Gelen matematik ve daha kesin olarak cebir , Abel teoremi de denir, Abel Teoremi veya Ruffini teoremi , tam sayılar için belirtir , n 5'e eşit ya da daha büyük, "artık ile“ifade eden genel bir formül yoktur kökleri arasında herhangi bir polinomun bir derecesi , n , sadece katsayıları 1 değeri, kullanılarak formül demek ki, dört işlemler ve ekstraksiyonu n inci kökleri . This kontrast derece 2 , 3 ve 4 , örneğin genel formül olan en çok bilinen, mevcut olduğu için bu çözümleri ifade derecesi 2 için, ax 2 + bx + c = 0 formu ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a .
Bu sonuç önce Paolo Ruffini tarafından ifade edildi , ardından Niels Henrik Abel tarafından titizlikle kanıtlandı . Évariste Galois tarafından yapılan daha sonraki bir teorem, bir polinom denkleminin radikaller tarafından çözülebilir olması için gerekli ve yeterli bir koşul sağlar. Bu daha kesin versiyon , karmaşık kökleri - d'Alembert-Gauss teoremine göre var olan - radikallerle ifade edilmeyen tamsayı katsayıları olan 5. derece denklemlerin sergilenmesini mümkün kılar .
Bu makalede ele alınan tüm alanların değişmeli ve sıfır karakteristiği olduğu varsayılmıştır .
Abel teoremi ve d'Alembert-Gauss teoremi , denklem teorisinin iki temel teoremidir , yani polinom veya eşdeğer denklemlerle ilgilenen teori . Bir denklemin, P ( x ) = 0 formundaysa polinom olduğu söylenir , burada P bir polinomu belirtir. D'Alembert-Gauss teoremi, karmaşık katsayılara sahip bir polinom denkleminin en az bir karmaşık köke sahip olduğunu gösterir.
Newton veya Laguerre'nin yöntemi gibi sayısal yöntemler , denklemin derecesine bakılmaksızın uygulanır. Eğer n , polinomun derecesi, küçük, ayrıca sözde vardır cebirsel yöntemler denklemini çözmek için. Bu nedenle, eğer , n 2'ye eşittir, ve eğer p, yazılı ax 2 + bx + c , çözeltiler, klasik aşağıdaki formülle gösterilir ( - b ± √ b 2 - 4 AC ) / 2 bir , burada b 2 - 4 ac olan ayırt edici polinom; √ b 2 - 4 ac'nin bir radikal olduğunu söylüyoruz . Cardan ve Ferrari yöntemleriyle gösterildiği gibi, 3. veya 4. derece polinomlar için benzer (ancak daha karmaşık) formüller mevcuttur .
Ancak kesinlikle 4'ten büyük dereceler için ve birkaç yüzyıl süren çabalara rağmen, 2., 3. ve 4. derecelerinkine benzer genel bir formül bulunamamıştır. Abel'in teoremi, böyle bir formülün olmadığı gerçeğini ifade eder. Kökleri ifade için bir yöntem, bununla birlikte, bu daha büyük bir fonksiyon ailenin kullanmaktır n- inci kökleri , örneğin olduğu gibi, eliptik fonksiyonlar ; ancak bu şekilde elde edilen formüllerin yalnızca teorik bir ilgisi vardır; pratikte, örneğin Newton yöntemini kullanarak yaklaşık değerler elde etmek çok daha ilginçtir .
Abel'ın 1824 anılarında kullandığı ifade şu şekildedir:
Abel teoremi - Beşinci derecenin genel denklemini radikallerle çözmek imkansızdır.
Abel ekliyor: “Bu teoremden, beşinciden daha büyük derecelerin genel denklemlerini radikallerle çözmenin benzer şekilde imkansız olduğu hemen çıkar. "
Évariste Galois , teoremin daha eksiksiz bir formunun yazarıdır. Onun yöntemi, genellikle teoremi ispatlamak için kullanılan yöntemdir. Bu formülasyon, Galois teoremi veya Abel-Galois teoreminin adını alır , bazen hiçbir isim belirtilmez. Formülasyonu daha geneldir çünkü herhangi bir K alanına (girişte açıklandığı gibi değişmeli ve sıfır karakteristiği) uygulanır ve bir cebirsel denklemin radikaller tarafından çözülebilir olup olmadığını gösterir.
