siklotomik uzantı

Bu makalede ise anahat ilişkin cebir .

İlgili projelerin tavsiyelerine göre bilginizi geliştirerek ( nasıl ? ) paylaşabilirsiniz .

Gelen cebirsel sayı teorisi dediğimiz devirli uzantı alanı ℚ arasında rasyonel sayı herhangi bir kırma alan a devirli polinomu , ζ a, bir şekilde ℚ (ζ) yani herhangi bir alanda biriminin kökü .

Bu alanlar, bir yandan belirli Diophantine denklemlerinin anlaşılmasında çok önemli bir rol oynar : örneğin, tamsayılar halkasının aritmetiği ( özellikle sınıflar grubu ), birçok durumda Fermat'ın son teoremini göstermeyi mümkün kılar (bkz. normal asal sayı ); ama aynı zamanda, önceki problemin soyut bir versiyonu olarak düşünülebilecek olan ℚ'nin cebirsel uzantılarının anlaşılmasında: örneğin Kronecker-Weber teoremi , herhangi bir değişmeli uzantının bir siklotomik uzantıda yer almasını sağlar. Son olarak, Iwasawa'nın teorisi , bu siklotomik uzantıları artık ayrı ayrı değil, uyumlu aileler olarak incelemeyi mümkün kılıyor.

Siklotomik uzantılar diğer gövdeler için de tanımlanabilir:

için Sonlu cisimler , teori temelde tamamlanmış olduğunu
için yerel alanlar arasında karakteristik 0, daha iyi genel durum için daha anlaşılır;
fonksiyonların organları için ...

İlk özellikler

n , ζ'nin mertebesini göstersin , yani ζ birliğin n'inci ilkel köküdür veya siklotomik polinom Φ n'nin bir köküdür .

Eğer n, bölme m , n -inci devirli alan ℚ (ζ) a, alt alan içinde m th.
Uzatma ℚ (ζ) / ℚ derecesi cp (taşımaktadır n φ temsil etmektedir), Euler gösterge fonksiyonu .
Siklotomik uzantı aynı zamanda Φ n polinomunun ayrıştırma alanıdır . Bu nedenle o Galois'tir . Bu, polinomun kökünü içeren en küçük alanın polinomun tüm köklerini de içerdiği anlamına gelir . Bu alanın bir Galois uzantısı olduğunu söylemek iki anlama gelir: bir yandan, bu alanın minimal polinomlarının birden fazla kökü yoktur (bu, rasyonel sayılar üzerindeki uzantılar için her zaman doğrudur); ve diğer yandan, karmaşık sayılardaki bu cismin tüm morfizmleri, cismin kendisine bir görüntü olarak sahiptir. Bu nedenle bunlar otomorfizmalardır .
Bu uzantı değişmeli . Gerçekten de, Galois'in grubu ( grup kendi automorphisms) olan değişmeli için, izomorf için (ℤ / n ℤ) x .

gösteriler

Siklotomik uzantı aynı zamanda polinomun ayrıştırma gövdesidir. Dolayısıyla o Galois'tir.

Uzantısı ζ içerir ve bu nedenle bütün güçler ancak Ç yetkileri kümesini oluşturan n -inci kökleri biriminin ve bu nedenle, özellikle devirli polinom köklerdir ilkel kökleri. Bu, ℚ (ζ)'nin ayrıştırma alanı olduğunu kanıtlar. Bir de mükemmel alanın rasyonel sayılar gibi (mükemmel alan tüm asal polinomlar olan bir alandır ayrılabilir, birden kökleri yoktur, yani cebirsel kapanması bir ayrışma alanı her zaman Galois bir uzantısıdır).

Siklotomik uzantı değişmeli.

Let olurdu daha bir tamsayı küçük n ve asal n . Daha sonra ζ d bir (tabii ki tek) ℚ-otomorfizm vardır, böylece devirli polinomu bir köküdür m d ζ üzerinde ζ gönderir ayrışma alan ℚ (ζ) bir d . O zaman, d sınıfına otomorfizmi m d ilişkilendiren Galois grubundaki ℤ / n ℤ'nin ters çevrilebilir elemanlarının çarpımsal grubunun uygulamasını düşünün . Bu harita açıkça grupların bir izomorfizmidir. Bu izomorfizm, Galois grubunun değişmeli olduğunu gösterir ve bu da ispatı sona erdirir.

Göre Gauss-Wantzel teoremi , bir aşağı bu uzantı sonları kuadratik uzantılarının kulesi ancak ve ancak n şekli şöyledir: $n = 2 ^ {k} \ prod _ {i} F_ {i},$ burada F ı olan ayrı Fermat asal (a Fermat asal sayı formu 2'nin olduğu söylenir (2 k ) bir tam sayı için + 1 k ).
Ancak bir noktadır constructible ancak ve ancak ilişkili uzatma tatmin eğer bu özellik. Bu teoremi nedenle sağlar teoride tamsayılar listesini n kendisi için düzenli çokgen ile n köşe “küçük” değerleri için, constructible ve mümkün kılan n olup olmadığını belirlemek için, ya da n bu listeye aittir. (Bilinen Fermat asal sayıları 3, 5, 17, 257 ve 65.537'dir.)
Tamsayılar halka alanı ℚ (ζ) arasında [ζ] halkası ℤ olan
A asal sayı p olan dallanmış ℚ (ζ olarak n ), ancak ve ancak bu böler halinde N durum dışında, p = 2 = (4, n ); bir p ≠ 2 asal sayısı ℚ (ζ n ) ' de tamamen ayrıştırılır , ancak ve ancak p ≡ 1 mod n ise .
Alan diskriminant ℚ (ζ) (ya da polinom Φ n ) aşağıdaki gibidir: φ olduğu Euler indikatriks . $(-1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ prod _ {{p {\ metin {ilk}} \ üstüne {\ metin {bölme}} n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}$
ℚ (ζ) alanı karmaşık bir çarpma işlemine sahiptir : tamamen sanal bir alandır, tamamen gerçek alanın ℚ (ζ + ζ −1 ) ikinci dereceden uzantısıdır .
Zaman , n = p önce tek alan ℚ (ζ) içeren ikinci dereceden alan ℚ ( $\sqrt (-1) ( s -1) / 2 s$ ). Örneğin p = 5 için ℚ (ζ) ℚ ( √ 5 ) içerir ve p = 3 için ℚ (ζ) ℚ ( $\sqrt -3$ ) içerir.
İkinci dereceden ℚ ( √ 2 ) ve ℚ ( $\sqrt -2$ ) alanları n = 8 için ℚ (ζ) içinde bulunur .

