Sayı sistemi

Bir numaralandırma sistemi bir veya daha fazla yöneten kurallar kümesidir verilen numberings . Daha açık bir şekilde, sayıları yazmayı, ifade etmeyi veya taklit etmeyi mümkün kılan işaretlerin , kelimelerin veya jestlerin kullanımı için bir dizi kuraldır ; ikincisi, yazılı olarak , yazmakla aynı zamanda doğar . hasat, ticaret ve flört etme organize edin . Hint-Arap rakam sistemi şimdi dünyanın en yaygındır.

Temel prensip

Tekli olarak adlandırılan en eski numaralandırma sistemi, özellikle büyük miktarlarda işlem yapmak söz konusu olduğunda pratik değildir. Bu eksikliği gidermek için çözüm, sayı tabanı olarak adlandırılan aynı değere her ulaşıldığında birimleri paketler halinde gruplandırmaktan ibarettir . Aynı şekilde, bu paketler daha yüksek sıralı paketler halinde gruplanır ve bu böyle devam eder. Genellikle, sayımın temelini oluşturan her paketteki öğe sayısı aynıdır. Bununla birlikte, örneğin saat gösteriminde istisnalar vardır: Bir dakika için altmış saniye, bir saat için altmış dakika, bir gün için yirmi dört saat, bir ay için yirmi sekiz ila otuz bir gün. Aynı şekilde, canlı karakterdeki Maya numaralandırması , takvime yaklaşmak için düzensizdir. Babil sayma , bir bir altmışlık karakteri , sistemlerinin bir kombinasyonu olarak sunulmuştur.

Birçok sistem, farklı insanlar ve zamanlar tarafından kullanılmıştır.

• Bir ikili sistem kullanılan (baz 2) Güney Amerika dilleri ve Okyanusya bilgisayar bilimlerinde kullanılan numara sistemine benzer (1 akım açık, 0 akım üzerinde değil)
• Bir üçlü bir sistem (baz 3)
• Bir beşli olan izleri kadar kalır (baz 5) XX inci  yüzyıl dillerinde Afrikalı değil, aynı zamanda kısmen reytinglerde Çuvaş , Suzhou , Roma ve Maya . Birçok dilde 6, 7, 8 ve 9 sayılarının adı bu beşli sisteme tanıklık ediyor: Wolof'ta 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 ve 5 + 4 olduğu söyleniyor ( Nijer dili -Congolese aile ), içinde Khmer (Avusturya-Asya dili), içinde Nahuatl (birçok Uto-Aztek dil) ve, Austronesian dillerinin gibi Lote veya Ngahalarına kısmi formda (). Beşli taban, ondalık tabanın ve vigesimal tabanın bir alt tabanı olarak görünür.
• Bir altılı sistem (baz 6) ait ndom ve Kómnzo dillerinde kullanılan Papua Yeni Gine yanı sıra, zar . 0'dan 5'e kadar altı hane kullanır, parmak sayımları "üçün katları" bazlıdır, en uygun olanı.
• Bir sekizlik sistem (baz 8) kullanılır Kuzey Pame dilinde de, Meksika'da , ve Yuki dilinde , içinde Kaliforniya , hem de bilgisayar bilimi.
• Bir sistem (taban 9), onaltılık "üçün kuvveti" tabanına aykırıdır. Bir basamakta iki üçlü dijiyi içerir.
• Bir ondalık sistemi (10 tabanı) gibi birçok medeniyetler tarafından kullanılmış olan Çin erken çağlardan ve muhtemelen, Proto-Hint-Avrupalılar . Bugün, açık ara en yaygın olanıdır.
• Bir onikili sistemi (baz 12) kullanıldığı Nepal Chepang kişi tarafından. Bölünebilirlik açısından avantajları nedeniyle (2, 3, 4, 6 ile), Orta Çağ'da Avrupa'da belirli sayıda para birimi ve cari hesap birimi için , kısmen Anglo-Sakson ülkelerinde bulunur. İmparatorlukta birimler sistemi ve ticarette. Ayları, saatleri, çiçekleri, istiridyeleri ve yumurtaları saymak için de kullanılır.
• Bir onaltılık sistem (16 tabanı), çok yaygın elektronikte hem de bilgisayar bilimleri kullandı. İlgi alanı, sayıların daha kompakt bir şekilde yazılmasına izin verirken, 2 tabanıyla önemsiz dönüşümlerde yatmaktadır.
• Bir yirminci (veya vicesimal, taban 20) sistemi içinde mevcut Butan Dzongka dilinde ve arasında kullanımda olan Azteklerden için, gayri muntazam, her ne kadar, ve Maya sayma . Bölünebilirlik açısından avantajları nedeniyle tekrar buluyoruz (2, 4, 5, 10 ile). Bazıları , ilk günlerde Galyalılar veya Basklar tarafından da kullanıldığına inanıyor , ancak sayılarının ondalık mı yoksa vigesimal mi olduğu gerçekten bilinmemektedir.
• Bir altmış tabanlı sistemi (baz 60) için kullanılmıştır Babil sayma Kızılderililerin ve Arap yanı sıra, trigonometri . Şu anda zaman ve açıların ölçülmesinde kullanılmaktadır.

