hipergeometrik yasa
hipergeometrik yasa
|
|
kütle fonksiyonu
|
Dağıtım işlevi
|
|
Ayarlar
|
DEĞİL∈0,1,2,...p∈[0;1]değil∈0,1,2,...,DEĞİL{\ displaystyle {\ start {hizalanmış} N & \ 0,1,2, \ dots \\ p & \ in [0; 1] \\ n & \ 0,1,2, \ dots, N \ end {hizalanmış} } \,}
|
---|
Destek
|
k∈maksimum(0,değil-qDEĞİL),...,dk(pDEĞİL,değil){\ displaystyle \ scriptstyle {k \, \ in \, \ maks {(0, \, n-qN)}, \, \ dots, \, \ min {(pN, \, n)}} \,}
|
---|
kütle fonksiyonu
|
(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle {\ frac {{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin}}}
|
---|
Umut
|
değilp{\ görüntü stili np \!}
|
---|
Moda
|
⌊(değil+1)(pDEĞİL+1)DEĞİL+2⌋{\ displaystyle \ sol \ lzemin (n + 1) {\ frac {(pN + 1)} {N + 2}} \ sağ \ rfloor}
|
---|
Varyans
|
değilpq(DEĞİL-değil)(DEĞİL-1){\ displaystyle npq {\ frac {(Nn)} {(N-1)}}}
|
---|
asimetri
|
(DEĞİL-2değil)(q-p)(DEĞİL-1)12[değilpq(DEĞİL-değil)]12(DEĞİL-2){\ displaystyle {\ frac {(N-2n) (qp) (N-1) ^ {\ frac {1} {2}}} {[npq (Nn)] ^ {\ frac {1} {2}} (N-2)}}}
|
---|
Normalleştirilmiş kurtosis
|
(DEĞİL-1)[DEĞİL2(1-6pq)+DEĞİL(1-6değil)+6değil2]değilpq(DEĞİL-değil)(DEĞİL-2)(DEĞİL-3){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {(N-1) [N ^ {2} (1-6pq) + N (1-6n) + 6n ^ {2}]} {npq (Nn) (N-2) (N-3)}}}
+6DEĞİL2(DEĞİL-2)(DEĞİL-3)-6{\ displaystyle + {\ frac {6N ^ {2}} {(N-2) (N-3)}} - 6}
|
---|
Moment üreten fonksiyon
|
(qDEĞİLdeğil)2F1(-değil,-pDEĞİL;qDEĞİL-değil+1;et)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle {\ frac {{qN \ n} seç \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {t})}} {N \ n}} \, \!} öğesini seçin
|
---|
karakteristik fonksiyon
|
(qDEĞİLdeğil)2F1(-değil,-pDEĞİL;qDEĞİL-değil+1;ebent)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle {\ frac {{qN \ n} seç \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {it})}} {N \ n}}}'yi seçin
|
---|
Hipergeometrik yasa ilişkili parametrelerin , ve a, ayrık olasılık yasası aşağıdaki modeli tanımlayan:
değil{\ görüntü stili n}
p{\ görüntü stili p}
DEĞİL{\ görüntü stili N}![DEĞİL](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Aynı
anda topları kazanan ve kaybeden topları içeren bir kutuya
çeker ( toplam sayısı = ). Daha sonra çıkarılan topları kazanan sayısını ve biz diyoruz
rastgele değişkeni bu numarayı vererek.
değil{\ görüntü stili n}
DEĞİL1=pDEĞİL{\ görüntü stili N_ {1} = pN}
DEĞİL2=qDEĞİL{\ görüntü stili N_ {2} = qN}
q=1-p{\ görüntü stili q = 1-p}
pDEĞİL+qDEĞİL{\ görüntü stili pN + qN}
DEĞİL{\ görüntü stili N}
X{\ görüntü stili X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Evren 0 ile tamsayılar kümesidir . Değişken daha sonra tarafından tanımlanan olasılık yasasını takip eder.
X(Ω){\ görüntü stili X \! (\ Omega)}
değil{\ görüntü stili n}
X{\ görüntü stili X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
P(X=k)=PX(k)=(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin } }}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin } }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4637a42239a0d732f1c23932cc1d564efd257a46)
( başarılı olma olasılığı ).
k{\ görüntü stili k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Bu olasılık yasasına hipergeometrik parametreler yasası denir ve şunu ifade ederiz .
