In matematik ve daha kesin sayı içinde teorisi , aritmetik ilerleme teoremi olduğunu şöyle ifade etmiştir:
Herhangi biri için , sıfır olmayan bir tamsayı , n ve herhangi bir tam sayı m ile asal n , bir sonsuz vardır asal ile uyum m modülo N (yani formu m + bir ile bir tam sayı ).
Bu teorem, Öklid teoreminin asal sayılar üzerine bir genellemesidir . Alman matematikçi Gustav Lejeune Dirichlet'in 1838'de yaptığı ilk gösterimi, modüler aritmetiğin ve analitik sayı teorisinin sonuçlarına hitap ediyor . İlk "temel" gösteri 1949'da Atle Selberg'e yapıldı .
Bu teoremi genelleştirilmiş Euclid'in teoremi orada asal sayıların bir sonsuzluk ve bu nedenle neden durumda karşılık gelen Buna göre, n, bir aritmetik bu aşağıdaki gibi bir dizi yapı halinde (O gösterir 1'e eşit olan karşılık n = 9 durumunda : ilk satırda ve ikinci sütunda görünen sayıdır), sonra:
Daha ileri gidebiliriz. İstatistiksel dağılım her satırda hemen hemen aynıdır. Ve çizgi ne kadar uzun olursa, istatistiksel dağılımlar o kadar çok benzer görünür ve tam olarak aynı olur. Bu ışıkta görüldüğünde, asal sayılar oldukça iyi sıralanmıştır. Bu sonuç, Dirichlet'in çalışmasının bir genellemesi olan Chebotarev'in yoğunluk teoremi ile gösterilmiştir . Belirtilen örnekte, 9 ile başlayan bir tamsayı ile başlayan satırlar 7 ile 5 arasında, yani% 40'tan daha az bir varyasyon içerir. Öte yandan, tablo 1000 değerine kadar uzatılırsa, o zaman sonsuzluk içeren satırlardaki asal sayıların sayısı yalnızca 26'dan 29'a, yani% 10'dan daha az bir varyasyon olarak değişir.
Bir satırdaki ilk asal sayının görünümü üzerinde başka bir analiz yapılır; Linnik teoreminin nesnesidir .
0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 |
1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64 | 73 | 82 | 91 | 100 | 109 | 118 | 127 | 136 | 145 |
2 | 11 | 20 | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | 83 | 92 | 101 | 110 | 119 | 128 | 137 | 146 |
3 | 12 | 21 | 30 | 39 | 48 | 57 | 66 | 75 | 84 | 93 | 102 | 111 | 120 | 129 | 138 | 147 |
4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 67 | 76 | 85 | 94 | 103 | 112 | 121 | 130 | 139 | 148 |
5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | 86 | 95 | 104 | 113 | 122 | 131 | 140 | 149 |
6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 | 60 | 69 | 78 | 87 | 96 | 105 | 114 | 123 | 132 | 141 | 150 |
7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 | 79 | 88 | 97 | 106 | 115 | 124 | 133 | 142 | 151 |
8 | 17 | 26 | 35 | 44 | 53 | 62 | 71 | 80 | 89 | 98 | 107 | 116 | 125 | 134 | 143 | 152 |
Asal sayılara ilgi eskidir ve matematik tarihinde her yerde bulunur. Öklid (vers -325 -vers -265 ) ayırdığı Kitap VII ait onun kendisine Elements . Biz de çalışmalarından alıntı yapabilirsiniz Sun Zi yıl boyunca kuran, 300 onun manuel içinde, Sunzi Suanjing bir ilk sürümü Çin kalan teoremi ve özellikle Qin Jiushao , onun içinde dokuz Bölümler Matematiksel Treatise ( 1247 ), bunu geliştirir. yeterince sofistike versiyonu Avrupa düzeyini aşması XVIII inci yüzyılın . George Sarton , onu tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olarak görüyor.
XVII inci yüzyılın zaman Avrupa matematik ve özellikle Fransız, bilgisine ıslah edilir ise eski ve katkısını Arap medeniyeti . Gelen 1621 , Claude Gaspard Bachet de Méziriac için bir in Latin Aritmetik arasında Diophantus (yakl. , 200 / 214 -. Yaklaşık 284 / 298 ) . Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) bunu açıklıyor .
