Ayrılık aksiyomu (topoloji)

Olarak topoloji , bir ayırma aksiyomu belirli memnun özelliktir topolojik boşluklar benzer Hausdorff ayırma özelliği (ayrıca T adı verilen 2 ) ve ilgili ayırma bölgesinin noktaları ya da kapalı bakış açısından ya mahallelerde , ya da gerçek bir sürekli fonksiyonlar .

Çeşitli ayırma aksiyomları, özellikle "T" harfi ve bir sayısal indeks ile kodlanan aksiyomlar dizisine ait olanlar, dolaylı olarak sıralanabilir, bu aksiyomlar, indisler yüksek ve karşılık gelen topolojiler daha ince olduğundan genel olarak daha kısıtlayıcıdır. .

Uyarı : Literatürde, kelime hazinesi bazen çok uçucudur ve bu tanımlardan bazıları birbiriyle değiştirilebilir.

Aksiyomların listesi

Ayrılık T 0 (Kolmogorov alanı)

Bir topolojik uzay söylemek X olan Kolmogorov özelliği, T ya da tatmin 0 herhangi iki farklı noktaları için ise, X iki nokta arasında, bir (en az) diğer nokta içermeyen bir mahalle kabul eder. Ya yine iki noktalarından biri değildir yapışık diğerine.

Ayırma T 1 (erişilebilir alan veya Fréchet)

Bir T 1 uzayı, tekilleri kapalı olan bir topolojik uzaydır . Bu, şuna eşdeğerdir: Herhangi bir x noktası için , x'in komşuluklarının kesişimi , tekil { x } 'e indirgenir . Veya yine, herhangi iki farklı nokta için, iki noktanın her biri, diğer noktayı içermeyen bir mahalleyi kabul eder. Veya iki noktanın hiçbiri diğerine bağlı değildir.

Bir boşluk T 1 her iki T ise ve sadece 0 ve R 0 .

Tek sıralı sınır alanları

"Benzersiz ardışık sınıra sahip alan" (bu kavramın daha iyi bilindiği İngilizce adın ücretsiz çevirisi: benzersiz ardışık sınır veya ABD alanı ), her yakınsak dizinin yalnızca bir sınıra sahip olduğu bir X alanıdır veya, diyagonal olarak bir sırayla kapalı olarak X- X , X .

Tek bir ardışık limiti olan herhangi bir boşluk T 1'dir, ancak tersi yanlıştır.

Gösteri

X tek bir ardışık limiti olan bir boşluk olsun . Daha sonra, tüm farklı noktaları için x ve y ve X , değer sabit dizisi X doğru yakınsamaktadır etmez y böylece bir mahalle vardır y içermeyen x kanıtlamaktadır, X, T, 1 .

Cofiniteness sonsuz setinde bir alan T 1 injektif dizilerinin herhangi bir noktada birleşirler, burada , X .

Bir başka örnek de “iki kökenli hak” dır. Bu boşluk bölüm herhangi: x göre {0, 1} ℝ ait sıfır olmayan gerçek x , ( x , 0) (özdeşleşen x , 1). Yalnızca yerel olarak ayrıdır .

Biraz ayrılmış boşluklar

Topolojik alan X, biraz ayrık veya zayıf Hausdorff, veya t 2 için tüm alan zaman kompakt K ve herhangi bir sürekli eşleme f arasında K içinde X , görüntü K ile f kapalıdır X .

Zayıf bir şekilde ayrılmış herhangi bir boşluk T 1'dir (ancak tek bir ardışık sınır olması gerekmez). Herhangi tekil kapalı olduğunu göstermek için, bir kompakt dikkate almak yeterli K ve sabit haritası f ait K Bu singleton'u içinde.

KC uzayları

Bir KC uzayı, her yarı-kompaktın kapalı olduğu bir uzaydır (bununla ilgili bir kavram, kompakt olarak oluşturulmuş uzay olgusudur ).

Herhangi bir KC alanı zayıf bir şekilde ayrılmıştır. Aslında, sürekli bir uygulama ile bir kompaktın görüntüsü yarı kompakttır.

Herhangi bir KC alanının benzersiz bir ardışık sınırı vardır, ancak tersi yanlıştır.

Gösteri

Let X'in olmak bir boşluk KC. X'in T 1 olduğunu fark ettikten sonra (her tekil kapalı), bir dizi ( x n ) x ve y'ye yakınsarsa , x = y olduğunu gösterelim . Dizi y değerinin sonsuz katını alırsa , bu eşitlik hemen olur (bir T 1 alanında , sabit bir dizinin yalnızca bir sınırı vardır). Aksi takdirde, A , y'den farklı x n kümesi olsun . O halde A ∪ { x } yarı-kompakttır, bu nedenle X'te kapalıdır, dolayısıyla y içerir (çünkü onun tümleyicisi açık ve x n → y ), dolayısıyla y = x .

