Açısal momentum (kuantum mekaniği)
Olarak kuantum mekaniği açısal momentum (gösterilen bir vektör operatörü olarak tanımlanır , her alan farklı boyutta ( “skalar” operatör) karşılık gelen üç bileşen ile birlikte). Bunlar birbirleriyle belirli komütasyon ilişkilerine uyar. Bu nedenle, klasik mekanikte açısal momentumun üç bileşeni aynı anda ölçülebilirken, kuantum çerçevesinde bu imkansızdır. Aslında, yalnızca bir yandan farklı bileşenlerin karelerinin toplamını veren operatörde ve belirli bir belirli bileşende (örneğin ) ortak özdurumlar belirlenebilir .
J→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {J}}}}J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
Üstelik, açısal momentum kuantum tanımı içinde “sıradan” kavramını genelleştirir açısal momentumu hiçbir klasik eşdeğer durumlara. Bu aslında bizi, bir parçacığın konum ve momentum operatörlerinin çeşitli bileşenlerinin bir fonksiyonu olarak klasik benzetmeyle tanımlanan açısal momentumu ( yörünge açısal momentum kavramı , not edildi ), klasik eşdeğeri olmayan içsel açısal momentumdan ayırmamıza yol açar. , veya spin ( not edildi ).
L→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {L}}}}S→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {S}}}}
Ayrıca, kuantum mekaniğinde, "nicelleştirilmiş" özdeğerlere sahip olan ve ortak olan özdurumlar . Bu, sistemin Hamiltonyen'inde olduğu gibi, çalışılan sistemin özel durumundan değil, bileşenleri arasındaki komütasyon ilişkilerinden doğrudan açısal momentumun tanımından kaynaklanır. Birkaç parçacıktan oluşan sistemler için, bu farklı açısal momentler belirli kurallara göre birleştirilir.
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
Son olarak ve klasik mekanikte olduğu gibi, kuantum açısal momentum sıradan uzayda (yörünge açısal momentumu için) veya daha soyut bir uzayda (dönme açısal momentumu için) dönüşlerle yakından ilişkilidir. Aslında, kuantum açısal momentumun farklı bileşenleri arasındaki komütasyon ilişkilerinin, ele alınan uzaylardaki temel dönüşlerin üreteçleri arasındaki ilişkilerden doğrudan kaynaklandığını göstermek mümkündür. Klasik mekanikte olduğu gibi, kuantum açısal momentumun kullanımının ilgisi, onun "korunduğu" durumlardan gelir, ancak terimin kuantum anlamında, başka bir deyişle (en azından bazı bileşenleri için) gidip geldiği yer. sistemin Hamiltoniyeni ile Bu durum, Hamiltonyen'de belirli simetrilerin varlığına bağlıdır . Bu durumda, Hamiltoniyen'in özdurumları operatörlerin olanlarla yaygındır ve . Özellikle kuantum açısal momentum , elektronik terimlerin sınıflandırılmasında atom ve moleküler fizikte temel bir rol oynar .
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
Bu gözlemlenebilirin birimi, klasik açısal momentumda olduğu gibi Js'dir (joule saniye).
açısal momentum operatörü
Klasik mekanikte kinetik moment
Konum vektörü ile bir malzeme noktası için ve momentum açısal momentum kökenli göre tanımlanır:r→{\ görüntü stili {\ vec {r}}} p→{\ görüntü stili {\ vec {p}}}L→=r→∧p→.{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ kama {\ vec {p}}.}
Olarak kartezyen koordinatları , bu eksenel vektör bileşenlerine sahiptir:
{Lx=ypz-zpyLy=zpx-xpzLz=xpy-ypx.{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ son {durumlar}}.}Klasik mekanikte açısal momentumun korunumu, sistemin Hamiltoniyeninin dönme değişmezliği ile yakından ilişkilidir.
İlk yaklaşım: yörünge açısal momentumu
Açısal momentumun klasik tanımına benzeterek, kuantum mekaniğinde karşılık gelen bir niceliği tanımlamak mümkündür. Ancak, daha sonra dikkate alınması gerektiğini pozisyonun “Vektör” operatörlere konum ve momentumun tekabül klasik miktarları ve momentumu . Bu gösterimler her üç skaler operatörlerin kümelerine karşılık gelir ve pozisyon ve momentum farklı bileşenleri vererek. Bunlar kanonik komütasyon ilişkilerine uyar :
r→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {r}}}}p→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {p}}}}(x^,y^,z^){\ displaystyle ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}(p^x,p^y,p^z){\ displaystyle ({\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z})}
[x^ben,p^j]=benℏδbenj,∀ben,j∈{x,y,z},{\ displaystyle \ displaystyle \ sol [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ sağ] = {\ rm {i}} \ hbar \ delta _ {ij} , \ dörtlü \ forall i, j \ in \ {x, y, z \},}burada bir Kronecker'in sembolü , belirtilen edilen bu farklı bileşenleri ya da birbirleri ile gidip.
