Isı çekirdeği

Gelen matematik , ısı çekirdek a, Green fonksiyonu (aynı zamanda temel çözelti olarak da adlandırılır) ısı denkleminin , isteğe bağlı olarak, belirli bir alan üzerinde sahip uygun sınır koşulları. Ayrıca, Laplacian spektrumunu incelemek için temel araçlardan biridir . Isı çekirdeği , ilk anda bir noktada bir birim ısıya eşit sıcaklıktaki değişimi temsil eder .

Boş alanda ısı çekirdeği

Boş uzaydaki ısı çekirdeği R d ifadesine sahiptir

K(t,x,y)=1(4πt)d/2e-|x-y|2/4t{\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}} ${\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}$

ve ısı denkleminin çözümü

∂K∂t(t,x,y)=ΔxK(t,x,y){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi K} {\ kısmi t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)} ${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi K} {\ kısmi t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}$

tüm t > 0 ve x için , y ∈ R d , başlangıç koşuluyla

limt→0K(t,x,y)=δ(x-y)=δx(y){\ displaystyle \ lim _ {t \ ila 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ ila 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

burada δ Dirac dağılımıdır ve limit dağılımlar anlamında alınır , yani herhangi bir test fonksiyonu için φ

limt→0∫RdK(t,x,y)φ(y)dy=φ(x).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).}$

Spektral teori

Genel tanımlar

Ya yerleşik bir kompakt alan . Bu alanda, bir pozitif operatör dikkate , bir Laplace kenarında sınır koşulları ile donatılmış, sorunu tamamen gidermek alan (karışık Dirichlet, Neumann, sırasıyla). $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ kısmi \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ kısmi \ Omega$

Pozitif operatör , sürekli bir yarı grubun oluşturucusudur . Daha sonra herhangi bir toplanabilir kare fonksiyonu f için yazabiliriz : ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $L ^ {2} (\ Omega)$

${\ displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}$

K ( x , y , t ) fonksiyonuna " ısı çekirdeği " denir . Nitekim işlev:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}$

açıkça ısı denkleminin bir çözümüdür :

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f (x, t)} {\ kısmi t}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}$

Zaman Dahası, yarı-grup kimliği doğru eğilimi t sıfıra yaklaşır:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ ila _ {t \ ila 0 ^ {+}} \ f (x)}$

böylece ısı K çekirdeği asimptotik davranışa sahip olmalıdır:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ \ - _ {t \ - 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}$

nerede olduğunu Dirac dağılımı . Bu nedenle, ısı K ( x , y , t ) çekirdeği, Yeşil'in bir fonksiyonu veya ısı denkleminin temel çözümü gibi görünmektedir . ${\ displaystyle \ delta (x)}$

Spektral teori

Alan kompakt olduğunda, pozitif operatör , özvektörlerin Hilbert temeli ile ilişkili olan ayrı bir özdeğer spektrumuna sahiptir (burada Dirac notasyonları kullanılır ): $\Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Daha sonra, kapanış ilişkisinin iki katını ekleyerek yazabiliriz:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ şapka {H}}} | x \ rangle \ = \ \ toplamı _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}$

kim olur:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Isı çekirdeği izi

İz ısı çekirdeğin ile tanımlanır:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Özdurumlar ortonormaldir, biri yazılabileceğini fark eder:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Bu nedenle temel bir ilişkiye sahibiz:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}$

Bu ilişki, bu gibi bir çok “iz formüller” ile bağlantılıdır Selberg , ya da hiperbolik geometrisi Gutzwiller yarı klasik yaklaşımda.

Spektral fonksiyonlar

Özdeğerlerin sayma fonksiyonunu tanımlıyoruz :

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

nerede olduğunu Heaviside dağılımı . Sayma işlevi, toplam özdeğer sayısını bu değerden küçük veya ona eşit veren, artan bir pozitif merdiven işlevidir . Türevi, özdeğerlerin spektral yoğunluğudur : $\ vergi)$ $\ lambda$

${\ displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

Isı çekirdeğinin izi, bir Laplace dönüşümü ile bu işlevlerle ilişkilidir :

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}$

Spektral zeta işlevi

Burada esas olduğunu varsayıyoruz . Riemann zeta fonksiyonu ile benzer şekilde, spektral zeta fonksiyonunu Dirichlet tipi serilerle tanıtıyoruz : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

yeterince büyük için birleşen . Bu zeta işlevi, Mellin tipi bir dönüşüm ile ısı çekirdeğinin izine bağlıdır : ${\ displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ sol [\, s \, \ sağ]}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gama (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

Zeta fonksiyonu düzene özel olarak kullanılan operatörlerin belirleyicilerini (tr) ait hesaplamalar sırasında görünür yollarının integralleri olarak kuantum alan teorisi . Aslında, H operatörünün determinantı şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Kimlikle:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ sol (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ sağ) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

resmi ilişkiyi kolayca gösteririz:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ sol [\, - \ \ zeta '(0) \, \ sağ]}$

burada zeta fonksiyonunun türevi s = 0'da değerlendirilir .

Kompakt Riemann manifoldlarına uzatma

Önceki tüm tanımlar , daha sonra ayrı bir spektruma sahip olan kompakt bir Riemann manifoldu üzerindeki Laplace-Beltrami operatörü durumuna oldukça doğal bir şekilde uzanır . Bir üzerinde kompakt manifold , sabit fonksiyon temel durum dejenere olmadığı, sıfır özdeğer ile ilişkili olan, böylece, bire normalize edilebilir.

