Kümeler kuramı dalıdır matematik yarattığı, matematikçi Alman Georg Cantor sonunda XIX inci yüzyılın.
Kümeler teorisi, matematiğin olağan nesnelerini yeniden yapılandırdığı küme ve üyelik kavramlarını ilkel olarak verilir : fonksiyonlar , ilişkiler , doğal , göreli, rasyonel tamsayılar , gerçek sayılar, kompleksler… Kümeler teorisinin nedeni budur . küme teorisi bir olarak kabul edilir temel teori Hilbert matematikçiler için Cantor tarafından oluşturulan bir "cennet" olduğunu söyleyebiliriz.
Cantor, matematik için bir temel sağlamanın yanı sıra, yeni sayılar ( sıra sayıları ve kardinaller ) kullanılarak ölçülebilen ve karşılaştırılabilen birkaç sonsuzluk türü olduğu fikri de dahil olmak üzere, küme teorisi ile radikal olarak yeni kavramlar tanıttı .
Modernliği nedeniyle, küme teorisi, özellikle yapıcı veya sezgisel matematiğin belirli ilkeleriyle çelişen sonsuz kümelerin varlığını varsaydığı için acı bir şekilde tartışmalıydı .
Başında XX inci yüzyıl, matematikçileri led çeşitli faktörler bir geliştirmeye aksiyomatik keşfini: Küme öğretisine paradoksları gibi Russell paradoksu , ama özellikle etrafında sorgulama sürekli hipotezi bütün kavramının kesin bir tanımını gerektiriyordu. Birkaç yol açtı Bu biçimsel yaklaşım aksiyomatik sistemlerde , varlık bilinen en iyi ZF aksiyomları değil, aynı zamanda sınıfların teorisi arasında von Neumann veya türlerinin teori arasında Russell .
Cantor . Tekliği sorunları üzerinde çalışırken o erken 1880'lerde tanıtıldı küme teorisinin ana yaratıcısı olan öyleydi trigonometrik serinin Cantor kavramını tanımlamak neden olduğu 1870'lerde . Türetme setleri gerçek sayılar : Bir dizi verilen bir gerçek sayılar, türevi arasından edilir olan bütün izole edilmiş noktaları kaldırılmıştır . Örneğin, seti alırsak, her sayı izole edilir, böylece basitçe olur . Bu son küme de türev olabilir ve türevi boş kümedir.
Şimdi alırsak, o zaman her biri izole edilir , ancak artık değildir, dolayısıyla türev de öyledir . Dolayısıyla bütünün üç kez farklılaştırılabileceğini görebiliriz.
Bu işlemi yineleme, biz bu nedenle bir dizi gerçekleştirebilmesi aşağıdaki anlamda kez sonsuz sayıda elde gerçek sayılar: Biz gösterdiği takdirde bir inci türevi daha sonra setleri (dahil edilmesi için), azalan bir sekans meydana getirir; sonsuz türevi , gösterdiğimiz her şeyin kesişimidir . Ancak burada bitmiyor: Cantor , izole noktaları içeren gerçek setlerinin varlığını keşfetti , bu nedenle hala ayırt edilebilir. Böylece sonsuz + 1 zaman, sonsuz + 2 kez, ..., 2 sonsuzluk vb. Türetebileceğimiz kümeler vardır. Bu nedenle bir sonsuzluk aritmetiği varmış gibi görünüyordu ve Cantor bunu açıklayarak kümeler teorisini geliştirdi.
Temel fikir tanımlamaktır equipotence iki set: A ve B olan , eş değerde veya aynı olması önem düzeyi her bir elemanı ile ilişkilendirmek için bir yol olup olmadığını (sonlu elemanların aynı sayıda), A ve tek bir eleman ve B ve tersi. Biz böylece kümesi olduğunu gösterebilir doğal tamsayılar kümesi ile aynı önem düzeyi olan bir rasyonel sayılar o halde, bir olan öz alt kümesidir arasında . Bu iki kümenin sonsuz sayılabilir olduğu söyleniyor . Öte yandan, gerçek sayılar kümesi veya ile aynı önem derecesine sahip değildir , ancak sürekliliğin gücü olarak adlandırılan daha yüksek bir kardinaliteye sahiptir . Cantor, neyin sayılamayacağına dair iki kanıt verdi ve Cantor'un köşegen argümanı olarak bilinen bir argümanı kullanan ikincisi, olağanüstü derecede etkili oldu ve mantık ve matematikte birçok ve çeşitli uygulamalara sahip oldu.
Cantor teoriyi derinleştirdi ve sonsuz kümeler, sıra sayıları ve kardinal sayılardan oluşan sonsuz hiyerarşiler inşa etti . Bu yapılar, onun zamanında tartışmalıydı, muhalefet, finitist Leopold Kronecker tarafından yönetiliyordu ; ancak bugün matematikçilerin çoğu tarafından kabul edilmektedir.
