Ergodik teori
Ölçümkal kuramı dalıdır matematik çalışma doğan ölçümkal hipotezi fizikçi tarafından formüle Ludwig Boltzmann onun için 1871 yılında gazların kinetik teorisi . Aynı konuda birkaç farklı ve ayrı istatistiksel analiz yeterince karşılaştırılabilir bir sonuç verirse ergodiklik vardır. Teori teorisi ile yakın ilişkili olarak birçok gelişmeler yaşamıştır dinamik sistemlerin ve kaos teorisi .
Notasyonlar
Gizli dinamikler
Ergodik teoride çalışmanın amacı, aşağıdakileri içeren bir üçlüdür :
((X,B),μ,ϕ){\ displaystyle ((X, B), \ mu, \ phi)}
-
(X,B){\ displaystyle (X, B)}ölçülebilir alan (yani a, kabile üzerinde )B{\ displaystyle B}X{\ displaystyle X}
-
μ{\ displaystyle \ mu}Bir ölçüm üzerine ,(X,B){\ displaystyle (X, B)}
-
ϕ:X→X{\ displaystyle \ phi: X \ ile X arası}ölçümü koruyan bir uygulama , yani:μ{\ displaystyle \ mu}
∀AT∈B, μ(ϕ-1(AT)) = μ(AT){\ Displaystyle \ forall A \ B'de, \ \ mu \ sol (\ phi ^ {- 1} (A) \ sağ) \ = \ \ mu (A)}.
|
Uygulama ayrık bir dinamik oluşturur : bir noktadan başlayarak, ardışık olarak elde ederiz , sonra , vb.
ϕ:X→X{\ displaystyle \ phi: X \ ile X arası}x0∈X{\ displaystyle x_ {0} \ X'te}x1=ϕ(x0){\ displaystyle x_ {1} = \ phi (x_ {0})}x2=ϕ(x1)=ϕ2(x0){\ displaystyle x_ {2} = \ phi (x_ {1}) = \ phi ^ {2} (x_ {0})}
Sürekli dinamikler
Bir önceki uygulamayı X üzerindeki bir akışla , yani aşağıdakiler gibi bir parametre ile sürekli bir grupla değiştirerek çalışmayı sürekli dinamik durumuna genişletebiliriz :
ϕ:X→X{\ displaystyle \ phi: X \ ile X arası} ϕt:X→X{\ displaystyle \ phi _ {t}: X \ ila X}
ϕ0 = bend{\ displaystyle \ phi _ {0} \ = \ \ mathrm {Kimlik}} ;
|
∀ (t,s)∈R2ϕt ∘ϕs = ϕt+s{\ displaystyle \ forall \ (t, s) \, \ içinde \, \ mathbb {R} ^ {2} \, \ quad \ phi _ {t} \ \ circ \ phi _ {s} \ = \ \ phi _ {t + s}}.
|
O içerdiğinden Bu durum özellikle önemlidir Hamilton akışını ait klasik mekanik , hem de jeodezik akışını .
Akış mı yoksa "şelale" mi?
Sürekli durum, ayrık durumu içerir, çünkü her zaman, örneğin zaman birimi için poz vererek, sürekli bir akıştan ayrı bir harita oluşturabiliriz . Analojiyi hidrodinamiğin kelime dağarcığı ile sürdürdüğümüzde, ayrık uygulamaya bazı matematikçiler tarafından bazen “ kademeli ” denir .
ϕ=ϕt=1{\ displaystyle \ phi = \ phi _ {t = 1}}
Ergodikliğin tanımı
Uygulamanın belirli bir ölçü için ergodik olduğu söylenir, ancak ve ancak altındaki herhangi bir ölçülebilir set değişmezi sıfır ölçüye sahipse veya sıfır ölçünün tamamlayıcısı ise.φ:X→X{\ displaystyle \ varphi: X \ rightarrow X}φ{\ displaystyle \ varphi}
|
Ergodiklik, ölçüm teorisindeki indirgenemezlik fikrini yakalar: ergodik bir dinamik sistemin iki değişmez alt sisteme herhangi bir şekilde bölünmesi için, ikisinden biri, sıfır ölçüm setinde yaşadığı için önemsiz veya ihmal edilebilir.
Bu özelliği karşılayan bir uygulama eskiden "metrik olarak geçişli" olarak da adlandırılıyordu.
Basitleştirilmiş önemsiz tanım
Aynı konuda birkaç farklı ve ayrı istatistiksel analiz yeterince karşılaştırılabilir bir sonuç verirse ergodiklik vardır. Tersine, eğer rastgele etkiler bir istatistiksel ölçüden diğerine daha fazla ifade edilirse, örneğin değerlerin aynı büyüklük sırasına göre yeniden üretilmesine izin verilmezse ergodiklik yoktur. Numunenin veya popülasyonun veya hesaplamada dikkate alınan alanın boyutu, çok küçükse ergodikliğin yokluğuna yol açabilir.