(değil,p,DEĞİL){\ görüntü stili (n, p, N)}
X∼H(değil,p,DEĞİL){\ displaystyle X \ sim {\ matematik {H}} (n, p, N)}![{\ displaystyle X \ sim {\ matematik {H}} (n, p, N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666807ec4ee11a83d460fc61e1bdda38b553cbdb)
0 ile 1 arasında bir reel, yani tamsayı ve şu gereklidir . Bu koşullar empoze edilmediği zaman, olasılıklar kümesi arasındaki tamsayılar kümesidir ve .
p{\ görüntü stili p}
pDEĞİL{\ görüntü stili pN}
değil⩽DEĞİL{\ displaystyle n \ leqslant N}
X(Ω){\ görüntü stili X \! (\ Omega)}
maksimum(0,değil-qDEĞİL){\ görüntü stili \ maks (0, n-qN)}
dk(pDEĞİL,değil){\ görüntü stili \ dak (pN, n)}![{\ görüntü stili \ dak (pN, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c301c859bdf3e6f3e219877f4c314099569c518)
Basit örnek
Bir gölde dörtte biri turna olmak üzere yüz balık bulunur. 10 balık yakalanır; avdaki turna sayısı yasasıdır .
X{\ görüntü stili X}
H(10,1/4,100){\ Displaystyle H (10,1 / 4,100)}![{\ Displaystyle H (10,1 / 4,100)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c912fc2d5c23325e7b49e74a9d67ec90de346151)
Daha sonra ardışık çiftler için buluruz :
(k,P(X=k)){\ görüntü stili (k, \ mathbb {P} (X = k))}![{\ görüntü stili (k, \ mathbb {P} (X = k))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417e98db798842a9d3dd845520ca6669658e13a6)
(%0,5), (%1,18), (%2,30), (%3,26), (%4,15), (%5,5), (%6,1), (%7,0), (%8,0), (%9,0), (%10.0)
Yani 2 veya 3 pike için maksimum şans. Ayrıca turna sayısının beklentisi 10/4 = 2.5'tir.
Olasılık yasasının hesaplanması
Bu bir eşzamanlı çizim sipariş ve biz bu ile çarpılması anlamına geleceği nedeniyle çizimi siparişi karar vermesi halinde olasılık yasası aynı kalacağını bile yerine koymadan değil demek etmektir ( miktar pay ve payda arasında arasında elemanların , çizmek hangisi eşit olasılıklı olarak kabul edilir.
değil!{\ görüntü stili n!}
P(X=k){\ görüntü stili P (X = k)}
değil{\ görüntü stili n}
DEĞİL{\ görüntü stili N}![DEĞİL](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Kombinasyon evrenin kardinal diyelim .
(DEĞİLdeğil){\ displaystyle \ textstyle {N \ n'yi seçin}}![{\ displaystyle \ textstyle {N \ n'yi seçin}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c873aa7971a09fed63022050995ed9e1a442ad71)
|
Çizmek
|
Oy sandığında kaldı
|
Toplam
|
---|
başarı
|
k{\ görüntü stili k}
|
pDEĞİL-k{\ görüntü stili pN-k}
|
pDEĞİL{\ görüntü stili pN}
|
Satranç
|
değil-k{\ görüntü stili nk}
|
qDEĞİL-değil+k{\ görüntü stili qN-n + k}
|
qDEĞİL{\ görüntü stili qN}
|
Toplam
|
değil{\ görüntü stili n}
|
DEĞİL-değil{\ görüntü stili Nn}
|
DEĞİL{\ görüntü stili N}
|
Olay (tabloya bakınız), birinin kazanan topları çektiği ve kaybettiği topları olduğu durumu temsil eder . Bu olayın kardinali bu nedenle .
{X=k}{\ görüntü stili \ {X = k \}}
k{\ görüntü stili k}
pDEĞİL{\ görüntü stili pN}
değil-k{\ görüntü stili nk}
qDEĞİL{\ görüntü stili qN}
(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k){\ displaystyle \ textstyle {pN \ k'yi seçin} {qN \ nk'yi seçin}}![{\ displaystyle \ textstyle {pN \ k'yi seçin} {qN \ nk'yi seçin}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5362b8ba3b6c9e787b009f9b14d2c185918dd36e)
Olayın olasılığı bu nedenledir .
Not: Herhangi bir olasılık yoğunluğu için, toplamı 1'e eşittir, bu da Vandermonde'nin kimliğini kanıtlar .