Bir kümenin önemliliği kavramı, Cantor'u temel teşkil edecek bir soru sormaya yöneltti: Sayılamayan (kesinlikle onlardan daha fazla öğeye sahip ) ama aynı zamanda sürekli güce sahip olmayan (kesinlikle daha az öğeye sahip ) gerçek kümeleri var mı? daha )? Bu soru ( süreklilik hipotezi olarak bilinen olası olumsuz yanıtı ) Cantor'un yaşamı boyunca bir yanıt alamadı ( Gödel 1938'de ilk yarı yanıtı almadı) ancak bir yanıt ortaya çıkardı. Çok sayıda çalışma ve özellikle aksiyomatik küme teorisinin gelişimi.
Cantor'un teorisi, henüz kesin bir aksiyomatik kullanmadığı için " naif " olarak kabul edilir ve ona göre sadece bir küme kuramı, bir beklenen küme evreni varken Today'in küme kuramcıları farklı evrenlerle hokkabazlık yapar.
Bundan sonra, Cantor için, teorisini , uzantı aksiyomunun ve özünde bize izin verecek olan anlama aksiyomlarının aşırı güçlü bir versiyonunun zımni kullanımı ile özetleyerek, yeterince basitleştirmeyi başardık. Bu özelliği doğrulayan tüm nesneleri herhangi bir özellikle ilişkilendirmek için. Cantor'a atfetmeyeceğimiz böyle bir teori çelişkilidir. İki paradoks ailesine yol açar. Gibi bazı, Berry paradoksundaki veya Richard'ın paradoks , dil de olduğu gibi, başkalarını tanımlı değil gerçeği ile ilgilidir Russell'ın paradoksu veya büyük kardinal paradoksu için, çok geniş bir dilin kullanılması anlayış. : Biz seti kurmak için çalıştıklarında S = {A | A∉A} kendilerine ait olmayan tüm setler arasında bir çelişki ile karşılaşırız. Zermelo tarafından önerilen mevcut anlayış aksiyomları şeması, bu paradokstan kaçınmak için sınırlandırılmıştır.
Cantor, Russell'ın paradoksunu keşfetmeden önce, daha karmaşık paradoksları biliyordu, ancak aynı nitelikteki, Burali-Forti paradoksu veya en büyük kardinalin paradoksu gibi . Birçok dizi teorisyenleri (aşağıya bakınız) Cantor tarafından geliştirilen teori için en uygun aksiyomlaştırılması aksiyomu kurmakla ZFC teori olduğunu kabul veya sınıf teorisi arasında von Neumann , Gödel ve Bernays'ın. Hangi can (belli bir anlamda, kesin yapılmalı), eşdeğer.
Yüzyılın başlarında, Cantor giderek onun sinir koşulu ile engelli ama paradoks olan çözümler yazışmalar sirküle ve sonunda bilinir olduğu XIX inci dan yüzyılda Richard Dedekind ve Göttingen David Hilbert ve attı tarafından Ernst Zermelo . Bununla birlikte, zamanın birçok matematikçisine göre, paradokslar küme teorisinin geçerliliği konusunda şüphe uyandırıyor, Cantor'un önerdiği çözümler onları tanıyanları ikna etmek için fazla gayri resmi. Bazıları, aynı zamanda Hilbert tarafından geometrinin temelleri için gösterilen (1899) aksiyomatik yönteme doğru ilerliyor.
Böylece, 1908 , Ernst Zermelo bir sistemi inşa aksiyomlardan grubu teorisine. Genişletme aksiyomunun yanı sıra, bu aksiyomları, kavrama aksiyomları şemasının çelişkili versiyonunun paradoksların türetilmesine izin vermeyen yararlı özel durumlarla sınırlandırılması olarak görülebilir. Bu sistemde, aynı zamanda (1904'te) iyi düzen teoremini gösterdiği ve aynı zamanda dolaylı olarak kullandığı , çok tartışmalı bir aksiyom olan (anlamakla ilgisi olmayan) seçim aksiyomunu da içerir. Cantor. Zermelo'nun sistemi 1920'lerde tamamlandı Abraham Adolf Fraenkel ve Thoralf Skolem , yerine geçen aksiyom şemasını (başka bir kısıtlanmamış anlayış durumu) ekleyerek bugün ZF (seçim aksiyomu olmadan) veya ZFC (aksiyomu ile ) olarak bilinen teoriyi vererek tercih). Diğer yazarlar beri küme kuramı, özellikle bir aksiyomlaştırılması sorununa üzerinde çalışmış John von Neumann için çok ilginç bir alternatif tanımlı ZF : sınıf teorisi .