Birkhoff'un ergodik teoremi
Zamansal ortalama ve mikrokanonik ortalama
F X üzerinde iyi bir fonksiyon olsun . Zaman ortalama değerini sınıra göre tanımlarız (eğer varsa):
f(x0)¯ = limdeğil→+∞ 1değil ∑k=0değil-1 f(ϕk(x0)){\ displaystyle {\ overline {f (x_ {0})}} \ = \ \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ {\ frac {1} {n}} \ \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ f \ left (\ phi ^ {k} (x_ {0}) \ sağ)}.
|
Bir priori başlangıç durumuna bağlıdır . Biz de tanımlayabilirsiniz mekansal ortalama bir f veya mikrokanonik ortalama ile,:
x0{\ displaystyle x_ {0}}
⟨ f ⟩ = 1μ(X) ∫Xfdμ{\ displaystyle \ langle \ f \ \ rangle \ = \ {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ \ int _ {X} f \, d \ mu}.
|
Uzamsal ortalama ve zamansal ortalamanın, eşit olmak için a priori bir nedeni yoktur.
Birkhoff teoremi (1931)
Uygulama ergodik olduğunda, uzamsal ortalama ve zamansal ortalama hemen hemen her yerde eşittir . Bu sonuç, Birkhoff'un ünlü ergodik teoremini oluşturur .
ϕ{\ displaystyle \ phi}
Ortalama ikamet süresi
Let X olmak ölçülebilir alt kümesi . Biz diyoruz kalma süresi içinde A dinamik sistem tarafından harcanan toplam zaman A evrimi sırasında. Ergodik teoremi bir sonucu olduğunu ortalama kalış süresi ölçü oranına eşit olduğu A ölçülmesi ile X :
AT⊂X{\ displaystyle A \ alt küme X}
limdeğil→∞ 1değil ∑k=0değil-1 χAT(ϕk(x)) = 1μ(X)∫XχATdμ = μ(AT)μ(X){\ displaystyle \ lim _ {n \ sağ ok \ infty} \ {\ frac {1} {n}} \ \ toplamı _ {k = 0} ^ {n-1} \ \ chi _ {A} \ sol (\ phi ^ {k} (x) \ sağ) \ = \ {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int _ {X} \ chi _ {A} \, d \ mu \ = \ {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (X)}}}.
|
burada bir gösterge işlevi arasında A .
χAT{\ displaystyle \ chi _ {A}}
Nüksler
Poincaré indüksiyon teoremi
- Bir noktanın tekrarı: Ölçülebilir bir alt küme olalım . Bir noktanın , ancak ve ancak sonsuz sayıda tamsayı varsa , A'ya göre yinelendiği söylenir :AT⊂X{\ displaystyle A \ alt küme X}x∈AT{\ displaystyle x \ A’da}k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
ϕk(x) ∈ AT\ A} içinde {\ displaystyle \ phi ^ {k} (x) \ \
|
- Poincaré'nin tümevarım teoremi: Ölçülebilir bir alt küme olalım . Yani neredeyse tüm noktalar A üzerinde tekrar ediyor .AT⊂X{\ displaystyle A \ alt küme X}x0∈AT{\ displaystyle x_ {0} \ A}
Ortalama tekrarlama süresi
- Ölçülebilir bir A kümesindeki gibi bir k anına , A'nın oluşum zamanı denir . Bu oluşum anları, sayılabilir bir küme içinde artan sırada sınıflandırılabilir: ile .ϕk(x){\ displaystyle \ phi ^ {k} (x)}{k0,k1,...,kben,...}{\ displaystyle \ {k_ {0}, k_ {1}, \ noktalar, k_ {i}, \ noktalar \}}kben+1>kben{\ displaystyle k_ {i + 1}> k_ {i}}
- Ardışık iki olay anı arasındaki pozitif farklara , A'nın tekrarlama dönemleri denir .rben=kben-kben-1{\ displaystyle r_ {i} = k_ {i} -k_ {i-1}}
Ergodik teoremi bir sonucu olduğunu tekrarlama süresi ortalama A ölçüsü ile ters orantılı olan A başlangıç koşulu varsayımı altında, x ait A , böylece k 0 = 0.
limdeğil→+∞ 1değil ∑ben=1değilrben = μ(X)μ(AT)(neredeyse heryerde){\ displaystyle \ lim _ {n \ ile + \ infty} \ {\ frac {1} {n}} \ \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} \ = \ {\ frac {\ mu (X)} {\ mu (A)}} \ quad {\ mbox {(neredeyse her yerde)}}}.