δbenj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}r→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {r}}}}p→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {p}}}}
Bir parçacığın yörünge açısal momentum operatörü daha sonra vektör operatörü olarak tanımlanabilir , yani açısal momentumun bileşenlerine karşılık gelen üç skaler operatör grubu:
L→^=r→^∧p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ kama {\ hat {\ vec {p}}}}
{L^x=y^p^z-z^p^yL^y=z^p^x-x^p^zL^z=x^p^y-y^p^x.{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} {\ hat {L}} _ {x} = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y} \\ {\ hat {L}} _ {y} = {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \\ {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} { \ şapka {p}} _ {x} \ bitiş {durumlar}}.}Dikkate operatörler arasında geçiş ilişkileri alarak, yörünge açısal momentum farklı bileşenleri do not geçiş ile birbirlerine. Örneğin, önceki tanım ve kurallı anahtarlama ilişkileri göz önüne alındığında, ve arasındaki geçiş şu şekilde verilir:
L^x{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {x}}L^y{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {y}}
[L^x,L^y]=[y^p^z-z^p^y,z^p^x-x^p^z]=[y^p^z,z^p^x]-[y^p^z,x^p^z]-[z^p^y,z^p^x]+[z^p^y,x^p^z]=y^p^x[p^z,z^]-0-0+x^p^y[z^,p^z]{\ displaystyle \ sol [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ sağ] = \ sol [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ sağ] = \ sol [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p} } _ {x} \ sağ] - \ sol [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ sağ] - \ sol [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} \ sağ] + \ sol [ {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \ sağ] = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x} \ sol [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} \ sağ] -0-0 + {\ hat {x}} {\ hat { p}} _ {y} \ sol [{\ şapka {z}}, {\ şapka {p}} _ {z} \ sağ]}, veya son olarak:
[L^x,L^y]=benℏL^z{\ displaystyle \ sol [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ sağ] = {\ rm {i}} \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}.
Genel olarak, yörünge açısal momentumunun farklı bileşenlerinin komütasyon ilişkilerine uyduğunu doğrulamak kolaydır:
[L^ben,L^j]=εbenjkbenℏL^k,∀ben,j,k∈{x,y,z},{\ displaystyle \ sol [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {L}} _ {j} \ sağ] = \ varepsilon _ {ijk} {\ rm {i}} \ hbar {\ şapka {L}} _ {k}, \ dörtlü \ tüm i, j, k \ in \ {x, y, z \},}ε ijk olmak Levi-Civita sembolü .
Bu komütasyon ilişkileri , klasik açısal momentumun Kartezyen bileşenleri arasındaki Poisson parantezine daha yakındır : aslında , kanonik komütasyon ilişkileri için mevcut olanı hatırlatan biçimsel yazışmaydı .
{Lben,Lj}=εbenjkLk{\ displaystyle \ {L_ {i}, L_ {j} \} = \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}benℏ{Lben,Lj}→[L^ben,L^j]{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ {L_ {i}, L_ {j} \} \ sağ ok \ sol [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {L}} _ {j} \ sağ]}benℏ{xben,pben}→[x^ben,p^j]{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ {x_ {i}, p_ {i} \} \ sağ ok \ sol [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ sağ]}
Klasik eşdeğeri olmayan, ancak özellikleri yörünge açısal momentumuna benzer olan kuantum spin mekaniğindeki varlığı , aslında bu kavramın klasik tanıma doğrudan atıfta bulunmadan, bu sadece bu komütasyon bağıntılarından genelleştirilmesine yol açar.
Kuantum mekaniğinde açısal momentumun genel tanımı
Tanım olarak, biz diyoruz kuantum açısal momentumu üç herhangi seti gözlenebilirlerin kaydetti , ve bir vektör operatörü oluşturan, aralarında komütasyon ilişkileri doğrulamak:
J→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {J}}}}J^x{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {x}}J^y{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {y}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}J→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {J}}}}
[J^ben,J^j]=benℏεbenjkJ^k.{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = {\ rm {i}} \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J} } _ {k}.}
Bu soyut tanım, klasik kavramdan tanımlanan yörünge açısal momentumun tanımını genelleştirir. Bu komütasyon bağıntıları, operatörlerin yapıların sabitleri ile bir Lie cebirinin jeneratörlerini oluşturduğunu gösterir . İlişkili Lie grubu aslında rotasyonlar grubu (3), (nedeniyle, bir varlığı ya da grupların morfizmalar aralarında, özel birimcil SU (2)) açısal momentum ve rotasyonlar arasında yakın ilişkiyi açıklar, - bkz. enfra .
