Kategori teorisi

Kategori teorisi çalışmaları matematiksel yapılar ve ilişkiler. Çok soyut olan kategorilerin incelenmesi, matematiksel yapılarla bağlantılı çeşitli sınıflarda ortak olan özelliklerin bolluğuyla motive edildi . Kategoriler matematiğin çoğu dalında ve teorik bilgisayar biliminin bazı alanlarında ve fizik matematiğinde kullanılmaktadır. Birleştirici bir fikir oluştururlar.

Tarih

Bu teori, cebirsel topolojiyle bağlantılı olarak 1942-1945'te Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane tarafından oluşturuldu ve 1960-1970 yıllarında Fransa'da sistematik bir çalışma yapan Alexandre Grothendieck tarafından yayıldı . William Lawvere'nin çalışmasının ardından kategori teorisi, mantığı ve küme teorisini tanımlamak için 1969'dan beri kullanılmaktadır  ; Bu nedenle kategori teorisi , benzerlikleri olduğu küme teorisi veya tip teorisi gibi matematiğin temeli olarak kabul edilebilir .

Basit elementler

Morfizmler

İşte bir örnek. Grp sınıfı arasında grupları "grup yapısı" sahip olan tüm nesneleri içerir. Daha kesin olarak, Grp tümünü içerir setleri G , bir ile donatılmış , iç işlemi olan tatmin aksiyomlarını arasında birleşme , tersinirlik ve nötr element . Bazı teoremler daha sonra bu aksiyomlardan mantıksal çıkarımlar yapılarak kanıtlanabilir . Örneğin, bir grubun kimlik öğesinin benzersiz olduğuna dair doğrudan kanıt sağlarlar .

Kategori teorisi, matematiksel teorilerin her zaman yaptığı gibi, belirli bir yapıya sahip nesneleri (örneğin gruplar) çalışmak yerine, morfizmaları ve iki nesne arasındaki yapıyı koruyan süreçleri vurgular . Görünüşe göre bu morfizmaları inceleyerek, nesnelerin yapısı hakkında daha fazla şey öğrenebiliriz.

Örneğimizde, incelenen morfizimler olan morfizimler herhangi bir uygulama olduğunu, bir grup bir grup doğrulayarak: . Grup morfizmlerinin incelenmesi, grupların genel özelliklerini ve gruplarla ilgili aksiyomların sonuçlarını incelemek için bir araç sağlar. f{\ displaystyle f}(G,∙){\ displaystyle (G, \ madde işareti)}(G′,⋆){\ displaystyle (G ', \ yıldız)}∀x,y∈G,f(x∙y)=f(x)⋆f(y){\ displaystyle \ forall x, y \ G içinde, f (x \ madde işareti y) = f (x) \ yıldız f (y)}

Bu, belirli özellikleri doğrulayan bu nesneler arasındaki belirli uygulamaların yanı sıra bir nesne sınıfının tanımlanabildiği birçok matematiksel teoride de aynıdır. Bir kategoriye başka bir örnek, vektör uzayları sınıfı tarafından verilmektedir , morfizmler doğrusal eşlemlerdir . Son bir örnek, topolojik uzaylar sınıfı tarafından verilir , morfizmler sürekli eşleşmelerdir . Dolayısıyla bir kategori, matematiksel yapıları onları koruyan işlevlere bağlayan aksiyomatik bir formülasyondur . Kategorilerin sistematik bir incelemesi, bir kategorinin aksiyomlarından genel sonuçların kanıtlanmasını mümkün kılar.

Functors

Bir kategorinin kendisi bir tür matematiksel yapıdır. İki kategorimiz varsa ve bazen birinci kategorinin her nesnesini (sırasıyla her bir morfizmi) ikincinin bir nesnesiyle (sırasıyla bir morfizmi) ilişkilendirerek birinci kategori ile ikincisi arasında bir yazışma tanımlamak mümkündür. kategori yapısı. Bu tür yazışmalara functor denir . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}

Biz küçük kategorilere kendimizi kısıtlamak durumunda (yani olan nesne ve Morfizmlerin sınıfları kümeleridir kategorilerine), biz, böylece tanımlamak kategoriler bir kategorisini  (in) Cat  : Nesneleri küçük kategori ve onun morfizimler funktorlar bulunmaktadır.

Bir nesne sınıfını diğeriyle ilişkilendirmenin bu temel fikri ilk olarak cebirsel topolojide ortaya çıktı  : bazı karmaşık topolojik problemler, genellikle çözülmesi daha kolay olan cebirsel sorulara dönüştürülebilir. Böylece, bir functor tanımlayabilir topolojik boşlukların kategori içinde gruplarının kategori bir topolojik alanı ile onun ilişkilendirir, temel grup . Birinci kategorinin herhangi bir topolojik özelliği, ikinci kategorideki bir cebirsel özellik ile çevrilebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Doğal dönüşümler

Yeni bir soyutlama çabasıyla, işlevciler genellikle "doğal olarak birbirine bağlıdır". Bu nedenle doğal dönüşüm kavramını tanımlıyoruz , bu da bir functor'u bir functor'a göndermenin bir yolu. Functor bir morfizm morfizmiyse, doğal dönüşüm morfizmlerin morfizmlerinin bir morfizmidir. Böylece birçok matematiksel yapıyı inceleyebiliriz. "Doğallık" ilk bakışta göründüğünden daha derin bir ilkedir. Kategori teorisinin mucidi Saunders MacLane şunları söyledi: “Fonksiyonları incelemek için kategoriler icat etmedim; Onları doğal dönüşümleri incelemek için icat ettim ” .

Örneğin, sonlu boyutlu bir vektör uzayı ile onun ikili uzayı arasında bir izomorfizm vardır , ancak bu izomorfizm, tanımının yakından bağlı olduğu bir temeli seçmeyi gerektirmesi anlamında "doğal" değildir . Öte yandan, sonlu boyutlu bir vektör uzayı ile onun ikili uzayı ( ikilinin ikilisi) arasında doğal bir izomorfizm vardır , yani bu durumda seçilen temelden bağımsızdır. Bu örnek, tarihsel olarak, Samuel Eilenberg ve Saunders MacLane tarafından 1945'te yazılan ufuk açıcı makalede formüle edilen ilk örnektir .

Başka bir örnek: Topolojik uzayları çeşitli işlevlerle grup teorisine bağlamanın birkaç yolu vardır  : homoloji, kohomoloji , homotopi … Doğal dönüşümlerin incelenmesi, bu işlevlerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını incelememize olanak tanır.

Tanımlar

Kategori

Sınıf teorisinin dilinde bir kategori , dört unsurdan oluşur: VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

• elemanlarına nesne adı verilen bir sınıf (kategorinin nesneleri);Öb(VS){\ displaystyle \ mathrm {ob} ({\ mathcal {C}})}
• öğeleri morfizm veya oklar (kategorinin morfizmleri veya okları) olarak adlandırılan bir sınıf ;mÖr(VS){\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}
• İki “  uygulamaları  ” nin de (sınıf teorisi anlamında, yani onların “  grafikleri  ” olabilir uygun sınıflar ), kaynak ve hedef olarak adlandırılan; f  : A → B olduğu anlamına gelir f “bir morfizmanın olan A için B  (kaynak biçiminde bulunacağı şekilde gerçekleştirilir” A ve hedef arasında B ) ve tüm bu Morfizmlerin sınıfı f ifade edilmektedir  ;mÖr(VS){\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}Öb(VS){\ displaystyle \ mathrm {ob} ({\ mathcal {C}})}HÖm(AT,B){\ displaystyle \ mathrm {Hom} (A, B)}
• özdeşliği olarak adlandırılan her nesne için bir morfizm  ;bendAT:AT→AT{\ displaystyle \ mathrm {id} _ {A}: A \ rightarrow A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}
• bir bileşimin Morfizmlerin herhangi bir çift, ve , ortakları bir morfizmanın denilen oluşan ve ve bu şekilde: ∘{\ displaystyle \ circ}f:AT→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow B}g:B→VS{\ displaystyle g: B \ rightarrow C}g∘f:AT→VS{\ displaystyle g \ circ f: A \ rightarrow C}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}
  • Tüm Morfizm için: bileşimi birleştirici olan , ve ,f:AT→B{\ displaystyle f: A \ ila B}g:B→VS{\ displaystyle g: B \ ila C}h:VS→D{\ displaystyle h: C \ - D}(h∘g)∘f=h∘(g∘f){\ displaystyle (h \ circ g) \ circ f = h \ circ (g \ circ f)} ;
  • kimlikler, kompozisyonun tarafsız unsurlarıdır: herhangi bir morfizm için ,f:AT→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow B}bendB∘f=f=f∘bendAT{\ displaystyle \ mathrm {id} _ {B} \ circ f = f = f \ circ \ mathrm {id} _ {A}}.

