Kurzweil-Henstock'u tamamlayın

Gelen matematik ve daha özel olarak analiz , Kurzweil'e-Henstock veya Henstock-Kurzweil'e yekpare (veya KH yekpare ya da ölçer yekpare ya da tam Riemann integrali ) tarafından 1950'li yıllarda, bağımsız bir şekilde geliştirilmiştir Jaroslav Kurzweil ve Ralph Henstock (in) için Riemann integralinden daha karmaşık , ancak en azından Lebesgue integrali kadar güçlü bir entegrasyon teorisi sunar . 1910'lardan kalma, ancak sunumu oldukça ağır olan ve 1940'larda kullanılmayan Denjoy veya Perron integrallerine eşdeğerdir .

Lebesgue integrali ile karşılaştırıldığında, KH-integrali herhangi bir türetilmiş fonksiyonun integrallenebilir olması ve uygunsuz integral kavramını tanıtmanın gerekli olmaması avantajına sahiptir . Yüksek öğretimin ilk yıllarından itibaren güçlü teoremlerle donatılmış ve Lebesgue integraline çok yakın bir integralin (daha sonra özel bir durum olarak tanıtılması kolay olan) tanıtılmasını mümkün kılar.

Tanımlar

Let $[ a , b ] olduğu$ bir gerçek kademeli . $[$ $A$ $,$ $b$ $] '$ nin işaretli (veya noktalı) bir altbölümüne $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ $,\dots,$ $x$ $n$ $)$ ve $($ $t$ $1$ $,$ $t$ $2$ $,\dots,$ $t$ $n$ $)$ sonlu ailelerin herhangi bir çiftini diyoruz $,$ öyle ki $a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {n} = b \ quad {\ mbox {ve}} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x _ {{i-1}} \ leqslant t_ {i} \ leqslant x_ {i}.$ $T i'nin$ $[$ $x$ $i$ $-1$ $,$ $x$ $i$ $]$ parçasını işaretlediğini (veya işaret ettiğini) söylüyoruz .
Eğer $δ$ üzerinde tanımlanan bir fonksiyonudur $[ a , b ]$ kesinlikle pozitif değerlerle olduğunu söyleyebiliriz $δ$ a, gösterge (üzerindeki $[ a , b ]$ ) ve alt bölümü olduğu söylenmektedir $δ$ Öyle olsun , eğer

{\ displaystyle \ forall i \ {1, \ noktalar, n \}, ~ x_ {i} -x_ {i-1} \ leqslant \ delta (t_ {i}).}

Önemli bir teorem olan Cousin's lemma , KH-entegrasyonu teorisinde sıklıkla kullanılır; seçilen ölçü ne olursa olsun, bu göstergeden daha ince işaretlenmiş alt bölümler olduğunu onaylar.

Bir fonksiyon $f$ segment sınırlanmış ya da $[ a , b ]$ ya da kompleks değerler ile, bir Kurzweil'e-Henstock (veya KH integrali) anlamında integrali integral, $A$ , eğer: tüm $£ değerinin > 0$ , orada bir göstergesi olan $δ$ gibi, bunun için tüm işaretlenmiş alt bölümü $(( x i ) ( t i ))$ $δ$ Öyle olsun, var: . Bu durumda $A$ sayısı benzersizdir ve $f'nin$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ üzerinden integrali olarak adlandırılır . Sonra not ederiz
${\ displaystyle \ sol | \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ sağ | \ leqslant \ varepsilon}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ mathrm d} t.$
Miktar olarak adlandırılır Riemann toplamı ve $f$ işaretli seçilen alt bölümü ile ilgili olarak. ${\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i})}$

Sabit $j$ göstergeleri alırsak, Riemann integralinin tanımını bulduğumuzu fark ederiz . KH-integrali, bu sabit göstergelerin değişken göstergelerle değiştirilmesinden oluşur.

Halinde $f$ bir aralık ile tanımlanır $I$ bir parça değildir, biz söylemek $f$ entegre olan KH-integrallenebilirdir $A$ , tüm ise, $£ değerinin > 0$ , bir ölçer vardır $Í$ üzerinde $I$ ve bir segmente $[ a , b ]$ dahil $I$ , öyle ki herhangi bir belirgin bir alt bölümü için $(( x i ), ( t i ))$ $δ$ -fin dahil bir segment $I$ içeren ve $[ a , b ]$ ederiz:
${\ displaystyle \ sol | \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ sağ | \ leqslant \ varepsilon.}$

