatılmış ikili çalışma . Bu ikili işlem çift doğrusal ise , yani herkes için (modülün öğeleri) ve herkes için (skalarlar) bu kimlikler doğrudur: ×:E×E→E,(x,y)↦x×y{\ displaystyle \ times: E \ times E \ ila E, (x, y) \ mapsto x \ times y}x,y,z∈E{\ displaystyle x, y, z \, E \,}-de∈AT{\ displaystyle a \ A’da}

• (x+y)×z=(x×z)+(y×z) ;{\ displaystyle (x + y) \ times z = (x \ times z) + (y \ times z) ~;}
• x×(y+z)=(x×y)+(x×z) ;{\ displaystyle x \ times (y + z) = (x \ times y) + (x \ times z) ~;}
• (-de⋅x)×y=-de⋅(x×y)=x×(-de⋅y),{\ displaystyle (a \ cdot x) \ times y = a \ cdot (x \ times y) = x \ times (a \ cdot y),}

sonra E , A üzerinde bir cebirdir . Ayrıca E'nin bir A- cebir olduğunu ve burada A'nın temel cebir E olduğunu söylüyorlar . Çift doğrusal işlem cebir E'de çarpma olarak adlandırılır .

Ne zaman bir a, değişmeli alanı ( E, +. ) A, vektör uzayı içinde A .

Bir morfizmanın arasında iki A -algebras E ve F bir morfizmanın olan iç yasaları (ve çarpma) ve skalarlar ürünün: f:E→F{\ displaystyle \, f \ ,: \, E \ ile F}

f(x+y)=f(x)+f(y), f(x×y)=f(x)×f(y) ve f(-de⋅x)=-de⋅f(x){\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), ~ f (x \ çarpı y) = f (x) \ çarpı f (y) ~ {\ text {ve}} ~ f ( a \ cdot x) = a \ cdot f (x)}

herkes ve her şey için . x,y∈E{\ displaystyle x, y \ E’de}-de∈AT{\ displaystyle a \ A’da}

Bir morfizmanın bir bir izomorfizm olduğunu, ancak ve ancak örten (kendi ters sonra otomatik olarak cebirlerin bir morfizmanın olan). İki bir -algebras bir izomorfizması varsa izomorfik olduğu söylenir A birinden diğerine -algebras.

Örnekler

• İlişkili cebirlerde , ikinci iç yasanın birleşmeli olduğu çok sayıda cebir örneği buluyoruz . Bu, -algebralar olan halkalar ve sözde halkalar için geçerlidir . Bu geniş birleşik cebir ailesinde, onları halka yapan iki iç yasa ve bir alan üzerinde vektör uzayları veya bir halka üzerindeki modüller yapan bir dış yasa ile sağlanan kümeler de buluyoruz. Bu, bir halka üzerindeki n boyutlu kare matrisler kümesinin veya bir halka üzerindeki polinomlar kümesinin durumudur.Z/değilZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} değilZ{\ displaystyle n \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

• İlişkisel olmayan cebirler arasında alıntı yapabiliriz
  • Lie cebiri bir alanın üzerine birleştirici olmayan cebirleridir.
  • Bir yüzük , burada "" “Dış çarpma ve çapraz ürün bir halka üzerinde nonassociative cebir bir örnektir.AT{\ displaystyle A}(AT3,+,.,∧){\ displaystyle (A ^ {3}, +,., \ kama)}∧{\ displaystyle \ kama}

Derecelendirme ve referans

1. N. Bourbaki , Algebra , 1970, böl. III, s. 2.

Ayrıca görün

• Bir alan üzerinde cebir
• İlişkisel cebir
• Clifford cebiri
• Geometrik cebir
• Lie cebiri