Bir kategori geçerli olduğunda, bazıları ona nesnelerinin adının kısaltmasını isim olarak verir; burada bu sözleşmeyi takip edeceğiz.

Bazı yazarlar, örneğin DE Rydeheard ve Burstall, bir kategoriyi yönlendirilmiş bir grafik (daha doğrusu bir multigrafi) olarak tanımlar . Grafiğin köşeleri nesnelerdir. Yaylar oklardır. Aynı şekilde, bazen bir kategorinin nesnelerini tamamen unuttuğumuz ve nesneleri ok kimlikleriyle tanımlayarak yalnızca oklarla ilgilendiğimiz de oluyor.

Bazı özellikler

Herhangi bir A, B nesnesi için, A'dan B'ye morfizm sınıfı, yani bir küme ise, bir kategorinin yerel olarak küçük olduğu söylenir . Bir kategori olan küçük tüm Morfizmlerin sınıf eğer yani , kümesidir. Genel kategorilerin çoğu - cf. aşağıdaki örnekler - yalnızca yerel olarak küçüktür. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}HÖm(AT,B){\ displaystyle \ mathrm {Hom} {\ büyük (} A, B {\ büyük)}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}mÖr(VS){\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}

Bir alt kategori ait olan nesnelerdir nesneleri bir kategorisidir okların oklar (fakat tamamı değil oklar) ve alt kategori iki nesne arasındaki. Bir alt zaman içinde her oklar şekildedir iki arasındaki nesneleri arasında oklar , bu alt kategori olduğu söylenir tam . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

Çift kategori

Bir kategori verildiğinde , aynı nesneleri alarak, ancak okların yönünü tersine çevirerek karşıt veya ikili kategoriyi tanımlarız . Not edilir (veya ). Daha kesin olarak: Hom C op ( A , B ) = Hom C ( B , A ) ve iki karşıt okun bileşimi, bileşimlerinin zıttıdır: f op ∘ g op = ( g ∘ f ) op . İkili kategorinin ikili kategorisinin başlangıç ​​kategorisi olduğu açıktır . Bu ikileştirme, ifadelerin çoğunun simetrik hale getirilmesini mümkün kılar. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VSÖp{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ rm {op}}}VSÖ{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ rm {o}}}(VSÖp)Öp=VS{\ displaystyle ({\ mathcal {C}} ^ {\ rm {op}}) ^ {\ rm {op}} = {\ mathcal {C}}}

Örnekler

Sezgisel olarak, bir kategorideki nesneler genellikle yapıya sahip kümelerdir ve oklar genellikle yapıyı koruyan kümeler arasındaki eşleşmelerdir. Aşağıdaki tablo, bu sezgiyi açıklayan kategorilere örnekler vermektedir.

Kategori	Nesneler	Oklar
Ens veya Kategori belirle	setleri	uygulamaları
En üst kategori	topolojik uzaylar	sürekli uygulamalar
Karşılanan kategori	metrik uzaylar	tekdüze sürekli uygulamalar
kategori Benim	monoidler	monoid morfizmler
kategori Grp	grupları	grup morfizmleri
kategori Ab	değişmeli gruplar	grup morfizmleri
ACU kategorisi	üniter değişmeli halkalar	halka morfizmleri
Ord kategorisi	sıralı setler	büyüyen uygulamalar

Tablodaki örnekler somut kategorilerdir , yani kümeler kategorisine sadık bir işlevle sağlanan kategorilerdir (mevcut durumlarda bu, yalnızca temel kümelerini koruduğu düşünülen yapıları göz ardı eden unutma işlevidir ; örneğin unutma fonksiyonunu gruba (ℤ, +) uygulamak ℤ) kümesini verir. Aşağıdaki ikisi gibi herhangi bir küçük kategori somuttur:

• Biz vermek kendimizi bir monoid M ve aşağıdaki gibi ilişkili kategoriyi tanımlar:
  • nesneler: sadece bir
  • oklar: monoidin öğeleri, hepsi tek nesneden başlar ve ona geri döner;
  • kompozisyon: monoid yasası tarafından verilir (bu nedenle özdeşlik, M'nin nötrüyle ilişkili oktur ).
• Kendimize dönüşlü ve geçişli bir ilişki R (başka bir deyişle, R bir ön sipariş ilişkisidir ) ile donatılmış bir E kümesi veririz ve ilgili kategoriyi şu şekilde tanımlarız:
  • nesneler: bütünün öğeleri;
  • oklar: tüm nesneler için e ve f , bir ok vardır e kadar f ancak ve ancak erf (ve aksi ok);
  • kompozisyon: iki okun bileşiği, iki ucu birleştiren tek oktur (ilişki geçişlidir); kimlik, bir nesneyi kendisine bağlayan tek oktur (ilişki dönüşlüdür).

Bu örnek, aşağıdaki durumda özellikle ilginçtir: küme, bir topolojik uzayın açıklıkları kümesidir ve ilişki, kapsama alanıdır; bu, ön kontrol ve demet kavramlarını işlevler aracılığıyla tanımlamayı mümkün kılar . Ayrıca, herhangi bir sıralı kümeyi bir kategori olarak ve herhangi bir endüktif (sırasıyla Projektif ) sistemi bu kategoride bir kovaryant (karşılık gelen Kontravaryant) işlev olarak ele almayı mümkün kılar.

• Spesifik olmayan kategori bir örneği: Homotopy kategorisi  (in) Htop olan nesnelerdir, topolojik boşluklar olan ve morfizimler sınıflandır homotopi arasında sürekli uygulama .

• İki kategori verildiğinde ve ürün kategorisini şu şekilde tanımlayabiliriz: ürün kategorisinin nesneleri, bir A nesnesinden ve bir B nesnesinden oluşan çiftlerdir (A, B)  ; morfizimler çiftleri (vardır f , g bir morfizmanın tarafından oluşturulan) f arasında bir morfizmanın g arasında . Bu çiftlerin bileşimi bileşen bileşen yapılır.VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}VS×D{\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {D}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}

Bilgisayar örneği

Benjamin C. Pierce, s. Bilgisayar Bilimcileri için Temel Kategori Teorisi'nde , türlerin Bool (Boole'lar için, yani doğruluk değerleri için), Int (tamsayılar için), Gerçek (gerçek sayılar için) ve Birim (tek öğeli bir tür) olduğu işlevsel bir programlama dili düşünün. . İşlemler sıfırdır: Int → Bool (bir tamsayının sıfır olup olmadığını test eder), değil: Bool → Bool (olumsuzluk), succInt: Int → Int (bir tamsayının halefini döndürür), succReal: Gerçek → Gerçek, (ki gerçek bir sayının halefini döndürür), toReal: Int → Real (bir tamsayıyı gerçek sayıya dönüştürür). Bu dilin sabitleri sıfırdır: Int, true: Bool, false: Bool, unit: Unit. Pierce daha sonra nesnelerin Bool, Int, Real ve Unit olduğu ve okların true, false, succInt, succReal, unit, iszero, not, toReal olduğu kategori örneğini verir.

Sabitler, her biri Unit'in benzersiz öğesini temsil ettiği değerle ilişkilendiren oklardır.

Monomorfizmler, epimorfizmler ve izomorfizmler

Tanımlar

Bir okun , aşağıdaki özelliği sağladığında monomorfizm olduğu söylenir : herhangi bir ok çifti için (ve dolayısıyla her şey için de ) , öyleyse . f:AT→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow \; B}g,h{\ displaystyle g, h}E→AT{\ displaystyle E \ rightarrow \; A}E{\ displaystyle E}f∘g=f∘h{\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}g=h{\ displaystyle g = h}

Bir okun şu özelliği sağladığında bir epimorfizm olduğu söylenir : herhangi bir ok çifti için (ve dolayısıyla her şey için de ), evet , öyleyse . f:AT→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow \; B}g,h{\ displaystyle g, h}B→E{\ displaystyle B \ rightarrow \; E}E{\ displaystyle E}g∘f=h∘f{\ displaystyle g \ circ f = h \ circ f}g=h{\ displaystyle g = h}

Monomorfizm ve epimorfizm kavramları birbiriyle ikilidir: Bir ok, ancak ve ancak ikili kategorideki bir epimorfizm ise bir monomorfizmdir.

