İkili sistem (Latince gelen Binarius , “çift”) sayısı sistem kullanılarak taban 2 . Konumsal ikili sayının basamakları genellikle bit olarak adlandırılır ( İngilizce ikili basamaktan veya "ikili basamaktan") . Bir bit, 0 ve 1 kuralıyla belirtilen iki değeri alabilir .
İkili sistem, bilgisayarlarda kullanılan dijital elektroniklerin çalışmasını temsil etmek için kullanışlıdır . Bu nedenle düşük seviyeli programlama dilleri tarafından kullanılır .
En yaygın ikili sistem, sayıların yalnızca iki basamaklı yer numaralandırma kullanılarak temsil edilmesine izin veren matematiksel taban ikidir : 0 ve 1.
Bu tip kodlamada, her sayı sıralı bir rakam dizisi ile benzersiz bir şekilde temsil edilir . Ve her m konumu , tabanın bir gücünü ( m - 1) temsil eder . Kendimizi başlangıçta pozitif tamsayılarla sınırlarsak , on tabanında bu güçler şunlardır: bir (1), on (10 ile temsil edilir), yüz (on çarpı on, 100 ile temsil edilir), bin (on çarpı yüz, ile temsil edilir) 1000), on bin vb. İkinci temelde, bu güçler şunlardır: bir (1), iki (ayrıca 10 ile temsil edilir), dört (iki çarpı iki, 100 ile temsil edilir), sekiz (iki çarpı dört, 1000 ile temsil edilir), on altı (iki çarpı sekiz, temsil edilir) 10000) vb.
10, 100, 1000 vb. temsillerin anlamlarının olduğunu görüyoruz. kullanılan tabana bağlıdır: 10 her zaman tabana eşittir, yani on tabanında on, ancak iki tabanında iki.
On tabanında, sıfırdan dokuza kadar on basamak kullanılır; n tabanında , sıfırdan n - 1'e kadar n basamak kullanırız ; bu nedenle taban ikide “0” ve “1” olmak üzere iki rakam kullanırız.
B tabanında dört basamak 1101 ile ifade edilen bir sayı analiz edilebilir:
, hangi verir:
1101 tabanında B = 10: | |||||
1101 tabanında B = 8: | |||||
1101 tabanında B = 2: |
10 tabanının ilk sayıları ve rakamları şöyle yazılır:
ondalık | ikili | açıklama |
---|---|---|
0 | 0 | sıfır |
1 | 1 | un = taban gücü sıfır (tüm bazlar için geçerlidir, yani iki ve on) |
2 | 10 | iki = iki üzeri bir (1'in arkasında sıfır) |
3 | 11 | |
4 | 100 | dört = iki üzeri iki (1'in arkasında iki sıfır) |
5 | 101 | |
6 | 110 | |
7 | 111 | |
8 | 1000 | sekiz = iki üzeri üç (1'in arkasında üç sıfır) |
9 | 1001 |
Her bir bit'e ikilik bir güç veriyoruz, bu dizide olduğu gibi 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 7 sayısını elde etmek için ilk üç biti toplarız; 6 elde etmek için, sadece ağırlığı 4 olan biti ve ağırlığı 2 olan biti ekliyoruz.
Dört temel işlemin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) teknikleri, ondalık gösterimdekiyle tamamen aynı kalır ; bunlar sadece büyük ölçüde basitleştirilmiştir çünkü sadece 0 ve 1 rakamları vardır. Örneğin çarpma için, taban ne olursa olsun, 10 ile çarpma (yani tabanın kendisi tarafından) sağa bir sıfır eklenerek yapılır.
Bir yanda sonucu ifade eden (sadece sıfır ve bir sayar) rakam dizisinin biçimini değiştiren tek değişiklik, diğer yanda bu dizinin anlamı (10 "iki" anlamına gelir, "on" değil, 100, "yüz" değil, "dört" anlamına gelir, vb.).
