Yaylara göre bağlantı

Gelen matematik ve daha özel olarak topoloji , arkların bağlantılılık kavramı bir arıtma olduğunu bağlılık . Bir topolojik boşluk olduğu söylenen yayların ile bağlı herhangi iki nokta her zaman ile bağlı olabilir, eğer yol . Bağlılık temel kavram olsa da, yaylarla bağlılık daha sezgiseldir ve çoğu zaman bağlılığı kanıtlamanın en iyi yolu olarak görülür.

Yollar

Bağlantıyı yaylarla tanımlamadan önce, "bir yolla bağlan" denen şeyin tanımlanması gerekir. Kişinin kendini içinde bulduğu ortama bağlı olarak, belirli yollar göz önünde bulundurulabilir.

Eğer E bir olan topolojik uzay ve eğer x ve y iki noktalarıdır E , biz diyoruz köken x ve bitiş yolu y herhangi kesintisiz harita öyle ki ve . γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gama: [0,1] \ rightarrow E}γ(0)=x{\ displaystyle \ gama (0) = x}γ(1)=y{\ displaystyle \ gama (1) = y}

X ve y'nin , x orijinli ve y'nin bittiği bir yol varsa bağlantılı olduğunu söylüyoruz .

"  X , y'ye bağlıdır  " ilişkisi , E üzerindeki bir eşdeğerlik ilişkisidir , buna denklik sınıfları E'nin yayları ile ilişkili bileşenler olarak adlandırılır .

Gösteri

• x ilişkilidir x , sayesinde sabit yolu her şey için;γ(t)=x{\ displaystyle \ gama (t) = x}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• Eğer x bağlı y sonra y bağlantılı x , sayesinde ters yol için her şey  ;γ¯(t)=γ(1-t){\ displaystyle {\ üst çizgi {\ gama}} (t) = \ gama (1-t)}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}
• Eğer X ile ilgilidir y ve y ile ilgilidir z sonra x ilgilidir z . Gerçekten de, eğer bağlanır x için y ve bağlayan y için z sonra bileşik yolu ile tanımlanan si ve si bağlanır X için z .γ1{\ displaystyle \ gama _ {1}}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}} γ=γ2⋆γ1{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ star \ gamma _ {1}}γ(t)=γ1(2t){\ displaystyle \ gama (t) = \ gama _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1/2}γ(t)=γ2(2t-1){\ displaystyle \ gama (t) = \ gama _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ displaystyle 1/2 \ leq t \ leq 1}

Normalleştirilmiş bir vektör uzayındaki yollar

Ortam alanı ise D a, normalize edilmiş vektör uzayı , tek noktalarını birleştiren yolları doğasını belirtebilir.

• Düz yollar: Her şey için yazılabiliyorsa yolun düz olduğu söylenir . Vektör denir direktör vektör ait . Destek yolu daha sonra bir hat bölümdür.γ(t)=x+tsen→{\ displaystyle \ gama (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Poligonal yollar: Sonlu sayıda doğrusal yolun bir bileşiği olarak yazılan bir yolun poligonal olduğu söylenir . Örneğin, Manhattan'da bir yolculuk çokgen bir yoldur.
• Sınıf yolları  : Bir yol olabilir sınıfına sahip . Aslında, herhangi bir yol sınıfsaldır, yani süreklidir, ancak daha yüksek düzeyde düzenliliğe sahip olabiliriz. A sınıfı yolu ile söz edilecek fazla olması normal eğer her şey için . Normal bir sınıf yolunun düzgün bir yol olduğu söylenir .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈DEĞİL{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈DEĞİL∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Yaylara göre bağlantı

Bu farklı yol türleri, duruma bağlı olarak yaylarla farklı bağlantı türlerinin tanımlanmasını mümkün kılacaktır.

Tanım

Topolojik uzay E , her bir nokta çifti E'nin desteğin E'ye dahil olduğu bir yolla bağlanması durumunda bağlanan söz konusu yoldur .

Kısım A ve E ile (Resim kaynaklı topoloji ) ve sadece noktalarının her çifti eğer yol bağlantılı olan A , bir yol ile bağlıdır A kalan .