Bir ok bir olduğu söylenir İzomorfizma bir ok varsa böyle ve . Bu fikir kendi kendine yeten bir kavramdır. f:AT→B{\ displaystyle f: A \ rightarrow \; B}g:B→AT{\ displaystyle g: B \ rightarrow \; A}g∘f=benAT{\ displaystyle g \ circ f = I_ {A}}f∘g=benB{\ displaystyle f \ circ g = I_ {B}}

Örnekler ve karşı örnekler

• Kümeler kategorisinde , monomorfizmler enjeksiyonlardır , epimorfizmler sürpülerdir ve izomorfizmler bijeksiyonlardır .
• Kategori teorisinde önemli bir counterexample: Bir morfizmanın bir monomorfizm ikisi de olabilir ve bir izomorfizması olmadan bir epimorfizm, intial; bu karşı örneği görmek için, kendini üniter değişmeli halkalar kategorisine yerleştirmek ve (benzersiz) oku düşünmek yeterlidir  : bu bir monomorfizmdir çünkü enjekte edici bir uygulamadan gelir, lokalizasyon yoluyla bir epimorfizmdir , ancak açıkça bir izomorfizm değildir.Z→Q{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Q}}
• Ayrıca, topolojik uzaylar kategorisinde bu tür izomorfik olmayan epimorfizm-monomorfizmi buluyoruz: herhangi bir enjeksiyon bir monomorfizmdir, herhangi bir surjeksiyon bir epimorfizmdir, izomorfizmler homeomorfizmlerdir , ancak homeomorfizm olmayan hem enjekte edici hem de sübjektif sürekli fonksiyonlar vardır: örneğin, Biri diğerinden daha kaba olmak üzere iki farklı topoloji ile sağlanan bir küme üzerindeki kimlik.
• Sıralı küme kategorisinde izomorfizmler olan karşılıklı bijection artmaktadır (karşılıklı eşleşme bu durumun otomatik durumunda doğrulanır artan bijections olan tamamen sıralı küme , ancak genel durumda).

Kategori teorisinde bir nesne ailesinin toplamı ve ürünü

Toplamı bir ailenin bir nesnenin veridir ait ve herkes için bir ok doğrulayarak evrensel özelliğini  : (Xben)ben∈ben{\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ I’de}}X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ben{\ displaystyle i}ϕben:Xben→X{\ displaystyle \ phi _ {i}: X_ {i} \ rightarrow X}

ne olursa olsun bir amacı ve oklar arasında tek bir ok orada bütün için gibi diyagramY{\ displaystyle Y}fben:Xben→Y{\ displaystyle f_ {i}: X_ {i} \ rightarrow Y}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}f:X→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}ben{\ displaystyle i}  :

olduğunu değişmeli , yani yani .fben=f∘ϕben{\ displaystyle f_ {i} = f \ circ \ phi _ {i}}

Ürün bir ailenin bir nesnenin veridir ait ve herkes için bir ok doğrulayarak evrensel özelliğini  : (Xben)ben∈ben{\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ I’de}}X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ben{\ displaystyle i}πben:X→Xben{\ displaystyle \ pi _ {i}: X \ rightarrow X_ {i}}

ne olursa olsun bir amacı ve oklar arasında tek bir ok orada bütün için gibi diyagramY{\ displaystyle Y}fben:Y→Xben{\ displaystyle f_ {i}: Y \ rightarrow X_ {i}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}f:Y→X{\ displaystyle f: Y \ rightarrow X}ben{\ displaystyle i}  :

olduğunu değişmeli , yani yani .fben=πben∘f{\ displaystyle f_ {i} = \ pi _ {i} \ circ f}

Varsa, toplamlar ve ürünler, izomorfizmler dışında benzersizdir.

Bu tanımlara, diyagramların oklarının ters çevrilmesiyle izin verilir: içindeki bir toplam (sırasıyla bir ürün), çiftindeki bir üründür (sırasıyla bir toplam). VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

Bir Kartezyen kategori bir donatılmış bir kategoridir nihai nesne ve ikili ürün. Bir kapalı Kartezyen kategori ile donatılmış bir Kartezyen kategoridir üs .

Matematiğin temeli olarak

William Lawvere , kategori teorisini matematik için potansiyel bir temel olarak gören ilk kişiydi . 1964'te, küme teorisinin kategoriler dilinde aksiyomatizasyonunu önerdi. 1966'da, tüm matematiksel nesnelerin ifade edilebildiği ve özelliklerinin gösterilebildiği bir kategori kategorileri teorisi yayınladı. Bu kategoriler kategorisinin ilk versiyonu onun 1963 doktora tezinde geliştirilmiştir.

Bu nedenle kategori teorisi, matematiğin en az iki farklı anlamda temeli olarak önerilmiştir. İlk anlamda, kümeler kavramına alternatif bir aksiyomatizasyon sağlayacaktır. ZF'nin aksiyomatizasyonu ile karşılaştırıldığında , bu formülasyon "(x ∊ X) öğesi" olma fikrini ön plana yerleştirmez. Daha ziyade, temel olan, kategorinin morfizmalarıyla ifade edilen işlev mefhumudur. Set kategorisinin, Grothendieck'in topolarından esinlenen bir kategori türü olan temel topoların belirli bir örneği olduğu ortaya çıktı .

İkinci tür önerme daha ziyade, tüm önemli matematiksel kavramların kategoriler dilinde ifade edilebileceğini söylemektir. İlk temel türü mantıklıdır ve aksiyomatik bir sistem önerirken, bu ikinci temel türü oldukça metodolojiktir ve matematiğin farklı alanlarını ortak bir dil kullanarak birbirleriyle karşılaştırmanın bir yolunu sunar. Bu iki önerme, matematiğin temellerinin çeşitli anlamlar alabilmesi için birbiriyle uyumsuz olması gerekmez .

Bununla birlikte, kategorilere hitap eden vakıflarla ilgili tüm bu önermelerin ortak bir yanı vardır. Matematiğin yapısalcı bakış açısının parçasıdırlar. Bu ifade, matematiksel nesnelerin önemli özelliklerinin, nesnelerin kendilerine özgü özellikler değil, aralarında var olan ilişkiler olduğu anlamına gelir. Yapısalcılar için matematiksel bir nesne bu nedenle tamamen matematiksel bir yapıda kapladığı yer ile tanımlanır . Örneğin 3 rakamının “3” sembolü ile yazılması yapısal bir özellik değil, doğal sayılar sırasına göre 2 ile 4 arasında olması böyle bir özelliktir. Kategorilerin teorisi, böyle bir temeli ifade etmek için özellikle yeterlidir, çünkü bir kategorinin nesneleri yalnızca izomorfizm içinde tanımlanır. Bu, bu nedenle aynı yapıya sahip iki izomorfik nesnenin bir kategori içinde birbirinden ayırt edilemeyeceği anlamına gelir. Bu nedenle kategorilerin dili, bu nesnelerin yalnızca yapısal özelliklerini ifade eder.

Bununla birlikte, tüm yapısalcılar bir temel olarak kategori teorisinden yana değildir.

