İç kompozisyon yasası

Gelen matematik , özellikle de genel cebir , bir iç bileşim yasası olan uygulanan bir, iki elemanları olan, ayar E , bir elemanın bir araya E . Diğer bir deyişle, eğer bu bir ikili işlem hangi e olan kararlı .

İlavesi ve çarpma kümesinde doğal sayılar iç kompozisyon kanunun klasik örnekleridir.

İç ve dış bileşimin yasaları tanımlanmasına hizmet cebirsel yapıları ayrıcalıklı bir yer işgal, genel cebir .

Sunum

Hepimiz ilkokuldan beri toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi işlemler kavramı hakkında oldukça iyi bir fikre sahibiz . Bir kümedeki (dahili) bir işlem , bu kümenin işlenenler olarak adlandırılan herhangi iki öğesiyle muhtemelen her zaman aynı kümede üçüncü, benzersiz, sonuç olarak adlandırılan bir sonucu ilişkilendiren dahili bir ilişkidir .

İçin düşünülen operasyon için etkili olacak içsel yapısında yasası , bu seçilen ayar iki element (biz operasyon her yerde tanımlanması gerektiğini resmen söylemek) ne olursa olsun bir anlamı olmalı. Yani :

• bölünme bir değil içsel yapısında yasası içinde ℝ örneğin, “3/0” mantıklı değil: Biz sıfıra bölme gelmediğinden dolayı. Ancak bu aynı bölme, ℝ * cinsinden bir iç kompozisyon yasasıdır (0'dan yoksun gerçek sayılar kümesi). Son olarak, bu aynı işlem ℤ * cinsinden bir iç bileşim yasası değildir çünkü 2/3, göreceli bir tam sayı değildir .
• Çıkarma, dikkate alınan sayılar kümesine bağlı olarak bir iç kompozisyon yasası olabilir veya olmayabilir :
  • {0, 1, 2, 3, ...} doğal tamsayılar olarak bilinen olağan sayılar kümesiyle ilgiliyse , bir değildir, çünkü "3 - 5", örneğin, n herhangi bir bu olağan sayılardan.
  • tersine, doğal tam sayılara ek olarak negatif tam sayıları {..., –3, –2, –1} içeren göreli tam sayılar kümesini seçersek, çıkarma gerçekten bir iç bileşim yasasıdır. .

Temel olarak, bir iç bileşim yasası bir dizi içinde , E , ya da sadece bir yasa içinde E , A, işlem , bir verir sonucu olarak , E elemanları tüm olası çiftleri için E .

Örnekler

Göreli tam sayılar kümesinde toplama , diğerlerinin yanı sıra aşağıdaki özelliklere sahip olan ve makalenin ikinci bölümünde daha resmi olarak tanımlanacak olan bir iç kompozisyon yasasıdır :

• 0, bu yasa için nötr bir unsurdur : herhangi bir sayıya eklendiğinde bu sayıyı tekrar verir: örneğin, 5 + 0 = 5 ve 0 + 8 = 8;
• herhangi bir tamsayı için, başka bir sayı vardır, bunun zıttı (genel terim simetrik öğedir ), örneğin ilkine eklendiğinde, nötr öğeyi 0 geri verir. Tersi , ilk tam sayı değişti işareti olarak not edilir. Yani: 3 + (–3) = 0;
• "  " işareti etrafındaki iki öğeyi değiştirebiliriz  : 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Operasyon değişmeli diyoruz  ;+{\ displaystyle +}
• ikiden fazla eklerken elemanları istediğimiz gibi gruplayabiliriz: 3 + 5 + 4 iki şekilde hesaplanabilir:
  • önce 3 + 5 = 8 hesaplayıp sonuca 4 ekleyerek,
  • veya 3 + 9'u hesaplamadan önce 5 + 4 = 9'u hesaplayarak.

Bu iki yöntem, not ettiğimiz aynı sonuca götürür: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4). Operasyonun çağrışımlı olduğunu söylüyoruz .