Toplama ve çıkarmaTutmaları unutmadan ve sıradan tabloyu kullanarak (ancak en basit ifadesine indirgenmiş) ondalık olarak 1 ekleyerek bir ikili sayıdan diğerine geçiyoruz:
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 avec 1 retenue 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 avec 1 retenue 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0İki A ve B bitinin eklenmesinin, A VE B'ye eşit bir taşıma ile A XOR B verdiği görülebilir.
Böyle :
11 + 1 ____ 100Detay:
1 + 1 = 10 => on pose 0 et on retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0 et on retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => on pose 1 devant 00İki ile çarpma, her basamağı bir adım sola kaydırarak ve sonuna sıfır ekleyerek yapılır.
Örneğin, iki kere on bir:
İkiye bölmenin tamamı, her basamağı bir adım sağa kaydırarak yapılır, sağdaki basamak kalanlar kaldırılır.
Örneğin on bir bölü ikiye:
İkili aritmetik (daha basit bir şekilde ikili hesaplama) en yaygın elektronik sistemler (hesap makineleri, bilgisayarlar, vb.) tarafından kullanılır, çünkü iki basamak 0 ve 1, voltaj veya akımın geçişi ile yansıtılır. Örneğin, 0, düşük durum (sıfır voltaj veya akım) ile ve 1, yüksek durum (mevcut voltaj, akan akım).
Tam sayıların gösterimini tamamlamak için negatif tam sayıları yazabilmek gerekir . İki temsil vardır, birinin tamamlayıcısı ve ikisinin tamamlayıcısı.
Tamamlayıcı birBu kodlama, her bitin değerini tersine çevirmekten oluşur.
Örneğin -7 almak için:
Bu sistemin bir kusuru, sıfırın iki temsili olmasıdır: 0000 ve 1111 ("+0" ve "-0"). Mevcut bilgisayarlar tarafından kullanılmamaktadır, ancak Control Data 6600 gibi daha eski bilgisayarlar tarafından kullanılmıştır . Sıfırın iki temsili, test devrelerini karmaşıklaştırır.
İki kişilik tamamlayıcıİkisinin tümleyeni, birin tümleyeninin gerçekleştirilmesi ve ardından 1 eklenmesinden oluşur.
Örneğin, -7 elde etmek için:
Bu kodlama, pozitif ve negatif sayıların özel farklılaşmasını gerektirmeme avantajına sahiptir ve özellikle sıfırın çift temsili sorununu ortadan kaldırır.
İşte 4 bitlik ikinin tamamlayıcısı olarak gerçekleştirilen -7 ve +9'un bir ilavesi:
-7 1001 +9 1001 __ ____ 2 (1) 0010 (on « ignore » la retenue)İle N bit, bu sistem arasında -2 sayıları temsil sağlar N -1 , 2 , n -1 - 1.
8 (sekizlik) ve 16 (onaltılık) tabanları, 2 tabanının kuvvet tabanlarıdır. Bu iki taban, veri işlemede ve pratik nedenlerle yaygın olarak kullanılır; bu tabanlar taban 2'ye güçlü bir şekilde bağlıdır ve bu tabanlarda yazılan sayılar (daha kısa yazı nedeniyle) insan zekası tarafından daha "manipüle edilebilir". Bu tabanlardaki sayıların yazılması, sayıların yazılmasından taban 2'ye kadar olan rakamların gruplandırılmasıyla kolayca elde edilir.
Bu ilkeyi 2'nin kuvvetleri olan tüm üslere kolayca genişletebiliriz.
ikiliyeTabanın kuvvetine karşılık gelen bir dizi basamak kullanarak basamakların her birinin değerini ikili biçiminde dönüştürmek yeterlidir: 16 = 2 4 , 8 = 2 3 , yani onaltılık için 4 basamak ve sekizlik için 3:
|
|
Yansıtılmış ikili olarak da adlandırılan gri kod, bir sayı bir artırıldığında veya azaltıldığında bir seferde yalnızca bir bitin değişmesine izin verir. Kodun adı, 1947'de bu kod için patent başvurusunda bulunan Amerikalı mühendis Frank Gray'den geliyor .