Bir kısmı bir normalleştirilmiş vektör alanı olduğu söylenen çokgen yayların bağlı (sırasıyla arklarınVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} herhangi iki nokta ise) A bir çokgen yolu ile bağlı olabilir (sırasıyla sınıfı ). VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Örnekler

• Normalleştirilmiş bir vektör uzayında, bir dışbükey veya yıldız parçası yaylarla bağlanır.
• Bir daire yaylarla bağlanır, ancak çokgen yaylarla bağlanmaz.VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Bir kare poligonal yaylarla bağlanır, ancak yaylarla bağlanmaz .VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Düzlem bir yoksun sayılabilir bölümü (ya da “  tek  ” sahip olmayan süreklilik gücünü ), çok köşeli yay ile bağlı olan Cı ve arkların ∞ .
• Ortogonal özel bir grubu, SO ( N , ℝ) ve genel lineer grubu GL ( n , ℂ) (M norm ile indüklenen topoloji için yayların ile bağlı N (ℂ)).
• Genel doğrusal grup GL ( n , ℝ), yaylarla birbirine bağlanan iki bileşene sahiptir.

Bağlılık ile bağlantı kurun

Yaylarla bağlanan herhangi bir boşluk birbirine bağlıdır , ancak tersi yanlıştır. İşte klasik bir karşı örnek. F fonksiyonunu şu şekilde tanımlarız :

f:]0,1]→Rx↦günah⁡(1x).{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: &] 0,1] & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ sağ). \ end {matris}}}

Bu işlev] 0, 1] 'de süreklidir. Bu y tarafından ifade grafik ve C yapışma M'nin: Γ={(x,f(x))|x∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ displaystyle \ Gama = \ {(x, f (x)) | x \ içinde] 0,1] \}, \ quad C = {\ üst çizgi {\ Gama}} = \ Gama \ fincan \ sol (\ { 0 \} \ times [-1,1] \ sağ).}

Daha sonra connected bağlanır ( gerçek bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun grafiği olarak ), böylece yapışması C de, ancak C yaylarla bağlanmaz.

Benzer şekilde, topolog Γ ∪ {(0, 0)} ' nın sinüs eğrisi bağlıdır, ancak yaylarla bağlı değildir.

Ancak:

• içerisinde ℝ , olağan topolojisi ile donatılmış, bağlı parçalar ( aralıklarla yay ile bağlıdır);
• daha genel olarak, yaylarla bağlantılı ve yerel olarak bağlantılı herhangi bir uzay (örneğin: Öklid uzayı gibi normalize edilmiş bir vektör uzayının herhangi bir bağlı açık alanı ) yaylarla bağlanır.

Süreklilikle bağlantı kurun

Yaylarla bağlantı, bağlantı gibi, sürekli eşlemelerle korunur . Eğer iki topolojik boşluklar ve başlangıç alanı ise arasında sürekli bir haritasıdır e yay ile bağlanır, daha sonra resim f ( E ) yay ile bağlanır. f:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Gösteri

Eğer , o zaman E'de öyle bir a ve b vardır ki ve . Boşluk e yay ile bağlı olan, bir yol yoktur bağlantı bir etmek , b . Bileşik harita süreklidir ve bağlanır x için y bu Şekil, f ( x ) yay ile bağlanır. (x,y)∈f(E)2{\ displaystyle (x, y) \ in f (E) ^ {2}}x=f(-de){\ displaystyle x = f (a)}y=f(b){\ displaystyle y = f (b)}γ:[0,1]→X{\ displaystyle \ gama: [0,1] \ rightarrow X} γ′=f∘γ:[0,1]→f(E){\ displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ rightarrow f (E)}

Yaylara göre daha spesifik bağlantı türleri için benzer sonuçlarımız var:

• poligonal yaylarla bağlantılılık doğrusal haritalar ve afin haritalar tarafından korunur  ;
• yaylarla bağlılık - diffeomorfizmler tarafından korunur .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Ürün

Yaylarla birbirine bağlanan boşlukların herhangi bir ürünü yaylarla bağlanır.

Aslında, x ve y iki nokta ise ve yaylarla bağlıysa, her indeks i için aşağıdaki değerlere sahip bir yol vardır: , . Tarafından tanımlanan yol daha sonra x ile y'yi birleştirir . E=∏ben∈benEben{\ displaystyle E = \ prod _ {i \ I} E_ {i}}Eben{\ displaystyle E_ {i}}γben{\ displaystyle \ gamma _ {i}}Eben{\ displaystyle E_ {i}}γben(0)=xben{\ displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}γben(1)=yben{\ displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}γ:[0,1]→E{\ displaystyle \ gama: [0,1] \ ila E}γ(t)=(γben(t))ben∈ben{\ displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {i \ I’de}}

Not

1. Örneğin Wikiversity'deki bu düzeltilmiş alıştırmaya bakın .

Ayrıca görün

Basit bağlantı

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">