Schrödinger denklemi

Schrödinger denklemi tarafından geliştirilen, fizikçi Avusturya Erwin Schrödinger içinde 1925 , bir olduğu denklemi temel kuantum mekaniği . Bu büyük bir göreli olmayan parçacığın zaman içindeki seyrini açıklar ve böylece aynı rolü yerine getirir dinamiğin temel ilişki içinde klasik mekaniğin .

denklemin doğuşu

Tarihsel bağlam

Başında XX inci  ışık vardı yüzyıl, açıkça belli olmuştu ikilik dalga-parçacık demek ki, bu bir parçacığın, olarak ister koşullara bağlı olarak gerçekleşebilir foton veya olarak elektromanyetik dalga . Louis de Broglie bu hipotez üretim paradoksal bir sonuca yol açacaktır, ancak bilinen tüm parçacıkların, bu ikilik genelleme için önerilen girişim ile elektronların daha sonra ile doğrulanmıştır ki - hafif - gibi Davisson- çimlenmeye deneyi . Louis de Broglie , fotonla benzerlik kurarak, enerji ve momentumdan arınmış her parçacıkla bir frekans ve bir dalga boyu ilişkilendirdi  : E{\ görüntü stili E} p{\ görüntü stili p}ν{\ görüntü stili \ nu}λ{\ görüntü stili \ lambda}

{E=hνp=hλ{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlangıç ​​{matris} E = h \ nu \\ p = {\ frac {h} {\ lambda}} \ bitiş {matris}} \ sağ.}

Yukarıdaki her iki ifadede de h harfi Planck sabitini gösterir . Fizikçi tarafından belirlenen Schrödinger denklemi, Erwin Schrödinger içinde 1925 , olan bilinmeyen bir fonksiyonu olan bir işlevsel denklemdir dalga fonksiyonu Louis genelleştirilmiş, de Broglie yaklaşım büyük parçacıklar bir değil göreli konusu yukarıda kuvvet bir kaynaklanan potansiyel V ( r), toplam mekanik enerjisi klasik olarak:

E=p22m+V(r).{\ displaystyle E = {p ^ {2} \ 2 milyonun üzerinde} + V (r).} Kullanarak, bu uzantı çıkarsanan denklem başarısı, yazışmalar prensibi , değerlendirme düzeylerine hemen olduğu nicemlenmiş enerji elektron içinde atomu arasında hidrojen açıklamak izin verdiğinden, emisyon çizgilerini arasında hidrojen  seriye ait: Lyman , Balmer , Brackett'e , Paschen ,  vb.

Schrödinger dalga fonksiyonunun genel olarak kabul edilen fiziksel yorumu, 1926'ya kadar Max Born tarafından verilmedi . Çünkü tanıtılan bu olasılık karakteri, Schrödinger'in dalga mekaniği başlangıçta gibi bazı tanınmış fizikçiler içinde şüphelere yol açtı Albert Einstein kimin için, "Tanrı zar atmaz" .

Tarihsel yaklaşım

Schrödinger tarafından denklemini elde etmek için kullanılan kavramsal şema, optik ve mekanik arasındaki resmi bir analojiye dayanmaktadır.

• İçinde fiziksel optik , gerçek bir indeksi olan şeffaf bir ortam içinde yayılma denklemi n dalga boyu potansiyel ölçeğinde yavaş değişen - genliği faz önünde çok az değişen bir tek renkli çözelti arayan - yaklaşık denkleme adı eikonal . Fermat varyasyon ilkesinin ilişkili olduğu geometrik optiğin yaklaşımıdır .

• Olarak Hamilton formülasyon klasik mekanik bir mesafe kalacak şekilde - adı Hamilton-Jacobi denklemi . Potansiyel bir enerjiden türetilen bir kuvvete maruz kalan büyük bir göreli olmayan parçacık için , toplam mekanik enerji sabittir ve "Hamilton karakteristik fonksiyonu" için Hamilton-Jacobi denklemi bu durumda resmi olarak eikonal denkleme benzer (ilişkili varyasyon ilkesi en azın ilkesidir). eylem ).

Bu paralellik Hamilton tarafından 1834'te belirtilmişti , ancak o sırada klasik mekaniğin geçerliliğinden şüphe etmesi için hiçbir nedeni yoktu. De Broglie'nin 1923 hipotezinden sonra , Schrödinger kendi kendine şöyle dedi: eikonal denklemi, fiziksel optiğin dalga denkleminin bir yaklaşımıdır, hadi, yaklaşıklığı şu olan "mekaniğin. dalgalı" (inşa edilecek) dalga denklemini arayalım. Hamilton-Jacobi denklemi. Yaptığı şey, önce duran bir dalga için ( E = sabit), sonra herhangi bir dalga için.