|
Bu nedenle, A kümesi "ne kadar küçükse" , ona dönmeden önce beklemesi ortalama olarak daha uzun sürer. Ne yazık ki, bu sonuç bize tekrarlama zamanlarının dağılımının standart sapmasını söylemiyor. Örneğin, Ehrenfest , Kac'ın model kavanozları , bu standart sapmanın, modelin toplarının sayısı sonsuza eğilimli olduğunda sonsuz olma eğiliminde olduğunu, böylece zaman ortalamasının tekrarı etrafındaki büyük dalgalanmaların gittikçe daha olası hale geldiği kanıtlanmıştır.
Ergodik hiyerarşi
Karıştırma sistemi
Biz sistem olduğunu söylemek karıştırma ne olursa olsun olaylar (ayarlar) eğer ve de , korelasyon
(Ω,F,μ,T){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mu, T)}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
μ(AT∩T-değil(B))-μ(AT)μ(B){\ Displaystyle \ mu (A \ cap T ^ {- n} (B)) - \ mu (A) \ mu (B)}sonsuza
meylettiği için 0'a meyillidir.
değil{\ displaystyle n}
Hiperboliklik ve Anosov sistemi
Bernoulli sistemi
Ergodik hiyerarşi
Örnek: bir manifolddaki ergodik akış
- Negatif eğriliğe sahip sonlu hacimli bir Riemann manifoldu üzerindeki jeodezik akışın ergodikliği Hopf tarafından 1939'da keşfedildi .
- Jeodezik akış ile SL 2 ( R ) ' nin tek parametreli alt grupları arasındaki ilişki 1952'de Fomin ve Gelfand tarafından kurulmuştur .
- Jeodezik akışın sonlu hacimli yerel simetrik uzaylar üzerindeki ergodikliği Mautner tarafından 1957'de oluşturuldu.
- Bir boyunca homojen akış ergodiklik için basit bir kriter homojen alan a yarı-basit Lie grubunun 1966 Moore tarafından kurulmuştur.
- Bu çalışma alanındaki teoremlerin ve sonuçların çoğu tipik sertlik teorisidir .
- Anosov akışları , SL 2 ( R ) üzerindeki ve daha genel olarak, negatif eğriliğe sahip bir Riemann yüzeyindeki ergodik akışların bir örneğini oluşturur . Bu konudaki gelişmelerin çoğu, sabit negatif eğriliğe sahip hiperbolik manifoldları genelleştirir , bunlar, ayrık bir SO ( n , 1) grubu ile basitçe bağlanan bir hiperbolik uzayın bölüm uzayı olarak görülebilir .
Ergodik teori ve istatistiksel mekanik
Boltzmann'ın ergodik hipotez formülasyonundan bu yana ergodik teoride kaydedilen önemli ilerlemelere rağmen , bunun istatistiksel mekanikte mikrokanonik topluluğun kullanımını haklı çıkarmak için kullanımı günümüze kadar tartışmalıdır.
Açık sorunlar
Matematikçi Sergiy Kolyada ergodik teorideki açık problemlerin bir listesini tutmaktadır.
İlgili Makaleler
Kaynakça
Tarihsel yönler
-
(en) M. Mathieu, "" Ergodik Teori "kavramının kökeni üzerine", Expositions Mathematicae , cilt. 6, 1988, s. 373
-
(tr) Giovanni Gallavotti, Ergodiklik, toplulukları, Boltzmann ve öbür içinde tersinmezliği , 1994, “ chao-din / 9403004 chao-din / 9403004 ” , ücretsiz erişim metin, arXiv .