Galois teoremi - Bir polinom denklem içinde katsayıları ile K onun ancak ve ancak radikaller tarafından çözülebilir olduğu Galois grubu olan çözülebilir .
Let K bir gövde ve L , bir uzantısı arasında K .
Galois ifadesi ' teoremi gelen kullanımları kavramları yukarıdaki teorisinde . Bölme alanı L arasında P ihtiva eden en küçük alan anlamına gelir K ve her kökleri P . Bu nedenle bir olduğunu sonlu uzatma ve normale için K . K'nin sıfır özellikli olduğu hipotezi, diğer şeylerin yanı sıra mükemmel olduğunu , yani K'de katsayıları olan indirgenemez herhangi bir polinomun basit köklere sahip olduğunu garanti eder . Uzatma L arasında K da bu nedenle ayrılabilir . Özetle: L , bir Galois uzantısı sonlu K'dir .
Böyle bir uzantı çalışma için bir anahtar yapısı olan Galois'in grubu : bir grup bir vücut automorphisms arasında L sabitleme her öğe K . Sonlu bir Galois genişlemesinin Galois grubunun sırasının , uzantının derecesine eşit olduğunu kanıtlıyoruz ( K'nin L uzantısı için , polinom P'nin derecesi ile karıştırılmamalıdır ).
Teoremin ana fikri çözülebilir bir grup kavramıdır . Çözülebilir grupların ilk örnekleri değişmeli gruplardır . Aşağıdaki örnekler grupları G bir olan alt grup , normal değişmeli G 1 olarak bölüm grubu G / G 1 veya değişmeli. Genel durumda:
Bir grup G olduğu söylenir çözülebilir sonlu dizisi mevcut olduğunda G 0 , G 1 , ..., G, K bir alt-grubudur , G , öyle ki:
burada G, I , tüm i 0 ile arasında k - 1, normal bir alt-grubu olan G i + 1 bölüm grubu, öyle ki G i + 1 / G, I değişmeli olan. Buradaki Grup I , önemsiz grubu belirtir .
Denklemler teorisine, özellikle Abel teoremini ele alan bir genel bakış, " Denklemler Teorisi (bilim tarihi) " makalesinde verilmiştir .
Cebirsel denklemlerin ilk sistematik çalışma geri giderse VIII inci yüzyıl içinde, Tamamlama tarafından Hesaplama ve bölümünde anlatılmıştır compendious Kitabı Dengeleme Arapça İran matematikçi Harizmi , denkleme bir grup yapısını birleştirmek fikri sadece görünür XVIII inci yüzyılın . Joseph-Louis Lagrange , bir grup kök permütasyonunun özellikleri ile kübik veya dörtlü bir denklemi çözme olasılığı arasındaki ilişkiyi vurgular . Bu çalışmalarda permütasyonların kullanımının kökenini bu alandaki görmek mümkün ise, diğer yandan ne kompozisyon kanunu ne de permütasyon seti uygun bir yapı olarak kullanılmamaktadır. Bu yaklaşım, bir derece polinom köklerini ifade eden bir formül varlığını ciddi şüphe ancak yeterli olan , n ise, n, 4'ten daha sıkı bir şekilde daha fazladır.
Paolo Ruffini , genel denklemin ve özellikle beşinci denklemin bir çözümü kabul etmediğini onaylayan ilk kişidir . Şimdiye kadar kullanılan tüm yöntemlerin daha genel bir yaklaşımın belirli durumlarına geri döndüğünü gösteren Lagrange yaklaşımını tekrar ele alır. Ruffini, Lagrange yönteminin 5. derece denklemi için 3. derece için Cardan'ınkine eşdeğer bir formül sağlayamayacağını gösteriyor. 1799'da bu soru üzerine bir kitap yayınladı.
Zamanın bilim topluluğu onun çalışmalarını tanımadı. Kitabını 1801'de Lagrange'a gönderdi, ancak yanıt alamadı. Bilimler Akademisi'ne resmi bir sunum artık başarılı değil. Matematikçiler Lagrange , Legendre ve Lacroix , ispatının geçerliliğini değerlendirmekten sorumludur. Rapor onun çalışmalarını önemsiz olarak tanımlıyor, gösterisinde bir boşluk var, hiçbir şey Lagrange'den ve dolayısıyla şimdiye kadar bulunanlardan farklı başka yöntemlerin olmayacağını ve radikal bir çözüme izin vereceğini göstermiyor. İngiliz Kraliyet Cemiyeti'ndeki yeni bir girişim daha sempatik bir yanıt alıyor: eğer böyle bir çalışma kendi yetkinliğine girmiyorsa, yine de sonuçlar hata içermiyor gibi görünüyor. 1803 ve 1808'deki diğer iki yayın pek de başarılı olamadı. Zamanın matematikçileri için sonuç ya yanlış ya da anekdottur. Yalnızca Augustin Louis Cauchy , çalışmalarının derinliğini anlıyor. 1821'de , ele alınan sorunun hem geçerliliğini hem de önemini belirttiği bir mektup gönderdi . Cauchy, sonucu Ruffini'nin çalışmasının temelindeki permütasyonlara göre geneller.
Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel , 1821'deki başarısız bir girişimin ardından , masrafları kendisine ait olmak üzere altı sayfalık kısa bir metin yayınladı. Ruffini'nin çalışmasının aksine, bu belge teoremin tam bir kanıtını temsil ediyor. Yine de önceki metinlere benzer bir yanlış anlaşılma elde eder. Carl Friedrich Gauss bile konuyu alakasız görüyor. Abel'ın mektubu, Gauss'un açılmadan ölümünden sonra bulunacak. In 1801 , bu matematikçi radikallerin çözüm arayışları faizsiz olduğu tezinde ifade etmişti, kök herhangi bir isim vermek için yeterliydi. Sayısal teknik açısından, bir kökün yaklaşık bir değerini elde etmek için Newton'unki gibi bir yöntemi kullanmanın çok daha basit olduğu doğrudur; radikal tarafından çözünürlük artık sahip XIX inci yüzyıl o sayısal hesaplaması için önceki yüzyıllarda vardı aynı ilgi. Ve sayısal bir yaklaşım elde etmek değilse, o zaman kökü tanımlamak için bir harf de kullanabilirsiniz. 1826'da Abel'ı kabul eden Cauchy bile , çalışmalarına bakmaya tenezzül etmez.
Genel durumda çözümün imkansızlığının kanıtını içeren diğer makaleler 1826 ile 1828 arasında yazılmıştır. Abel'in çalışması nihayetinde bilim camiasını ikna etti. In 1830 , Cauchy onun el yazması bulundu ve Abel Aynı yıl ölümünden sonra Bilimler Akademisi matematik grand prix elde sona erdi.
Abel'in çalışmasından sonra, teoremin son bir ifadesi için sadece üç unsur eksik: Etkili bir yaklaşım, denklemin gerekli ve yeterli çözünürlüğü ve çözümlenebilirliği mümkün kılan mekanizmaların derinlemesine anlaşılması. Bu üç ilerlemeyi başaran Évariste Galois'dır .
Yaklaşımı, öncekilerle aynı yanlış anlaşılmadan muzdariptir. Sunulan İlk yazıları, Bilimler Akademisi içinde 1829, kesin kaybolur. 1831'de Galois tarafından yazılan bir anı kitabı yeniden keşfedildi ve 1843'te bilim camiasına şu terimlerle sunan Joseph Liouville tarafından yayınlandı : “[…] Évariste Galois'in makalelerinde bulduğumu duyurarak Akademi'nin ilgisini çekmeyi umuyorum. Bu güzel problem için derin olduğu kadar kesin bir çözüm: İndirgenemez bir birinci derece denklem verildiğinde, radikaller kullanarak çözülebilir olup olmadığına karar verin. Galois'nın katkısı büyüktür; G. Verriest bunu şu terimlerle açıklıyor: “Galois'in dehası, sorunun temel noktasının doğrudan eklenecek niceliklerin araştırılmasında değil, grubun doğasının incelenmesinde yattığını keşfetmiş olmaktır. denklem. Bu grup […] ayırt edilemeyen köklerin […] derecesini ifade eder. Bu nedenle, artık onu çözmenin zorluğunu ölçen bir denklemin derecesi değil, grubunun doğasıdır. "
Eğer P a, devirli polinom [ℚ olarak, yani bir indirgenemez bölen, X, bir şekilde bir polinom], X , n - 1, daha sonra denklem P ( x ) = 0 olduğu trivially radikaller ile çözülebilir. İlgili siklotomik genişlemenin Galois grubu değişmeli olduğundan (bu nedenle çözülebilir) , Abel teoremi bu özel durumda doğrulanmıştır . Daha açık olarak, devirli polinom cp Galois grubu , n bir izomorfik için halka ℤ / birimler grubu , n ℤ .