J^x,J^y,J^z{\ displaystyle {\ şapka {J}} _ {x}, {\ şapka {J}} _ {y}, {\ şapka {J}} _ {z}}benℏεbenjk{\ displaystyle {\ rm {i}} \ hbar \ varepsilon _ {ijk}}
Açısal momentumun bileşenleri arasında geçiş yapılmaması, farklı bileşenlerin aynı anda ölçülmesinin mümkün olmadığı anlamına gelir. Bununla birlikte, aşağıdakilerin tüm bileşenleriyle değişen operatörü ( açısal momentumun karesi) tanıtmak mümkündür :
J^2=J^x2+J^y2+J^z2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2} = {\ şapka {J}} _ {x} ^ {2} + {\ şapka {J}} _ {y} ^ {2} + {\ şapka {J}} _ {z} ^ {2}}J→^{\ displaystyle {\ şapka {\ vec {J}}}}
[J^2,J^ben]=0,ben=x,y,z.{\ displaystyle [{\ hat {J}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {i}] = 0, \ dörtlü i = x, y, z.}
Bu komütasyon ilişkileri olduğunu göstermektedir olduğunu Casimir değişmez operatörleri çizdiği çapın Lie cebir . Bu nedenle bu cebirin bir parçası değildir.
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^x,J^y,J^z{\ displaystyle {\ şapka {J}} _ {x}, {\ şapka {J}} _ {y}, {\ şapka {J}} _ {z}}
Sonuç olarak, kuantum mekaniğinde aynı anda yalnızca açısal momentumun karesini ve genel olarak belirtilen belirli bir bileşeni ölçmek mümkündür . Bu durumu temsil etmek için “dönen vektör”ün yarı klasik görüntüsüne başvurmak yaygındır. Bu modelde, açısal momentum, özdeğerinin kareköküne eşit sabit normlu bir vektörle temsil edilir ve Oz ekseni üzerindeki izdüşümü , belirsizliğe karşılık gelen, bu eksen etrafında "dönen" ile eşittir. farklı bileşenler arasındaki değişmeme ile ilgili ve özdeğerleri üzerine (bkz. karşıdaki şekil).
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}J→{\ görüntü stili {\ vec {J}}}J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}J^x{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {x}}J^y{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {y}}
Ölçek operatörleri
Diğer iki bileşen için, tanımlamak için yararlı olan ölçek operatörleri , ekteki birbirlerine:
J^+=J^x+benJ^y ve J^-=J^x-benJ^y.{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} = {\ hat {J}} _ {x} + {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y} {\ metin {ve }} {\ hat {J}} _ {-} = {\ hat {J}} _ {x} - {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y}.}Bu ilişkiler şu şekilde tersine çevrilir:
J^x=(J^++J^-)/2 ve J^y=(J^+-J^-)/2ben).{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = ({\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {-}) / 2 {\ metin {ve}} { \ hat {J}} _ {y} = ({\ hat {J}} _ {+} - {\ hat {J}} _ {-}) / 2 {\ rm {i}}).}Hemen gelir:
J^±J^∓=(J^x±benJ^y)(J^x∓benJ^y)=J^x2+J^y2∓ben[J^x,J^y]=J^2-J^z2±ℏJ^z.{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} {\ hat {J}} _ {\ mp} = ({\ hat {J}} _ {x} \ pm {\ rm {i}} { \ hat {J}} _ {y}) ({\ hat {J}} _ {x} \ mp {\ rm {i}} {\ hat {J}} _ {y}) = {\ hat {J }} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} \ mp i [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}] = {\ hat {J}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {z}.}
Toplama ve farka göre, şu ifadeyi çıkarmak mümkündür :
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}
J^2=12(J^+J^-+J^-J^+)+J^z2 ve [J^+,J^-]=2ℏJ^z.{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sol ({\ hat {J}} _ {+} {\ hat {J}} _ {-}) + {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} \ sağ) + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} {\ metin {and}} \ sol [{\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-} \ sağ] = 2 \ hbar {\ hat {J}} _ {z}.}Ayrıca, açısal momentumun farklı bileşenleri arasındaki geçiş özellikleri dikkate alındığında, şu sonuca varılır:
- [J^z,J^±]=±ℏJ^±,{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {\ pm},}
- [J^2,J^±]=0.{\ displaystyle [{\ hat {J}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = 0.}
Dolayısıyla bu farklı ilişkiler, operatörler için ortak olan belirli durumları belirlemeyi mümkün kılar ve .