Gelen XVIII inci yüzyılın , Leonhard Euler çözer birkaç Diofant denklemleri önceki yüzyılda açık bıraktı. Fermat'ın iki kare teoremi üzerindeki çalışmasını veya n = 3 durumu için “Fermat'ın son teoremine” saldırısını aktarabiliriz . Bu alanda, bazen bir yüzyıldan fazla bir süredir ilk kez açık problemleri çözme konusunda özellikle beceriklidir.
In 1735 , çözümü için bir çalışma aşağıdaki Mengoli sorununu Euler okudu sonsuz ürünler . İki yıl sonra, şimdi Eulerian ürünü olarak adlandırılan garip bir formül kullanıyor . Onun seri yazı ait olduğunu Riemann işlevi Ç . Asal sayıların dağılımı ile ilgili ilk istatistiksel bilgiyi sağlar.
Gelen 1775 , Euler bir için teoremi belirtilen aritmetik dizisi birinci dönem 1.
On yıl sonra, Adrien-Marie Legendre genel durumda aritmetik ilerleme teoremini belirtir. Kendisinin aracılığıyla, 1808 yılında bunu gösterdi düşündüm (yanlış) lemmasının verilen iki tamsayı doğruladı m ve n aralarında asal ve k asal sayılar bölünmesi değil garip n en az bir tamsayı vardır, j (geniş anlamda) dahil 1 arasında p k ( k başlayarak inci asal sayı, p 1 = 2) bu şekilde M + jn olan bunların herhangi bölünebilir değil k asal sayılar.
In 1801 , Carl Friedrich Gauss ünlü yayınlanan Disquisitiones Arithmeticae . Modüler aritmetik olarak bilinen bir cebirsel sayı teorisinin temellerini sağlar . Kitabı, ℤ / n ℤ'nin özelliklerini analiz eder ve ikinci dereceden karşılıklılık yasasını göstermek için , sonlu bir grubun karakterinin özel bir durumunu geliştirir : Legendre sembolü .
In 1837 , Dirichlet varsayarak, aritmetik ilerleme yaptığı teoremi ilk sürümünü gösterdi n asal olduğunu. Ertesi yıl n'nin asal olmadığı durumu gösterir ve 1841'de ispatı Gauss tamsayılarına genelleştirir .
Kanıt, aritmetikte oldukça ilgi çekicidir . Gauss'un yeni teorisini, Euler'in görünüşte uzak fikirlerine bağlar. Aynı zamanda iki şubenin her birini zenginleştirir.
Sayı teorisine cebirsel katkı, esas olarak harmonik analizin geliştirilmesinden oluşur . Dirichlet, Joseph Fourier'nin ( 1768 - 1830 ) keşifleri üzerinde çalıştı . Teoreminin kanıtı için, aynı yöntemleri, bu sefer sonlu değişmeli bir grup için kullanıyor . Jacobi onun hakkında şöyle diyor: "Fourier serilerini sayı teorisine uygulayarak, Dirichlet son zamanlarda insani kavrayışın doruklarına ulaşan sonuçlar buldu . " Değişmeli durum için sonlu bir grubun karakterleri teorisi pratik olarak tamamlanmıştır.
Analize katkısı daha az yenilikçi değil. Her karakterle, Euler'inkine benzer sonsuz bir ürünü ilişkilendirir . Bu ürünlerin , özel bir durumu Riemann fonksiyonu ζ olan , şimdi Dirichlet'in L serisi olarak adlandırılan serilere eşdeğerliğini gösterir . İspatın özü, birimin evet olup olmadığının bu serilerin bir kökü olup olmadığını belirlemekten ibarettir. Burada Riemann hipotezi ile derin analojiyi kabul ediyoruz . Bu makale yeni bir matematik dalının doğuşuna işaret ediyor: temel araçlarıyla analitik sayı teorisi : Eulerian ürünleri veya Dirichlet'in L serisi ve modüler aritmetik ile yakın ilişkisi.
La Vallée Poussin , Teoremin Dirichlet ve Legendre tarafından tahmin edilen aşağıdaki nicel versiyonunu gösterdi. Bu, [ m ] modulo n sınıflarındaki asal sayıların yukarıda bahsedilen eşit dağılımıdır, çünkü n sıfır değil ve m üssü kendi aralarında:
Asal sayıların sayı bundan daha az veya eşit , x dizisi içinde, m + bir , bir eşdeğer için Li ( x ) / φ ( n ) .