Bizim daha derinlemesine bir çalışma (bakınız “demekle dikkat edelim Gauss-Wantzel teoremi ”) belirleyen bir durum denklemi altında Φ , n ( x ) = 0 (herhangi bir düzen) kökleri tarafından değil sadece tarafından çözülebilir karekök . , eşdeğerdir durum cetvel ve pusulaya constructibility ait düzgün çokgen ile n köşe noktası.
Polinom nerede durumunu düşünün P ile dereceye 2'nin olan rasyonel katsayıları hiçbir rasyonel kök sahip. P'yi baskın katsayısına bölmek anlamına gelse bile , üniter olduğu varsayılabilir :
Denklemin iki kökünü x 1 ve x 2 ile belirtin . Şu sonuca varabiliriz:
Uzantısı olarak Galois ve derece 2 , Galois grubu 2 seviyesinde: kendi iki unsuru olan kimlik ve L ve simetri Kesirli ve değişim giderir x 1 ve x 2 . Bu yüzden, bir mevcut temel (1, r ) ℚ- ait vektör uzayı L ve rasyonel bir şekilde x 1 = bir + R ve X 2 = bir - r .
Şu sonuca varabiliriz:
Galois grubu bu nedenle ikinci dereceden denklemin etkili bir şekilde çözülmesine izin verir.
Kardan yöntem ayıklamak ya da genel durumda derecesi 3 olan bir polinom kökleri sağlar.
GenelPolinom P'nin rasyonel katsayılara sahip ve indirgenemez 3. derece olduğu durumu düşünün . P'yi baskın katsayısına bölmek ve değişkeni çevirmek anlamına gelse bile , P'nin şu biçimde olduğunu varsayabiliriz :
Denklemin üç ( farklı ) kökünü x 1 , x 2 ve x 3 ile belirtin . Nın-nin
sonuca varıyoruz:
Galois grubu G arasında P bir alt grubudur simetrik grubunun S 3 . Bu alt grubun sırası, ℚ ayrışma gövdesi L üzerindeki boyuta eşittir . Çünkü, bu nedenle bir 3 katı olan L kökü içerir olan minimal polinom derecesi 3. ait G ya da bu nedenle izomorf S 3 (sırayla 6) ya da sırayla 3 eşsiz bir alt-grubu için, alternatif grup bir 3 .
Her iki durumda da, G (nedeniyle çözülebilir olduğu bir 3 olan , normal olarak , S 3 , ve A 3 ve S 3 / A 3 değişmeli ve hatta siklik polinom çok olduğu) Abel teoremi garantiler böylece.
Galois grubunun belirlenmesiL'nin sıfır olmayan elemanını düşünün : δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 ) . Her eleman için gr arasında G , g ( δ ) = ε ( g ) δ , ε ( g ) göstermektedir imza ve permütasyon tarafından gerçekleştirilen g üç köklerinde. G, bu nedenle indirgenmiş bir A 3 sadece ve eğer δ değişmez tüm elemanları ile olan G , yani (paragraf özelliği: 3 Galois'in teorinin temel teoremi ise) ve ancak δ rasyoneldir. Ayrıca δ 2 = –4 p 3 - 27 q 2 olduğunu da kanıtlıyoruz (“ Ayrımcı ” makalesine bakın ) . Şu sonuca varabiliriz:
Galois grubu P izomorf A 3 ise -4 s 3 -27 q, 2 rasyonel karesidir, ve S 3 , aksi.
Kök hesaplamaCardan'ın formüllerini bulmanın bir yolu sormaktır:
,burada j ve j, 2 , iki ifade birlik ilkel kübik kökleri .
Nitekim, böylece elde ederiz:
ve sonra geriye kalan tek şey u ve v'yi polinom katsayılarının bir fonksiyonu olarak hesaplamaktır :
, .Aşağıdaki denklem sistemi daha sonra sonuca varmayı mümkün kılar:
Bu nedenle denklem, Abel teoremi ve Galois grubunun hesaplanması tarafından sağlandığı gibi, radikaller tarafından oldukça çözülebilir. Daha kesin olarak: kareköklerle ( j ve j 2'nin ifadesi ve u 3 ve v 3'ün hesaplanması için ) ve kübik ( u ve v'yi çıkarmak için ).
