İlişkili Legendre polinomu

Gelen matematik , bir ilişkili Legendre polinom belirtildiği gibi, genel Legendre denklemi belirli bir çözüm: ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ sol (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ sağ) \, y = 0, \,}

sadece [-1,1] aralığında ve if , with ve m tamsayılar üzerinde düzenli bir çözüme sahip olan . M = 0 ise Legendre diferansiyel denklemine indirgenir . ${\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}$ ${\ displaystyle \ ell}$

M çift tamsayı ise bu fonksiyon bir polinomdur . Bununla birlikte, "polinom" adı yanlış olmasına rağmen, m'nin tek bir tam sayı olduğu durumda hala korunur .

Genel Legendre denklemi özellikle fizikte , örneğin Helmholtz denkleminin küresel koordinatlarda çözülmesinde karşılaşılır . Özellikle, ilişkili Legendre polinomları küresel harmoniklerin tanımlanmasında önemli bir rol oynar .

Tanımlar ve genel ifadeler

Legendre'nin fizikteki genel denklemi

Genel Legendre denklemi çözünürlükte doğal görünen üç boyutlu Helmholtz denklemi gösterilen küresel koordinatlar (in ile birlikte, yöntemi kullanılarak, sabit değişkenlerin ayrılması . Daha kesin olarak, bu colatitude uygun olarak açısal bir bölümüne karşılık gelir , bu bir denklem ve ayırma sabitlerine karşılık gelir. ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}$ $(r, \ theta, \ phi)$ ${\ displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}$ $k ^ 2$ $\ theta$ ${\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}$ $m ^ {2}$

Aslında bu durumda karşılık gelen açısal denklem şu şekildedir:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ sağ) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ sağ) \ Theta (\ theta) = 0}

Gösteri

Küresel koordinatlarda Helmholtz denklemi yazılır:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ sol [\ sin \ theta {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r}} \ sol (r ^ {2} { \ frac {\ parsiyel f} {\ parsiyel r}} \ sağ) + {\ frac {\ parsiyel} {\ parsiyel \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ parsiyel f} {\ kısmi \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partly ^ {2} f} {\ partly \ phi ^ {2}}} \ right] + k ^ { 2} f = 0,}

Şimdi değişkenleri ayırarak bir çözüm aranıyorsa , ikame ve bölünmeden sonra ne olur : ${\ Displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}$ ${\ Displaystyle R (r) \ Teta (\ teta) \ Phi (\ phi)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ sağ) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}

Bu denklemin tüm değerleri için doğru olması gerektiğinden ve bir sabit olduğundan, ilk üç terimin her biri bir sabite eşit olmalıdır. Bu nedenle sorarsak: $(r, \ theta, \ phi)$ $k ^ 2$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}

denklem şu şekilde yeniden düzenlenir:

{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ sağ) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}

Bu denklem ayrı değişkenler şeklinde olduğundan, her bir üye not edilen aynı sabite eşit olmalıdır ve buna göre açısal kısım şu şekle sokulur: ${\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}$ $\ Theta (\ theta)$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0.}

Radyal denklem , küresel Bessel fonksiyonlarının diferansiyel denklemine karşılık gelir .

Değişkenin değişmesi daha sonra bu denklemi Legendre'nin genel denklemi şeklinde koymayı mümkün kılar. ${\ displaystyle x = \ cos \ theta}$

Legendre polinomlarının bir fonksiyonu olarak ifade

İlişkili Legendre polinomları , Legendre polinomlarından aşağıdaki formülle çıkarılır : $P _ {{\ ell}} (x)$

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ sağ).}

Ortogonalite

0 ≤ m ≤ ℓ varsayıldığında , m , ℓ tamsayılarla, polinomlar sabit m için aşağıdaki ortogonalite koşulunu karşılar :

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}

nerede olduğunu Kronecker sembolü . ${\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}$

Ayrıca sabit olarak aşağıdaki ortogonallik koşulunu da takip ederler:

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ başla {vakalar} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {case}}.}

Küresel harmoniklerle bağlantı

Küresel harmonikler , özellikle yörüngesel açısal momentumun özfonksiyonlarına , yani operatörlere (açısal momentumun karesi) ve özdeğer denklemleriyle bileşenine ortak olanlara karşılık geldikleri kuantum fiziğinde meydana gelir : $Y _ {{\ ell, m}} (\ theta, \ phi)$ ${\ hat {L}} ^ {2}$ ${\ hat {L}} _ {z}$

{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}

Küresel koordinatlarda bu operatörler şu şekilde yerleştirilir:

{\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ phi}},

{\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parsiyel} {\ parsiyel \ theta}} \ sol [\ sin \ theta {\ frac {\ bölümlü} {\ bölüm \ theta}} \ sağ] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ bölüm ^ {2 }} {\ kısmi \ phi ^ {2}}} \ sağ).

Sonuç olarak, Laplacian'ın açısal kısmına karşılık gelir ve aslında özdeğer denklemleri Helmholtz denklemini çözerken elde edilenlerle aynıdır. Bu nedenle, küresel harmonik orantılıdır ve ve normalizasyondan sonra biçimlenip: ${\ hat {L}} ^ {2}$ $Y _ {{\ ell, m}} (\ theta, \ phi)$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}$

{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{(2 \ ell +1) \ 4'ten fazla \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}

Hipergeometrik fonksiyonla ilişki

Legendre'nin ilk ilişkili polinomlarının tabloları

Legendre'nin ilk ilişkili polinomları şunlardır:

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}

$\ Ell$	$m$
$\ Ell$	0	1	2	3	4
0	1	nd	nd	nd	nd
1	$x$	${\ displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	nd	nd	nd
2	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	${\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}$	nd	nd
3	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}$	${\ displaystyle - {\ begin {matris} {\ frac {3} {2}} \ end {matris}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }$	${\ displaystyle 15x (1-x ^ {2})}$	${\ displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$	nd
4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}$	${\ displaystyle - {\ begin {matris} {\ frac {5} {2}} \ end {matris}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}$	${\ displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$	${\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}$

Negatif değerleri için $m$ bu ilişki kullanmak yeterli olacaktır:

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell-m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}

doğrudan yukarıda verilen formülden çıkarılır.

Notlar ve referanslar

Notlar

Bu denklem bazı olduğunu ima formu , zorunlu olarak bir aralık boyunca univalued gerekir, $m$ gereken bir olmak göreli tamsayıdır . $\ Phi (\ phi)$ ${\ displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {with}} C \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ phi)}$ ${\ displaystyle [0.2 \ pi [}$
Bu faktör aslında bazı yazarlar tarafından ihmal edilen Condon-Shortley'nin söylediği bir faz faktörüdür ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$
Küresel koordinatlarda, Laplacian'ın formu aldığını doğrulamak bu nedenle kolaydır . Bu özellik, kuantum çalışmada özellikle kullanılan hidrojen atomu : Laplace sistemin Hamilton sonra yolculukları ile kinetik enerji vadeli ve küresel bir simetriye göre potansiyelin değişmez müdahale ve . Schrödinger denklemi elektron dolayısıyla değişkenleri ayırarak çözülebilir ve bu çözelti bir radyal fonksiyon ürünü ve bir küresel harmonik olarak verilir . ${\ displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ kısmi} {\ kısmi r}} \ sol (r ^ {2} {\ tfrac {\ kısmi f} { \ kısmi r}} \ sağ) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}$ ${\ hat {L}} ^ {2}$ ${\ hat {L}} _ {z}$ $Y _ {{\ ell, m}} (\ theta, \ phi)$

Referanslar

Özellikle bkz. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Seventh Edition, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .

Ayrıca görün