O zaman sormak daha uygun olur: ve bizde: $\ lambda _ {0} = 0$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Sıfır özdeğerinin “elle” kaldırılması koşuluyla bir zeta fonksiyonu bu spektrumla ilişkilendirilebilir.

Isı çekirdeğinin asimptotik gelişimi

Isı çekirdeğinin köşegen terimi, kısa sürede asimptotik bir gelişmeye izin verir .

Sınırsız kompakt Riemann çeşidi

Sınırsız d boyutunda kompakt bir Riemann manifoldu M için, Minakshisundaram-Pleijel'in (1949) geliştirmesine sahibiz:

${\ displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ - 0 ^ {+})}$

katsayıları burada pürüzsüz fonksiyonları M bağlıdır, metrik ve türevleri x . Tüm x noktalarına entegrasyonla , ısı çekirdeğinin izinin de kısa sürede asimptotik bir gelişmeye izin verdiğini anlıyoruz : $a_n (x)$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ ila 0 ^ {+})}$

sabitler şu şekilde tanımlanır: $Yıl}$

${\ displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}$

için ölçüm metrik ile indüklenen. Bu sabitler, M'nin belirli küresel geometrik özelliklerini ortaya koymaktadır ; örneğin, sabit , manifoldun hipervolümüyle orantılıdır: burada: $A_0$ ${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}$

${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}$

Gemideki çeşitler

Böyle bir asimptotik gelişimin varlığı, yeterince düzgün kenarlı çeşitlere genişletilebilir. Laplace-Beltrami operatörüne daha sonra uygun sınır koşulları sağlanmalıdır.

Spektrum ve geometri

Isı çekirdeği izinin gelişimi, özdeğer sayma fonksiyonu (veya türevi, spektral yoğunluk) ile ilgilidir.

İlgili Makaleler

Kaynakça

Referans kitapları

Marcel Berger, Paul Gauduchon ve Edmond Mazet; Riemanian manifoldunun spektrumu, Matematik Ders Notları 194 , Springer-Verlag (1971).
Isaac Chavel; Riemannian Geometry'de Özdeğerler , Saf ve Uygulamalı Matematik 115 , Academic Press ( 2 e- baskı 1984) ( ISBN 0121706400 ) .

Bazı makaleler

S Minakshisundaram ve A Pleijel; Riemann manifoldları üzerinde Laplace-operatörünün özfonksiyonlarının bazı özellikleri , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256.
HP McKean & IM Şarkıcısı; Eğrilik ve Laplacian'ın özdeğerleri, Diferansiyel Geometri Dergisi 1 (1) (1967), 43-69.
Peter B. Gilkey; Riemannian manifoldunun spektral geometrisi , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
Yves Colin de Verdière; P.Gilkey , Bourbaki Seminar'a göre, kompakt bir manifold üzerindeki ısı denkleminin asimptotik özellikleriKasım 1973).
Yves Colin de Verdière; Laplacian spektrumu ve periyodik jeodezik uzunlukları (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), s. 83-106 . Numdam .
Yves Colin de Verdière; Laplacian spektrumu ve periyodik jeodezik uzunlukları (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), s. 159-184 . Numdam .
Maria Teresa Arede; Manifoldlarda ısı çekirdeğinin geometrisi , Yüksek lisans tezi, Marsilya Üniversitesi (1983).
Teresa Arede; Isı çekirdeğinin jeodezik uzunluklar cinsinden verildiği manifoldlar , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
Peter B Gilkey; Isı Denklemi Asimptotikleri , Proc. Güzel. Saf ve Uygulamalı Matematik. V54 (1993), 317-336.
Klaus Kirsten; Matematik ve fizikte spektral fonksiyonlar , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN 1-58488-259-X ) .
Peter B. Gilkey; Spektral geometride asimptotik formüller , İleri Matematik Çalışmaları, cilt. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN 1-58488-358-8 )

Sanal kitaplık

Claude Bardos ve Olivier Laffite; Bir Riemann manifoldunda Laplacian özdeğerlerinin asimptotik davranışı üzerine eski ve yeni sonuçların bir sentezi , (1998). PostScript .
M. van den Berg, S. Desjardins ve PB Gilkey; Riemannian manifoldlarının ısı içeriği asimptotikleri : Diferansiyel Geometri ve Uygulamaları , O. Kowalski & D. Krupka (eds), 5. uluslararası konferans 1992 tarihli diferansiyel geometri ve Silesian Üniversitesi'ndeki uygulamaları (1993), ( ISBN 80-901581) -0-2 ) , s. 61-64 . PostScript .
DV Vassilevich; Isı çekirdeği genişletme: kullanım kılavuzu , Fizik Raporu 388 (2003), 279-360. ArXiv : hep-th / 0306138 .
Arlo Caine; Riemann manifoldundaki ısı çekirdeği , pdf .
Daniel Grieser; Sınırlı manifoldlar üzerine ısı çekirdeği üzerine notlar , pdf .

Notlar

olarak istatistik fizik , bunun standart bölüm işlevi , Z (t) ' “ters sıcaklık” için sistemin t .
Subbaramiah Minakshisundaram ve Åke Pleijel; Laplace operatörünün özfonksiyonlarının Riemann manifoldları üzerindeki bazı özellikleri , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256.