Bu u ve v elementleri Galois teorisinde aşağıdaki yoruma sahiptir. Biz gördük G ihtiva eden en azından bir alternatif grup bir 3 bir otomorfizma vardır yani, m ve L rationals sabitlemek ve doğrulanması (sırayla 3):
Önce L'nin j ve j 2'yi içerdiğini varsayalım . ℚ [ j ] alt alanının herhangi bir elemanı, ℚ üzerinde derece 1 veya 2'dir, bu nedenle m ile sabitlenir . Bu nedenle m'yi ℚ [ j ] -vektör uzayı L'nin bir endomorfizmi ve vektörler olarak düşünebiliriz ve sonra m için uygun görünebiliriz , çünkü yapı gereği ,
Tüm L içermeyen j ve j 2 , bunun ℚ [diğer elemanlarını içermez kontrol j rasyonel daha] sayı , doğal olarak genişletmek için olanak sağlar, m bir ℚ [içine J ait] -automorphism L [ j ] için , aynı şekilde, u ve v de uygundur.
Ferrari yöntemi mümkün genel durumda derecesi 4 bir polinom kök (ler) ayrılmasını sağlar.
Polinom ℚ ile Galois'in grubu olduğu detaylı bir makale gösterir P ( X ) = x 5 3 - X - 1 olan simetrik grup S 5 çözülebilir olmadığı. Bu nedenle P ( z ) = 0 denklemi radikallerle çözülemez, yani bu polinomun köklerini tamsayılardan dört olağan işlem ve radikaller kullanarak ifade etmek mümkün değildir, bu da bir ifade bulmanın mümkün olmadığını gösterir. Beşinci dereceden bir denklemin genel durumundaki kökler için, 1, 2, 3 veya 4 dereceli denklemler için yapılabileceği gibi.
Not. P ( z ) = 0 denkleminin çözülebilir olmadığını söylemek yanlıştır. Bu denklem, tam olarak istendiği kadar kesin olan ve tam olarak eliptik integraller kullanılarak ifade edilen 5 köke sahiptir .
Herhangi bir tam sayı için n ≥ 2, (indirgenemez ve derecesi polinom bir sonsuz vardır n Galois grubu ℚ üzerinde simetrik grup tamsayı katsayılı) S , n veya için n , bu grup çözülebilir ≥ 5 değildir .
GösteriBu yapı , aşağıdaki iki gerçekle birleştirilen Galois gruplarının modulo p indirgenmesi üzerine Richard Dedekind'in bir teoremini kullanır :
N dereceli üç ayrılabilir üniter polinom seçiyoruz :
daha sonra, bir birim polinom P derecesi n tamsayı katsayılı modül 2, 3 ve 5 azalmalar eşittir P 2 , p 3 ve P 5 : P yana indirgenemez p 2 , bu nedenle onun Galois'in grubu geçişli olarak etki eder , n kökleri, ve bir transpozisyon ( P 3 seçimi ile ) ve bir ( n - 1) -döngü ( P 5 seçimi ile ) içerir. Bu alt grup, bu nedenle S , n tamamen.
Let N sonlu Galois'in uzatma derecesi L arasında K . Galois grubu G bu nedenle n mertebesindedir .
İlk durumda anlaşma G olarak, ilk varsayarak, değişmeli olan Kardan yöntemi (durumda olan N duruma = 3 tekabül G değişmeli olan) olup, K içeren N kökleri , n biriminin ths - . Sonra bu hipotezden kurtuluruz.
Varsayım gereği, P'nin ayrışma gövdesi L bir uzantı K (α 1 ,…, α k ) içinde bulunur, öyle ki 1 ile k arasındaki her i için α i n i K'ye aittir (α 1 ,…, α i - 1 ) bazı doğal sayılar için n i . Açıkça varsayabiliriz (α uv = (α u ) v'yi kullanarak ve ara radikalleri ekleyerek) i > 1 için her n i'nin bir asal sayı olduğunu ve uzantılar dizisinin ilkel bir kök n 1'in eklenmesiyle başladığını varsayabiliriz. - birim α 1 , n 1 için bu asal sayıların çarpımına eşittir. Biz ile indüksiyonu ile, aşağıda göstermektedir i , her bir uzantı K (α 1 , ..., α i ) ve K sonra Galois ve çözülebilir grup taşımaktadır. Göre Galois'in teorinin temel teoremi , Galois subextension grup L bu bir bölüm olarak, daha sonra da çözülebilir K (α 1 , ..., α k ).