Gelen matematik , daha kesin olarak aritmetik ve genel cebir , distributivity bir bir işlem birbirine göre temel özelliği bir genellemedir: " bir miktar ürün rakamların toplamına eşittir ."
Örneğin, 2 × (5 + 3) = (2 × 5) + (2 × 3) ifadesinde , faktör 2, 5 + 3 toplamının iki teriminden her birine dağıtılır. Daha sonra eşitlik doğrulanır: solda 2 × 8 = 16 , sağda 10 + 6 = 16 .
Bu tesis, her için de geçerlidir üçlü ( x , y , z ) arasında bir tamsayı arasında tamsayılar için rasyonel sayı için reel sayılar ya da karmaşık sayılar :
x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z )Daha sonra söz ait distributivity çarpma göre ek .
In genel cebir , distributivity toplama ve çarpma dışındaki operasyonlara genelleştirilmiş edilir. Bir bileşimin iç hukuku ∘ bir dizi başka iç hukuku * ile ilgili olarak dağıtıcı ve E bir üçlü için ise ( x , y , z ) elemanlarının E , aşağıdaki özelliklere sahiptir:
x ∘ ( y ∗ z ) = ( x ∘ y ) ∗ ( x ∘ z ) ( sol dağılım ) ( x ∗ y ) ∘ z = ( x ∘ z ) ∗ ( y ∘ z ) ( doğru dağılım )Aritmetikte, dağılımdan bahsederken dikkate alınan iki işlem toplama ve çarpmadır. Çarpma, toplamaya göre dağıtılır:
x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z )ancak toplama, çarpma açısından dağınık değildir: özel durumlar hariç ( x = 0 gibi ), genel olarak,
x + ( y × z ) ≠ ( x + y ) × ( x + z )Bir ürünün faktörleri toplam ise, ürünler dönem dönem gerçekleştirilebilir ve sonra toplamı gerçekleştirilebilir. Bu özellik, zihinsel aritmetik veya bilgisayar biliminde , bir tamsayı ürününü verimli bir şekilde hesaplamak için sıklıkla kullanılır .
örnek 1 235 × 99 = 235 × (100 - 1) = 23.500 - 235 = 23.265Aynı şekilde, 9, 99, 999 vb. Tek tip sayılarla çarpma işlemi. dağıtım özelliğini kullanarak bir çıkarmaya indirgenir.
Örnek 2 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200.000 + 36.000 + 800 + 25.000 + 4.500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271.136 Öte yandan, örnek 3Ortalamaların doğrudan yapılması yasaktır; bunu elde etmek için adayların toplamını paydaların toplamına bölmeliyiz.
Tam sayılar için tamsayılar , rasyonel sayılar , gerçek sayı veya karmaşık sayı , toplama ve çarpma işlemleri değişmeli . Daha sonra çarpımın, "solda " veya "sağda" belirtilmeksizin toplamaya göre dağıtıldığını söylüyoruz , çünkü soldaki dağılım, sağdaki dağılım anlamına gelir (ve tersi). ürün.
Kanıt x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) ⇔ ( y + z ) × x = ( x × y ) + ( x × z ) (sol taraftaki çarpmanın değişme gücüne göre) ⇔ ( y + z ) x x = ( y x x ) + ( x x Z ) (çarpımın değişmeli özelliği ile 1 st doğru üyesinin toplamı) ⇔ ( y + z ) x x = ( y x x ) + ( Z x x ) (çarpım Yerdeğiştirme ile 2 nci sağından toplamı)Öte yandan, ( x + y ) / z = x / z + y / z ancak z / ( x + y ) ≠ z / x + z / Y ve bölünme tek olduğu söylenebilir olacak sağda dağıtım ile ilaveye saygı.
Karmaşık sayılar arasında ilginç bir durum, n ve m tamsayıları ile z = n + m i biçiminde yazılan Gauss tam sayılarıdır. Örneğin (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i, yani 1 + i'nin 2i'nin karekökü olduğunu göstermek için karmaşık çarpmanın dağılımını kullanırız . Daha genel olarak, iki Gauss tamsayısının çarpımının bir Gauss tamsayısı olduğunu gösteriyoruz.
