Simetrik işlev
Gelen matematik , bir simetrik fonksiyonu bir bir değişmez fonksiyonu ile permütasyon onun değişkenleri. En sık vaka ise taşımaktadır simetrik polinom fonksiyonu bir tarafından verilen, simetrik polinomun .
Tanım
N değişkenli bir fonksiyon , {1,…, n } indisler kümesinin herhangi bir permütasyonu s için aşağıdaki eşitlik geçerliyse simetriktir :
f(x1,...,xdeğil){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
f(x1,...,xdeğil)=f(xs(1),...,xs(değil)).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ noktalar, x_ {n}) = f (x_ {s (1)}, \ noktalar, x_ {s (n)}).}İçin n = 1, herhangi bir fonksiyon simetriktir. İçin n = 2, fonksiyon fonksiyonu ise, simetrik değildir.
(x,y)↦exy{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ mathrm {e} ^ {xy}}xey{\ displaystyle x \ operatöradı {e} ^ {y}}
Bir denklem , fonksiyon simetrik olduğunda simetrik bir denklemdir .
f(x1,...,xdeğil)=0{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}f(x1,...,xdeğil){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
Örnekler
Fonksiyonlar
f(x1,x2)=x1+x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}} ve
f(x1,x2)=x1x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} x_ {2}}
simetriktir. Ayırt edici üç değişkenlerde
f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2 } (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}aynı zamanda simetriktir. Her zaman üç değişkenli olan ve polinom olmayan bir simetrik fonksiyon örneği:
f(x1,x2,x3)=max{|x1-x2|,|x1-x3|,|x2-x3|}{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ max \ {| x_ {1} -x_ {2} |, | x_ {1} -x_ {3} |, | x_ {2} -x_ {3} | \}}.
Doğrulama
Bir fonksiyonun simetrik olup olmadığını kontrol etmek için, n'nin her biri için değişmez olduğunu test etmek gerekli değildir ! argümanlarının permütasyonları. Simetrik grubu oluşturan bir dizi permütasyon seçmek yeterlidir ve bu tür kümeler için birkaç seçeneğimiz vardır.
İki değişkenin değiş tokuşu
Herhangi bir permütasyon, formun transpozisyonlarının bir bileşiği olduğundan , bir fonksiyon, iki rastgele değişkenin değişimi ile değişmeden kaldığı anda simetriktir ve bu nedenle,
(ben,j){\ displaystyle (i, j)}xben{\ displaystyle x_ {i}}xj{\ displaystyle x_ {j}}
f(...,xben,...,xj,...)=f(...,xj,...,xben,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, \ dotsc, x_ {j}, \ dotsc) = f (\ dotsc, x_ {j}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc)}ile her şey için . Bu, test edilecek permütasyonların sayısını azaltır .
ben,j∈{1,...,değil}{\ displaystyle i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}ben<j{\ displaystyle i <j}değil2{\ displaystyle n ^ {2}}
Ardışık değişkenlerin değişimi
Herhangi bir transpozisyon aynı zamanda formun ardışık değerlerinin transpozisyonlarının bir bileşimi olarak ifade edildiğinden , ardışık değişkenleri ve . Simetri için n - 1 eşitliklerinin
olması yeterlidir.(ben,ben+1){\ displaystyle (i, i + 1)}xben{\ displaystyle x_ {i}}xben+1{\ displaystyle x_ {i + 1}}
f(...,xben,xben+1,...)=f(...,xben+1,xben,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ dotsc) = f (\ ldots, x_ {i + 1}, x_ {i}, \ dotsc)}için geçerlidir .
ben=1,...,değil-1{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n-1}
Sabit değişkenli değişimler
Formun transpozisyonlarını da düşünebiliriz . Daha sonra , fonksiyonun değerini değiştirmeden birinci ve- inci değişkeni değiştirebildiğimizde, başka bir deyişle, bir fonksiyon simetriktir .
(1,ben){\ displaystyle (1, i)}ben{\ displaystyle i}
f(x1,...,xben,...)=f(xben,...,x1,...){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc) = f (x_ {i}, \ dotsc, x_ {1}, \ dotsc)}için . İlk değişken yerine başka bir değişken seçebilirsiniz.
ben=2,...,değil{\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}
Minimum kriter
Simetrik grubun bir jeneratör seti iki permütasyondan oluşur ve . Bu nedenle, bir fonksiyonun simetrik olması, sadece iki eşitliği karşılaması yeterlidir.
Sdeğil{\ displaystyle S_ {n}}(1,2,...,değil){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
f(x1,x2,...,xdeğil)=f(x2,...,xdeğil,x1){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {1})}ve
f(x1,x2,...,xdeğil)=f(x2,x1,...,xdeğil){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}.
Çift ile oluşturulan ve aynı zamanda herhangi biri ile ikame edilmiş olabilir , dairesel permütasyon ve bu döngü ardışık elemanların herhangi aktarılması.
(1,2,...,değil){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
Özellikleri
Fonksiyonların gerçek veya karmaşık değerleri olduğunda, simetrik fonksiyonlar n değişkenli fonksiyonların cebirinin bir alt cebirini oluşturur , yani:
- iki simetrik fonksiyonun toplamı hala simetrik bir fonksiyondur;
- iki simetrik fonksiyonun çarpımı hala simetrik bir fonksiyondur.
Herhangi bir simetrik rasyonel kesir ( değişmeli bir alan üzerinde ), iki simetrik polinomun bölümüdür .