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
J 2 ve J z operatörlerinin durumlarının ve öz değerlerinin belirlenmesi
Sadece belirli değerler arasında özdeğerler için mümkün olduğu, ölçek operatörlerinin çeşitli bileşenleri ve önceki ifadeler arasında komütasyon özelliklerini kullanarak, göstermek mümkündür ve . Burada yine, bunlar açısal momentumun içsel özellikleri, kuantum tanımının doğrudan sonuçlarıdır.
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
Her şeyden önce, açıktır özdeğerlerinin ait olan gerçek pozitif . Sonuç olarak, bunları ifade mümkündür ile j önsel , gerçek pozitif bir yana j ↦ j ( j + 1) a, bijection ℝ den + kendi içine.
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}} ℏ2j(j+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} j (j + 1)}
Benzer şekilde m real ile formdaki özdeğerlerini de yazmak mümkündür . Her durumda j ve m boyutsuz sayılardır.
J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}ℏm{\ görüntü stili \ hbar m}
Sonuç olarak (özdeğer için ) ve ( özdeğer için ) için ortak olan özdurum not edilebilir .
J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}ℏ2j(j+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} j (j + 1)}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}ℏm{\ görüntü stili \ hbar m}|j,m⟩{\ görüntü stili | j, m \ aralık}
Diğer bir deyişle :
J^2|j,m⟩=ℏ2j(j+1)|j,m⟩ ve J^z|j,m⟩=ℏm|j,m⟩.{\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2} | j, m \ rangle = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m \ rangle {\ metin {ve}} {\ hat { J}} _ {z} | j, m \ aralık = \ hbar m | j, m \ aralık.}Gerçekte, kuantum mekaniğinde açısal momentumun tanımı, iki "kuantum sayısının" olası değerlerine güçlü kısıtlamalar getirir j ve m .
Kuantum sayısı m -j ile +j arasındadır
Gerçekten de, bir şekilde ölçekli operatörlerin ifade kullanarak fonksiyonu ve bu gelir:
J^±{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {\ pm}}J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
0≤‖J^±|j,m⟩‖2=⟨j,m|J^2-J^z2∓ℏJz|j,m⟩=ℏ2(j(j+1)-m(m±1)){\ displaystyle 0 \ leq \ sol \ | {\ şapka {J}} _ {\ pm} | j, m \ rangle \ sağ \ | ^ {2} = \ langle j, m | {\ şapka {J}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ mp \ hbar J_ {z} | j, m \ rangle = \ hbar ^ {2} \ sol (j (j + 1) -m (m \ pm 1) \ sağ)},
Hangi ima -j≤m≤j.{\ displaystyle -j \ leq m \ leq j.}
Önceki ifadeyi dikkate alarak , şunları doğrulamak kolaydır:
J^±J^∓{\ displaystyle {\ şapka {J}} _ {\ pm} {\ şapka {J}} _ {\ mp}}
J±|j,m⟩=ℏj(j+1)-m(m±1)|j,m±1⟩.{\ displaystyle J _ {\ pm} | j, m \ aralık = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m \ pm 1)}} | j, {m \ pm 1} \ aralık. }Bu ifade bir yandan sıfır faz kuralı alarak, diğer yandan m ve m ± 1'in her ikisi de -j ile j arasındaysa tabii ki geçerlidir .
Bu durumda, operatör işlemi (-), (+) arttırmak ya da azaltmak için bir kuantum sayısı ile m değiştirmeden, j , bu nedenle adı ölçekli operatörlerinin ölçekli operatörleri yaklaşım onları (verilir ve için tanımlandığı kuantum harmonik osilatör ).
J^±{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {\ pm}}de^{\ görüntü stili {\ şapka {a}}}de^†{\ displaystyle {\ şapka {a}} ^ {\ hançer}}
Sadece kabul edilebilir değerler j yarı tamsayılar bütündür veya
Gerçekten de, pozitif gerçek j + m'nin q ile belirtilen tamsayı kısmına eşit olduğunu göstermek için absürt bir mantık yürütmek mümkündür . Eğer j + m, daha sıkı bir şekilde daha yüksek olmuştur q , yani m, - q: > - j , ölçek operatörü , tekrarlanır q özdurumu + 1 ile defa , önceki ifadeye göre üretecektir temiz bir durumda olan, mümkün olan. Ölçek operatörünü kullanan benzer bir akıl yürütme , pozitif gerçek j - m'nin r ile gösterilen tamsayı kısmına eşit olduğunu gösterir . Sonuç olarak, 2 j q + r pozitif tamsayıdır , bu şu anlama gelir:
J^-{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {-}} |j,m⟩{\ görüntü stili | j, m \ aralık}J±|j,m⟩{\ displaystyle J _ {\ pm} | j, m \ aralık}|j,m-q-1⟩{\ displaystyle | j, mq-1 \ rangle}m-q-1<-j{\ görüntü stili mq-1 <-j}J^+{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {+}}
- kuantum sayısı j olan tam sayı ya da yarı tam sayı ;
- kuantum sayısı m , - j ve j arasında bir birimlik sıçrama ile değişir .
