Gelen matematik , bir n- inci kökü , bir numarası a bir sayıdır b , öyle ki B , n = a , burada n, a, sıfır olmayan doğal tam sayı .
Pozitif gerçekler kümesinde, gerçekler kümesinde veya kompleks kümelerinde çalışmamıza bağlı olarak , bir sayının n'inci köklerinin sayısı 0, 1, 2 veya n olabilir .
Pozitif bir gerçek sayı a için , b n = a olacak şekilde benzersiz bir pozitif gerçek sayı b vardır . Bu gerçek olarak adlandırılır n- inci kökü arasında bir (ya da n- inci ana kök arasında bir ) tarafından gösterilir n √ bir ile radikali sembolü ( √ ) ya da bir 1 / n . En ünlü kök , gerçekliğin kareköküdür . Bu tanım genelleştirilmiş bir negatif ve b negatif şartıyla , n olan tek .
Bir sayının kökü terimi , polinomun yok olduğu değer (ler) i belirten bir polinomun kökü ile karıştırılmamalıdır .
Kesin olarak pozitif herhangi bir gerçek r için , x 2 = r denklemi iki zıt gerçek çözümü kabul eder ve r = 0 olduğunda , x 2 = 0 denklemi sadece çözüm 0 olarak kabul eder.
Karekök pozitif bir reel ve r tanımı denklemin özgü pozitif gerçek bir çözümdür x 2 = R bilinmeyen x .
√ r not edilir .
ÖrneklerKübik kök herhangi bir gerçek bir r denkleminin benzersiz gerçek köküdür
bilinmeyen x .Not edilir .
Misal:
Sıfır olmayan doğal tam sayı için , harita a, bijection gelen ilgili bu nedenle herhangi bir ve pozitif gerçek sayı, denklem içinde benzersiz bir çözüm kabul .
N'inci kök (ya da inci kök a) pozitif gerçek r ( R ≥ 0, n> 0 ) denkleminin tek pozitif gerçek bir çözümdür
bilinmeyen x .Not edilir .
O Not inci kök ait de eşsizdir pozitif kök polinomun .
Ne zaman n bile, denklem
bilinmeyen xolan iki çözüm vardır ve .
N, tek bir denklem
bilinmeyen xtek bir çözümü var .
Negatif sayıların köklerinin işlenmesi tekdüze değildir. Örneğin, tüm gerçeklerde olduğu gibi -1'in gerçek karekökü yoktur , ancak -27'nin küp kökü vardır ve -3'e eşittir.
Herhangi İçin tek doğal sayı , harita bir bijection olduğu üzerinde herhangi bir gerçek sayı tam olarak bir sahiptir böylece -th kökü .
Herhangi bir tek doğal sayı için , herhangi bir gerçek sayının n'inci kökü (veya- inci kökü ) , denklemin benzersiz gerçek çözümüdür.
bilinmiyor .
Negatif gerçek sayıların tek sıralarının köklerinin negatif olduğu sonucu çıkar.
Tek doğal sayılar ve herhangi bir gerçek sayı için ,
.Negatif sayıların kökleriyle çalışma ihtiyacı, karmaşık sayıların ortaya çıkmasına neden olmuştur , ancak karmaşık sayılar alanındaki kökler konusunda da kısıtlamalar vardır. Aşağıya bakınız.
Kökleri hesaplama kuralları, güçlerin özelliklerinden gelir .
Kesinlikle pozitif sayılar için ve biz aşağıdaki hesaplama kuralları vardır:
Negatif sayılar söz konusu olduğunda, bu hesaplama kuralları yalnızca uygulanabilir ve tek sayılardır. Karmaşık sayılar söz konusu olduğunda bunlardan kaçınılmalıdır.
Kesinlikle olumlu reals seti, güç yükseltildi sayıca n verir bir belirtilmektedir . Fikir bir güç olarak bu numarayı not etmek gerekir ki bir bir tamsayı olmayan üsleri alarak anlamına gelse bile. Bu nedenle mesele, öyle bir üs p bulma sorunuydu . Tamsayı olmayan üslere genelleştirilecek olan tamsayı üsleri üzerinde bilinen işlemleri kullanarak , pn = 1 ve .
Böylece karekökünü ifade edebilir bir , ya da , kübik kökünü bir , ya da ve n inci kökünü ait bir , ya da .
Üs için olası değerlerin bu uzantısı, Newton ve Leibniz'in çalışmalarından kaynaklanmaktadır . Bunu gözlemleyerek çalışmaya devam edebiliriz
ve bu gösterimin tamsayı üslerinde zaten bilinen özelliklerle uyumlu olup olmadığını kontrol edin .