P(X=k)=PX(k)=(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin } }}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin } }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4637a42239a0d732f1c23932cc1d564efd257a46)
P(X=k){\ displaystyle \ matematik {P} (X = k)}![{\ displaystyle \ matematik {P} (X = k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c10cf3f7bbe0c56c18fe4694e00a68b47ac4f14)
Beklenti, varyans ve standart sapma
Beklenti rastgele değişkenin parametrelerle hiper- dağılımı aşağıdaki a aynıdır binom değişken parametreleri s : .
X{\ görüntü stili X}
(değil,p,DEĞİL){\ görüntü stili (n, p, N)}
(değil,p){\ görüntü stili (n, p)}
E(X)=değilp{\ displaystyle \ matematik {E} (X) = np \,}![\ matbb {E} (X) = np \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c44337233f9d41d3fdca02182b47bd9672d0430)
gösteri
Kendimize veriyoruz: X∼H(değil,p,DEĞİL){\ displaystyle X \ sim {\ matematik {H}} (n, p, N)}
(Eşzamanlı çizimli, yani sıralanmamış ve değiştirilmemiş bir çömleği modeline atıfta bulunursak. Bu nedenle : "başarılı" türündeki topların sayısı ve : "başarısız" türündeki topların sayısı vardır.)
DEĞİLDEĞİL=pDEĞİL{\ görüntü stili N_ {N} = pN}
DEĞİLB=qDEĞİL=(1-p)DEĞİL{\ görüntü stili N_ {B} = qN = (1-p) N}![{\ görüntü stili N_ {B} = qN = (1-p) N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c757e63f96f6ec7f661647722dffad2de6c83bf)
P(X=k)=(DEĞİLDEĞİLk)(DEĞİLBdeğil-k)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ frac {{N_ {N} \ k'yi seçin} {N_ {B} \ nk'yi seçin}} {N \ n'yi seçin}}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ frac {{N_ {N} \ k'yi seçin} {N_ {B} \ nk'yi seçin}} {N \ n'yi seçin}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c859788b721e49eb281c690ee4a197dd70d027f)
"Success" türündeki topları 1'den başlayarak numaralandıralım ve 1 ile olay arasındaki her şeyi tanımlayalım :
DEĞİLDEĞİL{\ görüntü stili N_ {N}}
k{\ görüntü stili k}
DEĞİLDEĞİL{\ görüntü stili N_ {N}}![{\ görüntü stili N_ {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4deeb31fa70868b7ccd2b7b9bb97ad5aaf0b2e6c)
Ek={arasında çekim yaptık değil top türü başarı topları k}{\ displaystyle E_ {k} = \ {{\ metin {arasında vurduk}} \ n \ {\ metin {başarılı top topları}} \ k \}}![{\ displaystyle E_ {k} = \ {{\ metin {arasında vurduk}} \ n \ {\ metin {başarılı top topları}} \ k \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c90cf89b73156a4b9ca123d7839ecbb0e747010)
.
Çekilen toplam "başarılı" top sayısıX{\ görüntü stili X}
X=∑k=1DEĞİLDEĞİL1Ek{\ displaystyle X = \ toplam _ {k = 1} ^ {N_ {N}} \ matematik {1} _ {E_ {k}} \,}
(burada 1 bir gösterge işlevi arasında umut doğrusallık ile) .
Ek{\ görüntü stili E_ {k}}
E(X)=DEĞİLDEĞİLP(E1){\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = N_ {N} \ mathbb {P} (E_ {1}) \,}![{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = N_ {N} \ mathbb {P} (E_ {1}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8896a88981e8e0f1a38df025a79096f477abd0)
Şimdi değerlendirelim . Tamamlayıcıya geçerek,
P(E1){\ displaystyle \ matematik {P} (E_ {1}) \,}![\ matbb {P} (E_1) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a512d2cc48794ce8d968c419b068faef38d7936a)
P(E1)¯=(DEĞİL-1değil)(DEĞİLdeğil)=(DEĞİL-1)!değil!(DEĞİL-1-değil)!değil!(DEĞİL-değil)!DEĞİL!=DEĞİL-değilDEĞİL{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ bar {(E_ {1})}} = {\ frac {N-1 \ n seçin} {N \ n seçin}} = {\ frac {(N-1)! } {n! (N-1-n)!}} {\ frac {n! (Nn)!} {H!}} = {\ frac {Nn} {N}} \,}![{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ bar {(E_ {1})}} = {\ frac {N-1 \ n seçin} {N \ n seçin}} = {\ frac {(N-1)! } {n! (N-1-n)!}} {\ frac {n! (Nn)!} {H!}} = {\ frac {Nn} {N}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f748ba860032227bc8e24621a7789a5abc357ac)
bu, belirli bir topa asla ateş etmeme olasılığıdır.