Sonuçların özeti
Belirli devletler için ortak ve sıra dolayısıyla böyle şunlardır:
|j,m⟩{\ görüntü stili | j, m \ aralık}J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
J^2|j,m⟩=ℏ2j(j+1)|j,m⟩ tam veya yarım tam j ile ;J^z|j,m⟩=ℏm|j,m⟩ ile -j≤m≤+j bir birim atlama ile.{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} {\ hat {J}} ^ {2} | j, m \ rangle & = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m \ rangle & {\ text {j tamsayı veya yarım tamsayı ile}} ~; \\ {\ şapka {J}} _ {z} | j, m \ rangle & = \ hbar \; m | j, m \ rangle & {\ text {ile }} - j \ leq m \ leq + j {\ metin {birim atlayarak}}.\end {hizalanmış}}}
Sadece açısal momentum operatörlerini tanımlayan komütasyon bağıntılarından kaynaklandıkları için, bu özelliklerin açısal momentuma içkin olduğu vurgulanmalıdır. j tamsayılı açısal momentum operatörlerinin durumu, yörünge açısal momentumuna karşılık gelir; bu, j yarım tamsayıdan spin açısal momentum operatörlerine sahip olandır.
Belirli bir j değerine karşılık gelen özdurumlar 2 j + 1 dejeneredir. Ayrıca, operatörlerin - veya bileşenlerin eşdeğer bir şekilde - bir özdurum üzerindeki eyleminin , aynı j değerine karşılık gelen doğrusal bir özdurum kombinasyonuna geçmek olduğu gösterilmiştir . Çeşitli özdurumları izler bir özvektör alt uzay temelini oluşturan boyutu 2, j operatörlerinin etkisi altında + 1, değişmez , ve .
J^±{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {\ pm}}J^x,y{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {x, y}}|j,m⟩{\ görüntü stili | j, m \ aralık}{|j,-j⟩,|j,-j+1⟩,...,|j,j-1⟩,|j,j⟩}{\ displaystyle \ {| j, -j \ rangle, | j, -j + 1 \ rangle, \ ldots, | j, j-1 \ rangle, | j, j \ rangle \}}E(j){\ görüntü stili {\ matematiksel {E}} (j)}J^2{\ displaystyle {\ şapka {J}} ^ {2}}J^x,y{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {x, y}}J^z{\ görüntü stili {\ şapka {J}} _ {z}}
Matematiksel düzeyde, bu , bu operatörlerin özdurumlarının tabanındaki matris temsillerinin , her bloğun 2 j + 1 boyutuna sahip olduğu bloklarla köşegen olduğu anlamına gelir .
{|j,m⟩}{\ displaystyle \ {| j, m \ aralık \}}
Yörünge açısal momentumu ve dönüşüne uygulama
"Yörünge" açısal momentum
Tanım, genel özellikler
Bu kavram girişte bir parçacığın açısal momentumunun kuantum genellemesi olarak tanımlandı ve üç operatör tarafından verildi:
{L^x=y^p^z-z^p^yL^y=z^p^x-x^p^zL^z=x^p^y-y^p^x.{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} {\ hat {L}} _ {x} = {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y} \\ {\ hat {L}} _ {y} = {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z} \\ {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} { \ şapka {p}} _ {x} \ bitiş {durumlar}}.}Kuantum mekaniğinde açısal momentumu tanımlayan komütasyon ilişkilerine uyan bu operatörler, ortak özdurumlar ve , ilgili özdeğerleri ve ile not edilir . Ancak gerçekte yalnızca tamsayı , pozitif veya sıfır değerleri alabilir .
L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}L^2{\ displaystyle {\ şapka {L}} ^ {2}}|ℓ,m⟩{\ displaystyle | \ ell, m \ rangle}ℏm{\ görüntü stili \ hbar m}ℏ2ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1)}ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Gerçekten de, küresel koordinatlarda açıklamak mümkündür (belirtilen , şu şekildedir:
L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}(r,θ,ϕ){\ görüntü stili (r, \ teta, \ phi)}
L^z=-benℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ phi}},}ancak özdeğer denklemi daha sonra konum temsilinde yazılır:
L^z|ℓ,m⟩=ℏm|ℓ,m⟩{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z} | \ ell, m \ rangle = \ hbar m | \ ell, m \ rangle}
-benℏ∂ψ∂ϕ=ℏmψ(r,θ,ϕ){\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ kısmi \ psi} {\ kısmi \ phi}} = \ hbar m \ psi (r, \ teta, \ phi)}, ile .