Not: Schrödinger aslında göreli bir parçacık vakasını ele alarak başlamıştı - aslında ondan önceki de Broglie gibi. Daha sonra bugün Klein-Gordon denklemi olarak bilinen denklemi elde etti , ancak bunun hidrojen atomunun deneysel sonuçlarıyla uyumsuz enerji seviyeleri veren Coulomb potansiyeli durumuna uygulanması, relativistik olmayan duruma geri dönecekti. bildiğimiz başarı.

temel türetme

Optik ve Hamilton mekaniği arasındaki paralellik -yani, muhakemenin önemsiz olmayan kısmı- bir kez kurulduğunda, türetmenin sonu nispeten temeldir. Gerçekten de, yavaş değişken indeks n'ye sahip bir ortama sabitlenmiş monokromatik bir titreşim dalgasının uzamsal genliği tarafından sağlanan dalga denklemi şöyle yazılır: ω{\ görüntü stili \ omega}

(Δ + değil2ω2vs2) ψ(r→) = 0{\ displaystyle \ sol (\ Delta \ + \ {\ frac {n ^ {2} \, \ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sağ) \ \ psi ({\ vec {r} }) \ = \ 0}

k dalga numarasını , n indeksinin ortamında şu şekilde tanıtıyoruz :

k2 = değil2ω2vs2{\ displaystyle k ^ {2} \ = \ {\ frac {n ^ {2} \, \ omega ^ {2}} {c ^ {2}}}}

Daha sonra Helmholtz denklemini elde ederiz  :

(Δ + k2) ψ(r→) = 0{\ görüntü stili (\ Delta \ + \ k ^ {2}) \ \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ 0}

Ortadaki dalga boyu ile tanımlanır . Helmholtz denklemi yeniden yazılır: λ=2π/k{\ displaystyle \ lambda = 2 \ pi / k}

(Δ + 4π2λ2) ψ(r→) = 0{\ displaystyle \ sol (\, \ Delta \ + \ {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}} \, \ sağ) \ \ psi ({\ vec {r}} ) \ = \ 0}

Daha sonra momentumu p = mv olan göreli olmayan bir parçacık için de Broglie bağıntısını kullanırız  :

λ = hmv⟹1λ2 = m2v2h2{\ displaystyle \ lambda \ = \ {\ frac {h} {mv}} \ dörtlü \ Longrightarrow \ dörtlü {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ = \ {\ frac {m ^ {2 } \, v ^ {2}} {h ^ {2}}}}

Ancak, göreli olmayan bir parçacık için kinetik enerji yazılır:

12mv2 = E - V(r→){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2} \ = \ E \ - \ V ({\ vec {r}})}

dolayısıyla durağan Schrödinger denklemi  :

[Δ + 8π2mh2(E - V(r→)) ] ψ(r→) = 0{\ displaystyle \ sol [\, \ Delta \ + \ {\ frac {8 \ pi ^ {2} m} {h ^ {2}}} \, \ sol (\, E \ - \ V ({\ vec) {r}}) \, \ sağ) \ \ sağ] \ \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ 0}

Eylem kuantumunu tanıtarak, onu olağan forma koyduk: ℏ=h/2π{\ displaystyle \ hbar = h / 2 \ pi}

- ℏ22mΔψ(r→) + V(r→)ψ(r→) = Eψ(r→){\ displaystyle - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \, \ Delta \ psi ({\ vec {r}}) \ + \ V ({\ vec {r}}) \, \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ E \, \ psi ({\ vec {r}})}

Geriye sadece tek renkli bir dalganın zamana bağımlılığını açıklayarak ve ardından Planck-Einstein ilişkisini kullanarak t zamanını yeniden tanıtmak kalır  : E=ℏω{\ displaystyle E = \ hbar \ omega}

ψ(r→,t) = ψ(r→) e-benωt = ψ(r→) tecrübe⁡(-benEtℏ){\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ \ psi ({\ vec {r}}) \ \ matematik {e} ^ {- \, i \, \ omega \, t} \ = \ \ psi ({\ vec {r}}) \ \ exp \ sol (- \, {\ frac {i \, E \, t} {\ hbar}} \ sağ)}

Sonunda genel Schrödinger denklemini elde ederiz  :

- ℏ22mΔψ(r→,t) + V(r→)ψ(r→,t) = benℏ ∂ψ(r→,t)∂t{\ displaystyle - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \, \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ + \ V ({\ vec {r}}) \, \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ kısmi \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ kısmi t}} }