Özellikleri

KH-integrallenebilir fonksiyonlar kümesi, sıralı bir vektör uzayını (de) oluşturur ve integral, bu uzayda pozitif doğrusal bir formdur .
Bir segmentte, herhangi bir Riemann ile entegre edilebilir fonksiyon KH ile entegre edilebilir (ve benzer şekilde integraldir).
Uygun olmayan integral kavramı KH-integrali ile işe yaramaz. Gerçekten de, Hake teoremine göre :Bir fonksiyon $f$ bir aralık üzerinden tanımlanan $I = ( a , b )$ (ki mutlaka sınırlı ve zorunlu olarak ihtiva etmeyen $bir$ veya $b$ ) KH-integrallenebilirdir üzerinde $I$ , ancak ve ancak, herhangi bir bölüm üzerinde ise, $[ c , d ]$ dahil $] a , b [$ ve sınır varsa ve sonluysa. $I$ üzerindeki integrali bu durumda bu limite eşittir. ${\ displaystyle \ lim _ {c \ - a ^ {+}, d \ - b ^ {-}} \ int _ {c} ^ {d} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Örneğin (önceki noktayı kullanarak) sonuca varıyoruz:
- $[0, 1]$ segmentinde $,$ $x \mapsto 1 / \sqrt x$ fonksiyonu, eğer $x \neq 0$ ve $0 \mapsto 0$ (sınırsız olduğu için Riemann integrallenemez) KH-integrallenebilir;
- üzerinde $] 0, + \infty [$ , $x$ $\mapsto$ işlevi $günah x / x$ KH-integrallenebilir (integral $π / 2$ : Dirichlet integralidir ) ve mutlak değeri değildir.
Analizin ikinci temel teoremi olduğu , aşağıdaki gibi ifade edilen:Eğer $F$ bir edilir İlkel genelleştirilmiş bir $f$ üzerinde $[ a , b ]$ , o zaman $ön$ KH integrallenebilirdir ve ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t = F (b) -F (a).}$
Analizinin ilk temel teoremi olduğu , aşağıdaki gibi ifade edilen:Eğer $f$ KH-integrali üzerinde $[ a , b ]$ , fonksiyon olan , sürekli ve hemen hemen her yerde kabul için bir türevinin eşit $f$ . ${\ displaystyle F: x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Bunu takiben $f$ , Lebesgue'dir - $x$ $\mapsto$ $n$ $($ $F$ $($ $x$ $+ 1 /$ $n$ $) -$ $F$ $($ $x$ $))$ sürekli fonksiyonlar dizisinin hemen hemen her yerindeki sınır olarak ölçülebilir .
Bir fonksiyon f olan Lebesgue-integrallenebilen ancak ve ancak f ve | f | KH-integrallenebilir ve f'nin iki integrali (Lebesgue anlamında ve Kurzweil-Henstock anlamında) bu durumda eşittir. Özellikle pozitif fonksiyonlar için Lebesgue-integrallenebilirlik ve KH-integrallenebilirlik eşdeğerdir. Bu nedenle ℝ'nin bir kısmı Lebesgue ile ölçülebilirdir ve sonlu Lebesgue ölçümü ancak ve ancak karakteristik fonksiyonu KH-integrallenebilirse. Örneğin :
- Dirichlet fonksiyonu (1'e eşit rasyonel ve 0 irrasyonellerde ve yerel olarak olmadığı integrallenebilir Riemann) Lebesgue integre ve (sıfır integral) bu nedenle KH-integrallenebilirdir.
- Eğer V a, olmayan ölçülebilir kısmı arasında $[0, 1]$ , karakteristik fonksiyonu $1 V$ , pozitif ve Lebesgue ölçülemeyen, KH-integrali değildir (bu nedenle $1 V - 1 [0, 1] \ V = 2 1 V - 1 [0, 1]$ her ikisi de).
Monoton yakınsama teoremi ve egemen yakınsama teoremi KH-integrali ile doğrudur. Bu sonuncusu , çerçeveli yakınsama teoreminden çıkarılır , daha güçlüdür çünkü mutlak değeri integrallenemez fonksiyonların durumunu ele almayı mümkün kılar.

Notlar ve referanslar

Jean-Pierre Demailly , Temel entegrasyon teorisi: Kurzweil-Henstock integrali ,2011( çevrimiçi okuyun [PDF] ).
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel ve diğerleri. , Lisans 3 için Hepsi Bir Arada Matematik , Dunod ,2015( çevrimiçi okuyun ) , s. 195-259.
J.-P. Ramis, A. Warusfel ve diğerleri, All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 547-549.
Örneğin Grenoble-I Üniversitesi'nde kurs desteği olarak kullanılan Demailly 2011'in sunumunu okuyabiliriz .
Demailly 2011 , s. 11, def. 2.5; Ramis, Warusfel vd. 2015 , s. 198, def. 16; Ramis, Warusfel vd. 2014 , s. 591, def. 10.
Aşağıdaki varyasyon bulunursa içinde Lee Peng Yee ve Rudolf Výborný, İntegral: Kurzweil ve Henstock sonra Bir Kolay Yaklaşım , Cambridge University Press ,2000, 311 s. ( ISBN 978-0-521-77968-5 , çevrimiçi sunum ) , s. 23 : $t ben - δ ( t ben ) < x ben -1 \leq t ben \leq x ben < t ben + δ ( t ben )$ .
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 202.
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 224.
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 204.
(in) " Heinrich Hake " , üzerinde web Matematik Şecere Projesi , (içinde) " tezi " üzerine DDB ,1921.
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 227-229.
Cousin's lemma hakkındaki makaledeki ilgili paragrafa bakın .
Yani, sayılabilir bir kümenin tümleyicisi üzerinde türev $f$ için olan sürekli bir harita .
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 232 ve 236.
(inç) Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron ve Henstock , AMS ,1994( çevrimiçi okuyun ) , s. 145.
(inç) Charles Swartz, Gösterge İntegrallerine Giriş , World Scientific ,2001( çevrimiçi okuyun ) , s. 136.
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 283.
Ramis, Warusfel ve diğerleri. 2015 , s. 249-250 ve 269.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

Jean-Yves Briend, Küçük Entegrasyon Anlaşması , EDP Bilimleri , 2014 [ çevrimiçi sunum ]
Roger Cuculière, “ 2000 yılı için hangi integral? », Repères IREM , n o 31,Nisan 1998
Clément Kesselmark ve Laurent Moonens, " İntegral hesabın temel teoremleri ", Gazette des mathématiciens , n o 141,Temmuz 2014, s. 49-67
Jean Mawhin , Analiz. Temeller, teknikler, evrim , Erişim Bilimleri, De Boeck Üniversitesi, Brüksel, 1993