Bu dört özellikleri, nötr elemanın varlığı , Symmetrics varlığı , komutatiflik , çağrışımsal , diğer setleri ve diğer yasalar için bulunabilir. Böylece, tüm çevirileri inceleyebiliriz (yani düz bir çizgideki yer değiştirmeleri: örneğin, 3 metre sola ve 2 metre yukarı hareket etmek için) ve bu sette bir iç kompozisyon yasası, kompozisyon  : kompozisyon basitçe ilk yer değiştirmenin, ardından ikinci yer değiştirmenin yapılmasından oluşan iki çevirinin. Eklemede olduğu gibi bileşim için de aynı özellikler bulunur:

• Nötr hareketli değil oluşan sıfır çevirisi;
• simetri bir çevirinin diğer yönde (sağa doğru 3 metre ve önceki örneğin aşağı 2 metre) aynı yer değiştirme yapımında oluşur: gittikçe hem eğer sıfır yer değiştirme yaptıklarını gibi, o;
• yer değiştirmeleri istediğimiz sırayla yapabiliriz, değişme ve çağrışımları buluruz .

Eklemeli göreli tamsayılar kümesi ve kompozisyonlu çeviriler kümesi bu basit özelliklere sahiptir. Bu dört özel özelliğe sahip bir küme ve bir yasaya cebirde değişmeli grup denir . Genel cebir sonra daha karmaşık özellikler bu ilk dört kaynaklanan aramaya çalışacaktır. Bu yeni özellikler, aynı zamanda, çevirilerinkinde olduğu gibi göreli tamsayılar kümesi için ve bir değişmeli grup yapısına sahip herhangi bir diğer küme ve diğer iç kompozisyon kanunu için, yeniden başlama gerekmeksizin geçerli olacaktır. her biri için.

Resmi tanımlama

Aranan iç kompozisyon yasasını bir üzerinde ayarlanan E herhangi uygulaması ait ürün Kartezyen E × E yılında E . ∗{\ displaystyle * \,}

Bir iç kompozisyon yasası ile sağlanan bir E kümesi , magma adı verilen ve "( E , )" olarak belirtilen cebirsel bir yapı oluşturur . ∗{\ displaystyle * \,} ∗{\ displaystyle * \,}

Boş olmayan bir E kümesi için bazı önemsiz örnekler :

• sabit haritalar: c E'ye aitse  : ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = c  ;∗{\ displaystyle \, *}
• soldaki terimi seçen uygulama: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = x  ;∗{\ displaystyle \, *}
• sağdaki terimi seçen uygulama: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = y .∗{\ displaystyle \, *}

Özel öğeler

Kareler ve türevler

• aşağıdaki durumlarda bir öğenin kare olduğu söylenir :   vs{\ displaystyle c \,}∃ x∈E, x∗x=vs{\ displaystyle \ E de \ x \ var, \ x * x = c \,}

Tersine, her x elemanının   , genellikle " x 2  " ile gösterilen benzersiz bir karesi vardır  . Yasa ek olarak not edilirse, kare yerine çift terimi kullanılacaktır . Örnek: ℤ olarak, çift 3 (ilave için) 6 ve onun kare (çoğalması için) 9.

• aşağıdaki durumlarda bir elemanın idempotent (2. dereceden) veya projektör olduğu söylenir :   s{\ displaystyle s \,}s∗s=s{\ displaystyle s * s = s \,}

Başka bir deyişle, bu eleman kendi karesidir . Örnekler:

• bir yasanın her tarafsız öğesi, o yasa için ideal değildir;
• bunları içeren herhangi bir sayısal kümede 0 ve 1, çarpma için tek idempotent öğelerdir.

Nötrler ve türevler

Bir unsur söyleniyor: e{\ displaystyle e}

• solda nötr ise  ;∀x∈Ee∗x=x{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad e * x = x}
• sağda nötr ise  ;∀x∈Ex∗e=x{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * e = x}
• sağda ve solda nötr olduğunda nötr.