Modern formülasyon

Olarak kuantum mekaniği , zaman devlet t bir sistemin bir eleman tarafından açıklanan bir kompleks Hilbert alanı - kullanımıyla arasında Paul Dirac sutyen ket gösterimde . Modülünün karesi , bir sistemin tüm olası ölçülerinin sonuç olasılık yoğunluklarını temsil eder. |Ψ(t)⟩{\ görüntü stili | \ Psi (t) \ aralık}|Ψ(t)⟩{\ görüntü stili | \ Psi (t) \ aralık}

Zamansal evrimi Schrödinger denklemi ile tanımlanır: |Ψ(t)⟩{\ görüntü stili | \ Psi (t) \ aralık}

p→^22m|Ψ(t)⟩+V(r→^,t)|Ψ(t)⟩=benℏddt|Ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {{\ hat {\ vec {\ mathbf {p}}}} ^ {2}} {2m}} | \ Psi (t) \ rangle + V {\ Bigl (} {\ hat { \ vec {\ mathbf {r}}}}, t {\ Bigr)} | \ Psi (t) \ rangle = i \ hbar {d \ dt üzerinde} | \ Psi (t) \ rangle}

veya

• ben{\ görüntü stili ben}bir sanal birim  :  ;ben2=-1{\ displaystyle ben ^ {2} = - 1}
• ℏ{\ görüntü stili \ hbar \,}olan Dirac sabiti  : h Planck sabitesi = 6.62607004 x 10 -34 m 2 kg / s;ℏ=h2π{\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}
• H^=p→^22m+V(r→^,t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {\ vec {\ mathbf {p}}}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ hat {\ vec {\ matematikbf {r}}}}, t)}olan Hamilton bağımlı genellikle, zaman gözlemlenebilir sistemin toplam enerjiye karşılık gelir;
• r→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {\ mathbf {r}}}} \,} gözlemlenebilir konumdur;
• p→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {\ mathbf {p}}}} \,}gözlemlenebilir dürtüdür .

Maxwell'in elektromanyetik dalgaların evrimini yöneten denklemlerinin aksine , Schrödinger'in denklemi göreceli değildir . Bu denklem bir postüladır. Davisson ve Germer , Louis de Broglie'nin hipotezini deneysel olarak doğruladıktan sonra doğru kabul edildi .

denklemi çözme

Schrödinger denklemi bir vektör denklemi olduğundan, onu durum uzayının belirli bir temelinde eşdeğer bir şekilde yeniden yazabiliriz . Örneğin, tarafından tanımlanan konum temsiline (in) karşılık gelen tabanı seçersek|r→⟩{\ displaystyle | {\ vec {r}} \ rangle} 

r→^|r→⟩=r→|r→⟩{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {\ mathbf {r}}}} | {\ vec {r}} \ rangle = {\ vec {r}} | {\ vec {r}} \ rangle}

sonra dalga fonksiyonu aşağıdaki denklemi sağlar Ψ(t,r→)≡⟨r→|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ Psi (t, {\ vec {r}}) \ equiv \ langle {\ vec {r}} | \ Psi (t) \ rangle \,}

benℏ∂Ψ(t,r→)∂t=-ℏ22m∇→2Ψ(t,r→)+V(t,r→)Ψ(t,r→){\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ kısmi \ Psi (t, {\ vec {r}})} {\ kısmi t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} { \ vec {\ nabla}} ^ {2} \ Psi (t, {\ vec {r}}) + V (t, {\ vec {r}}) \ Psi (t, {\ vec {r}}) }

nerede olduğunu sayıl Laplace . Aslında gözlemlenebilir konum zamana bağlı değildir, dolayısıyla kendi durumları aşağıdakilere bağlı değildir: . ∇→2{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} ^ {2}}r→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {\ mathbf {r}}}}}d|r→⟩dt=0{\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d} | {\ vec {r}} \ rangle} {\ matematik {d} t}} = 0}

Bu formda, Schrödinger denkleminin lineer operatörleri içeren kısmi bir diferansiyel denklem olduğunu görüyoruz; bu , genel çözümü belirli çözümlerin toplamı olarak yazmayı mümkün kılar. Denklem, çoğu durumda analitik bir çözüme izin vermeyecek kadar karmaşıktır, bu nedenle çözünürlüğü yaklaşık veya sayısaldır.

