Karmaşık bir sayının modülü

Gelen matematik , bir modülü karmaşık sayı olduğu pozitif gerçek sayı onun "boyutu" büyüklüğüne ve genelleştirilmiş mutlak değeri a reel sayı . Bu kavram, bir tanımlamak için özellikle yararlı olan mesafe ile ilgili kompleks düzlemde .

Karmaşık bir z sayısının modülü, | ile gösterilir. z |. Kompleks halinde z, onun cebirsel şeklinde ifade bir + $ı$ b , $I$ olan sanal birim , bir olan gerçek bir parçası arasında z ve b kendi hayali bölümü , bu modül bir kare kökü bir toplamı ve kareler arasında a ve b :

| z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.

Modül terimi Jean-Robert Argand tarafından tanıtıldı ve hayali büyüklükleri geometrik yapılarla temsil etmenin bir yolunu ortaya koydu .

Örnekler

0'ın modülü 0'dır. Sıfır olmayan bir karmaşık sayının modülü sıfır değildir.
Bir gerçeğin modülü mutlak değeridir.
1 modülü + $ı$ olduğu √ 2 .
${\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$ modül 1 için var.

Özellikleri

Tüm gerçekler ve ilgili mutlak değerler için ve tüm karmaşık sayılar için z , z 1 , z 2 ,…, z n : $-de$ $b$ $| a |$ $| b |$

$| a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {ve}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |$
$| z | \ geq 0$
$| z | = 0 \ Leftrightarrow z = 0$
${\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}$
$\ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ over {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0$
$| {\ overline {z}} | = | z | = | - {\ overline {z}} | = | -z |$ , burada karmaşık sayının eşleniğini belirtir ${\ overline {z}}$ $z$
$z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}$
$| z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |$ ( genelleşen üçgen eşitsizlik ) $| z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |$
$| z_ {1} + z_ {2} | \ geq | ~ | z_ {1} | - | z_ {2} | ~ |$ (üçgen eşitsizlikten çıkarıldı)
Üçgen eşitsizlikte eşitlik durumu: ancak ve ancak , veya hatta ve sadece veya gibi pozitif bir gerçek varsa bile . $| z_ {1} + z_ {2} | = | z_ {1} | + | z_ {2} | ~$ ${\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ in \ mathbb {R} _ {+}$ $\ lambda$ $z_ {2} = \ lambda z_ {1} ~$ $z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~$

Geometrik yorumlama

Z'yi düzlemde bir nokta olarak yorumlarsak , yani onun görüntüsüne bakarsak , o zaman | z | z'den orijine olan mesafedir .

İfadeyi yorumlamakta fayda var | x - y | karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı x ve y arasındaki mesafe olarak .

Cebirsel bir bakış açısından, modül, karmaşık sayılar kümesine değerli alanın yapısını veren mutlak bir değerdir .

Özellikle bir normdur , böylece karmaşık düzlem bir normlu vektör uzayıdır ( boyut 2'nin). Bunun bir metrik uzay (dolayısıyla topolojik bir uzay ) olduğu sonucu çıkar. Gerçekten de, başvuru: , a, mesafe . ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$ $(z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |$

Modül 1'in karmaşık sayıları

Uygulama içinde in bir grubu olduğu morfizmanın . Onun çekirdek kümesi başkası değildir bu nedenle olduğunu modülü 1, karmaşık sayılar alt grup arasında . Bu denir birimlerinin grup arasında . $z \ mapsto | z |$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ kere)}$ $(\ mathbb {R} ^ {*}, \ times)$ $\ mathbb {U}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ kere)}$ $\ mathbb {C}$

Haritası gruplarının bir morfizmanın olduğu içinde . Bu morfizm periyodiktir ve biz onun dönemini ifade ederiz . $Π$ sayısının bu tanımı Nicolas Bourbaki kolektifinden kaynaklanmaktadır . $x \ mapsto \ exp ({\ rm {i}} x)$ $(\ mathbb {R}, +)$ $(\ mathbb {U}, \ times)$ $2 \ ft$

Notlar ve referanslar

Jean-Robert Argand, Yeni hayalperestler teorisi üzerine düşünceler, ardından analitik bir teorem gösterimi , Annales de Gergonne , kitap 5, s. 197-209, Hayali büyüklükleri geometrik yapılarla temsil etmenin bir yolu üzerine Essay Eki , Gauthier-Villars, Paris (1874), s. 122 .
Bu videoda açıklandığı gibi: " Belirli bir karmaşık sayının modülü " ( Arşiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Ne yapmalı? ) , Video-Matematik Üzerine .

İlgili Makaleler