Örnekler

• ℝ 'de, toplamanın nötr öğesi 0 ve çarpmanın nötr öğesi 1'dir.
• Bir X kümesinin parça kümesinde , boş küme birleşim için nötrdür ve X kümesi kesişim için nötrdür .

Solda veya sağda nötr olan her şey idempotenttir.

Solda nötr bir öğe ve sağda nötr bir öğe varsa, o zaman yasa tek bir tarafsız öğeyi kabul eder ve soldaki veya sağdaki herhangi bir nötr öğe ona eşittir.

Nötr bir unsur olduğunda  : e{\ displaystyle e}

• bir eleman olduğu söylenir involutive ise . s{\ displaystyle s}s∗s=e{\ displaystyle s * s = e}Tek kapsayıcı ve idempotent unsur nötr unsurdur;
• si elementinin solunda bir elementin simetrik olduğu söylenir . Öğe daha sonra öğenin sağına simetriktir .-de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}-de∗b=e{\ displaystyle a * b = e}b{\ displaystyle b}-de{\ displaystyle a}

Emiciler ve türevleri

Bir unsur söyleniyor: -de{\ displaystyle a}

• sol taraftaki emici ise  :;∀x∈E-de∗x=-de{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * x = a}
• sağda emici ise  :;∀x∈Ex∗-de=-de{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * a = a}
• Emici sağdaki emici ve sol ise.

Örnekler

• ℝ'de 0, çarpma için emicidir.
• Bir X kümesinin parça kümesinde , boş küme kesişme için emicidir ve X kümesi birleşim için emicidir.

Soldaki veya sağdaki herhangi bir emici eleman idempotenttir.

Solda bir emici eleman ve sağda bir emici eleman varsa, yasa tek bir emici elemanı kabul eder ve soldaki veya sağdaki herhangi bir emici eleman buna eşittir.

Yasa bir soğurucu elemanı kabul ettiğinde , bir elemanın üstelsıfır olduğu söylenir (2. dereceden) ise . 0{\ displaystyle 0}x{\ displaystyle x}x∗x=0{\ displaystyle x * x = 0}

Bir yapının merkezi

Bir elementin merkezi if olduğu söylenir . vs{\ displaystyle c}∀x∈Ex∗vs=vs∗x{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * c = c * x}

İki taraflı nötr ve emici elemanlar merkezdedir.

E'nin merkezi olarak adlandırılır ve Z ( E ), tüm merkezi unsurlar E olarak yazılır .

Düzenli ürünler ve türevler

Bir unsur söylendi s∈E{\ displaystyle s \ E’de}

• aşağıdaki durumlarda solda normal veya solda basitleştirilmişse :

∀ (x,y)∈E2 (s∗x=s∗y⇒x=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ içinde E ^ {2} \ (s * x = s * y \ Sağa x = y)} ;

• aşağıdaki durumlarda sağda normal veya sağda basitleştirilmiş :

∀ (x,y)∈E2 (x∗s=y∗s⇒x=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ içinde E ^ {2} \ (x * s = y * s \ Sağa x = y)};

• sağa ve sola düzenli olduğunda düzenli veya basitleştirilmiş  ;
• sıfır bölücü sol orada ise emici eleman farklı (tabii ki tek),ve, eğer:;-de{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠-de∧s∗r=-de){\ displaystyle \ var \ r \ E \ (r \ neq a \ kama s * r = a)}
• sağa doğru sıfır bölen bir varsa emici eleman farklıdır ve: .-de{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠-de∧r∗s=-de){\ displaystyle \ var \ r \ E \ (r \ neq a \ kama r * s = a)}

Sıfır bölenler olan düzensiz . Nilpotent elemanları dışında emici eleman olan sıfır bölenleri .