Genel cebirde, cebirsel yapıları , yani belirli özelliklere sahip kompozisyon yasalarıyla sağlanan kümeleri inceliyoruz. Bu bağlamda, dağıtım, aşağıdaki durumlara genelleşir:
İç bileşimin ikinci yasasının iç bileşimin birinci yasası üzerindeki dağılımı, halkaların (ve dolayısıyla cisimlerin ) temel bir özelliğidir : + ve × olarak belirtilen iki iç yasa ile sağlanan bir A halkasında , x yasası dağıtıcı olmalıdır ( sağ ve sol) + ile ilgili olarak.
ℤ ait bölüm halkaları toplama ve ilgili tam sayı çarpma devralır ve bu uyarılmış yasalar eklenmesi bakımından çarpım distributivity doğrulayın.
Çarpmanın bölme üzerinden dağıtımı Hamilton kuaterniyonları için geçerliliğini korumaktadır , ancak dördüncül çarpma değişmeli değildir .
Dağılımı içeren bazı önemli kimlikler , örneğin ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ve genellemeler, aynı zamanda değişmeli kullanır ve bu nedenle matrislerin halkaları veya değişmez halkaları gibi değişmeli olmayan halkalar için geçerli değildir . polinomlar . Tabii ki, dağıtımdan kaynaklanan ve değişme gerektirmeyen herhangi bir özellik, değişmeli olmayan halkalarda geçerliliğini korur. (Söz konusu örnekte, ab ≠ ba ise ( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2 olacaktır ; ancak her zaman x'in herhangi bir üniter halkada 1 ile değiştiğinden beri var .)
Bir tanımında vektör alan , dış çarpma ile Skalerlerin vektörlerin yanı sıra ile ilgili olarak dağıtıcı ve. Burada, bir iç kompozisyon yasası değil, dışsal bir yasayla uğraşıyoruz, ancak dağıtım özelliği geçerli kalır (hem soldaki hem de sağdaki ((λ + μ) • x = λ • x + μ • x) iki farklı toplama yasasını ifade eder: bir yandan skalerlerinki, diğer yandan vektörlerinki). Bu nedenle, bu makalenin önsözünde tanımlanan özel bir durum olmayan, tüm öğelerin aynı kümeye ait olduğu daha genel bir dağıtım kavramıdır.
Be kümesi alt kümelerinin kümesi E . İki iç yapı yasası sunuyoruz : birlik ⋃ ve kesişme ⋂. Bu durumda, iç kompozisyonun iki kanunu birbirine göre dağıtılır. Başka bir deyişle, aşağıdaki öğelerin herhangi bir üçlüsü ( A , B , C ) için :
Bir ∪ ( B ∩ C ) = ( bir ∪ B ) ∩ ( bir ∪ C ) Bir ∩ ( B ∪ C ) = ( bir ∩ B ) ∪ ( bir ∩ C )Dağılım, birlik yerine simetrik farkı A Δ B : = ( A ⋃ B ) \ ( A ⋂ B ) olarak düşünürsek de doğrulanır . Yeniden birleşmenin aksine, bu işlem değişmeli grup yapısını verir ve Boolean halka yapısının kesişimi ile .
Bir kafes , her { x , y } çiftinin bir üst sınırı x ⋁ y ve bir alt sınırı x ⋀ y olduğu, kısmen sıralı bir E kümesidir . İki iç kompozisyon yasası birbirine göre dağılmışsa , E'nin bir dağıtım kafesi olduğunu söylüyoruz . Bu durumda, E'nin elemanlarının herhangi bir üçlüsü ( x , y , z ) için elimizde:
x ⋁ ( y ⋀ z ) = ( x ⋁ y ) ⋀ ( x ⋁ z ) x ⋀ ( y ⋁ z ) = ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ z )