Bazı aritmetik sorular

Biz saha ℚ (ζ düşünün p için), p bir asal sayı. Daha sonra, denklem gösterebilir x p + y p = z p bir itiraf değildir önemsiz olmayan tam sayı çözeltisi ( x , y , z ) ile xyz asal p varsayımı altında, s bölmüyorsa sınıfları sayısı ℚ (ζ p ). Böyle bir asal sayıya normal asal sayı denir . Bu genellikle Fermat'ın Son Teoreminin ilk durumu olarak adlandırılır ve Ernst Kummer tarafından incelenmiştir . Kummer, bir asal sayının düzgün olup olmadığını belirlemek için özellikle Bernoulli sayılarıyla ilgili bir kritere sahiptir . Şu anda sonsuz sayıda asal sayının düzenli olmadığı biliniyor: Öte yandan, sonsuz sayıda düzenli sayı olup olmadığını bilmiyoruz.

Daha kesin bir ifadeyle, bir merak için olan değerleri , n halka ℤ [ζ n ] bir ana sınıf sayısı bu bilinen 1'dir söylemek olduğu,: tek sayılar n şekilde ℤ [ζ n ] asaldır (veya buradaki eşdeğeri : faktöriyel ), şunlardır: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21 , 24, 25 , 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 ve o zamandan beri bu listenin n tek sayısının çiftleri, ℚ (ζ 2 n ) = ℚ (ζ n ).

Karmaşık konjugasyonun eylemi

Alanın CM olması, Gal (ℚ (ζ p ) / ℚ (ζ p + ζ p −1 )) ≃ ℤ / 2ℤ'nin ℚ (ζ p ) ile bağlantılı farklı aritmetik nesneler üzerinde hareket etmesini mümkün kılar . Özellikle, bu ( grupların temsiline bakınız ) sınıf sayısında iki parça tanımlamaya izin verir : + kısım ve - kısım. Vandiver tahmin sonra devletler: "Herhangi asal için p , p sınıfların partisi + sayıya bölmek gelmez." Özellikle, düzenli bir asal sayı, Vandiver'in varsayımını karşılar. Bu varsayım altında ve gerçek alt alan ℚ (ζ p + ζ p −1 ) birimleri üzerine ek bir varsayım altında , Fermat teoreminin ikinci durumunu gösterebiliriz: x p + y p = z p non-olmayanları kabul etmez. bu önemsiz tamsayı çözeltileri, s bölmüyorsa xy ve p böler z .

Vandiver'in varsayımı şu anda hala bir varsayımdır . p <2 27 = 134 217 728 için sayısal olarak doğrulanmıştır .

Sonsuz siklotomik uzantılar

Her sayı alanı ve her p asal sayısı için sonsuz bir uzantı kulesi düşünülebilir: ℤ p -siklotomik uzantı. Eğer tek bir, ℤ s ℚ ait -cyclotomic uzantısı uzantıları kule tanımlandığı ile Galois yazışma ℤ izomorf alt grup sabit alt uzantısı olarak / ( s -1) Gal (ℚ (ζ ait ℤ s n ) / ℚ) ≃ ℤ / ( p –1) ℤ × ℤ / p n –1 ℤ. Alan böylece Galois ℚ uzatılması, ve düzeni daha siklik olduğu p n ; Projektif limit tanımına göre , in birleşimi Galois grubu ℤ p'nin ℚ üzerinde Galois'dir , dolayısıyla adı. $p$ ${\ matematik bb {B}} _ {n}$ ${\ matematik bb {B}} _ {n}$ ${\ matematik bb {B}} _ {n}$

Herhangi bir sayı alanının ℤ p -siklotomik uzantısı, onunla bileşik olarak elde edilir .

Notlar ve referanslar

(içinde) Jürgen Neukirch , Cebirsel Sayı Teorisi [ perakende sürümleri ], boynuz. 10.4, s. 63 .
(in) Lawrence C. Washington (de) , Cyclotomic Alanlarına Giriş [ perakende sürümleri ], böl. 11 .
(içinde) David Harvey, " Vandiver'ın varsayımının geniş ölçekli doğrulaması " ,aralık 2008( MIT Sayı Teorisi Semineri ).

Şuna da bakın:

İlgili makale

Stickelberger teoremi

Dış bağlantı

André Weil , “ Geçmiş ve geçmiş siklotomi ”, Séminaire Bourbaki , cilt. 16, n o 452, 1973-1974 ( çevrimiçi oku )