ψ(r,θ,ϕ)=⟨r→|ℓ,m⟩{\ displaystyle \ psi (r, \ teta, \ phi) = \ langle {\ vec {r}} | \ ell, m \ rangle}Operatör açısal değişken sadece hareket eden, o poz değişkenleri ayırmak mümkündür ile öyle ki:
L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}ϕ{\ görüntü stili \ phi}ψ(r,θ,ϕ)=f(r,θ)g(ϕ){\ displaystyle \ psi (r, \ teta, \ phi) = f (r, \ teta) g (\ phi)}g(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}
-benℏdgdϕ=ℏmg(ϕ){\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {dg} {d \ phi}} = \ hbar mg (\ phi)},
bu nedenle , bir normalizasyon ve faz faktörü dışında , şeklindedir .
g(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}g(ϕ)=ebenmϕ{\ displaystyle g (\ phi) = e ^ {im \ phi}}
Fiziksel olarak, dalga fonksiyonu tek anlamlı olarak tanımlanmalıdır: özellikle, "eksenel" açısal kısmı da açık bir şekilde olmalıdır, açı 0 ve 2π değerleri arasındadır, bu da m'nin her zaman tamsayı , pozitif veya negatif olduğu anlamına gelir . sınır sıfır). Şimdi , bir birimin sıçramasıyla, bu, yörünge açısal momentumunun zorunlu olarak bir tamsayı olduğu anlamına gelir .
g(ϕ){\ displaystyle g (\ phi)}ϕ{\ görüntü stili \ phi}-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Döndürme operatörleri ile ilişkiler
Yörünge açısal momentumu aslında doğrudan uzaysal rotasyon operatörü ile ilgilidir. Gerçekten de, ve pozisyon temsil kendini yerleştirerek, açının bir temel dönme yönü etrafında Oz , birim vektör , bir varyasyonunu indükleyen pozisyon vektörünün , yaklaşık ilk dönme vektörüdür Oz .
δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}e→z{\ görüntü stili {\ vec {e}} _ {z}}δr→=δϕ→×r→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} = \ delta {\ vec {\ phi}} \ kez {\ vec {r}}}r→{\ görüntü stili {\ vec {r}}}δϕ→=(δϕ)e→z{\ displaystyle \ delta {\ vec {\ phi}} = (\ delta \ phi) {\ vec {e}} _ {z}}
Böyle bir temel dönüşte, belirli bir parçacığın dalga fonksiyonu, en düşük sırada aşağıdaki gibi dönüştürülür :
ψ(r→)=⟨r→|Ψ⟩{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}) = \ langle {\ vec {r}} | \ Psi \ rangle}δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}
ψ(r→+δr→)=ψ(r→)+δr→⋅∇→ψ=ψ(r→)+(δϕ→×r→)⋅∇→ψ{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ psi ({\ vec {r}}) + \ delta {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ psi = \ psi ({\ vec {r}}) + \ sol (\ delta {\ vec {\ phi}} \ kez {\ vec {r}} \ sağ) \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ psi},
ya karışık ürünün özelliklerinden dolayı:
ψ(r→+δr→)=(1+δϕ→⋅(r→×∇→))ψ{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ sol (1+ \ delta {\ vec {\ phi}} \ cdot \ sol ({\ vec {r) }} \ kez {\ vec {\ nabla}} \ sağ) \ sağ) \ psi},
veya çarpım faktörüne kadar , yörünge açısal momentum vektör operatörünün konum temsilindeki ifadeye karşılık gelir . Olarak bir temel açılı dönme etkisi altında dalga fonksiyonunun dönüşümü veren önceki ifade edilir yazılı:
r→×∇→{\ displaystyle {\ vec {r}} \ kere {\ vec {\ nabla}}}-benℏ{\ displaystyle -i \ hbar}L→^=r→^∧p→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {L}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ kama {\ hat {\ vec {p}}}}δϕ→=(δϕ)e→z{\ displaystyle \ delta {\ vec {\ phi}} = (\ delta \ phi) {\ vec {e}} _ {z}}δϕ{\ displaystyle \ delta \ phi}
ψ(r→+δr→)=(1-ben(δϕ)L^zℏ)ψ.{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) = \ sol (1-i (\ delta \ phi) {\ frac {{\ hat {L}} _ { z}} {\ hbar}} \ sağ) \ psi.}Sonuç olarak, Oz etrafında sonsuz küçük dönme operatörü ile verilir . Birim vektör tarafından tanımlanan rastgele bir yön için bu ifade genelleştirilir .