Orijinal makaleler
-
(en) Eberhard Hopf, "Ergodik teori ve sabit negatif eğriliğin yüzeyinde jeodezik akış", Bull. Acı. Matematik. Soc. , uçuş. 77, n o 6, 1971, s. 863
-
(en) Eberhard Hopf, Büyük Diferansiyel Geometri - 1956 Ders Notları , Matematik 1000 Ders Notları , Springer-Verlag, 1983
-
(en) GA Margulis, "Negatif eğriliğin manifoldunun incelenmesine ergodik teorinin uygulanması", Functional Analysis & Applications , cilt. 3, 1969, s. 355
-
(en) Y. Pesin, "Karakteristik Lyapounov üsleri ve pürüzsüz ergodik teori", Russian Mathematical Surveys , cilt. 32, n, o 4, 1982, p. 54
-
(en) Y. Pesin, "Yörüngelerin ve bunlarla bağlantılı nesnelerin hiperbolik davranışıyla jeodezik akışlar", Russian Mathematical Surveys , cilt. 36, 1981, s. 1
Modern işler
- Yves Coudène, Ergodik teori ve dinamik sistemler , EDP Bilimleri , 2013
-
(en) Vladimir I. Arnold ve André Avez, Klasik Mekaniğin Ergodik Problemleri , İleri Kitap Klasikleri, Pearson Addison Wesley,Mayıs 1989( ASIN 0201094061 )
-
(en) Ya G. Sinai, Ergodik Teoriye Giriş , Princeton University Press , 1976
-
(en) IP Cornfeld, SV Fomin ve YG Sinai, Ergodik Teori , Springer-Verlag , 1982 ( ISBN 3-540-90580-4 )
-
(en) Karl Petersen, Ergodic Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , 1983 ( ISBN 0-521-38997-6 )
-
(en) Yakov Pesin and Luis Barreira, Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory , University Lecture Series 23 , AMS, Providence, 2001 ( ISBN 0-8218-2921-1 )
-
(en) Tim Bedford, Michael Keane ve Caroline Series (editörler), Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Oxford University Press , 1991 ( ISBN 0-19-853390-X )
-
(en) Jean Moulin Ollagnier, Ergodic Theory and Statistical Mechanics , Lecture Notes in Mathematics 1115 , Springer-Verlag, 1985
-
(tr) Henk van Beijeren, "Ergodik Hiyerarşisi" ile ilgili bazı yaygın yanlış günü , 2004, " cond-mat / 0407730 cond-mat / 0407730 " üzerine, açık bir metin, arXiv .
Diğer
-
(en) Joël Lebowitz ve Oliver Penrose, "Modern Ergodik Teori", Physics Today , cilt. 26, 1973, s. 155-175 , pdf
-
(en) David Ruelle , Türevlenebilir dinamik sistemlerin ergodik teorisi , Publ. Matematik. IHES 50 , 1979, s. 27-58 , tam metin pdf formatında mevcuttur
-
(en) Mark Pollicott, Ergodik teori üzerine dersler, jeodezik akışlar ve ilgili konular , Ulm, 2003, ders notları pdf formatında düzeltilmemiş
-
(tr) Charles Pugh ve Michael Shub (ek Alexander Starkov), "Kararlı ergodiklik", Bull. Acı. Matematik. Soc. , uçuş. 41, 2004, s. 1-41 , metin çevrimiçi olarak mevcuttur
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır olan
İngilizce başlıklı
" Ergodik teori " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(inç) George D. Birkhoff, " Ergodik teoremin kanıtı " , PNAS , cilt. 17,1931, s. 656-660.
-
(in) Mark Kac, Olasılık ve Fiziksel Bilimde İlgili Konular , AMS , al. "Uygulamalı Matematik Dizisinde Dersler" ( n o 1a),1957( ISBN 0-8218-0047-7 ).
-
(de) Eberhard Hopf, “Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung”, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. , uçuş. 91, 1939, s. 261-304.
-
(in) Sergei V. Fomin ve İsrail M. Gelfand, "Jeodezik akışlar sabit negatif eğriliğin manifoldlarıdır" Uspehi Mat. Nauk , cilt. 7, 1 numara, 1952, s. 118-137 .
-
(in) FI Mautner üzere, "Jeodezik akımları simetrik Riemann alanlardır" matematik Annals , vol. 65, 1957, s. 416-431
-
(inç) CC Moore, "Akışın ergodikliği homojen uzaylardır", Amer. J. Math. , uçuş. 88, 1966, s. 154-178
-
Örneğin teorik fizikteki dergi makalelerini okuyun:
-
(en) George W. Mackey, "Ergodik Teori ve İstatistiksel Mekanik ve Olasılık Teorisi için Önemi", Matematikteki Gelişmeler , cilt. 12, n o 2, 1974 s. 178-268 ;
-
(en) Oliver Penrose, "İstatistiksel Mekaniğin Temelleri", Fizikte İlerleme Raporu , cilt. 42, 1979, s. 1937-2006 ;
-
(tr) Domokos Szasz, “Botzmann'ın ergodik hipotezi, yüzyıllardır bir varsayım mı? », Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapeşte) , cilt. 31, 1996, s. 299-322 , Postscript biçiminde metin ;
yanı sıra felsefi denemeler:
-
(en) Massimiliano Badino, Ergodik Teorinin Temel Rolü , 2005, Word formatında metin ;
-
(tr) Jos Uffink, Klasik istatistiksel fiziğin temellerinin özeti , 2006, pdf formatında metin .
-
(in) Dinamik Sistemler ve Ergodik Teoride Açık Problemler , Sergiy Kolyada sitesi.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">