Bilimsel alanlarda, özellikle dijital elektronik ve bilgisayar bilimlerinde belirli sayı tabanları kullanılmaktadır. Daha fazla ayrıntı için Temel (aritmetik) makalesine bakın.

İfade sistemleri

Bazı sayılar yalnızca basit bir addan yararlanır, örneğin Fransızca'daki mille gibi . Aksi takdirde, birkaç ilke onları oluşturmayı mümkün kılar.

• Ek  : Fransızca yedi (10 + 7), yetmiş (+10 60);
• Çarpma  : seksen (4x20), iki yüz Fransızca (2x100);
• çıkarma  : onsekiz olduğu söylenir duodeviginti klasik Latince (iki-of-yirmi, 20-2);
• bölünmesi  : elli olduğu söylenir musallat-kant Breton (yarı [de-] yüz, 100/2);
• uzatma (getirdiği terimi Claude Hagège ) bunların otuz beş bahsedilen holhu Kal ca (beş 1002 seksen, 15, 2 x 20, 15, yirmi den x 20 ila 2, 15, yani, 15 2 x 20 Yukarıdaki için Yucatec içinde + 20). (Otuz o olduğu gibi) 35 ifadede oldu bir zımni (veya silinmiş) Relator geri tavsiye edilir tu gerçeklik içinde ( u + ti ile ti = konum belirten 'doğru' ve u kişisel indeksi = 3 rd  kişi ' onun 'bu bağlamda, sıralıyı kardinalden türetmek için kullanıldı, böylece 35 ifadesi "ikinci yirmilere doğru 15" olarak analiz edilmelidir.

Bazen yardımcı bir sistem kullanılır. Ana sistemle karşılaştırıldığında bu şunlar olabilir:

• alt  : wolof numarası olan ondalık ancak kullanan yardımcı beşli sistemi , yirmi altı söz konusu olduğu naar fukk ak juroom Benn Volofça (iki on beş on, 2 x 10 + 5 + 1);
• üst  : Bask numarası olan ondalık ancak kullanan yardımcı vicesimal sistemi 152 söylenenlerin, ehunta berrogeita hamabi (Baskça 102-20-ve 1002, 100 + 2 x 20 + 10 + 2 ). Aynı şekilde, Fransa'nın Fransızca ve Kanada Fransızca (Quebec) inat seksen ve doksan (yerine seksen İsviçre'de ve yetmiş ve doksan İsviçre ve Belçika'daki) gelen, ortaçağ vicesimal sistemine. , Ana ondalık için bir yardımcı olarak kullanılır Latin kökenli sistem.

Son olarak, bazı rakamlar kullanılan tabandan bağımsız bir yapıdan yararlanır. Bu nedenle, şu anda Breton'da , on sekizinin triwecʼh (üç-altı, 3 × 6) olduğu söyleniyor . Ayrıca eskiden daounav (iki-dokuz, 2 × 9) ve sırasıyla kırk beş ve kırk dokuz, pemp nav (beş dokuz, 5 × 9) ve nöbet nöbeti (yedi yedi, 7 × 7) vardı. Bu son biçimin yedinci tabanından değil, bu sayının sembolik değerinden geldiğini söylemeye gerek yok.

Mime sistemleri

İnsanlar geleneksel olarak saymak için vücutlarının bir kısmını kullanırlar. Ondalık veya beşli bir sayım için genellikle parmaklar dahil edilir. Yukis , bir kullanıldığı sekizlik , saymak için parmaklar arasında boşluk. Chepang insanlar bir istihdam, onikili sistemini kullanmak başparmak üzerinde saymak falankslarda arasında parmakların . Diğer birçok yöntem de kullanılmıştır.

Derecelendirme sistemleri

Numaraları yazmak için kullanılan semboller rakamlardır . Bu sayıları kullanma kuralları, puanlama sisteminin üç ana ailesini şematik olarak ayırt etmeyi mümkün kılar: eklemeli, karma ve konumsal sistemler.