Eleman çiftleri

Eleman çiftlerinin de belirli özellikleri olabilir:

• iki elementtir ve aşağıdaki durumlarda değiştirilebilir veya değişmeli olduğu söylenecektir :r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}r∗s=s∗r{\ displaystyle r * s = s * r \,}
• iki değiştirilebilir element ve aşağıdaki durumlarda simetrik veya tersinir olduğu söylenecektir : r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • Bir vardır nötr elemanı ,e{\ displaystyle e \,}
  • ve :;r∗s=e{\ displaystyle r * s = e}
• iki değiştirilebilir eleman ve aşağıdaki durumlarda sıfırın bölenleri veya parçalayıcılar olarak adlandırılacaktır : r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • emici bir eleman var ,-de{\ displaystyle a \,}
  • ve iki öğeden hiçbiri şuna eşit değildir :-de{\ displaystyle a \,}
  • ve :;r∗s=-de{\ displaystyle r * s = a}

Örnek: ilgili tam sayı için 0, nötr , eklenmesi için emici çoğalması için ve sağ nötr çıkarma için.

Özellikleri

İç kompozisyon yasalarının özellikle ilgi çekici olan bazı özellikleri bir isim almıştır. Let bir magma ( E , ); yasa aşağıdaki özellikleri sunabilir: ∗{\ displaystyle * \,}∗{\ displaystyle * \,}

Dikkat çekici unsurların varlığı

Bir yasa söyleniyor

• Solda nötr bir öğe varsa solda birleştirin . Sağda tarafsız bir unsur olmaması kaydıyla, bir yasanın solda birkaç tarafsız öğesi olabilir;
• sağda nötr bir unsur varsa sağda birleşin . Bir yasa, solda tarafsız bir unsur olmaması koşuluyla, sağda birkaç tarafsız öğe sunabilir;
• nötr bir öğe varsa (bu o zaman benzersizdir) birleşik (bazen üniter ).

Düzenlilik ve ilgili özellikler

• ∗{\ displaystyle * \,}olduğu söylenir soldaki normal veya ilgili simplifiable kalan tüm elemanları, eğer E olan solda düzenli , yani, eğer:

∀ (x,y,z)∈E3, (x∗y=x∗z)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ içinde E ^ {3}, \ (x * y = x * z) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}olduğu söylenir sağdaki düzenli ya da sağdaki simplifiable unsurları eğer tüm E olan sağdaki normal ise, yani:

∀ (x,y,z)∈E3, (y∗x=z∗x)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ içinde E ^ {3}, \ (y * x = z * x) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}olduğu söylenir normal veya simplifiable unsurları eğer tüm E olan normal , yani eğer:

∀ (x,y,z)∈E3, [ (x∗y=x∗z)∨(y∗x=z∗x) ]⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ içinde E ^ {3}, \ [\ (x * y = x * z) \ lor (y * x = z * x) \] \ Rightarrow (y = z) \,} Bir kanundur düzenli ancak ve ancak o ise sol tarafta düzenli ve sağda normal .

