Çözülebilir grup
In matematik , bir çözülebilir grup bir olan grup arasından inşa edilebilir değişmeli gruplarda bir sonuç ile tamamladı uzantıları .
Tarih
Grup teorisi genel çözeltiler (ya da yokluğu) için arama kaynaklı derecesi 5 polinomların kökleri ya da daha fazla. Çözülebilir grup kavramı tarafından paylaşılan bir donatısının automorphisms grupları arasında polinom kökleri yalnızca sınırlı sayıda kullanılarak ifade edilebilir temel işlemler ( n -inci kök , ek olarak , çarpma , vs. ).
Tanım
Bir grup G sonlu dizisi var olması durumunda çözülebilir G 0 , G 1 , ..., G, n, bir alt ve G gibi ifade edilmektedir:
burada gösterim araçlarının tüm i ∈ [0, n -1], G, I a, normal bir alt-grup içinde , G i + 1 , ve bölüm grubu G i + 1 / G, I değişmeli olan ( bir alt grup önemsiz bir G ) .
G 0 , G 1 ,…, G n bu nedenle tüm faktörleri değişmeli olan normal bir zincirdir (en) .
Daha G 0 , G 1 , ..., G , n söylenen ile ilgili çözülebilirliği için G . Tüm i ∈ [0, n –1], G i ≠ G i +1 ise (yani bunlar uygun alt gruplardır), buna tekrarlanmayan çözünürlük dizisi diyoruz.
Bir grup ancak ve ancak türetilmiş dizisi { e }' de durağan ise çözülebilir . Küçük doğal sayı n olacak şekilde D , n ( G ) = { E } sonra adlandırılır çözülebilirliği sınıfı arasında G . Bu nedenle önemsiz olmayan bir G grubu , ancak ve ancak türetilmiş grubu D ( G ) n - 1 sınıfında çözülebilirse ve ancak ve ancak ve ancak ve ancak n sınıfı (≥ 1 ) içinde çözülebilirdir .
Özellikleri
- Çözülebilir sınıf ≤ 1 grupları değişmeli gruplardır.
- Çözülebilir bir grubun herhangi bir alt grubu çözülebilirdir.
- Çözülebilir bir grubun herhangi bir bölüm grubu (normal bir alt grup tarafından) çözülebilirdir (bu, şu şekilde yeniden formüle edilebilir: G üzerinde çözülebilir bir grubun bir surjektif grup morfizmi varsa , o zaman G çözülebilirdir).
- Eğer , H G ayırt ve sınıfı çözülebilir olan q ve G / H sınıfı çözülebilir p , o G az sınıfı çözülebilir olduğu ya da eşit p + q .
- Bir basit grup çözülebilir ise ve buna bir grup ancak ve ancak yer aldığı, değişmeli yalnızca asal sırayla (dolayısıyla sonlu devirli ).
- Sonlu bir grup, ancak ve ancak "kendi" Jordan-Hölder dizisinde , her bölüm grubu asal düzeydeyse çözülebilirdir (çünkü çözülebilir bir grup için, bir Jordan-Hölder dizisinin bölümleri hem basit hem de çözülebilir).
- Amacıyla bir grup , n çözülebilir ise ve sadece tatmin halinde aşağıdaki kısmi Lagrange teoremi “karşılıklı” : Herhangi bir bölen için d ve n, böyle d ve n / d olan göreceli asal , G, bir yer alır (Hall de) alt grubu düzeninin d .
Örnekler
- Kesinlikle 60'tan küçük herhangi bir sipariş grubu çözülebilir.
- İçin , n , ≥ 5 alternatif grubu A , n , bu nedenle, çözülebilir basit ve değişmeli değil değildir.
- Simetrik grup G , n , bu nedenle, yalnızca çözülebilir n 4 ≤.
- Tüm nilpotent gruplar çözülebilir.
- Değişmeli bir halka A'da katsayıları olan ters çevrilebilir üst üçgen n × n matrisler grubu, değişmeli grubun ( A × ) n nilpotent grubu H n ( A ) tarafından bir uzantısı olarak çözülebilir .
- Eğer G tüm uygun alt grupları nilpotentlik olan sonlu grup, daha sonra G (bu çözülebilir Schmidt'in teoremi ).
Feit-Thompson teoremi
Tek sıralı herhangi bir sonlu grup çözülebilir.
Herhangi bir değişmeli olmayan basit sonlu grubun çift sıralı olduğu ve bu nedenle en az bir evrişim (yani 2. dereceden bir eleman ) içerdiği sonucu çıkar .
Şuna da bakın:
bibliyografya
- (tr) K. Doerk ve T. Hawkes, Finite Soluble Groups , Berlin, de Gruyter, 1992
- (tr) JC Lennox ve DJS Robinson, Sonsuz çözünür gruplar teorisi , Oxford University Press, 2004
İlgili Makaleler
- Métabélien grubu (içinde) ( yani çözülebilirlik Sınıfı 2)
- Polisiklik (en) grubu ( yani noetherian (en) çözülebilir grup veya eşdeğeri, tüm faktörleri döngüsel olan normal bir zincirle çözünür)
- Süper çözülebilir grup (döngüsel faktörlere sahip normal bir zincir tarafından çözülebilir, G i normal sadece G i +1'de değil G 'de )
- Sanal olarak çözülebilir grup (sonlu indeksin çözülebilir bir alt grubuna sahip bir grup)
- Çözünür sayısı (tam sayı , n için herhangi bir grubu, örneğin, bu ≥ 1 , n çözülebilir)