Notlar ve referanslar

1. (içinde) OF Rydehear, Burstall, Hesaplamalı kategori teorisi , Prentice Hall,1988, s.  Bölüm 3, Kısım 3.1, Tanım 2
2. bakınız örneğin (in) Roy L. Crole , Kategori türleri için , UPC ,1993, 335  s. ( ISBN  978-0-521-45701-9 , çevrimiçi okuyun ) , s.  61. Not olduğunu Mac Lane "kategorisinde" Burada ne denir "metacategory", çağırır genellikle "küçük kategori" olarak adlandırılan ve o kavramına "küçük kategorisinde" adını saklı tuttuğunu ne o isimler "kategorisinde". Hatta daha kısıtlayıcı.
3. (inç) Benjamin C. Pierce Bilgisayar bilimcisi için temel kategori teorisi: Hesaplama serisinin temelleri , The MIT Press ,1991, s. 5
4. Michel Zisman, Temel cebirsel topoloji , Armand Colin, 1972, s.  10 .
5. (in) William Lawvere, "  Kümeler kategorisinin temel teorisi  " , ABD Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri ,15 Aralık 1964, s.  1506–1511 ( çevrimiçi okuyun )
6. (inç) Tom Leinster , "  Rethinking Set Theory  " , American Mathematical Monthly ,Mayıs 2014, s.  403-415 ( çevrimiçi okuyun )
7. (in) William Lawvere, Kategorik Cebir Konferansı Bildirileri ,1966, "Matematiğin temeli olarak kategoriler" , s.  1-20
8. (in) William Lawvere, "  Cebirsel Teorilerin İşlevsel Anlamları  " , Teoride Yeniden Baskılar ve Kategoriler Uygulamaları ,2004, s.  1-121 ( çevrimiçi okuyun )
9. (in) JL Bell, "  Kategori Teorisi ve Matematiğin Temelleri  " , The British Journal for the Philosophy of Science, Cilt. 32, No. 4 ,Aralık 1981, s.  349-358 ( çevrimiçi okuyun )
10. (en) Colin McLarty, "  Kategorik yapısalcılığı keşfetmek  " , Philosophia Mathematica (3) 12 ,2004, s.  37-53
11. (en) Jean-Pierre Marquis, "  Kategori Teorisi ve Matematiğin Temelleri: Felsefi Kazılar  " , Sentez (103) ,1995, s.  421-447
12. (içinde) Stewart Shapiro, "  Matematiğin Temelleri: Metafizik, Epistemoloji, Yapı  " , The Philosophical Quarterly (1950-), Cilt. 54, No. 214 ,Ocak 2004, s.  16-37 ( çevrimiçi okuyun )
13. (in) Colin McLarty, "  Sayılar Olması Gerekenler Olabilir  " , Nous, Cilt. 27, No. 4 ,Aralık 1993, s.  487-498 ( çevrimiçi okuyun )
14. (in) Julian Cole, "  Bugünün Matematiksel Yapısalcılık  " , Philosophy Compass 5/8 ,2010, s.  689–699
15. (in) Steve Awodey, "  Matematik ve mantıkta yapı: Kategorik bir bakış açısı  " , Philosophia Mathematica (3) 4 ,1996, s.  209-237
16. (in) Michael Resnick, Matematik Olarak Modeller Bilimi , Oxford University Press ,1997
17. (in) Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology , Oxford University Press ,1997

Ayrıca görün

• Functor
• Fiber ürün
• Yoneda lemma
• Katkı kategorisi
• Abelian kategorisi
• n- kategori  (inç)

Kaynakça

Temel çalışma: (en) Saunders Mac Lane , Çalışan Matematikçi Kategorileri [ baskı ayrıntısı ]

Özel kitaplar ve monografiler

Fransızcada :

• Boileau, A. & Joyal, A., 1981, "La Logique des topos", Sembolik Mantık Dergisi, 46 (1): 6-16.
• Dieudonné, J. & Grothendieck, A., 1960 [1971], Cebirsel Geometrinin Elemanları, Berlin: Springer-Verlag.
• Grothendieck, A., 1957, "Homolojik Cebirin Bazı Noktaları Üzerine", Tohoku Matematik Dergisi, 9: 119–221.
• Grothendieck, A. ve diğerleri, Algebraic Geometry Seminar, Cilt. 1-7, Berlin: Springer-Verlag.

İngilizcede :