Bu nedenle P(E1)=1-DEĞİL-değilDEĞİL=değilDEĞİL=değilDEĞİLDEĞİL+DEĞİLB{\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {1}) = 1 - {\ frac {Nn} {N}} = {\ frac {n} {N}} = {\ frac {n} {N_ {N} + N_ {B}}} \,}
Bu nedenle şu sonuca varıyoruz: E(X)=değilDEĞİLDEĞİLDEĞİLDEĞİL+DEĞİLB=değilDEĞİLDEĞİLDEĞİL{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = {\ frac {nN_ {N}} {N_ {N} + N_ {B}}} = {\ frac {nN_ {N}} {N}} \,}
Bunun tam olarak bir başarı elde etme olasılığı olduğunu hatırlayarak, iyi .
DEĞİLDEĞİLDEĞİL=p{\ görüntü stili {\ frac {N_ {N}} {N}} = p \,}
E(X)=değilp{\ displaystyle \ matematik {E} (X) = np \,}![\ matbb {E} (X) = np \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c44337233f9d41d3fdca02182b47bd9672d0430)
Varyans parametrelerinin hipergeometrik hukuk aşağıdaki rastgele değişkenin olduğu bunun beklentisi doğru eğiliminde olduğunu fark, hangi zaman sonsuza doğru gitmektedir.
değil,p,DEĞİL{\ görüntü stili n, p, N}
değilpqDEĞİL-değilDEĞİL-1{\ displaystyle npq {\ frac {Nn} {N-1}}}
değilpq{\ görüntü stili npq}
DEĞİL{\ görüntü stili N}![DEĞİL](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Standart sapma daha sonra .
değilpqDEĞİL-değilDEĞİL-1{\ displaystyle {\ sqrt {npq}} {\ sqrt {\ frac {Nn} {N-1}}}}![{\ displaystyle {\ sqrt {npq}} {\ sqrt {\ frac {Nn} {N-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9ff5c9eee950a7084f8c11e605f2650b015c31)
yakınsama
As a kadar, sonsuza hipergeometrik hukuk yakınlaşıyor eğilimi binom hukuk parametrelerinin ve . Dahası, sezgisel olarak, büyük toplar için , eş zamanlı olarak , başarı olasılığı şu olan bir Bernoulli testinin gerçekleştirilmesi anlamına gelir ( boules setindeki kazanan boules oranıdır), çünkü aynı topun üzerine düşme olasılığı çok düşüktür urn içinde değiştirilirse.
DEĞİL{\ görüntü stili N}
değil{\ görüntü stili n}
p{\ görüntü stili p}
DEĞİL{\ görüntü stili N}
değil{\ görüntü stili n}
değil{\ görüntü stili n}
p{\ görüntü stili p}
p{\ görüntü stili p}![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Binom yasasına yakınsama kanıtı
Hadi parçalayalım .
(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil){\ displaystyle {\ frac {{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin}}}![{\ displaystyle {\ frac {{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03674a6754e95e5278862194eb9495ac60ccfffe)
(pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil)=(pDEĞİL)!k!(pDEĞİL-k)!⋅(qDEĞİL)!(değil-k)!(qDEĞİL-değil+k)!⋅değil!(DEĞİL-değil)!DEĞİL!{\ displaystyle {\ frac {{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin}} = {\ frac {(pN)!} {k! (pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(nk)! (qN-n + k)!}} \ cdot {\ frac {n! (Nn)!} {N!}}}
=(değilk)(pDEĞİL)!(pDEĞİL-k)!⋅(qDEĞİL)!(qDEĞİL-değil+k)!⋅(DEĞİL-değil)!DEĞİL!{\ displaystyle = {n \ k} {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} seç \ cdot {\ frac {(Nn)!} {N!}}}
- İlk dönem için: (pDEĞİL)!(pDEĞİL-k)!=1⋅2⋅3⋅...⋅pDEĞİL1⋅2⋅3⋅...⋅(pDEĞİL-k)=pDEĞİL⋅(pDEĞİL-1)⋅...⋅(pDEĞİL-k+1){\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} = {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot pN} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot (pN-k)}} = pN \ cdot (pN-1) \ cdot ... \ cdot (pN-k + 1)}
için , elimizde:
DEĞİL→+∞{\ displaystyle N \ sağ ok + \ infty}![{\ displaystyle N \ sağ ok + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e71b61870da5b21c16f5240dc337809b9c53dc)