İlişkisellik ve benzer özellikler

Bir kanun söyleniyor: ∗{\ displaystyle *}

• ilişkisel eğer: ∀(x,y,z)∈E3x∗(y∗z)=(x∗y)∗z{\ displaystyle \ forall \ sol (x, y, z \ sağ) \ E ^ {3} \ dörtlü x * (y * z) = (x * y) * z}. Bir kanunun birlikteliği, kanunu tekrarlarken parantezlerden vazgeçmeyi mümkün kılar; ilginç yasaların çoğu ilişkiseldir (örnekler: toplama, çarpma, ikili ilişkilerin bileşimi …);
• alternatif eğer: ∀(x,y)∈E2[x∗(x∗y)=(x∗x)∗yve(x∗y)∗y=x∗(y∗y)]{\ displaystyle \ forall \ sol (x, y \ sağ) \ içinde E ^ {2} \ quad \ left [x * (x * y) = (x * x) * y \ quad {\ text {ve}} \ quad (x * y) * y = x * (y * y) \ sağ]}. Bu özellik, çağrışımdan daha zayıftır;
• birleştirici güçler , eğer bir eleman kendi başına birkaç kez oluşturulmuşsa, bu kompozisyonların gerçekleştirilme sırası sonucu etkilemez (özellikle bunu ima eder :). x∗(x∗x)=(x∗x)∗x{\ displaystyle x * (x * x) = (x * x) * x}Bu özellik doğrulandığında, bir elemanın güç kavramını (dolayısıyla mülkün adı) tanıtmak mümkündür :
  • n- inci güç bir eleman x genellikle ile gösterilen, x , n , bileşimin sonucuna eşittir x göre , ( N - 1) kendisi ile katı; dolayısıyla, x 1 = x , x 2 = x x , x 3 = x x x ,  vb.∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *}
  • dahası, yasa nötr bir e öğesi sunuyorsa , x 0 = e olarak koyarız∗{\ displaystyle *}
  • ek olarak x öğesi ters çevrilebilirse ( aşağıya bakın ), x –n = ( x n ) −1 olarak ayarlanır .

Diğer özellikler

Bir yasa söyleniyor ∗{\ displaystyle *}

• bir soğurma elemanı kabul ederse ve hiçbir eleman sıfırın böleni değilse bütünleşir ;
• değişmeli eğer.∀ (x,y)∈E2x∗y=y∗x{\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ içinde E ^ {2} \ quad x * y = y * x}

Yukarıdaki özellikler listesi tam kapsamlı değildir. Bununla birlikte, bu paragrafta yalnızca bir başka durumu ele alacağız: birkaç yasayı içeren cebirsel yapılarda, bu yasaların bazılarının diğer yasalarla ilgili özellikleri vardır. Bu göreceli yasaların en önemlisi dağılımdır.

• Bir hukuk olduğu dağıtıcı solda başka yasa ile karşılaştırıldığında ise:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (x,y,z)∈E3x∗(y⊥z)=(x∗y)⊥(x∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ içinde E ^ {3} \ quad x * (y \ bot z) = (x * y) \ bot (x * z) \,}
• Bir yasa , aşağıdaki durumlarda başka bir yasaya göre doğru dağıtımdır :∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (x,y,z)∈E3(x⊥y)∗z=(x∗z)⊥(y∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ içinde E ^ {3} \ quad (x \ bot y) * z = (x * z) \ bot (y * z) \,}
• Bir hukuk olduğu dağıtıcı başka kanuna göre o göre sağ ve sol dağıtıcı hem ise∗{\ displaystyle *}⊥{\ displaystyle \ bot}⊥{\ displaystyle \ bot}

Örneğin, çarpma, toplamaya göre dağıtılır.

Not: Dahası , düzenli ve birleşik ise, o zaman onun tarafsız unsuru zorunlu olarak hukuk için emicidir . Bu, diğer şeylerin yanı sıra, değişmeli bir alanda , birinci yasanın nötr öğesinin neden ikinci yasaya göre simetrik olmadığını açıklar . ⊥{\ displaystyle \ bot}∗{\ displaystyle *}

Tersinirlik

Bu önemli özellik ayrı bir paragrafı hak ediyor. Biz bir magma (kendimizi yerleştirecektir E , kimin) birleşik yasa biz üstlenecek bu nedenle nötr unsuru olan . Daha sonra aşağıdaki kavramları tanımlamak mümkündür: ∗{\ displaystyle * \,}e{\ displaystyle e \,}

• aşağıdaki durumlarda solda simetrik veya solda ters çevrilebilir bir öğe olduğu söylenir :s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s′∗s=e{\ displaystyle \ var \ s '\ E içinde, \ s' * s = e \,} s' , sonra adı sola simetrik elemanı arasında s  ;

• aşağıdaki durumlarda bir elemanın sağda simetrik veya sağda ters çevrilebilir olduğu söylenir :s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s∗s′=e{\ displaystyle \ E içinde \ s \ s * s '= e \,} s' , sonra adı sağa simetrik elemanı arasında s  ;