Bir tamsayının Gray kodunu öncekinden doğrudan hesaplamak için aşağıdaki gibi ilerleyebiliriz:
Bilgisayarın ikili mantığını insan mantığıyla uzlaştırmak için, ondalık konumsal gösterimde onları oluşturan basamakların her biri sayıların kendisi yerine ikiliye dönüştürülebilir. Bu rakamların her biri daha sonra 4 bit olarak kodlanır:
1994 = 0001 1001 1001 0100 1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1n bit (4'ün n katı) ile 0 ile 10 n / 4 -1 arasındaki sayıları temsil etmek mümkündür . Yani yaklaşık olarak 0 ile 1.778 n -1 arasındadır. DCB gereksiz bir koddur, aslında bazı kombinasyonlar kullanılmaz (örneğin 1111 gibi).
Bu gösterim, tamsayı aritmetiğinde devrelerin boyutunu aşan büyük sayıların manipülasyonu sırasında ortaya çıkacak ve şamandıraya başvurmak zorunda kalacak olan tüm zahmetli yuvarlama biriktirme problemlerini yapım yoluyla önler. Bununla birlikte, DCB'den daha verimli kodlama kullanarak sayıları keyfi hassasiyetle değiştirmek mümkündür .
DCB kodlamanın çeşitleri vardır:
Bilgi teorisinde , bir bilgi kaynağının entropisi bit olarak ifade edilir . Teorinin kendisi, kullandığı niceliklerin temsiline kayıtsızdır.
Klasik mantık bir iki değerli mantıktır: Bir önerme ya doğru ya da yanlış olduğunu. Bu nedenle, bir önermenin doğruluğunu ikili bir sayı ile temsil etmek mümkündür. Örneğin, ikili aritmetiğin işlemlerini Boole cebrini kullanarak modelleyebiliriz .
Boole cebri , yalnızca 0 ve 1 doğruluk değerlerini içeren olasılıkların çok özel bir kullanım durumunu temsil eder . Bkz. Cox-Jaynes teoremi .
İkili, veri işlemede kullanılır, çünkü TTL veya CMOS gibi anahtarlama bileşenlerinin çalışmasını modellemeyi mümkün kılar . Bu voltajın tam değerini ihmal ederek, transistörler boyunca bir voltaj eşiğinin varlığı, 0 veya 1'i temsil edecektir. Örneğin, 0 sayısı , 0,5 V dahilinde voltaj yokluğunu belirtmek için kullanılacaktır ve 1 sayısı, voltajı belirtmek için kullanılacaktır. varlığı 0,5 V'tan fazla . Bu tolerans marjı , mikroişlemcilerin oranlarını birkaç gigahertz'e ulaşan değerlere zorlamayı mümkün kılar .
Gelen bilgisayar bilimleri , ikili gösterimi mümkün açıkça işlemek için yapar bitleri her ikili sayı karşılık gelir bir bit:. Bununla birlikte, ikili gösterim çok sayıda basamak kullanılmasını gerektirdiğinden (oldukça küçük sayılar için bile), önemli okunabilirlik sorunlarına ve dolayısıyla programcılar için transkripsiyon hatası risklerine yol açar . Bu nedenle diğer gösterimler tercih edilir : 4 bitlik paketlerdeki bilgilerin manipüle edilmesini mümkün kılan onaltılık gösterim, 8, 16, 32 veya 64 bitlik kelimelerle çalışan hemen hemen tüm mevcut mikroişlemciler için uygundur ; 3 bitlik paketler halinde bilgileri temsil edebilen , ilk mini bilgisayarların DEC'den 12 veya 36 bit'e kadar olan daha nadir, puanlama sekizli , popüler zamanı .