Süit alanı ℓ p

Gelen matematik , uzay ℓ s bir olan bir vektör alan örnek oluşan, dizileri ile gerçek veya karmaşık değerleri için olan ve 1 ≤ p ≤ ∞ bir Banach alan yapısı .

Motivasyon

Düşünün gerçek vektör uzayı ℝ n ise, alanını n küpe ait gerçek sayılar .

Öklid normu bir vektör ile verilir: x=(x1,x2,...,xdeğil){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ noktalar, x_ {n})}

‖x‖=(x12+x22+⋯+xdeğil2)1/2{\ displaystyle \ | x \ | = \ sol (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ noktalar + x_ {n} ^ {2} \ sağ) ^ {1/2} }.

Ancak herhangi bir gerçek sayı p ≥ 1 için, ℝ n üzerinde p -norm adı verilen başka bir normu şu şekilde belirleyerek tanımlayabiliriz :

‖x‖p=(|x1|p+|x2|p+⋯+|xdeğil|p)1/p{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ noktalar + | x_ {n} | ^ {p } \ sağ) ^ {1 / p}}

herhangi bir vektör için . x=(x1,x2,...,xdeğil){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ noktalar, x_ {n})}

Tüm p ≥ 1 için, p -normu ile donatılmış ℝ n , bu nedenle normalleştirilmiş bir vektör uzayıdır . Sonlu boyut olduğu için bu standart için tamamlanmıştır .

Boşluk ℓ p

P -norm bir olan vektörlere uzatılabilir sayılabilir sonsuz alanı ℓ tanımlayan bileşenler, p (ayrıca not ℓ s ( ℕ ) de ℓ olarak tanımlanabilir p ( x herhangi) sonlu veya sonsuz grubu X , vaka burada X , önceki paragrafa karşılık gelen n öğeye sahiptir ).

Daha kesin olarak, ℓ p , üzerinde toplamın şu şekilde tanımlandığı sonsuz sayıda gerçek veya karmaşık sayılar uzayının bir vektör alt uzayı olacaktır :

(x0,x1,...,xdeğil,xdeğil+1,...)+(y0,y1,...,ydeğil,ydeğil+1,...)=(x0+y0,x1+y1,...,xdeğil+ydeğil,xdeğil+1+ydeğil+1,...){\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ noktalar) + (y_ {0}, y_ {1}, \ noktalar, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ noktalar) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ noktalar)}

ve bir skaler ile çarpma:

λ(x0,x1,...,xdeğil,xdeğil+1,...)=(λx0,λx1,...,λxdeğil,λxdeğil+1,...).{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ noktalar, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ noktalar) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ noktalar, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ noktalar).}

Bir dizinin p -normunu tanımlıyoruz  : x=(x0,x1,...,xdeğil,xdeğil+1,...){\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ noktalar, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ noktalar)}

‖x‖p=(|x0|p+|x1|p+⋯+|xdeğil|p+|xdeğil+1|p+...)1/p∈[0,+∞].{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ noktalar + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ noktalar \ sağ) ^ {1 / p} \ [0, + \ infty] içinde.}

Sağdaki dizi her zaman yakınsak değildir: örneğin, (1, 1, 1,…) dizisi herhangi bir p <∞ için sonsuz bir p -normuna sahiptir .

ℓ p uzayı , p -normu sonlu olan gerçek veya karmaşık sayıların sonsuz dizileri kümesi olarak tanımlanır .

Ayrıca "norm ∞  " u şu şekilde tanımlıyoruz :

‖x‖∞=sup(|x0|,|x1|,...,|xdeğil|,|xdeğil+1|,...){\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ noktalar, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ noktalar)}

ve karşılık gelen vektör uzayı ℓ ∞ , sınırlı dizilerin alanıdır .

Özellikleri

• Herhangi bir set için X , boşluk ℓ ∞ iken ( X arasında) sınırlı olan fonksiyonların üzerinde X (gerçek veya karmaşık değerleri ile) olan Banach , örneğin, herhangi bir homojen Cauchy dizisi ile sınırlı olan fonksiyonların X eşit yakınsak (sınırlı bir işleve). Aynı şekilde, 1 ≤ p ≤ ∞ için ℓ p (ℕ) Banach'ındır. (Bunlar, tüm L p uzaylarını ilgilendiren Riesz-Fischer teoreminin iki özel durumudur .)
• ℓ olarak ∞ , dikkate değer bir alt uzay alanıdır C arasında yakınsayan dizileri . Yakınsak dizilerin herhangi bir tekdüze sınırı yakınsak olduğu için kapalıdır ( bu nedenle tamamlanmıştır ); ya da yine: C (tamamlandıktan dolayısıyla kapalı ℓ içinde ∞ beri) izometrik izomorfik için (tam) bir alan , sürekli bir harita ( nedenle ) sınırlanmış kompakt [0, ω] = ℕ∪ {+ ∞} , compactified d 'Alexandrov'da dan sağduyulu ℕ .
• 1 <için p < ∞ , dizi boşluk ℓ s olan dönüşlü . Bu ikili alan ℓ olan q ile, 1 / p + 1 / q = 1;
• ℓ olarak ∞ , alt uzay c , 0 , sıfır limitli dizilerin olduğu değil dönüşlü: onun ikili ℓ olan 1 ve ℓ ikili 1 ℓ olan ∞ . Bu nedenle, ℓ 1 ve ℓ ∞ da yansıtıcı değildir.
• İçin r < ∞ ve bir x ∈ ℓ r , uygulama s ↦ ║ x ║ s edilir azaltılması hakkında [ r [∞ + . Nitekim, p ≥ q ≥ r ise | x k | / ║ x ║ q ≤ 1 herhangi bir k indeksi için , yani|xk|p/‖x‖qp≤|xk|q/‖x‖qq ;{\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}Bu eşitsizliği toplayarak k biz anlamak ║ x ║ p ≤ ║ x ║ q . İşlev s ↦ ║ x ║ s , aynı zamanda sürekli üzerinde [ r + ∞] . Özellikle :‖x‖∞=limp→+∞‖x‖p.{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ ila + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}

Notlar ve referanslar

1. Georges Skandalis , Genel Topoloji , Masson.
2. (in) "  l ∞ -norm sınırına eşit s -norms  " ile math.stackexchange .

İlgili Makaleler

• Schauder tabanı
• Uzay L p
• Toplanabilir aile

Dış bağlantılar

• Yetki kayıtları  :
  • Fransa Ulusal Kütüphanesi ( veri )
  • Üniversite dokümantasyon sistemi
  • Kongre Kütüphanesi
  • Gemeinsame Normdatei