• Adamek, J. ve diğerleri, 1990, Soyut ve Somut Kategoriler: Kedilerin Sevinci, New York: Wiley.
• Adamek, J. ve diğerleri, 1994, Yerel Olarak Sunulabilir ve Erişilebilir Kategoriler, Cambridge: Cambridge University Press.
• Arzi-Gonczaworski, Z., 1999, "Bunu Böyle Algıla - Analojiler, Yapay Algılama ve Kategori Teorisi", Matematik ve Yapay Zeka Yıllıkları, 26 (1): 215–252.
• Awodey, S., 1996, “Matematik ve Mantıkta Yapı: Kategorik Bir Bakış Açısı”, Philosophia Mathematica, 3: 209–237.
• Awodey, S., 2004, "Hellman Sorusuna Bir Cevap: Kategori Teorisi Matematiksel Yapısalcılık İçin Bir Çerçeve Sağlıyor", Philosophia Mathematica, 12: 54-64.
• Awodey, S., 2006, Kategori Teorisi, Oxford: Clarendon Press.
• Awodey, S., 2007, "Birinci Derece Küme Kuramları ile Temel Topozları İlişkilendirme", The Bulletin of Symbolic, 13 (3): 340-358.
• Awodey, S., 2008, “Cebirsel Küme Teorisine Kısa Bir Giriş”, Sembolik Bülteni, 14 (3): 281–298.
• Awodey, S. & Butz, C., 2000, "Yüksek Dereceli Mantık için Topolojik Tamlık", Journal of Symbolic Logic, 65 (3): 1168-1182.
• Awodey, S. & Reck, E. R., 2002, "Tamlık ve Kategorikite I. Ondokuz Yüzyıl Aksiyomatiğinden Yirminci Yüzyıl Metalojisine", Mantık Tarihi ve Felsefesi, 23 (1): 1–30.
• Awodey, S. & Reck, E. R., 2002, “Tamlık ve Kategoriklik II. Yirminci Yüzyıl Metalojisinden Yirmi Birinci Yüzyıla Anlambilim ”, Mantık Tarihi ve Felsefesi, 23 (2): 77-94.
• Awodey, S. & Warren, M., 2009, "Homotopi teorik Kimlik Türleri Modelleri", Cambridge Philosophical Society'nin Matematiksel İşlemleri, 146 (1): 45-55.
• Baez, J., 1997, "n Kategorilerine Giriş", Kategori Teorisi ve Bilgisayar Bilimleri, Bilgisayar Bilimlerinde Ders Notları (Cilt 1290), Berlin: Springer-Verlag, 1–33.
• Baez, J. & Dolan, J., 1998a, “Yüksek Boyutlu Cebir III. n-Kategoriler ve Opetopların Cebiri ”, Matematikteki Gelişmeler, 135: 145–206.
• Baez, J. & Dolan, J., 1998b, "Sınıflandırma", Yüksek Kategori Teorisi (Çağdaş Matematik, Cilt 230), Ezra Getzler  (de) ve Mikhail Kapranov (editörler), Providence: AMS, 1–36.
• Baez, J. & Dolan, J., 2001, "Sonlu Kümelerden Feynman Diyagramlarına", Sınırsız Matematik - 2001 ve Ötesi, Berlin: Springer, 29–50.
• Baianu, IC, 1987, "Biyoloji ve Tıpta Bilgisayar Modelleri ve Otomata Teorisi", Witten, Matthew, Eds. Matematiksel Modelleme, Cilt. 7, 1986, bölüm 11, Pergamon Press, Ltd., 1513–1577.
• Barr, M. & Wells, C., 1985, Toposes, Üçlü ve Teoriler, New York: Springer-Verlag.
• Barr, M. & Wells, C., 1999, Hesaplama Bilimi için Kategori Teorisi, Montreal: CRM.
• Batanin, M., 1998, "Zayıf n-Kategoriler Teorisi için Doğal Bir Çevre Olarak Monoidal Küresel Kategoriler", Matematikteki Gelişmeler, 136: 39–103.
• Bell, J. L., 1981, "Kategori Teorisi ve Matematiğin Temelleri", British Journal for the Philosophy of Science, 32: 349-358.
• Bell, J. L., 1982, "Kategoriler, Topozlar ve Kümeler", Synthese, 51 (3): 293–337.
• Bell, J. L., 1986, "Mutlaktan Yerel Matematiğe", Synthese, 69 (3): 409–426.
• Bell, J. L., 1988, "Sonsuzlar", Synthese, 75 (3): 285–315.
• Bell, J.L., 1988, Toposes ve Yerel Küme Teorileri: Bir Giriş, Oxford: Oxford University Press.
• Bell, J. L., 1995, "Infinitesimals and the Continuum", Mathematical Intelligencer, 17 (2): 55-57.
• Bell, J.L., 1998, A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bell, J. L., 2001, "Düzgün Sonsuz Küçük Analizdeki Süreklilik", Antipodları Yeniden Birleştirme - Süreklilik Üzerine Yapıcı ve Standart Olmayan Görüşler (Synthese Kitaplığı, Cilt 306), Dordrecht: Kluwer, 19–24.
• Birkoff, G. & Mac Lane, S., 1999, Algebra, 3. baskı, Providence: AMS.
• Blass, A., 1984, "Kategori Teorisi ve Küme Teorisi Arasındaki Etkileşim", Kategori Teorisinin Matematiksel Uygulamalarında (Cilt 30), Providence: AMS, 5–29.
• Blass, A. & Scedrov, A., 1983, "Sınıflandırma Topoi ve Sonlu Zorlama", Journal of Pure and Applied Algebra , 28: 111–140.
• Blass, A. & Scedrov, A., 1989, Freyd's Model for the Independence of Choice of Choice, Providence: AMS.
• Blass, A. & Scedrov, A., 1992, "Küme Teorisinin Tam Topoi Temsil Eden Modelleri", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 57 (1): 1–26.
• Blute, R. & Scott, P., 2004, "Doğrusal Mantıkçılar için Kategori Teorisi", Bilgisayar Bilimlerinde Doğrusal Mantık, T. Ehrhard, P. Ruet, JY. Girard, P. Scott, editörler, Cambridge: Cambridge University Press, 1–52.
• Borceux, F., 1994, Handbook of Categorical Algebra, 3 cilt, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bunge, M., 1974, "Topos Teorisi ve Souslin'in Hipotezi", Journal of Pure and Applied Algebra, 4: 159–187.
• Bunge, M., 1984, "Mantık ve Mantıkta Topozlarda Topozlar", Topoi, 3 (1): 13–22.
• Carter, J., 2008, "Çalışan matematikçiler için kategoriler: imkansızı mümkün kılmak", Synthese, 162 (1): 1-13.
• Cheng, E. & Lauda, ​​A., 2004, Yüksek Boyutlu Kategoriler: resimli bir kılavuz kitap, şu adresten ulaşılabilir: http://cheng.staff.shef.ac.uk/guidebook/index.html
• Cockett, J. R. B. & Seely, R. A. G., 2001, "Sonlu Toplam-Çarpım Mantığı", Kategoriler Teorisi ve Uygulamaları (elektronik), 8: 63–99.
• Couture, J. & Lambek, J., 1991, "Matematiğin Temelleri Üzerine Felsefi Düşünceler", Erkenntnis, 34 (2): 187–209.
• Couture, J. & Lambek, J., 1992, “Erratum:” Matematiğin Temelleri Üzerine Felsefi Düşünceler ”, Erkenntnis, 36 (1): 134.
• Crole, R. L., 1994, Türler için Kategoriler, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ehresmann, A. & Vanbremeersch, J.-P., 2007, Memory Evolutive Systems: Hierarchy, Emergence, Cognition, Amsterdam: Elsevier
• Ehresmann, A. C. & Vanbremeersch, JP., 1987, "Hiyerarşik Evrimsel Sistemler: Karmaşık Sistemler için Matematiksel Bir Model", * Matematiksel Biyoloji Bülteni, 49 (1): 13–50.
• Eilenberg, S. & Cartan, H., 1956, Homological Cebebra, Princeton: Princeton University Press.
• Eilenberg, S. & Mac Lane, S., 1942, "Grup Uzantıları ve Homoloji", Annals of Mathematics, 43: 757–831.
• Eilenberg, S. & Mac Lane, S., 1945, "Doğal Eşitliklerin Genel Teorisi", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 58: 231-294.
• Eilenberg, S. & Steenrod, N., 1952, Cebirsel Topolojinin Temelleri, Princeton: Princeton University Press.
• Ellerman, D., 1988, "Kategori Teorisi ve Somut Evrenseller", Erkenntnis, 28: 409–429.
• Feferman, S., 1977, "Kategori Teorisinin Kategorik Temelleri ve Temelleri", Mantık, Matematiğin Temelleri ve Hesaplanabilirlik, R. Butts (ed.), Reidel, 149-169.
• Feferman, S., 2004, “Tipik Muğlaklık: Pastanızı alıp onu da yemeye çalışmak”, Yüz Yıllık Russell Paradoksu, G. Link (ed.), Berlin: De Gruyter, 135–151.
• Freyd, P., 1964, Abelian Kategorileri. Functors Teorisine Giriş, New York: Harper & Row.
• Freyd, P., 1965, "Fonksiyonlar ve Modeller Teorileri". Model Teorileri, Amsterdam: Kuzey Hollanda , 107–120.
• Freyd, P., 1972, "Topoi'nin Yönleri", Avustralya Matematik Derneği Bülteni, 7: 1–76.
• Freyd, P., 1980, "Seçimin Aksiyomu", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 19: 103–125.
• Freyd, P., 1987, "Seçim ve İyi Sıralama", Annals of Pure and Applied Logic, 35 (2): 149-166.