Özdurumları ara

Schrödinger denkleminde görünen operatörler lineer operatörlerdir; herhangi bir lineer çözüm kombinasyonu denklemin bir çözümüdür. Bu, büyük bir teorik ve pratik ilgiye sahip olan çözümlerin aranmasına yol açar: yani Hamilton operatörüne özgü durumlar.

Dolayısıyla bu durumlar, denklemin durumlara ve özdeğerlere çözümleridir:

H|φdeğil⟩=Edeğil|φdeğil⟩{\ displaystyle H | \ varphi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ varphi _ {n} \ rangle} bu bazen zamandan bağımsız Schrödinger denklemi olarak adlandırılır . Özdurum , durumu olan parçacığın özdeğeri , gerçek skaler enerjisi ile ilişkilidir . |φdeğil⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}Edeğil{\ görüntü stili E_ {n}}|φdeğil⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

Enerji değerleri, potansiyel bir kuyunun ilgili çözümleri gibi ayrık olabilir (örneğin hidrojen atomunun seviyeleri); bu , enerji seviyelerinin bir nicelleştirilmesiyle sonuçlanır. Ayrıca potansiyel bir kuyunun serbest çözeltileri gibi sürekli bir spektruma da karşılık gelebilirler (örneğin, hidrojen atomunun çekirdeğinden sonsuza kadar uzaklaşmak için yeterli enerjiye sahip bir elektron).

Çoğu zaman, birkaç durum aynı enerji değerine karşılık gelir: o zaman yozlaşmış enerji seviyelerinden bahsederiz. |φdeğil⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

Genel olarak, Hamiltoniyen özdurumlarının her birinin ve ilgili enerjinin belirlenmesi, karşılık gelen durağan durumu, Schrödinger denkleminin çözümünü sağlar: |φdeğil⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

|ψdeğil(t)⟩=|φdeğil⟩tecrübe⁡(-benEdeğiltℏ).{\ displaystyle | \ psi _ {n} (t) \ rangle \, = \, | \ varphi _ {n} \ rangle \, \ exp \ left ({\ frac {-iE_ {n} t} {\ hbar }} \ sağ).} Schrödinger denkleminin bir çözümü daha sonra çok genel olarak bu tür durumların doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir: |ψ(t)⟩=∑değil∑jvsdeğil,j|φdeğil,j⟩tecrübe⁡(-benEdeğiltℏ).{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle \, = \, \ toplam _ {n} \ toplam _ {j} c_ {n, j} | \ varphi _ {n, j} \ rangle \ exp \ sol ( {\ frac {-iE_ {n} t} {\ hbar}} \ sağ).}

Kuantum mekaniğinin varsayımlarına göre ,

• karmaşık skaler , durumun durum üzerindeki genliğidir  ;vsdeğil,ben{\ displaystyle c_ {n, ben}}|ψ(t)⟩{\ görüntü stili | \ psi (t) \ aralık}|φdeğil,ben⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n, i} \ rangle}
• gerçek , sistemdeki enerjiyi ölçerken enerjiyi bulma olasılığıdır ( ayrık bir spektrum durumunda ) .Σben|vsdeğil,ben|2{\ displaystyle \ Sigma _ {i} | c_ {n, i} | ^ {2}}Edeğil{\ görüntü stili E_ {n}}

Dalga fonksiyonlarının uzayı bir Hilbert uzayıdır .

Kesin analitik çözünürlüğün nadirliği

Hamiltoniyenin özdurumlarının araştırılması genellikle karmaşıktır. Hidrojen atomunun analitik olarak çözülebilir durumu bile, yalnızca uyarılmış durumların, l atomunun Schrödinger denkleminin çözümlerinin, temele doğru geçişine izin verecek olan elektromanyetik alanla eşleşmeyi ihmal edersek, kesinlikle basit biçimde böyledir .

Bazı basit modeller, gerçeğe tam olarak uymasalar da, analitik olarak çözülebilir ve çok faydalı oldukları kanıtlanabilir:

• serbest parçacık (sıfır potansiyel);
• harmonik osilatör (kuadratik potansiyel);
• halka üzerinde hareket eden parçacık;
• dikdörtgen potansiyel kuyusunda parçacık;
• dairesel bir dalga kılavuzundaki parçacık;
• küresel simetrik potansiyelde parçacık;
• tek boyutlu bir kafes içinde parçacık (periyodik potansiyel).