Let X olmak Arens-Fort uzay ayrıdır ve hangi sıkıştırır sonlu parçalardır, ve izin X + onun Alexandrov uzantısını (beri ayrı yarı-yoğun olan fakat X'in değil yerel kompakt ). O halde X + , X + \ {(0,0)} 'nın kapatılmamış yarı kompakt olduğu tek bir ardışık limiti olan bir uzaydır .

Bununla birlikte, tek bir ardışık limite sahip sıralı bir uzayda , sayılabilecek kadar kompakt olan herhangi bir parça kapalıdır, bu nedenle alan KC'dir.

Belirli bir uzayda, yarı kompakt bir topoloji bu özellik için maksimumdur , ancak ve ancak KC ise ve bir KC topolojisi bu özellik için minimumdur ancak ve ancak yarı kompaktsa, böylece maksimum yarı kompakt topolojiler ve minimum KC aynıdır.

Ayrılık T 2 (Hausdorff alanı)

Bu klasik özelliktir. Topolojik alan T adlandırılan 2 veya Hausdorff veya ayrı alanı herhangi bir çift (eğer için, x, y belirgin elemanları) X , iki tane mevcut ayrık açıklıkları , bunlardan biri içerir x ve diğer içeren y . Bu, şuna eşdeğerdir: her x noktası için , x'in kapalı olan komşuluklarının kesişimi , tekil { x } ' e indirgenir , veya yine de: köşegen, X × X'te kapatılır .

Ayırma T 2 ayırma KC (bu, buna göre, klasik teoremi gerektirir ayrı her kompakt kapalı ).

Tersi yanlıştır, ancak mahallelerin sayılabilir temellerine sahip bir alan, benzersiz bir ardışık limite sahip olur olmaz ayrılır .

Gösteri

Alexandrov uzatma ℚ beri ayrılmış değildir (quasi-kompakt) ℚ ait değildir yerel kompakt , ama bir KC alandır. Diğer bir örnek, ℝ üzerindeki kodlanabilir topolojidir .

Veya X mahallelerin sayılabilir bir taban alanı ve tek ardışık limit, daha sonra köşegen X × X ile sıralı olarak kapatılır . Bu zamanda ürün olan sıralı (hala bölgelerinden sayılabilir temel sahip olduğundan), böylece, çapraz sonuç olarak, kapalı olduğu X ayrılır.

Zariski topolojisi bir on cebirsel çeşitli T 1 ama genellikle ayrılmayan.

Ayrılık T 2 1/2 (tamamen Hausdorff alanı)

Bir topolojik uzay, iki farklı noktanın yapışmaları ayrık olan mahalleleri kabul ettiği bir T 2 1/2 uzayıdır . Ya da yine, iki ayrı nokta, birbirinden kopuk kapalı mahalleleri kabul ediyor.

Herhangi bir T 2 1/2 boşluğu ayrılır, ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi tersi yanlıştır. Merkez O 1 yarıçapı ve (1, 0) ve (–1, 0) iki nokta ile diskin iç kısmından oluşan düzlemin E kümesini ele alıyoruz . Bu noktada merkezlenen disklerden, diskin içindeki bir noktanın mahallelerinin bir tabanı oluşturulur. (1, 0) noktasının bir komşuluk tabanı, bu noktanın birleşiminden ve bu noktaya bitişik ve segmentlerle sınırlanmış yarım dairesel bir banttan (olağan anlamda açık) oluşur [(0, 1), (0, 1 - h)] ve [(0, –1), (0, –1 + h)]. Aynı şekilde (-1, 0) için. Karşıdaki çizimde, diskin içindeki bir noktanın bir komşuluğunu ve (1, 0) ve (–1, 0) noktalarının her birinin bir komşuluğunu renkli olarak temsil ettik. Bu son iki mahalle açıksa, birbirlerinden kopukturlar, ancak yapışmaları onları sınırlayan bazı ortak bölümlere göre kesişir. Bu nedenle E alanı ayrıdır, ancak T 2 1/2 değildir .

Ayrılık T 2 3/4 (Urysohn alanı)

Topolojik alan X olarak adlandırılan Urysohn alan tüm farklı noktaları için zaman X ve y ve X , sürekli bir fonksiyonu vardır f arasında X segmentinde [0, 1] bu şekilde f ( x ) = 0 ve f ( y ) = 1 Bir Urysohn boşluğu T 2 1 / 2'dir .