• Freyd, P., 1990, Kategoriler, Alegoriler, Amsterdam: Kuzey Hollanda.
• Freyd, P., 2002, "Kartezyen Mantık", Teorik Bilgisayar Bilimi, 278 (1–2): 3–21.
• Freyd, P., Friedman, H. & Scedrov, A., 1987, "Lindembaum Algebras of Intuitionistic Theories and Free Categories", Annals of Pure and Applied Logic, 35 (2): 167–172.
• Galli, A. & Reyes, G. & Sagastume, M., 2000, "Çift İkili Fonksiyonlu Tamlık Teoremleri", Studia Logical, 64 (1): 61–81.
• Ghilardi, S., 1989, "Bazı klasik olmayan birinci dereceden mantık için Ön Kafanın Anlamları ve Bağımsızlık Sonuçları", Matematiksel Mantık Arşivi, 29 (2): 125–136.
• Ghilardi, S. & Zawadowski, M., 2002, Sheaves, Games & Model Completions: A Categorical Approach to Classic Nonclassical Proositional Logics, Dordrecht: Kluwer.
• Goldblatt, R., 1979, Topoi: Mantığın Kategorik Analizi, Mantık çalışmaları ve matematiğin temelleri, Amsterdam: Elsevier.
• Hatcher, W. S., 1982, Matematiğin Mantıksal Temelleri, Oxford: Pergamon Press.
• Healy, M. J., 2000, "Nöral Modelleme ve Grafik Temsillere Uygulanan Kategori Teorisi", IEEE-INNS-ENNS Uluslararası Sinir Ağları Ortak Konferansı Bildirileri: IJCNN200, Como, cilt. 3, M. Gori, SI. Amari, C. L. Giles, V. Piuri, editörler, IEEE Computer Science Press, 35–40.
• Healy, M. J., & Caudell, T. P., 2006, "Kategori Teorisinde Ontolojiler ve Dünyalar: Sinir Sistemleri için Çıkarımlar", Aksiyomatlar, 16 (1–2): 165–214.
• Hellman, G., 2003, "Kategori Teorisi Matematiksel Yapısalcılık İçin Bir Çerçeve Sağlıyor mu?", Philosophia Mathematica, 11 (2): 129-157.
• Hellman, G., 2006, "Matematiksel Çoğulculuk: pürüzsüz sonsuz küçük analiz durumu", Journal of Philosophical Logic, 35 (6): 621–651.
• Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2000, "Zayıf Yüksek Boyutlu Kategoriler Üzerine I", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 154 (1–3): 221–246.
• Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2001, "Zayıf Yüksek Boyutlu Kategoriler Üzerine 2", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 157 (2–3): 247–277.
• Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2002, "Zayıf Yüksek Boyutlu Kategoriler Üzerine 3", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 166 (1–2): 83–104.
• Hyland, J. M. E. & Robinson, E. P. & Rosolini, G., 1990, "Etkili Topolardaki Ayrık Nesneler", Londra Matematik Derneği Bildirileri (3), 60 (1): 1–36.
• Hyland, J. M. E., 1982, "The Effective Topos", Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (Cilt 110), Amsterdam: Kuzey Hollanda, 165–216.
• Hyland, J. M. E., 1988, "Küçük Tam Bir Kategori", Annals of Pure and Applied Logic, 40 (2): 135-165.
• Hyland, J. M. E., 1991, "Sentetik Alan Teorisinde İlk Adımlar", Kategori Teorisi (Como 1990) (Matematikte Ders Notları, Cilt 1488), Berlin: Springer, 131–156.
• Hyland, J. M. E., 2002, "Soyutta Kanıt Kuramı", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 114 (1–3): 43–78.
• Jacobs, B., 1999, Kategorik Mantık ve Tip Teorisi, Amsterdam: Kuzey Hollanda.
• Johnstone, P.T., 1977, Topos Teorisi, New York: Academic Press.
• Johnstone, P. T., 1979a, "De Morgan Yasasıyla İlgili Koşullar", Sheaves Uygulamaları (Matematikte Ders Notları, Cilt 753), Berlin: Springer, 479-491.
• Johnstone, P. T., 1979b, "De Morgan Yasasına Eşdeğer Başka Bir Koşul", Cebirde İletişim, 7 (12): 1309–1312.
• Johnstone, P. T., 1981, "Seçim Aksiyomu Olmadan Tychonoff'un Teoremi", Fundamenta Mathematicae, 113 (1): 21–35.
• Johnstone, P.T., 1982, Stone Spaces, Cambridge: Cambridge University Press.
• Johnstone, P. T., 1985, "How General is a Generalized Space?", Aspects of Topology, Cambridge: Cambridge University Press, 77–111.
• Johnstone, P. T., 2001, "Yerel Ayar Teorisi Tarihinin Unsurları", Genel Topoloji Tarihi El Kitabı, Cilt. 3, * Dordrecht: Kluwer, 835–851.
• Johnstone, P.T., 2002a, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium. Uçuş. 1 (Oxford Logic Guides, Cilt 43), Oxford: Oxford University Press.
• Joyal, A. & Moerdijk, I., 1995, Cebirsel Kümeler Teorisi, Cambridge: Cambridge University Press.
• Kan, D. M., 1958, "Yardımcı Fonksiyonlar", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 87: 294–329.
• Kock, A., 2006, Synthetic Differential Geometry (London Mathematical Society Lecture Note Series, Volume 51), Cambridge: Cambridge University Press, 2 d ed.
• Krömer, R., 2007, Araç ve Nesneler: Kategori Teorisinin Tarihi ve Felsefesi, Basel: Birkhäuser.
• La Palme Reyes, M., John Macnamara, Gonzalo E. Reyes ve Houman Zolfaghari, 1994, "Doğal Dil Olumsuzluğunun Boolean Olmayan Mantığı", Philosophia Mathematica, 2 (1): 45-68.
• La Palme Reyes, M., John Macnamara, Gonzalo E. Reyes ve Houman Zolfaghari, 1999, "Sayım İsimler, Kitle İsimler ve Dönüşümleri: Bir Birleşik Kategori-teorik Anlambilim", Dil, Mantık ve Kavramlar, Cambridge: MIT Press , 427–452.
• Lambek, J., 1968, "Tümdengelimli Sistemler ve Kategoriler I. Sözdizimsel Hesap ve Kalan Kategoriler", Matematiksel Sistemler Teorisi, 2: 287–318.
• Lambek, J., 1969, “Tümdengelimli Sistemler ve Kategoriler II. Standart Yapılar ve Kapalı Kategoriler ”, Kategori Teorisi, Homoloji Teorisi ve Uygulamaları I, Berlin: Springer, 76–122.
• Lambek, J., 1972, “Tümdengelimli Sistemler ve Kategoriler III. Kartezyen Kapalı Kategoriler, Sezgisel Önerme Hesabı ve Birleştirici Mantık ”, Toposes, Cebirsel Geometri ve Mantık (Matematikte Ders Notları, Cilt 274), Berlin: Springer, 57–82.
• Lambek, J., 1982, "Herakleitos'un Modern Matematik Üzerindeki Etkisi", Scientific Philosophy Today, J. Agassi ve RS Cohen, editörler, Dordrecht, Reidel, 111–122.
• Lambek, J., 1986, "Kartezyen Kapalı Kategoriler ve Yazılmış lambda hesapları", Kombineatörler ve Fonksiyonel Programlama Dilleri (Bilgisayar Biliminde Ders Notları, Cilt 242), Berlin: Springer, 136–175.
• Lambek, J., 1989a, "Mantık ve Kategori Teorisi Arasındaki Bazı Bağlantılar Üzerine", Studia Logica, 48 (3): 269–278.
• Lambek, J., 1989b, "Olası Dünyalar Demeti Üzerinde", Kategorik Topoloji ve Analiz, Cebir ve Kombinatoriklerle ilişkisi, Teaneck: World Scientific Publishing, 36–53.
• Lambek, J., 1993, "Yapısal Kurallar Olmadan Mantık", Alt Yapısal Mantık (Mantık ve Hesaplamada Çalışmalar, Cilt 2), Oxford: Oxford University Press, 179–206.
• Lambek, J., 1994a, "Kategorik Mantığın Bazı Yönleri", Mantık, Metodoloji ve Bilim Felsefesi IX (Mantıkta Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri, Cilt 134), Amsterdam: Kuzey Hollanda, 69-89.
• Lambek, J., 1994b, "Geleneksel Matematik Felsefeleri Gerçekten Uyumsuz mu?", Matematiksel İstihbaratçı, 16 (1): 56-62.
• Lambek, J., 1994c, "Tümdengelimli Sistem Nedir?", Mantıksal Sistem Nedir? (Mantık ve Hesaplama Çalışmaları, Cilt 4), Oxford: Oxford University Press, 141–159.
• Lambek, J., 2004, “Matematik dünyası nedir? Eyaletler Belirlenen Mantık ”, Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 126: 1–3, 149–158.
• Lambek, J. & Scott, PJ, 1981, "Sezgisel Tip Teorisi ve Temelleri", Felsefi Mantık Dergisi, 10 (1): 101–115.
• Lambek, J. & Scott, PJ, 1983, "Bazı Sezgisel İlkelerin Yeni Kanıtları", Zeitschrift für Mathematische Logik ve Grundlagen der Mathematik, 29 (6): 493–504.