Seçim aksiyomu, 1904'ten Ernst Zermelo'nun bir yayında , yani küme teorisinin aksiyomatizasyonunun yayınlanmasından önce açıkça ortaya çıktı . Seçim aksiyomu gerçekten de daha sonra belirtilen diğer küme teorisinden farklı bir doğaya sahiptir ve bu aksiyomların çoğu, kısıtlanmamış anlayışın dikkatli bir analizinden kaynaklanmaktadır . Aslında seçim aksiyomu, yapılandırılmış kümenin açık bir tanımını vermez (sürüme bağlı olarak seçim kümesi veya seçim işlevi). Öte yandan, 1904 tarihli makalesinde Zermelo, seçim aksiyomuyla, herhangi bir kümenin iyi sıralanabileceğini söyleyen ünlü teoremini gösterir ; bu, yalnızca 'gerçekler kümesi için de olsa, sezgisel olarak açık hiçbir şeyi olmayan bir önermedir. Seçim aksiyomu en azından Georg Cantor tarafından zımnen kullanıldı , ancak Zermelo'nun yayını zamanın matematikçileri arasında hararetli tartışmalara yol açtı.
Üstelik seçim aksiyomu matematiksel sonsuzlukla çok ilgilidir, aslında seçim aksiyomu sonlu sayıda seçim için sezgisel olarak doğrudur ve dahası bu durumda küme teorisinin diğer aksiyomlarından tamamen gösterilebilir. Şimdi, paradoksların keşfiyle tetiklenen tartışmanın ortasındayız. Çeşitli matematiksel sonsuzluk kavramları sonra çatışır. Bu , sezgiselliğin kurucusu Luitzen Egbertus Jan Brouwer tarafından matematiğin temellerinin radikal bir şekilde sorgulanmasına kadar gidecektir ve seçim aksiyomunun oldukça yukarısında yer alan dışlanmış üçüncü taraf ilkesini reddeder . Ancak o zamanlar, o zamana kadar ileri gitmeyen ve bazı yapıcı olmayan akıl yürütme biçimlerini kabul eden bazı matematikçiler, seçim aksiyomuna karşı ihtiyatlı davrandılar. Émile Borel 1950'de tekrar yazdı: “Zermelo'nun aksiyomunun muhalifleri tarafından elde edilen önemli bir sonuçtur ki, bu aksiyomu kabul edenlerin, yeni bir teorem elde ettiklerinde, bu teoremin ispatının, Zermelo'nun aksiyomunun kullanılması. Bu aksiyom böylece ayrı bir matematik dalı yarattı; bu şubenin önemi ve ilgisi kaderini belirleyecektir. " Hala diyebiliriz ki, bugün matematiğin önemli dallarında kullanıldığını gördük, seçim aksiyomu geniş çapta kabul görüyor.
Bu, Gödel'in çalışmasından, seçim aksiyomunu kabul etmenin daha “riskli” olmadığını bildiğimiz için, bu anlamıyla, ZFC teorisinin tutarsız olması durumunda ZF teorisinin de (bağımsızlık sonuçlarıyla ilgili bölüme bakınız) aşağıda küme teorisinde).
Sayılabilir seçim aksiyomu gibi (örneğin, sayılabilir kümelerin sayılabilir bir birleşiminin sayılabilir olduğunu göstermeyi mümkün kılan ), kendisi de sayılabilir kümelerin aksiyomunun bir sonucu olan, seçim aksiyomunun kısıtlamalarını da belirledik . bağımlı seçim (örneğin temelsiz bir ilişki için sonsuz bir azalan dizinin varlığını göstermeye izin verir ). Böylelikle Robert Solovay 1970 yılında ZF + bağımlı seçim aksiyomu + gerçeklerin herhangi bir alt kümesi teorisinin tutarlılığını Lebesgue ile ölçülebilirdir, bu nedenle tüm genelliği ile seçim aksiyomuyla çelişen bir teori, ZF + il teorisine göre erişilemez bir teori vardır. kardinal (ZF'nin tutarlılığını göstermeyi mümkün kılan ZF teorisinin pekiştirilmesi). Bununla birlikte, sayılabilir seçim aksiyomu cebirsel geometride yetersizdir, çünkü cebirsel olarak kapalı alanların işlenmesi , seçim aksiyomuna eşdeğer Zorn'un lemmasını gerektirir ; bu nedenle herhangi bir alanın cebirsel olarak kapalı bir alana daldırılabileceği teorem, genel seçim aksiyomuna dayanır.