Bir uzay Urysohn'dur ancak ve ancak Stone-Čech sıkıştırılmış kanonik haritası enjekte ediciyse.

T 3 ayrımı ve düzenli alanlar

Topolojik alan X, tatmin T 3 olduğunda herhangi bir nokta için x ve X ve kapalı için F arasında X- içermeyen x , içeren iki ayrık açık bir tane olan x ve diğer içeren F .

T 3 ve T 0'ı doğrulayan herhangi bir boşluk ayrılır. Böyle bir alanın düzenli olduğu söyleniyor . T 2 1 / 2'yi kontrol eder , ancak her zaman T 2 3 / 4'ü kontrol etmez . Tersine, ℝ üzerindeki K-topolojisi T 2 3 / 4'ü karşılar ancak T 3'ü karşılamaz .

T 3 1/2 ayırma ve tamamen düzenli (veya Tychonov) boşluklar

Topolojik alanı x doğrular T 3 1/2 herhangi bir nokta için, eğer x ve X ve herhangi bir kapalı için F arasında X- içermeyen x , sürekli bir işlevi vardır X segmentinde [0, 1] 0 olarak eşittir x ve F üzerinde 1 . Bu şuna eşdeğerdir: X tek tipleştirilebilir .

T 3 1/2 ve T 0'ı doğrulayan herhangi bir boşluk ayrılır. Böyle bir alan tamamen düzenli olarak nitelendirilir (ayrıca şunu söylüyoruz: Tychonov uzayı ). Tamamen düzenli bir alan bu nedenle sadece düzenli değil, aynı zamanda Urysohn'dur.

O ve ancak eğer bir boşluk tamamen düzenli olduğu dalmış bir de kompakt uzay .

T 4 ayrımı ve normal uzaylar

Topolojik alan X, tatmin T 4 kapalı ayrık herhangi bir çift için E ve F , ayrık açık birinin bir çifti içeren S ve içeren F .

Bu aksiyom, alt uzaylara geçerek veya ürünlere geçerek korunmaz (bununla birlikte, bir T 4 uzayının herhangi bir kapalı alt uzayı T 4'tür ).

Yukarıdakilerin hiçbirini ima etmez. Özellikle, bir alan ayrılmadan T 4'ü doğrulayabilir : kaba topoloji T 4'ü karşılar . Öte yandan, bir alan T 4 ve T 1'i karşılıyorsa, o zaman ayrılır.

T 4'ü doğrulayan ayrı bir alanın normal olduğu söyleniyor .

Eğer X, tatmin T 4 kapalı ayrık her çifti için , E ve F , sürekli bir fonksiyonu vardır X segmenti [0, 1] olmasının 0 olarak E ve 1 F . Bu olağanüstü özelliğe Urysohn lemma denir . Daha genel olarak, Tietze uzatma teoremi kapalı bir X in ℝ ' nin herhangi bir sürekli fonksiyonunun sürekli olarak X'e genişlemesini sağlar .

Özellikle, tüm normal uzay tamamen düzenlidir.

Herhangi bir parakompakt alan (özellikle herhangi bir kompakt) normaldir.

T 5 ayrımı ve tamamen normal alanlar

Topolojik alan X, tatmin T 5 ise tüm parçaları bir ve B arasında X gibi olduğu bir ∩ B = ∅ ve B ∩ bir = ∅, içeren iki ayrık açık bir tane olan A ve diğer içeren B .

Bu eşdeğerdir: herhangi bir alt uzay X tatmin T 4 , ve bunun için yeterli bir açık alt uzayları olduğu X tatmin T 4 .

Gösteri

X'in T 5'i ve Y'yi X'in bir alt uzayını tatmin etsin . Sonra Y , T 5'i doğrular (dolayısıyla T 4 ). Gerçekten de, tüm parçalar için bir ve B arasında Y , yapıştırılmasında B alt-alanında Y'nin (kendi sahip neden topoloji ) eşittir B ∩ Y ondan ayrık olup bu durumda, A daha sonra bir ∩ B = ∅ (ve aynı göre A ve B rollerinin değiştirilmesi ). X üzerine hipotez ile , bu tür iki A ve B parçası , bu nedenle, ayrık X'in iki açıklığıyla ayrılır . Her ikisinin de Y üzerindeki izler daha sonra A ve B'yi ayıran iki açık Y ayrık noktası açılır .
Tüm açık alt uzayların T 4'ü karşıladığı bir X alanında , A ve B , A ∩ B = ∅ ve B ∩ A = ∅ olacak şekilde iki parça olsun . Y = X \ ( A ∩ B ) ayarladık . Bu gelir bir ⊂ A ∩ Y ve B ⊂ B ∩ Y . Açık bölme odası içinde Y, (bunun uyarılmış topoloji ile sağlanır), bir ∩ Y ve B ∩ Y , kapalı ayrık, iki açıklıkları ile ayrılmaktadır Y , daha ziyade , ayrı A ve B ve (Beri Y'nin bir açık X ) X dilinde de açıktır . Bu nedenle, X tatmin T 5 .

