In cebir , cebirsel bağımsızlık a kümesinin ait sayılar , bir üzerinde değişmeli alanda , onun unsurları olmadığı gerçeğini açıklar kökleri a polinomun birden belirsiz olanlar bu alanda katsayılarla.
Let L olmak bir değişmeli alan , S bir alt kümesini bir L ve K bir alt alan içinde L Biz söylemek S üzerinde cebirsel serbesttir K , veya elemanlar üzerinde cebirsel bağımsız olduğunu K , herhangi bir sonlu dizisi için (eğer s 1 , ..., S , n ayrı elemanların) S ve sıfır olmayan polinom P ( x 1 , ..., x , n katsayılı) K Elimizdeki P ( s 1 , ..., s , n ) ≠ 0.
Bir tekil { s } üzerinde cebirsel serbesttir K , ancak ve ancak, eğer eleman s isimli fazla aşkın K .
Eğer S üzerinde cebirsel serbesttir K o zaman herhangi subfield üzerinde serbesttir K.
Eğer S cebirsel olarak K üzerinde serbestse, S'nin herhangi bir kısmı da öyle. Eğer Daha kesin olarak, V ve W, ikisi ayrık parçaları L , daha sonra birlik V⋃W üzerinde cebirsel serbesttir K , ancak ve ancak V ile cebirsel serbesttir K ve W ile cebirsel serbesttir alt alan K ( V ) arasında L.
Özellikle, eğer S cebirsel olarak K üzerinde serbestse, tüm elemanları K üzerinde aşkın olur , ancak tersi açıkça yanlıştır: örneğin, gerçek sayıların ℝ alanının alt kümesi { π , 1 / set } cebirsel olarak Rasyonel katsayıları P ( X , Y ) = XY - 1 olan sıfır olmayan polinom P ( π, 1 / π ) = 0'ı sağladığından, rasyonel sayıların ℚ alanı .
Alanında rasyonel fraksiyonlar K ( X 1 , ..., x , n ), BELİRSİZLİKLER X 1 , ..., x , n ile cebirsel bağımsız K ; temel simetrik polinomları da vardır.
Bölüm K serbest -algébriquement fazla bir L denen aşma temel bir L için K ve ana gibi bir baz olarak adlandırılır aşma derecesi uzatma.
Lindemann sıkıştırma teoremi sık sık bazı setleri cebirsel ℚ üzerinden ücretsiz olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir.
Set halinde Bilmiyoruz {π, e } ℚ üzerinde cebirsel ücretsiz (eğer biz bile bilmiyoruz π + e olan irrasyonel ).
Nesterenko (en) 1996'da, örneğin {π, e π , Γ (1/4) } , {π, e π √ 3 , Γ (1/3)} ve {π, e Herhangi bir d > 0 tamsayısı için π √ d } , cebirsel olarak on üzerinde serbesttir ( {π, Γ (1/4)} ve {π, Γ (1/3)} 'ün cebirsel olarak özgür olduğunu zaten biliyorduk ve bu nedenle de { π, Γ (1/6)} , çünkü Gama fonksiyonundaki fonksiyonel ilişkilerden Γ (1/6) = Γ (1/3) 2 2 –1/3 (3 / π) 1/2 ) .
Küçük olduğu bilinen yaklaşık tek tamsayı değerlerine ait Riemann zeta fonksiyonu , ancak edilir conjectured sayılar o tt, ζ (3), ζ (5), ζ (7), ... cebirsel ℚ üzerinde bağımsızdır.
(tr) Michel Waldschmidt, "Eliptik Fonksiyonlar ve Aşkınlık" , Krishnaswami Alladi'de , Sayı Teorisinde Anketler , Springer, cilt . "Dev. Matematik. "( N o 17),2008( çevrimiçi okuyun ) , s. 143-188