Seçim aksiyomunun yol açtığı tuhaflıkların en iyi örneklerinden biri, 1924'te yayınlanan Banach-Tarski paradoksudur ve seçim aksiyomunu kullanarak, bir kürenin sınırlı sayıda parçaya bölünebileceğini ve onları hareket ettirebileceğini belirtir. bir dizi katı hareketle ( öteleme ve döndürme ), belirli parçaların diğerlerinden geçmesine ve onları bir araya getirmesine izin vererek orijinal kürenin iki kopyasını oluşturur. Bu, hacim kavramına dair fiziksel sezgimizle çelişiyor gibi görünüyor, ancak Banach-Tarski paradoksu ölçülemeyen kısımları içeriyor.
Küme teorisi, ZF , Sınıf teorisi , Tip teorisi için aksiyomatik sistemler, en azından matematiğin temellerini temsil etmeyi mümkün kılması bakımından eşdeğerdir. Bunların arasında ZF en yaygın olanıdır ve bu yüzden burada gayri resmi bir tanımını yapıyoruz.
Orijinal Zermelo aksiyomlarına dayanan teori, Zermelo teorisi veya Z teorisi olarak adlandırılır . Bunu Fraenkel'in yerine koyma aksiyomuyla tamamlarsak , Zermelo-Fraenkel teorisini veya daha basitçe ZF teorisini elde ederiz , ancak aksiyomların son şekli Skolem'e bağlıdır. Buna seçim aksiyomunu eklediğimizde, ZFC teorisini (“seçim” için “C”) elde ederiz .
ZF teorisinin önemli bir yönü, ilgilendiği tüm nesnelerin kümeler olması ve yalnızca kümeler olabilmesidir. Özellikle, bir kümenin her bir öğesi bir kümedir. Sayılar gibi diğer tanıdık matematiksel nesneler bu nedenle kümeler halinde tanımlanmalıdır.
Açıkçası, ZF'nin aksiyomları, üyelik için tek bir ilkel sembole sahip bir dilde eşitlikçi birinci dereceden yüklemlerin hesaplanmasının basit ifadeleridir ( ikili ilişki ). Bundan sonra gelenler, bu nedenle yalnızca bu aksiyomların beklenen anlamını Fransızca'da ifade etme girişimi olarak görülmelidir. Dahası, ayırma (veya kavrama) aksiyomu ve ikame aksiyomu aslında sonsuz aksiyom şemalarıdır.
Küme teorisindeki ilk dikkate değer bağımsızlık sonuçları , seçim aksiyomunun ZF teorisi ile uyumlu olduğunu, diğer bir deyişle ZF teorisi tutarlıysa , ZFC teorisinin de tutarlı olduğunu gösteren Kurt Gödel'in sonuçlarıdır . ZF veya ZFC'ye göre süreklilik hipotezi için de aynı sonucu gösterir. Gödel, iç mekan modelleri yöntemi olarak adlandırılan yöntemi kullanır; bu, örneğin seçim aksiyomunu tam olarak karşılamayan bir ZF modelinde, bunun seçim aksiyomunu karşılayan yeni bir üyelik ilişkisine sahip bir alt sınıfını inşa etmek anlamına gelir. Bu nedenle ZFC teorisindeki bir çelişki, ZF teorisinin çelişkisine yol açar.
Paul Cohen , 1963'te, süreklilik hipotezinin (HC) olumsuzlamasının ZFC teorisi ile uyumlu olduğunu gösterir: ZFC teorisi tutarlıysa , o zaman ZFC + teorisi (HC olmayan) da tutarlıdır. Getirdiği yöntem, zorlayarak , küme teorisinde muazzam bir başarıya sahip olmaktı. Yeniden formüle edilmiş, genişletilmiş, yinelenmiş (içinde) , birçok bağımsızlık sonucu gösterilmesine izin verdi.
Önceki bağımsızlık sonuçları équicohérence (veya équiconsistance) sonuçlarına dayanmaktadır , örneğin ZF teorisinin tutarlılığı ZF + AC tutarlılığı getirir (tersi açıktır). Ancak, büyük kardinallerin aksiyomları gibi diğer aksiyomlar için durum böyle değildir: ZFC + teorisinde "erişilemez bir kardinal vardır", bir ZFC modelinin varlığını gösterebiliriz, yani bu teori. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi , erişilemeyen bir kardinalin varlığının ZFC'de kanıtlanamayacağı sonucuna varmamızı sağlar (elbette bu son teorinin tutarlı olduğunu varsayarsak). İkinci eksiklik teoremi bu nedenle bağımsızlık sonuçlarının gösterilmesini de mümkün kılar. Teorileri karşılaştırmak için daha yaygın olarak kullanılır; tutarlılığını kanıtlayabilen bir teori diğerinden "daha güçlü" olur.