$^z(δϕ){\ displaystyle {\ şapka {R}} _ {z} (\ delta \ phi)}$^z(δϕ)=-ben(δϕ)L^zℏ{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ delta \ phi) = - i (\ delta \ phi) {\ frac {{\ hat {L}} _ {z}} {\ hbar}} }sen→{\ görüntü stili {\ vec {u}}}$^sen→(δϕ)=-benδϕL→^⋅sen→ℏ{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ vec {u}} (\ delta \ phi) = - i \ delta \ phi {\ frac {{\ şapka {\ vec {L}}} \ cdot {\ {u}}} {\ hbar}}} ile
Oz etrafında keyfi açının sonlu bir dönüşü durumunda , operatörün yazıldığını göstermek kolaydır:
ϕ{\ görüntü stili \ phi}
$^z(ϕ)=e-benℏϕL^z{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ phi) = e ^ {- {\ tfrac {i} {\ hbar}} \ phi {\ hat {L}} _ {z}}},
keyfi bir yöne genelleme açıktır.
Bu nedenle, üç yörüngesel açısal momentum , ve (tekabül yakından) jeneratörler , üç boyutlu uzayda rotasyonlar grubunun, SO (3).L^x{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {x}}L^y{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {y}}L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}-benℏ{\ görüntü stili {\ tfrac {-i} {\ hbar}}}
Açısal momentum ve uzayın izotropisi
Klasik mekanikte, açısal momentumun korunumu, sistemin Hamiltoniyeninin dönmesiyle değişmezliği ile yakından bağlantılıdır. Fiziksel bir niceliğin korunumu kavramının, onu temsil eden gözlemlenebilirin sistemin Hamiltoniyeni ile yer değiştirdiği duruma karşılık geldiği kuantum mekaniğinde de durum aynıdır .
Ö^{\ displaystyle {\ şapka {\ matematik {O}}}}H^{\ görüntü stili {\ şapka {H}}}[H^,Ö^]=0{\ displaystyle \ sol [{\ şapka {H}}, {\ şapka {\ matematik {O}}} \ sağ] = 0}
Dönme operatörleri ile yörünge açısal momentumun operatörleri arasındaki yakın ilişkiden dolayı, Hamiltonian'ın (uzaysal) dönme ile değişmezliğinin, ikincisinin operatörler ve (veya aslında, ve ) ile yer değiştirdiğini ima ettiği açıktır . Bu durumda, enerjinin özdurumları, Schrödinger denkleminin çözümleri , bu operatörlerle ortak olacak ve bu nedenle, ve m'nin belirlenmiş değerlerine sahip olacaktır . Hamiltoniyenin izotropisi, dolayısıyla uzayın tüm yönlerinin denkliği, ayrıca, enerji değerlerinin kuantum sayısına bağlı olmadığını m ve sonuç olarak farklı özdurumların bazen dejenere olduğunu ima edecektir : bu dejenerasyon denir. olmak esastır .
L^2{\ displaystyle {\ şapka {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}L^x{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {x}}L^y{\ görüntü stili {\ şapka {L}} _ {y}}H^|Ψ⟩=E|Ψ⟩{\ displaystyle {\ şapka {H}} | \ Psi \ rangle = E | \ Psi \ rangle}ℓ{\ görüntü stili \ ell}2ℓ+1{\ displaystyle 2 \ ell +1}
Öte yandan, genel durumda, enerji, "kazara dejenerasyon" olarak adlandırılan özel bir durum dışında , değerine bağlı olacaktır .
ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Düzgün ve sabit bir dış alan (örneğin manyetik) uygulanırsa, Hamiltonian artık izotropik olmayacak, ancak her zaman yörünge açısal momentumunun bileşeni ile bu alan yönünde ve elbette onunla değişecektir . Bununla birlikte, uzayın tüm yönlerinin denk olmamasından dolayı , enerji E o zaman genel olarak m'ye bağlı olacaktır : o zaman (en azından kısmi) bir dejenerasyon artışı vardır. Bu içinde ne olduğudur spektroskopi ile Zeeman ve Stark etkileri .