• Lambek, J. & Scott, PJ, 1986, Yüksek Dereceli Kategorik Mantığa Giriş, Cambridge: Cambridge University Press.
• Landry, E., 1999, "Kategori Teorisi: Matematiğin Dili", Bilim Felsefesi, 66 (3) (Ek): S14 - S27.
• Landry, E., 2001, "Mantıkçılık, Yapısalcılık ve Nesnellik", Topoi, 20 (1): 79–95.
• Landry, E., 2007, "Paylaşılan Yapının Paylaşılan Küme Yapısı olması gerekmez", Synthese, 158 (1): 1–17.
• Landry, E. & Marquis, J.-P., 2005, "Bağlamdaki Kategoriler: Tarihsel, Temel ve felsefi", Philosophia Mathematica, 13: 1–43.
• Lawvere, F. W., 1963, “Functorial Semantics of Cebebraic Theories”, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 50: 869–872.
• Lawvere, F. W., 1964, "Kümelerin Kategorisinin Temel Bir Teorisi", ABD Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri, 52: 1506–1511.
• Lawvere, F. W., 1965, "Cebirsel Teoriler, Cebirsel Kategoriler ve Cebirsel Fonksiyonlar", Modeller Teorisi, Amsterdam: Kuzey Hollanda, 413–418.
• Lawvere, F. W., 1966, "Matematik İçin Bir Temel Olarak Kategorilerin Kategorisi", Kategorik Cebir Konferansı Bildirileri, La Jolla, New York: Springer-Verlag, 1–21.
• Lawvere, F. W., 1969a, "Köşegen Argümanlar ve Kartezyen Kapalı Kategoriler", Kategori Teorisi, Homoloji Teorisi ve Uygulamaları II, Berlin: Springer, 134–145.
• Lawvere, F. W., 1969b, "Vakıflarda Asistanlık", Dialectica, 23: 281–295.
• Lawvere, F. W., 1970, "Hiper doktrinlerde Eşitlik ve Eş Fonksiyonlu Olarak Anlama Şeması", Kategorik Cebir Uygulamaları, Providence: AMS, 1–14.
• Lawvere, F. W., 1971, "Niceleyiciler ve Sheaves", Uluslararası Matematikçiler Kongresi Bildirileri, Cilt 1, Paris: Gauthier-Villars, 329–334.
• Lawvere, F. W., 1972, "Giriş", Topozlar, Cebirsel Geometri ve Mantık, Matematikte Ders Notları, 274, Springer-Verlag, 1–12.
• Lawvere, F. W., 1975, "Sürekli Değişken Kümeler: Cebirsel Geometri = Geometrik Mantık", Mantık Kolokyumunun Bildirileri Bristol 1973, Amsterdam: Kuzey Hollanda, 135–153.
• Lawvere, F. W., 1976, "Topoi'de Değişken Nicelikler ve Değişken Yapılar", Cebir, Topoloji ve Kategori Teorisi, New York: Academic Press, 101–131.
• Lawvere, F. W., 1992, “Mekân ve Nicelik Kategorileri”, Matematiğin Uzayı, İletişim ve Bilişin Temelleri, Berlin: De Gruyter, 14–30.
• Lawvere, F. W., 1994a, "Cohesive Toposes and Cantor's lauter Ensein", Philosophia Mathematica, 2 (1): 5–15.
• Lawvere, F. W., 1994b, "Nesnel Mantığın İlerlemesi için Araçlar: Kapalı Kategoriler ve Topozlar", Bilişin Mantıksal Temelleri (Bilişsel Bilimlerde Vancouver Araştırmaları, Cilt 4), Oxford: Oxford University Press, 43-56.
• Lawvere, F. W., 2000, "Topos Teorisinin Gelişimi Üzerine Yorumlar", Matematiğin Gelişimi 1950–2000, Basel: Birkhäuser, 715–734.
• Lawvere, F. W., 2002, "Süreklilik Mikro Fiziği için Kategorik Cebir", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 175 (1–3): 267–287.
• Lawvere, F. W., 2003, “Temeller ve Uygulamalar: Aksiyomlaştırma ve Eğitim. Matematiğin Temelinde Yeni Programlar ve Açık Problemler ”, Sembolik Mantık Bülteni, 9 (2): 213–224.
• Lawvere, F.W. & Rosebrugh, R., 2003, Set for Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
• Lawvere, F.W. & Schanuel, S., 1997, Kavramsal Matematik: Kategorilere İlk Giriş, Cambridge: Cambridge University Press.
• Leinster, T., 2002, "n-kategorilerinin Tanımları Üzerine Bir Araştırma", Kategoriler Teorisi ve Uygulamaları, (elektronik), 10: 1–70.
• Lurie, J., 2009, Yüksek Topos Teorisi, Princeton: Princeton University Press.
• Mac Lane, S., 1950, "Gruplar için Dualiteler", Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 56: 485-516.
• Mac Lane, S., 1969, "Kategoriler ve Kümeler için Temeller", Kategori Teorisi, Homoloji Teorisi ve Uygulamaları II, Berlin: Springer, 146–164.
• Mac Lane, S., 1969, "Kategori Teorisinin Temeli Olarak Bir Evren", Ortabatı Kategori Semineri Raporları III, Berlin: Springer, 192–200.
• Mac Lane, S., 1971, "Kategorik cebir ve Küme-Teorik Temeller", Aksiyomatik Küme Teorisi, Providence: AMS, 231–240.
• Mac Lane, S., 1975, "Kategorilerde Kümeler, Topoi ve İçsel Mantık", Mantıkta Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri (Cilt 80), Amsterdam: Kuzey Hollanda, 119-134.
• Mac Lane, S., 1981, "Matematiksel Modeller: Matematik Felsefesi İçin Bir Taslak", American Mathematical Monthly, 88 (7): 462–472.
• Mac Lane, S., 1986, Matematik, Form ve İşlev, New York: Springer.
• Mac Lane, S., 1988, "Perspektifte Kavramlar ve Kategoriler", Amerika'da Bir Yüzyıl Matematik, Bölüm I, Providence: AMS, 323–365.
• Mac Lane, S., 1989, "Matematiksel Fikirlerin Çarpışma Yoluyla Gelişimi: Kategoriler ve Topos Teorisi Örneği", Kategorik Topoloji ve Analiz, Cebir ve Kombinatoriklerle İlişkisi, Teaneck: World Scientific, 1–9.
• Mac Lane, S., 1996, “Matematikte Yapı. Matematiksel Yapısalcılık ”, Philosophia Mathematica, 4 (2): 174–183.
• Mac Lane, S., 1997, "Matematiğin Protean Karakterinin Kategorik Temelleri", Günümüz Matematik Felsefesi, Dordrecht: Kluwer, 117–122.
• Mac Lane, S., 1998, Çalışan Matematikçi Kategorileri, 2. baskı, New York: Springer-Verlag.
• Mac Lane, S. & Moerdijk, I., 1992, Sheaves in Geometry and Logic, New York: Springer-Verlag.
• MacNamara, J. & Reyes, G., (editörler), 1994, The Logical Foundation of Cognition, Oxford: Oxford University Press.
• Makkai, M., 1987, "Birinci Derece Mantık için Taş İkili", Matematikteki Gelişmeler, 65 (2): 97–170.
• Makkai, M., 1988, "Birinci Derece Mantık için Güçlü Kavramsal Bütünlük", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 40: 167–215.
• Makkai, M., 1997a, "Tamlık Teoremleri I için Çerçeve Olarak Genelleştirilmiş Eskizler", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 115 (1): 49-79.
• Makkai, M., 1997b, "Tamlık Teoremleri için Çerçeve Olarak Genelleştirilmiş Eskizler II", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 115 (2): 179–212.
• Makkai, M., 1997c, "Tamlık Teoremleri III için Çerçeve Olarak Genelleştirilmiş Eskizler", Saf ve Uygulamalı Cebir Dergisi, 115 (3): 241–274.
• Makkai, M., 1998, "Matematiğin Kategorik Temeline Doğru", Mantıkta Ders Notları (Cilt 11), Berlin: Springer, 153–190.
• Makkai, M., 1999, "Matematikte Yapısalcılık Üzerine", Dil, Mantık ve Kavramlar, Cambridge: MIT Press, 43-66.
• Makkai, M. & Paré, R., 1989, Erişilebilir Kategoriler: Kategorik Model Teorisinin Temelleri, Çağdaş Matematik 104, Providence: AMS.
• Makkai, M. & Reyes, G., 1977, First-Order Categorical Logic, Springer Lecture Notes in Mathematics 611, New York: Springer.
• Makkei, M. & Reyes, G., 1995, "Kategorik Bir Ortamda Sezgisel ve Modal Mantık için Tamlık Sonuçları", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 72 (1): 25–101.
• Marquis, J.-P., 1993, "Russell's Logicism and Categorical Logicisms", Russell and Analytic Philosophy, AD Irvine & GA Wedekind, (ed.), Toronto, University of Toronto Press, 293-324.
• Marquis, J.-P., 1995, "Kategori Teorisi ve Matematiğin Temelleri: Felsefi Kazılar", Synthese, 103: 421-447.