Diğer durumlarda, çeşitli yaklaşım tekniklerine başvurmak gerekir:

• pertürbasyon teorisi şeklinde analitik ifadeler sağlar asimptotik açılım etrafında tam çözülebilen problem rahatsız.
• sayısal analiz pertürbasyon teorisi tarafından erişilemez durumları keşfedebilir.

genelleme

Denklemin görelilik alanına genelleştirilmesi, Klein-Gordon denklemine , ardından Dirac denklemine yol açtı  ; ikincisi doğal olarak spin ve antipartiküllerin varlığını kurar . Ancak, bu göreli dalga denklemlerinin tek bir parçacığı tanımlayan bir teori çerçevesinde tam olarak tutarlı bir yorumu yoktur; göreli kuantum teorisi için ilgili çerçeve , kuantum alan teorisidir .

Yarı-doğrusal Schrödinger denklemi gibi veya ultra-soğuk atomlar, plazmalar, lazerler, vb. teorisinde  ortaya çıkan Gross-Pitaevskii denklemi gibi diğer doğrusal olmayan Schrödinger tipi denklemler de vardır .

Popüler kültür

• Schrödinger denklemi bölüm önemli bir yer tutan Otherworld ait onbeşinci sezonunda serisi Criminal Minds , seri katil patolojinin merkezinde olmanın BAU ekibi tarafından avlanmış.

Notlar ve referanslar

1. Schrödinger, 1926'nın ikinci anılarında Hamilton mekaniği ve optik arasındaki ilişkiyi ayrıntılı olarak tartışır (bkz. kaynakça). Bakınız Walter Moore, Schrödinger - Life & Thought , Cambridge University Press (1989).
2. Ayrıntılar, Herbert Goldstein, Klasik mekanik , Addison-Wesley ( 2 e -baskı 1980), bölüm 10.8, s.  484-492 .
3. Abraham Païs, Inward Bound , Oxford University Press (1986).
4. Ortaya çıkan Balmer formülü doğrudur, ancak ince yapı yanlıştır.

Şuna da bakın:

bibliyografya

• [Schrödinger 1926] (içinde) Erwin Schrödinger , "  Atomların ve moleküllerin mekaniğinin dalgalı bir teorisi  " [ " Atomların ve moleküllerin mekaniğinin bir dalga teorisi "], Phys. Rev. , 2 nd serisi, cilt.  28, n o  6,Aralık 1926, sanat.  n o  1, s.  1049-1070 ( OCLC  4643877942 , DOI  10.1103 / PhysRev.28.1049 , Bibcode  1926PhRv ... 28.1049S , özet , çevrimiçi oku [PDF] ).
• Erwin Schrödinger, Memoirs on wave Mechanical , Félix-Alcan, Paris, 1933. Reissue Jacques Gabay , Marcel Brillouin tarafından önsöz , 1988 ( ISBN  2-87647-048-9 ) - Yazarın önsözü ve bu çeviri için özel olarak yazılmış yayınlanmamış notlar. - Alexandre Proca'nın 1926 tarihi anılarının Fransızca çevirisini içerir :
  • “Niceliklendirme ve özdeğerler (I) ve (II)”, Annalen der Physik (4) , 79 , 1926;
  • “ Heisenberg-Born-Jordan kuantum mekaniği ile benimki arasındaki ilişkiler üzerine ”, Annalen der Physik (4) , 79 , 1926;
  • "Miktarının belirlenmesi ve özdeğerler (III) - uygulama ile pertürbasyon teorisi Stark etkisi arasında Balmer çizgileri  ," Annalen der Physik (4) 80 1926
  • “Niceliklendirme ve özdeğerler (IV)”, Annalen der Physik (4) , 81 , 1926; ayrıca aşağıdaki makaleler:
  • "Makroskopik mekanik sürekli mikro mekaniğinin geçit" Die Naturwissenschaften , 14 inci  yıl, 28 , 1926, s.  664-666  ;
  • “Compton Etkisi Üzerine”, Annalen der Physik (4) , 82 , 1927;
  • "Maddesel dalgalar için enerjinin ve momentumun korunumu teoremi", Annalen der Physik (4) , 82 , 1927;
  • “Dalga mekaniğine göre enerji alışverişi”, Annalen der Physik (4) , 83 , 1927; "Ekler".

İlgili Makaleler

• Erwin Schrödinger
• Hidrojen atomu
• Kuantum fiziği
• Schrödinger denkleminin yayıcısı
• kuantum potansiyeli
• bütünlük
• Yol integrali
• Klein-Gordon denklemi
• Dirac denklemi

Dış bağlantılar

• Otorite kayıtları  :
  • Fransa Ulusal Kütüphanesi ( veri )
  • Üniversite dokümantasyon sistemi
  • Kongre Kütüphanesi
  • Gemeinsame Normdatei