L^2{\ displaystyle {\ şapka {L}} ^ {2}}
Açısal momentumun özfonksiyonları - Küresel harmonikler
Çünkü uzayda rotasyonlar operatörleri ile yakından ilişkilidir, küresel koordinat sisteminde pozisyon gösteriminde, kendini yerleştirmek için yararlıdır (r, θ, φ) operatörler ifade etmek ve bu gelir:
L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}}L^2{\ displaystyle {\ şapka {L}} ^ {2}}
L^z=-benℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1günahθ∂∂θ[günahθ∂∂θ]+1günah2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ sol ({\ frac {1} {\ sin \ teta}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ teta }} \ sol [\ sin \ teta {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ teta}} \ sağ] + {\ frac {1} {\ günah ^ {2} \ teta}} {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi \ phi ^ {2}}} \ sağ).}
Bu son ifade, bir faktöre kadar , küresel koordinatlarda Laplacian ifadesinin açısal kısmına karşılık gelir , daha doğrusu:
Δ=1r2∂∂r(r2∂∂r)-L^2ℏ2r2.{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r}} \ sağ) - {\ frac {{\ şapka {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}.}Konum gösteriminde, ortak özdurumlar küresel harmoniklerdir ve şu şekli alırlar (normalleştirilmiş, tek fazlı faktör):
|ℓ,m⟩{\ displaystyle | \ ell, m \ rangle}L^2{\ displaystyle {\ şapka {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ şapka {L}} _ {z}} Yℓ,m(θ,ϕ)=⟨θ,ϕ|ℓ,m⟩{\ displaystyle Y _ {\ ell, m} \ sol (\ teta, \ phi \ sağ) = \ langle \ teta, \ phi | \ ell, m \ rangle}
Yℓ,m(θ,φ)=2⋅(ben-m)!(ben+m)!Pℓm(çünküθ)ebenmφ,{\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ teta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} P _ {\ ell} ^ { m} (\ cos \ teta) e ^ {im \ varphi},}burada ilgili Legendre polinomlarına karşılık gelirler .
Pℓm{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m}}
Notlar ve referanslar
Notlar
-
"Yörünge" sıfatı, onu içsel açısal momentum veya spinden ayırmak için kullanılır .
-
İndekslerden herhangi ikisi eşitse bu sembol sıfırdır, üçlü ( i , j , k ) üçlüsünün ( x , y , z ) dairesel bir permütasyonu ile çıkarılırsa +1'e eşittir, aksi takdirde -1 olur. Örneğin ε zxy = +1 ve ε yxz = –1.
-
Sentetik bir şekilde, herhangi bir kompakt Lie grubu G ile (yani parametreleri sınırlı olan) ve öyle ki ( G grubundaki özdeşliktir ), temeli tarafından verilen sıradan bir vektör uzayını ilişkilendirmek mümkündür. tarafından tanımlanan jeneratörler . Bu üreteçler , biçimin komütasyon ilişkileriyle, Lie grubu G ile ilişkili bir Lie cebiri oluşturur ; sabitler , ilişkili Lie cebirinin yapısal sabitleridir.x1,...,xDEĞİL∈$ veya VS{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N} \ in \ mathbb {R} {\ metin {veya}} \ mathbb {C}}∀g∈G,g(0,...,0)=1^{\ displaystyle \ forall g \ in G, g (0, \ ldots, 0) = {\ hat {1}}}1^{\ görüntü stili {\ şapka {1}}}Xben=∂g∂xben|xben=0,ben=1,...,DEĞİL{\ displaystyle X_ {i} = \ sol. {\ frac {\ kısmi g} {\ kısmi x_ {i}}} \ sağ | _ {x_ {i} = 0, \; i = 1, \ ldots, N }}[Xben,Xj]=vsbenjkXk{\ displaystyle \ sol [X_ {i}, X_ {j} \ sağ] = c_ {ijk} X_ {k}}vsbenjk{\ displaystyle c_ {ijk}}
-
Kuantum durumlarda "yukarı çıkmak" veya "aşağı inmek" için kullanıldıkları için adlandırılmış ölçek .
-
Parantez içindeki ikinci üye bir dalga fonksiyonu üzerinde hareket eden bir operatör olduğundan, bu ifadede "1" sayısı yerine açıkçası operatör kimliği yazmalıyız.ben^{\ görüntü stili {\ şapka {I}}}ψ{\ görüntü stili \ psi}
-
Bu özellikle Coulomb alanı için geçerlidir. Bu dejenerasyon aslında Hamiltoniyenin ek bir simetrisinin varlığıyla bağlantılıdır.
-
Bu fonksiyonlar Legendre polinomlarından formülle türetilir .Pℓ(x){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}Pℓm(x)=(-1)m (1-x2)m/2 dmdxm(Pℓ(x)){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m } } {dx ^ {m}}} \ sol (P _ {\ ell} (x) \ sağ)}
Referanslar
-
Bkz. Örneğin C. Cohen-Tannoudji , B. Diu ve F. Laloë , Quantum Mechanics [ baskının detayı ], ek B-VI.
-
Bkz. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 1: Mekanik [ baskıların ayrıntıları ], bölüm II, § 9.
Şuna da bakın:
Dış bağlantı
Fizik sitesi Phyches'ten Açısal Momentler Üzerine Tamamlayıcılar
İşler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">