T 5'i doğrulayan ayrı bir alanın tamamen normal olduğu söyleniyor .

Bu nedenle bir uzay, ancak ve ancak tüm alt uzayları normalse tamamen normaldir.

Herhangi tamamen sıralı grubu ile temin düzenin topolojisi örneğin bir - bir sıralı bağlantılı topolojik uzay - normaldir.

Tahta Tychonov [0, w 1 x [0], ω ], iki tamamen düzenli boşluklar ait ürün, tamamen normal, kompakt değildir.

Ayırma T 5 1/2 (tamamen normal boşluk)

Ayrı bir uzay X olduğu söylenir gayet normal herhangi birinin kapalı ise X ise iptal yer (tr) sürekli bir harita ve f den X ℝ için.

Ölçülebilir herhangi bir uzay tamamen normaldir ( f için kapalı fonksiyona olan mesafeyi alın ).

Tamamen normal bir uzayın herhangi bir alt uzayı hala tamamen normaldir.

Tamamen normal bir uzay normaldir (ve bu nedenle, alt uzaylar için önceki kararlılığa bağlı olarak tamamen normaldir). Daha iyi: hepsi kapalı ayrık için E ve F gibi bir alan içinde X , e ve f , işlevi, bu kapalı tam olarak ortadan sürekli fonksiyonları olan süreklidir ve 0 tam üzerinde E ve 1 tam olarak ilgili F . ${\ displaystyle {\ frac {| e |} {| e | + | f |}}: X \ ila [0,1]}$

Herhangi bir çok normal alan bir boşluk G δ (in) , diğer bir deyişle hangi bir kapalı a, alt-kümesi G δ (bu durumda açıklıkların bir sayılabilir kesişme), ama tersi yanlıştır: K-topolojisi bir boşluk G δ isimli pek normal değil, hatta normal değil. ${\ displaystyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {+ \ infty} f ^ {- 1} \ sol (\, \ sol] -1 / n, 1 / n \ sağ [\, \ sağ)}$

Orijinal tanım ( Čech ve eşdeğeri nedeniyle ) şudur: bir uzay normal bir G δ uzayı ise tamamen normaldir .

Tamamen normal fakat tamamen normal olmayan bir uzayın bir örneği [0, ω₁] 'dir (sıranın topolojisi ile sağlanır), burada ω₁ ilk sayılamayan ordinali gösterir .