Katkı sistemleri

Bu sistemler, tabanın güçlerini ve muhtemelen bu güçlerin alt katlarını temsil etmek için sayıları kullanır. Diğer numaralar, bu sembollerin yan yana getirilmesiyle elde edilir. Okuyucu daha sonra sayıyı bilmek için sembollerin değerlerini eklemekten sorumludur. Mısır , Yunan , Roma , Gotik numaralandırma sistemlerinde veya daha basitçe tekli sistem veya orman numaralandırmasında durum böyledir .

Ayrıca hem toplamalı hem de eksiltici sistemler vardır. Böylece, Roma rakamı , katkı maddesi, daha sonraki bir toplama ve çıkarma varyantını bilir.

Hibrit sistemler

Bu sistemler, birimler ve temel güçler için sayıları kullanır. Kullanılan bazın bir gücünü temsil eden sayılar, gerekirse, bir birimi temsil eden bir sayı ile birleştirilir ve bu nedenle sayılar, tabanın kuvvetlerinin katları eklenerek temsil edilir. Çin ve Japon sayı sistemlerinde durum budur . Böyle bir notasyon sisteminin, dillerin çoğunda sayıları konuşma sistemiyle güçlü bir analojiye sahip olduğu not edilebilir. (Örneğin, Fransızca'da iki bin sekiz yüz on yedi sayısı , 10: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7 tabanının katlarının katları eklenerek de oluşturulur.)

Konumsal sistemler

Bu sistemler rakamların yazılmasında kendilerine atanan ağırlığı gösteren rakamları kullanır (ağırlık n 0 = 1, ağırlık n 1 = n, ağırlık n 2 ,… n tabanı için ). Maya ve Babil sayı sistemleri ile modern matematiğin kökeni olan Hint ve Arap sayı sistemlerinde durum budur . Bunlar artık, konumsal sıfırı kullanarak, tabana bakılmaksızın basitçe sayılar yazmanıza izin veriyor .

Böyle bir sistemde, bir basis temeli tüm tam sayıları temsil etmek için β rakamları gerektirir. Tipik olarak, bu sayıların değeri 0 ile β-1 arasında değişir; ancak standart olmayan temsil türleri de vardır:

• k-adik sistemler, 0 olmadan, bir taban using için, 1'den dig'ye kadar rakamlar kullanan (bunlar iki amaçlı sistemlerdir );
• tek bir β tabanı için - (β-1) / 2'den (β-1) / 2'ye kadar rakamlar kullanan dengeli sistemler;
• yedekli sistemler, bir taban için β, β'den kesinlikle daha büyük bir dizi rakam kullanan.

Bazı sistemler eksiktir çünkü tüm sayıları temsil edemezler. Bu, örneğin, β'den kesinlikle daha az sayıda rakam kullanan temel sistemlerde söz konusudur.

Çeşitli sistemlerin elektronik ve bilgi işlem alanında uygulamaları vardır. Bu sistemler, belirli bir pozisyon sayısı üzerinde sayıları temsil etme özelliğine sahiptir ve bu nedenle yalnızca belirli bir limite kadar tam sayıları temsil edebilir. Örneğin,

• ikili olarak: negabiner sistem  ;
• üçlü olarak: dengeli üçlü sistem  ;
• β bazında: Avizienis sistemi .

Diğer sistemler

Ya konumsal sistemden türetilen ya da yukarıda tanımlanan temel kavramdan bağımsız olan alternatif sayı temsil sistemleri de vardır. İşte birkaç örnek,

• matematikte (karşılık gelen sonraki bölüme bakın): sürekli kesir genişlemesi , serilerde Engel açılımı , Hensel açılımı , modüler temsil sistemi  ;
• elektronik ve bilgisayarlar: Ben ikili düşünce (veya Gri kodu), için tamamlayıcı iki tamlayıcısı , BCD .