• Solda ters çevrilebilen herhangi bir öğe solda ve aynı şekilde sağda da normaldir. Eğer E sonlu, tersi herhangi çünkü doğrudur enjeksiyon ait E içine E daha sonra surjective (bkz bijections özelliklerini ).
• sağa ve sola ters çevrilebilir olduğunda ve iki simetrik eşit olduğunda bir elementin simetrik veya ters çevrilebilir olduğu söylenir ;s{\ displaystyle s \,}

s' daha sonra adı simetrik elemanı arasında s .

• Yasa olduğu söylenir soldaki symmetrizable veya üzerinde ters çevrilebilir sol tüm unsurları ise E şunlardır soldaki ters çevrilebilir ;∗{\ displaystyle * \,}
• Yasa söylenir sağ symmetrizable olmak ya sağ ters çevrilebilir tüm unsurları ise E vardır sağ ters çevrilebilir  ;∗{\ displaystyle * \,}
• Yasa olduğu söylenir symmetrizable veya ters çevrilebilir elementleri tüm eğer E olan ters çevrilebilir .∗{\ displaystyle * \,}

Yasa ayrıca çağrışımsal ise , solda simetrik olabilen (sırasıyla sağda ), solda simetrik unsurların (sırasıyla sağda ) benzersizliği vardır . Ve eğer bir öğe s sağda ve solda simetrikse, sol ve sağdaki simetrikleri zorunlu olarak birbirine eşittir ve bu nedenle bu öğe simetriktir. Simetrisi daha sonra genellikle " s -1  " olarak gösterilir  . ∗{\ displaystyle * \,}

Örnekler:

• 2 symmetrizable değildir ek olarak doğal sayılar  ;
• 2, göreceli tam sayılara eklenmesi için simetrik -2 ile simetriktir  ;
• 2, göreli tam sayılarda çarpım için tersinir değildir ;
• 2, rasyoneldeki ürün için ters 1/2, ters çevrilebilir .

Not :

Yasa ek olarak not edildiğinde, simetrik daha çok zıt olarak adlandırılır ve yasa çarpımsal olarak not edildiğinde, simetrik daha çok ters olarak adlandırılır .

N öğeli bir kümedeki iç kompozisyon yasalarının sayısı

E n elemanlı bir küme olsun .

İç bileşim yasaları sayısı E olduğu eşleştirmeleri sayısı gelen D x E için E , yani

değil(değil2){\ displaystyle n ^ {(n ^ {2})}}.

Ayrıca kaç tanesinin değişmeli olduğunu da sayabiliriz. E üzerindeki bir değişme yasası , tamamen { x, y } çiftleri için x✲y = y✲x değeriyle ve tekil { x } için x✲x değeriyle belirlenir . Bu çiftlerin ve singletons sayısı olarak , ilgili değişmeli yasaların sayısı E nedenle Γdeğil2=(değil+12)=değil(değil+1)2{\ displaystyle \ Gama _ {n} ^ {2} = {n + 1 \ 2'yi seçin} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

değildeğil(değil+1)/2 {\ displaystyle n ^ {n (n + 1) / 2} ~}.

Ayrıca görün

• Evrensel cebir
• Morfizm

Not

1. "İkili işlem" ifadesinin bu kullanımı, "bileşim kanunu" yerine kullanılan İngilizce "ikili işlem" ifadesinden esinlenmiştir . Matematikte, " işlem  " kelimesi  , bir iç kompozisyon yasasından başka bir şeyi de ifade edebilir.

Referanslar

• N. Bourbaki , Elements of mathematics , cilt.  II: Cebir, Bölüm 1 ila 3 , Berlin, Springer,1970( Repr.  2007), 2 inci  baskı. ( ISBN  978-3-540-33849-9 , çevrimiçi sunum )
• Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">