Notlar ve referanslar

Almanca Trennungsaxiom kelimesinin ("ayrılığın aksiyomu") baş harfi olan bu mektup, Pavel Aleksandrov ve Heinz Hopf tarafından 1935 tarihli Topology incelemelerinde (s. 58 ve sonrası) tanıtıldı ve burada bu tür aksiyomların bir listesini sundular (bkz. . (tr) Bazı Matematik Kelimelerinin Bilinen En Eski Kullanımları, Jeff Miller).
Daha doğrusu, burada aşağıdaki çıkarımlara sahibiz (ve hemen çıkarılabilecek olanlar): ${\ displaystyle T_ {5 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {5} \ Rightarrow T_ {4}, \ quad T_ {4} \ land T_ {1} \ Rightarrow T_ {3 \; 1/2}, \ dörtlü T_ {3 \; 1/2} \ Sağa T_ {3},}$ ${\ displaystyle T_ {3 \; 1/2} \ land T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 3/4}, \ quad T_ {3} \ land T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 1 / 2},}$ ${\ displaystyle T_ {2 \; 3/4} \ Rightarrow T_ {2 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {2} \ Rightarrow KC \ Rightarrow US \ land t_ {2}, \ quad US \ lor t_ {2 } \ Rightarrow T_ {1} \ Rightarrow T_ {0}.}$
(tr) Hans-Peter A. KUNZI ve Dominic Zypen der van , “Maksimal (sırayla) kompakt topolojileri” Werner GÄHLER ve Gerhard Preuß, içinde, Kategorik Yapıları ve Uygulamaları World Scientific,2004( ISBN 978-9-81256053-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 173-187, arXiv : matematik / 0306082 .
(en) " T 1 uzaylarında benzersiz limitler " , matematikte. stackexchange .com .
Kompakt olarak oluşturulmuş alan makalesine bakın .
(in) Francisco G. Arenas Julian Donçev Maria Luz Puertas, "aksiyomların için Birleşme yaklaşımı T entre 0 Ekim 1998 ve tamamen Çağrı Hausdorff" arXiv : matematik / 9.810.074 , s. 5, Örnek 2.2.
(inç) Mangesh G. Murdeshwar , Genel Topoloji , Yeni Çağ,1990, 2 nci baskı. , 357 s. ( ISBN 978-81-224-0246-9 , çevrimiçi okuyun ) , s. 162.
Julian Donchev , Maximilian Ganster ve Laszlo Zsilinszky'de (içinde)
bulunan örnek , " aşırı T 1 -uzaylar ve İlgili Uzaylar " , arXiv ,
1998( çevrimiçi okuyun ). Ayrıca görün
- (tr) " dizileri eşsiz sınırlarını ancak kompakt kümelerine sahip olduğu bir uzay kapalı gerekmez üzerinde" MathOverflow ,
- (en) Helen F. Cullen , " Benzersiz ardışık sınırlar " , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , cilt. 20, n o 1,1965, s. 123-124 ( çevrimiçi okuyun ) ve
- (tr) Jakub Opršal , Minimal KC boşlukları , Univerzita Karlova v Praze ,2009( çevrimiçi okuyun ).
(inç) SP Franklin , " Dizilerin Yeterli Olduğu Alanlar II " , Fund. Matematik. , cilt. 61, 1967, s. 51-56 ( çevrimiçi okuyun ), Önerme 5.4.
Dontchev, Ganster ve Zsilinszky 1998 ve Opršal 2009 .
Örnekler (içinde) " Hausdorff olmayan zayıf bir Hausdorff Uzayı Örneği? Daha fazla ayrıntı veren ve üçüncü bir örnek sağlayan MathOverflow'da. Ayrıca bkz. (En) Paul Fabel , " Düşük boyutlu KC uzayları hakkında " , arXiv ,2011( çevrimiçi okuyun ).
(in) Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr. , Topolojideki Karşı örnekler , Dover ,1995( 1 st . Ed Springer , 244, 1978) , s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , çevrimiçi sunum ) , s. 82, 92diğer üç örnek verin: Karşı Örnek 60 (Nispeten Asal Tamsayı Topolojisi) , Karşı Örnek 61 (Asal Tamsayı Topolojisi) - ℕ * üzerinde iki topoloji, düzgün aralıklı tamsayıların topolojisinin ℕ * sınırlamasından daha az ince : için temel alıyoruz açık onları bir ℕ * + b ile bir ve b aralarında asal (. solunum bir asal ); Bu iki örnekte ilk ayrıntılı olarak (en) " Hausdorff uzay tamamen değil Haussdorf " üzerine, PlanetMath - ve karşı örnek 74 ( Çift Kökeni Topoloji (tr) ) .
Steen ve Seebach 1995 , Karşı Örnekler 90 (Tychonoff tirbuşon), 92 (Hewitt'in yoğunlaştırılmış tirbuşon), 94 (Thomas'ın tirbuşonu) .
François Guénard ve Gilbert Lelièvre , Ek analiz, Cilt. 1: Topoloji, ilk bölüm , ENS Fontenay ed.,1985( çevrimiçi okuyun ) , s. 35.
Steen ve Seebach 1995 , s. 162.
N. Vedenissoff, "Boyutla ilgili bazı teoremlerin genelleştirilmesi ", Compositio Mathematica , cilt. 7,1940, s. 194-200 ( çevrimiçi okuyun ).

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Ayrılık aksiyomlarının tarihi (tr)
Ayrı setler (inç)

Kaynakça

(en) Mickael Henle, Topolojiye Kombinatoryal Giriş , Dover ,1994, 310 p. ( ISBN 978-0-486-67966-2 , çevrimiçi sunum )
(tr) James Munkres , Topoloji , Prentice Hall ,2000, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , böl. 4
(tr) Stephen Willard, Genel Topoloji , Dover,2012( 1 st ed. 1970), 384 , s. ( ISBN 978-0-486-13178-8 , çevrimiçi sunum )

Dış bağlantı

(en) Karl H. Hofmann, " Düşük ayırma aksiyomları (T 0 ) ve (T 1 ) " , Darmstadt Teknik Üniversitesi ,2001