• Marquis, J.-P., 2000, "Matematikte Üç Tür Evrensel mi?", Mantıksal Sonuç: Rakip Yaklaşımlar ve Tam Felsefede Yeni Çalışmalar: Mantık, Matematik ve Bilim, Cilt. II, B. Brown ve J. Woods (editörler), Oxford: Hermes, 191–212.
• Marquis, J.-P., 2006, "Kategoriler, Kümeler ve Matematiksel Varlıkların Doğası", The Age of Alternative Logics. Günümüzde mantık ve matematik felsefesini değerlendiren J. van Benthem, G. Heinzmann, Ph. Nabonnand, M. Rebuschi, H. Visser (ed.), Springer, 181–192.
• Marquis, J.-P., 2009, Geometrik Bir Bakış Açısından: Kategori Teorisinin Tarih ve Felsefesinde Bir Araştırma, Berlin: Springer.
• Marquis, J.-P. & Reyes, G., “The History of Categorical Logic: 1963–1977”, Handbook of the History of Logic, Cilt. 6, D. Gabbay & J. Woods, editörler, Amsterdam: Elsevier.
• McLarty, C., 1986, "Left Exact Logic", Journal of Pure and Applied Algebra, 41 (1): 63–66.
• McLarty, C., 1990, "Topos Teorisi Tarihinin Kullanımları ve Suistimalleri", British Journal for the Philosophy of Science, 41: 351–375.
• McLarty, C., 1991, "Kategori Kategorisini Aksiyomatize Etmek", Journal of Symbolic Logic, 56 (4): 1243–1260.
• McLarty, C., 1992, Elementary Categories, Elementary Toposes, Oxford: Oxford University Press.
• McLarty, C., 1993, "Sayılar Tam Olması Gerekenler Olabilir", Hayır, 27: 487-498.
• McLarty, C., 1994, "Gerçek Zamanlı Kategori Teorisi", Philosophia Mathematica, 2 (1): 36–44.
• McLarty, C., 2004, "Kategorik Yapısalcılığı Keşfetmek", Philosophia Mathematica, 12: 37–53.
• McLarty, C., 2005, "Kategorik Temeller Üzerine Sorulardan Öğrenme", Philosophia Mathematica, 13 (1): 44–60.
• McLarty, C., 2006, "Emmy Noether's set-teorik topology: Dedekind'den functors'un yükselişine", The Architecture of Modern * * Mathematics, JJ Gray & J. Ferreiros, Oxford: Oxford University Press, 187–208.
• Moerdijk, I., 1984, "Heine-Borel Fan Teoremini ima etmez", Journal of Symbolic Logic, 49 (2): 514–519.
• Moerdijk, I., 1995a, "Sezgisel Standart Dışı Aritmetik için Bir Model", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 73 (1): 37-51.
• Moerdijk, I., 1998, "Kümeler, Topoi ve Sezgisellik", Philosophia Mathematica, 6 (2): 169-177.
• Moerdijk, I. & Palmgren, E., 1997, "Heyting Aritmetiğinin Minimal Modelleri", Sembolik Mantık Dergisi, 62 (4): 1448-1460.
• Moerdijk, I. & Palmgren, E., 2002, “Tip Teorileri, Topozlar ve Yapıcı Kümeler Teorisi: AST'nin Tahmin Yönleri”, Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 114 (1–3): 155–201.
• Moerdijk, I. & Reyes, G., 1991, Pürüzsüz Sonsuz Küçük Analiz Modelleri, New York: Springer-Verlag.
• Pareigis, B., 1970, Categories and Functors, New York: Academic Press.
• Pedicchio, M. C. & Tholen, W., 2004, Categorical Foundations, Cambridge: Cambridge University Press.
• Peirce, B., 1991, Bilgisayar Bilimcileri için Temel Kategori Teorisi, Cambridge: MIT Press.
• Pitts, A. M. & Taylor, P., 1989, "Yerel Kartezyen Kapalı Kategorilerde Russell'ın Paradoksunun Bir Notu", Studia Logica, 48 (3): 377–387.
• Pitts, A. M., 1987, "Kategori Teorisi Yoluyla Pretopozlar için İnterpolasyon ve Kavramsal Tamlık", Matematiksel Mantık ve Teorik Bilgisayar Bilimi (Saf ve Uygulamalı Matematikte Ders Notları, Cilt 106), New York: Dekker, 301–327.
• Pitts, A. M., 1989, "Birinci Derece Sezgisel Mantık için Kavramsal Tamlık: Kategorik Mantığın Bir Uygulaması", Saf ve Uygulamalı Mantığın Yıllıkları, 41 (1): 33–81.
• Pitts, A. M., 1992, "Birinci Dereceden Önermeli Sezgisel Mantıkta İkinci Dereceden Nicelemenin Yorumlanması Üzerine", Sembolik Mantık Dergisi, 57 (1): 33-52.
• Pitts, A. M., 2000, "Categorical Logic", Handbook of Logic in Computer Science, Cilt 5, Oxford: Oxford University Press, 39-128.
• Plotkin, B., 2000, “Cebir, Kategoriler ve Veritabanları”, Cebir El Kitabı, Cilt. 2, Amsterdam: Elsevier, 79–148.
• Porter, T., 2004, "Kategorik Perspektiften Çok Etmenli Sistemler için Yorumlanan Sistemler ve Kripke Modelleri", Teorik Bilgisayar Bilimi, 323 (1–3): 235–266.
• Reyes, G., 1991, "Referans ve Modaliteye Topos-teorik Yaklaşım", Notre Dame Journal of Formal Logic, 32 (3): 359-391.
• Reyes, G. & Zawadowski, M., 1993, "Yerel Ayarlarda Modal Operatörler için Biçimsel Sistemler", Studia Logica, 52 (4): 595-613.
• Reyes, G. & Zolfaghari, H., 1991, "Modaliteye Topos-teorik Yaklaşımlar", Kategori Teorisi (Como 1990) (Matematikte Ders Notları, Cilt 1488), Berlin: Springer, 359-378.
• Reyes, G. & Zolfaghari, H., 1996, "İkiye Bölünen Cebirler, Topozlar ve Yöntemler", Felsefi Mantık Dergisi, 25 (1): 25–43.
• Reyes, G., 1974, "Sheaves to Logic", Studies in Algebraic Logic, A. Daigneault, ed., Providence: AMS.
• Rodabaugh, S. E. & Klement, E. P., eds., Bulanık Kümelerde Topolojik ve Cebirsel Yapılar: Bulanık Kümelerin Matematiğinde Son Gelişmelerin El Kitabı (Mantıkta Eğilimler, Cilt 20), Dordrecht: Kluwer.
• Scedrov, A., 1984, Topoi Zorlama ve Sınıflandırma, Providence: AMS.
• Scott, PJ, 2000, "Bilgisayar Biliminde Kategorilerin Bazı Yönleri", Handbook of Algebra, Cilt. 2, Amsterdam: Kuzey Hollanda, 3–77.
• Seely, R. A. G., 1984, "Yerel Kartezyen Kapalı Kategoriler ve Tür Teorisi", Cambridge Matematik Derneği Matematiksel İşlemleri, 95 (1): 33–48.
• Shapiro, S., 2005, "Kategoriler, Yapılar ve Frege-Hilbert Tartışması: Metamatatiğin Durumu", Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77.
• Sica, G., ed., 2006, Kategori Teorisi Nedir?, Firenze: Polimetrica.
• Taylor, P., 1996, "Sezgisel kümeler ve Sıralar", Sembolik Mantık Dergisi, 61: 705–744.
• Taylor, P., 1999, Matematiğin Pratik Temelleri, Cambridge: Cambridge University Press.
• Tierney, M., 1972, "Demet Teorisi ve Süreklilik Hipotezi", Toposes, Cebirsel Geometri ve Mantık, FW Lawvere (ed.), Springer Lecture Notes in Mathematics 274, 13-42.
• Van Oosten, J., 2002, "Gerçekleştirilebilirlik: Tarihsel Bir Deneme", Bilgisayar Bilimlerinde Matematiksel Yapılar, 12 (3): 239-263.
• Van Oosten, J., 2008, Gerçekleştirilebilirlik: Kategorik Tarafına Giriş (Mantıkta Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri, Cilt 152), Amsterdam: Elsevier.
• Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984a, "Seçim Dizileri için Sheaf Models", Annals of Pure and Applied Logic, 27 (1): 63–107.
• Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984b, "Spreadler Tarafından Belirlenen Seçim Dizileri Üzerine", Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 908–916.
• Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984c, "Komşuluk Fonksiyonlarının Kanunsuz Dizileri için Seçim Dizilerinin Oluşturulması", Modeller ve Kümeler (Matematikte Ders Notları, Cilt 1103), Berlin: Springer, 207–234.
• Wood, RJ, 2004, "Adjunctions aracılığıyla Sıralı Setler", Categorical Foundations, MC Pedicchio & W. Tholen, editörler, Cambridge: Cambridge University Press.
• Yanofski, N., 2003, "Kendine Gönderme Paradokslarına, Eksikliğe ve Sabit Noktalara Evrensel Bir Yaklaşım", Sembolik Mantık Bülteni, 9 (3): 362-386.

 

Dış bağlantılar

• (tr) Kategori teorisi , McGill Üniversitesi web sitesinde (Kanada)
• (tr) Jiří Adámek, Horst Herrlich ve George E. Strecker, Soyut ve Somut Kategoriler. Kedilerin Sevinci

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">