Bu teorem , ilerleme teoreminin Öklid teoremini asal sayılar üzerine genellemesi gibi, asal sayı teoremini de ( n = 1 ve m = 0 durumuna karşılık gelir ) genelleştirir . 1949'da Atle Selberg aynı anda aritmetik ilerleme teoreminin ve asal sayıların "temel kanıtını" (yani analitik sayı teorisinin yöntemlerini kullanmadan ) verdi. 1998 yılında, Ivan tarafından 1980 yılında tanıtılan fikirler kullanarak, aritmetik ilerleme teoremin Soprunov redémontré nicel sürüme sahip Donald J. Newman (in) onun asal sayı teoreminin oldukça basittir kanıtı .
Bu sonuca rağmen, (bu Chebyshev sapmasıdır ) modulo n kareleri olmayan m değerleri için , genellikle π ( x ; n , m ) olarak gösterilen bu sayının, hemen hemen her zaman aux π ( x ; n , p ) burada p bir modulo n karedir ; bu sonuç şu anda yalnızca genelleştirilmiş Riemann hipotezinin doğru olduğu varsayıldığında gösterilmektedir .
Burada n , kesinlikle pozitif bir tamsayıyı ve m , ℤ / n ℤ halkasının U ile gösterilen birimler grubunun bir sınıfını belirtir . Amaç, m'nin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini göstermektir . P asal sayıların dizi gösterir ve S yarı kompleksleri düzlemini bir ile gerçek kısmı katı daha büyük ise: 1. c doymuş, karmaşık sayı , c olarak gösterir konjugatı .
Bir Dirichlet karakteri χ sembolü ve karakter grubu Û ile gösterilir.
Amaç, S × U üzerinde , davranışı m sınıfının sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini garanti edecek bir fonksiyon ω tanımlamaktır .
Bu önerme bir kez oluşturulduktan sonra , teoremi kanıtlamak için fonksiyonun 1'de farklılaştığını göstermek zıtlık yoluyla yeterli olacaktır .
Gösteri Ω ( s , u ) ' yu tanımlayan dizi kesinlikle yakınsak Bu önerme, ayrıntılı makalenin “ Euler ürünü ” paragrafında gösterilmektedir . Eğer m asal sayılar daha sonra, sadece sınırlı bir sayı içerir s ↦ ω ( s , m ), 1 bir sınırı vardır İçin , sabit ileBir bağlayıcı bir kaba yakınsak Riemann serisi serisi ψ gösteriler 2 olan normal yakınsak kapalı yarı düzlemin Re (ilgili s ) ≥ 1:Eğer sonlu -y 1 basit bir tam sayı fonksiyonu tüm kompleks düzlemde tanımlandığı gibidir,.Ω (de toplama aslında zorluk yalan s , m ), farklı olarak Ç (bu ler ) , sadece ait asal sayılar üzerinde gerçekleştirilir m .
Bununla birlikte, function fonksiyonu, sonlu bir değişmeli grubun bir u parametresine bağlıdır . Ancak böyle bir grubun çok basit bir harmonik analizi vardır . Trigonometrik fonksiyonlar karakterlerle değiştirilir ve bir Fourier dönüşümüne ve Plancherel teoremine sahibiz ; asal sayılar kümesini "yerelleştirmeyi" mümkün kılar:
Ω işlevi, tanım alanındaki aşağıdaki ifadeye eşittir:
.Ayrıntılı makalenin “Uygulama” paragrafında bir gösterim verilmiştir .
Eğer χ ana karakter değilse, Dirichlet'in L serisi tanımlanır ve sıfır olmayan bir değerle 1'de devam eder ( ayrıntılı makalenin “Birinci noktadaki davranış” paragrafında bir kanıt verilmiştir ). Χ ana karakter ise diğer taraftan, kendi seri L (ki günlük olarak etkilenir ω (genişlemesi s , m ), katsayısı ile, kay kare testi ( m ) = 1) eşittir , burada bir zeta 1. noktada farklılaşan Riemann'ın işlevi. Bu, ispatı yukarıda açıklandığı gibi sona erdiren aşağıdaki önermeyi belirtmemize izin verir :
Herhangi bir sınıf için m içinde U , fonksiyon w ( s , m, olarak) ıraksamaktadır s yaklaşımlar 1.