Matematik

Tanım

• Bir numaralama sistemi üçlü (olup X, I, φ ), X- numaralandırmak için dizi, I , bir sonlu ya da sayılabilir numaraları ve φ basamak seri bir birebir haritalama , . Ondalık gösterimde, X , doğal sayılar kümesidir, ondalık sayılar kümesidir ve bir tam sayı ile ilişkili dizi, ondalık basamaklarının dizisidir. Φ uygulamasına uygulamanın temsili adı verilir ve φ ( x ) x ∈ X'in temsilidir . Uygun paketler, x ∈ X için görüntü temsilleri φ ( x ) olarak tanımlanır .Φ:X↪benDEĞİL{\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}x↦(ϵdeğil(x))değil≥1{\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}
  ben={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}
  
  
• Georg Cantor , bir numaralandırma sistemini , artan sırada düzenlenmiş bir dizi doğal sayı ve n'nin verileri olarak tanımlar (ondalık sistem durumunda: a n = 10 n ) ve her biri için, maksimum m n katsayı değeri ile bunu kendimize çarpmamıza izin veririz (ondalık sistem durumunda: m n = 9). Doğal bir sayı N'nin temsilini, hepsi sonlu katsayı dizisi c k , her c k m k'den büyük olmayan doğal bir sayıdır , öyle ki c k a k toplamı N'ye eşittir . Böyle bir sistem, "basit" bir deyişle, tam sayı değerlerinin her biri olduğunu göstermektedir N ancak ve ancak, benzersiz bir 0 = 1 ve tüm n , bir n + 1 = (1 + m, n ) bir N , bu durumda uzanır daha sonra ( pozitif ) gerçeklerin temsillerine tamsayıların gösterimleri, onlara formun sonsuz serisini ekleyerek∑k=1+∞dk-dek,dk∈{0,1,...,mk-1}.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ in \ {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}
• Aviezri S. Fraenkel , bir sayı sisteminin genel bir tanımını verir ve benzersizlik ve tamlık durumlarını açıklar: bir sayı sistemi, tüm tam sayıların temsil edilmesine izin veriyorsa tamamlanır .
• Sistematik çalışma, Michel Rigo tarafından biçimsel diller ve kombinatorikler bağlamında ele alındı.
• Ertelemenin yayılması sorunu Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo ve Jacques Sakarovitch tarafından incelenmiştir.

Örnekler

• Q -adic gösterimi veya q tabanında yazma : herhangi bir doğal tamsayı, rakamlarla ve q tabanındaki n'nin basamak sayısı nerede olduğu gibi benzersiz bir şekilde yazılır . Aynı şekilde, herhangi bir gerçek, eğer genişlemesi uygunsa ( 0,999 ... = 1 gibi sonsuz q- 1 dizisi yok) benzersiz bir şekilde yazılabilir .değil=∑ben=0DEĞİLϵben(değil)qben{\ displaystyle n = \ toplam _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}0≤ϵben(değil)<q{\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}ϵDEĞİL(değil)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}DEĞİL=⌊günlük⁡(değil)günlük⁡(q)⌋+1{\ displaystyle N = \ sol \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ sağ \ rfloor +1}değil=∑ben=-∞DEĞİLϵben(değil)qben{\ displaystyle n = \ toplam _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}
• Temsil Zeckendorf  : sayılar Fibonacci , , benzersiz olarak tüm doğal bütün yazmak için kullanılan sayılar ile ve .F0=1{\ displaystyle F_ {0} = 1}F1=2{\ displaystyle F_ {1} = 2}Fdeğil+2=Fdeğil+1+Fdeğil{\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}değil=∑ben=0DEĞİLϵben(değil)Fben{\ displaystyle n = \ toplam _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}ϵben(değil)∈{0,1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ içinde \ {0,1 \}}ϵDEĞİL(değil)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}
• Devam eden kesirlerdeki gösterim  : k> 0 ile ve için herhangi bir gerçek sayı (genişleme uygunsa benzersiz bir şekilde) yazılabilir .x=-de0+1-de1+1-de2+1-de3+...{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}-de0∈Z{\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}-dek∈DEĞİL∗{\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
• Tamsayı olmayan taban sayı sistemleri  : altın taban bir örnektir.
• Asal sayılar içine ayrışma tarafından kullanılan, özellikle de bir numaralandırma sistemi kuantum bilgisayarlar , ∀değil∈DEĞİL∗,∃!(αp)p∈P∈DEĞİL(P):değil=∏p∈Ppαp{\ displaystyle \ forall n \ mathbb {N} ^ {*}, \ var! (\ alpha _ {p}) _ {p \ {\ mathcal {P}}} \ içinde \ mathbb {N} ^ içinde {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}.