Newton'da ilk kez bir kesirli üs görüyoruz. Ancak Newton ve Leibniz burada bitmeyecek ve kendilerine bir anlam veremeden irrasyonel üsler üzerinde çalışma sorusunu bile soracaklar. Üstel fonksiyonun uygulanması ve tercümesi ile bu notasyonların kesin bir anlam kazanması, bir asır sonrasına kadar değildi :
Bütün gerçek vardır kesinlikle olumlu.Sıfır olmayan doğal tam sayı için , harita ℝ bir bijection olan + ℝ için + karşılıklı harita olduğu , n -inci kök fonksiyonu . O kullanarak grafiksel temsilini oluşturmak için mümkündür güç fonksiyonu ile bir simetri ekseninin denklemi doğrultusunda .
Bu fonksiyonun aralık boyunca sürekli olduğunu ve y ekseni ile çakışan bir tanjantın başlangıcındaki mevcudiyetini, dolayısıyla 0'da türevlenemeyen bir eksenin ( Ox ) yanı sıra bir parabolik dalının varlığını fark ederiz .
İlgili formüller karşılıklı türevi yapmak mümkün olduğunu tespit etmek , n -inci kök fonksiyonu aralığı boyunca ayırt edilebilirdir ve türev olduğuna fraksiyonel üs ile, ya da yine, bu şekilde gösteren bir tamsayıdır güç türevi ile formül fonksiyon ters bir kuvvetin fonksiyonuna genelleştirir.
Radikal veya kök , genelleştirilmiş iki terimli formülden elde edilen 1. noktadaki Taylor serisi ile temsil edilebilir : herhangi bir h gerçek sayısı için, öyle ki | h | ≤ 1,
Gerçekten de, bu eşitlik, a priori sadece | h | <1, aslında [-1, 1] 'de normal yakınsamayı sağlar çünkü
Biz (fark edebilirsiniz cf. “ Eisenstein'ın teoremi bütün bu”) n 2 k -1 bir k tam sayılardır (içinde durum n = 2 , bunlar Katalan numaralar C k -1 ).
Sıfır olmayan bir doğal sayı için , n , bir n- inci kök kompleks numarası z , gücüne yükseltilmiş bir sayıdır , n, verir z , denklemin yani çözelti
bilinmeyen x .
Tüm z 0 dan farklı olduğu, bulunmaktadır , n ayrı n inci kökleri arasında z . Gerçekten de, n- inci kökleri a sıfır olmayan kompleks z da polinom kökleri olan X , n z - gerçekten kabul, n göre kompleks sayılar kümesinin çözümler DAlembert-Gauss teoremi .
Herhangi bir sayının tüm kökleri, gerçek veya karmaşık, basit bir algoritma ile bulunabilir . Numara önce forma yazılmalıdır (bkz. Euler formülü ). Sonra, bütün n -inci kökleri tarafından verilmiştir:
için , burada bir n- inci ana kök arasında bir .
Tüm karmaşık çözümler , yani, n -inci kökleri arasında bir , bir pozitif reel sayı, basitleştirilmiş denklem ile verilmiştir geçerli:
için , burada bir n- inci ana kök arasında bir .
Tüm bu tür bir kök, bir kök olarak adlandırılır - inci birimi ve birim, belirtildiği her n'ninci kökleri , oluşur , n kompleks polinom kökleri
Bu ise , siklik alt grup çarpımsal grubunun kompleksleri bu elemanlardan oluşturulmaktadır modülü 1.
Birliğin n'inci ilkel köküne , döngüsel grubun herhangi bir oluşturucusu diyoruz . Bunlar ilkel kökler unsurlardır k olan asal ile n . Numaraları , Euler gösterge matrisini ifade ettiği yere eşittir .
Ludovico Ferrari , dördüncü dereceden polinomların köklerinin , ikinci ve üçüncü dereceden olanlar için olduğu gibi, radikaller tarafından, yani hesaplamalar da dahil olmak üzere polinom katsayıları üzerindeki sınırlı sayıda temel işlemlerle hesaplanabileceğini gösterdi. kökler n- inci . Abel-Ruffini teoreminde belirtildiği gibi, bu artık genel olarak beşli denklemler için veya daha yüksek bir derece için geçerli değildir . Örneğin denklemin çözümleri radikallerle ifade edilemez.
Herhangi denklemi çözmek için n -inci derece "sayısal" , bkz kök arama algoritması .
In tipografi radikal indeksi ve radicand: Bir kök üç bölümden oluşur.