(pDEĞİL)!(pDEĞİL-k)!(pDEĞİL)k=∏ben=1kpDEĞİL-k+benpDEĞİL=∏ben=1k(1+Ö(1))=1+Ö(1){\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)! (pN) ^ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {pN-k + i } {pN}} = \ ürün _ {i = 1} ^ {k} (1 + o (1)) = 1 + o (1)}![{\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)! (pN) ^ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {pN-k + i } {pN}} = \ ürün _ {i = 1} ^ {k} (1 + o (1)) = 1 + o (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b960ee8673c07dfbad78dc2b86fa2c4c25cc44e7)
ve biz alırız pDEĞİL!(pDEĞİL-k)!∼(pDEĞİL)k{\ displaystyle {\ frac {pN!} {(pN-k)!}} \ sim (pN) ^ {k}}
- Aynısı ikinci terim için şunları sağlar: .(qDEĞİL)!(qDEĞİL-değil+k)!∼(qDEĞİL)değil-k{\ görüntü stili {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ sim (qN) ^ {nk}}
![{\ görüntü stili {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ sim (qN) ^ {nk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c000f7a0982b1133c4875c8470010aff444f168b)
- Son olarak, üçüncü terim: .DEĞİL!(DEĞİL-değil)!∼DEĞİLdeğil{\ displaystyle {\ frac {N!} {(Nn)!}} \ sim N ^ {n}}
![{\ displaystyle {\ frac {N!} {(Nn)!}} \ sim N ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc6238d86837eeb575be3773c1291b65bfdab5)
Sonuç olarak, elimizde: (pDEĞİLk)(qDEĞİLdeğil-k)(DEĞİLdeğil)∼DEĞİL→+∞(değilk)(pDEĞİL)k(qDEĞİL)değil-kDEĞİLdeğil=(değilk)pkqdeğil-k{\ displaystyle {\ frac {{pN \ k seçin} {qN \ nk seçin}} {N \ n seçin}} \ sim _ {N \ rightarrow + \ infty} {n \ k seçin} {\ frac {(pN) ) ^ {k} (qN) ^ {nk}} {N ^ {n}}} = {n \ k seç} p ^ {k} q ^ {nk}}
Gerçekten de parametrelerin binom dağılımıdır .
(değil,p){\ görüntü stili (n, p)}![{\ görüntü stili (n, p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8284b4c30178ecfddae471e35cab2f583e17e8ac)
Pratikte, hipergeometrik parametreler yasasına , örneklem popülasyondan 10 kat daha küçük olduğu anda , bir binom parametre yasasıyla yaklaşabiliriz .
(değil,p,DEĞİL){\ görüntü stili (n, p, N)}
(değil,p){\ görüntü stili (n, p)}
değil/DEĞİL<0,1{\ görüntü stili n / N <0.1}
değil{\ görüntü stili n}
DEĞİL{\ görüntü stili N}![DEĞİL](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Bu değiştirmenin çok klasik bir örneği anketlerle ilgilidir . Gerçekte anket kapsamlı olduğunda (aynı kişiyle asla iki kez görüşmezsiniz) kişilerle yapılan bir anket genellikle bağımsız anketler olarak kabul edilir . As ( katılımcıların sayısı ) < ( incelenen nüfus ) / 10, bu yaklaşım yasaldır.
değil{\ görüntü stili n}
değil{\ görüntü stili n}
değil{\ görüntü stili n}
DEĞİL{\ görüntü stili N}![DEĞİL](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Hipergeometrik ismin kökeni
"Hipergeometrik yasa" adı, onun üreten serinin , geometrik seriyi genelleştiren bir seri olan hipergeometrik bir serinin özel bir durumu olması gerçeğinden gelir . Gerçekten de içinde rasyonel bir kesirdir .
E(xX)=∑k=0değilP(X=k)xk{\ displaystyle E (x ^ {X}) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ mathbb {P} (X = k) x ^ {k}}
P(X=k+1)P(X=k)=(DEĞİL1-k)(değil-k)(k+1)(DEĞİL2-değil+k+1){\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {P} (X = k + 1)} {\ mathbb {P} (X = k)}} = {\ frac {(N_ {1} -k) (nk)} {(k + 1) (N_ {2} -n + k + 1)}}}
k{\ görüntü stili k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">