• Modüler Temsil Sistemi (RNS) bir baz kullanarak, izin verir karşılıklı ait asal modüllerinin tüm tamsayılar numaralandırmak, kadar onların kalan dizisi kullanarak Çin Kalan Teoremi .{m1,m2,...,mdeğil}{\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}0≤x<M{\ displaystyle 0 \ leq x <M}M=∏ben=1değilmben{\ displaystyle M = \ prod _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}(x(modmben))1≤ben≤değil{\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
• Faktöriyel sayısı  (in) bir tamsayı sonlu dizisi olup, burada, birlikte tam sayıyı temsil eder .(xdeğil,...,x1){\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}0≤xk≤k{\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}∑k=1değilxk.k!{\ displaystyle \ toplam _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}

Fiber sayma sistemi

Rakamlar, enjekte edilmeyen bir dönüşümden gelir T:X→X{\ displaystyle T: X \ ila X}

• Q-adic gösterimde, "birimler basamağı" ile verilir ve basamak dizisi, T'nin harita olduğu yere göre verilir .ϵ(değil)=değil(modq){\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ metin {mod}} \, q)}ϵk(değil)=ϵ(Tk(değil)){\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}T(değil)=(değil-ϵ(değil))/q{\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}
• Devam eden kesirlerdeki temsillerin şekil dizisi Gauss uygulamasından gelir .ϵ(x)=⌊1/x⌋{\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor} T(x)=1/x-ϵ(x){\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}

Notlar ve referanslar

1. "  Numbers in Wolof  " , www.omniglot.com ( 10 Ocak 2020'de erişildi )
2. Tuxy Varman tarafından | , "  Khmer figürleri  " , Srok Khmer - Khmer öğrenin ,Kasım 28, 2014( 10 Ocak 2020'de erişildi )
3. "  Numbers in Nahuatl  " , www.omniglot.com ( 10 Ocak 2020'de erişildi )
4. "  Numbers in Lote  " , www.omniglot.com ( 10 Ocak 2020'de erişildi )
5. "  Sayılar Ngahalarına içinde  " üzerine, www.omniglot.com (erişilen Ocak 10, 2020, )
6. A. Cauty, Kolomb öncesi Maya numaralandırmasının özgüllükleri , Paris Dil Topluluğu Hafızası, Yeni Seri, cilt XII, 2002, Leuven (Belçika), Peters, s. 121-147
7. A. Cauty, Maya bölgesinin ileriye dönük sayıları , Facts of Languages, n o  20, 2002: Mesoamerica, Caribbean, Amazonia, Cilt. 1, Paris, Ophrys, s. 85-93.
8. Michel Rigo, Biçimsel Diller, Otomata ve Numaralama Sistemleri , cilt.  2: Tanınabilirlik ve Karar Verilebilirlik Uygulamaları , London / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
9. (De) Georg Cantor, "  Ueber die einfachen Zahlensysteme  " , Zeitschrift für Mathematik ve Physik , cilt.  14,1869, s.  121-128 ( çevrimiçi okuyun ).
10. (in) Aviezri S. Fraenkel, "  Systems of Numeration  " , American Mathematical Monthly , cilt.  92, n o  21985, s.  105-114.
11. Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo ve Jacques Sakarovitch , "  Ardıl işlevin taşıma yayılımı  ", Uygulamalı Matematikteki Gelişmeler , cilt.  120, 2020, makale n o  102062 ( DOI  10.1016 / j.aam.2020.102062 , arXiv  1907.01464 ).
12. (in) AJ Kempner, "  Anormal sayı sistemleri  " , American Mathematical Monthly , cilt.  43, n o  10,1936, s.  610-617 ( DOI  10.2307 / 2300532 ).
13. John Gribbin , Kuantum fiziği , 2 inci Ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN  978-2-7440-7263-5 ) , s.  57 .
14. Charles-Ange Laisant , "  Faktöriyel numaralandırma üzerine, permütasyonlara uygulama  ", Fransa Matematik Derneği Bülteni , cilt.  16,1888, s.  176-183 ( çevrimiçi okuyun ).

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Dijital kanal
• Numaralama
• Roma rakamı
• Orman sayımı
• Ostrowski sayısı
• Konumsal gösterim
• Baz (aritmetik)
• Tekli sistem
• Fransızca Sayılar
• Arap rakamları
• Dünyadaki sayılar
• Numaraların listesi
• Vicesimal sistemi
• Sıra sistemi
• Rahiplerin Şifreleri
• Geçmiş eski dijital sistem  (giriş)
  • Tarih öncesi sayım  (içinde)
  • Avustralya Aborijin Dijital Sistemi  (en)
  • Sayma çubuğu

Dış bağlantılar

• SAYILAR: Gérard Villemin'in sitesinde merak, teori ve kullanımlar (temelleri sayma)
• Numaralama
• Temel dönüştürücü üzerinde Nice-Sophia-Antipolis Üniversitesi bünyesinde
• Michel Ramus sitesinde numaralandırma sistemlerini [1] keşfetmek için yazılım