Gösteri
Olsun simetrik bir rasyonel fraksiyonu.
F=PQ∈K(X1,...,Xdeğil){\ displaystyle F = {\ frac {P} {Q}} \, K (X_ {1}, \ noktalar, X_ {n})}
Herhangi bir permütasyon için not edin .
s∈Sdeğil{\ displaystyle s \ S_ {n}}Qs(X1,...,Xdeğil)=Q(Xs(1),...,Xs(değil)){\ displaystyle Q ^ {s} (X_ {1}, \ noktalar, X_ {n}) = Q (X_ {s (1)}, \ noktalar, X_ {s (n)})}
Polinom bu nedenle simetriktir (bir polinomdur) da ve .
D: =∏s∈SdeğilQs{\ displaystyle D: = \ prod _ {s \ S_ {n}} Q ^ {s}} içindeDEĞİL: =FD{\ displaystyle N: = FD}F=DEĞİLD{\ displaystyle F = {\ frac {N} {D}}}
Simetri
Karakteristik 0 olan bir alanda simetizasyon, değişkenlerin tüm olası permütasyonları üzerindeki bir fonksiyonun n ! İle ağırlıklandırılmış toplamıdır . Bu ifade
Sf(x1,...,xdeğil)=1değil!∑s∈Sdeğilf(xs(1),...,xs(değil)){\ displaystyle Sf (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {s \ in S_ {n}} f (x_ {s (1) }, \ dotsc, x_ {s (n)})}.
Yapısal olarak işlev simetriktir. Symmetrization operatör a, çıkıntı arasında boşluk üzerine fonksiyonlarının alt uzay simetrik fonksiyonlar.
Sf{\ displaystyle Sf}S{\ displaystyle S}
Uzantılar
Temel simetrik polinom teoremi veya Newton teoremi , herhangi bir simetrik polinom bir polinom olduğu durumları temel simetrik polinomların ; biçimsel serilere uzanır . Sürekli fonksiyonlar , holomorf fonksiyonlar ve pürüzsüz fonksiyonlar (fonksiyonlar ) için benzer sonuçlar geçerlidir . Sahibiz
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
f(x1,...,xdeğil)=g(σ1(x1,...,xdeğil),...,σdeğil(x1,...,xdeğil)){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = g (\ sigma _ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}))},
temel simetrik fonksiyonlar nerede .
σben{\ displaystyle \ sigma _ {i}}
Daha genel olarak, olsun , bir kompakt grubu doğrusal çalışan ve olsun değişmezler bir halka oluşturulması homojen operatörler . Veya ilgili uygulama . Yani uygulama
G{\ displaystyle G}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}ρ1,...,ρm{\ displaystyle \ rho _ {1}, \ ldots, \ rho _ {m}}R[x1,...,xdeğil]G{\ displaystyle \ mathbb {R} [x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}] ^ {G}}ρ:Rdeğil→Rm{\ displaystyle \ rho: \ mathbb {R} ^ {n} \ - \ mathbb {R} ^ {m}}x↦(ρ1(x),...,ρm(x)){\ displaystyle x \ mapsto (\ rho _ {1} (x), \ dotsc, \ rho _ {m} (x))}
ρ∗:VS∞(Rm)→VS∞(Rdeğil)G{\ displaystyle \ rho ^ {*}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ ile C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {G} }değişmez düz fonksiyonlar için temel teorem olan örtendir. Bu sonuç dayanmaktadır Malgrange hazırlama teoremi bir analogudur, bir Weierstrass'ın hazırlanması teoremi .
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
Notlar ve referanslar
(de) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
Almanca başlıklı
“ Symmetrische Funktion ” ( yazarların listesini görmek ) .
-
N. Bourbaki , Cebir : Bölüm 4 ila 7 , Springer ,2007( çevrimiçi okuyun ) , s. IV.57 ve sonrası.
-
Georges Glaeser , " Türevlenebilir kompozit fonksiyonlar ", Ann. Matematik. , cilt. 77, n o 21963, s. 193-209 ( Matematik İncelemeleri 0143058 , zbMATH 0106.31302 ).
-
(içinde) Gerald W. Schwartz, " Kompakt bir Lie grubunun eylemleri altında değişmeyen pürüzsüz fonksiyonlar " , Topoloji , cilt. 14,1975, s. 63-68 ( Matematik İncelemeleri 0370643 , zbMATH 0297.57015 ).
Ekler
İlgili makale
Simetrik cebir
Dış bağlantılar
Kaynakça
- Pierre Cartier , " Simetrik fonksiyonların klasik ve modern teorisi ", Séminaire Bourbaki , n o 597, 1982-1983, s. 1-23 ( çevrimiçi okuyun )
- (en) M. Golubitsky (en) ve V. Guillemin , Stable Mappings and Their Singularities , Springer , coll. " GTM " ( n o 14)1973, x + 209 p. ( Matematik İncelemeleri 0341518 , zbMATH 0294.58004 ) , s. 108 ve sonrası.
- Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]
- (tr) BL van der Waerden , Cebir I , Springer,2003, 265 s. ( ISBN 978-0-387-40624-4 , çevrimiçi okuyun )
- (tr) BL van der Waerden , Cebir II ,2003, 284 s. ( ISBN 978-0-387-40625-1 , çevrimiçi okuyun )
- (en) Ian G. Macdonald , Simetrik Fonksiyonlar ve Hall Polinomları , Oxford University Press , der. "Oxford Matematiksel Monografiler",1979( ISBN 0-19-853530-9 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">