Gelen matematik dediğimiz olmayan Öklid geometrisinin bir geometrik teori tüm kullanımlar aksiyomlarını ve önermeleri oluşturduğu Öklid olarak Elementlerin dışında paralel önermesiyle .
Farklı olmayan Öklid geometriler beşinci önerme (kanıtlamak için bir istek vardır çok karmaşık ve belki de gereksiz olarak tatmin edici gibiydi Öklid önerme).
In Öklid ' Elementler , postüla benzer bir sonuca a teoremi , ancak hangi bir dahil olmaz kanıt :
İki düz çizgi üzerine düşen bir çizgi , aynı taraftaki iç açıları iki haktan daha küçük yapıyorsa , süresiz olarak uzatılan bu haklar, açıların iki haktan daha küçük olduğu kenarı karşılayacaktır .
hangisi şu şekilde anlaşılabilir:
Bir çizginin dışındaki bir noktadan, her zaman bu çizgiye bir paralel geçer ve sadece bir tane.
Birkaç yüzyıl boyunca, Öklid geometrisi geçerliliği sorgulanmadan kullanıldı. Hatta uzun zamandır mantıksal-tümdengelimli akıl yürütmenin arketipi olarak kabul edildi . Geometrik nesnelerin sezgisel özelliklerini titiz bir matematiksel yapıda tanımlama avantajına sahipti.
1902'de Henri Poincaré , Öklid'in beşinci varsayımının geçerli olmadığı basit bir model önerdi. Çizgi burada uzantı olarak, dikkate alınan alanın iki noktasını birleştiren en kısa yolun eğrisi olarak tanımlanır.
“Büyük bir küre içine alınmış ve aşağıdaki yasalara tabi bir dünya varsayalım: Orada sıcaklık tekdüze değildir; merkezde maksimumdur ve kişi ondan uzaklaştıkça azalır, bu dünyanın çevrelendiği alana ulaşıldığında mutlak sıfıra indirgenir. [...] Hareket eden bir nesne, sınır küresine yaklaştıkça küçülür ve küçülür. Öncelikle şunu gözlemleyelim, eğer bu dünya bizim olağan geometrimiz açısından sınırlandırılırsa, sakinlerine sonsuz görünecektir. Bunlar aslında sınır alanına yaklaşmak istediklerinde soğurlar ve küçülürler. Dolayısıyla attıkları adımlar giderek küçülür, böylece sınır alanına asla ulaşamazlar. "Bölüm 4" Geometri uzayı "
- Henri Poincaré , Bilim ve Hipotez
Étienne Ghys bu metne şu şekilde yorum yapar:
“Bu dünyada yaşayan varlıklar küçüldüklerini bilemezler çünkü kendilerini bir mezura ile ölçerlerse şerit metre de küçülür. Küçüldüklerini biliyoruz, ancak çok normal ve çok tutarlı bir yaşamları var. Bir noktadan diğerine en kısa yoldan gitmek istiyorlarsa, merkeze doğru daha büyük adımları attığı için merkeze yakınlaşma eğiliminde olacaklarını düşünüyoruz.
Daha sonra bu hayali geometride bir noktadan diğerine en kısa yolun sınır dairesine dik bir daire yayı olduğunu gösterebiliriz. Hakları bizim çevrelerimizdir. Ve onların geometrisinde Öklid'in aksiyomunun tatmin edici olmadığını görüyorsunuz. Kırmızı çizgi yeşil çizgiye paraleldir ancak mavi çizgi de paraleldir (kesişmeyen iki çizgi gerçekten paraleldir).
Bir noktadan geçen sonsuz sayıda paralellik vardır. Ve bu insanlar mantıklı, küçüldüklerini bilmiyorlar. Ama onlar da bizim kadar mantıklılar, muhtemelen birçok başka şeyi görmezden geliyorlar.
Bu küçük Poincaré öyküsünün ahlaki, her biri kendi geometrisine sahip, her biri kendi mantığına sahip ve her biri bize somut dünyamızın bir vizyonunu getirebilecek son derece makul birçok dünyayı çok iyi bir şekilde tasavvur edebilmemizdir […].
Bugünün matematikçisi bir problemi çözmek, bir soruyu incelemek için bir geometri kullanacak, alet kutusunu alacak ve çalışılan problemi anlamak için en uygun geometriyi seçecektir.
İşte Poincaré'nin cümlesi: Bir geometri diğerinden daha doğru olamaz, daha uygun olabilir. "
- Étienne Ghys
N- boyutlu geometriler ve Öklid dışı geometriler ille kombine edilebilir, ancak geometri iki ayrı dalları vardır. Popüler literatürde bu iki geometri hakkında kafa karışıklığı ortaya çıktı. Çünkü Öklid geometrisi , iki ya da üç boyutlu olarak, yanlış bir şekilde Öklid dışı geometriler zorunlu olarak daha yüksek boyutlarına sahip olduğu sonucuna varılmıştır.
Öklid dışı geometrinin tarihöncesi, uzun bir araştırma serisidir ve Öklid'in beşinci postülatını (paralellik varsayımı) açıklığa kavuşturmaya çalışır. Bu postülat - özellikle sonsuzluk kavramına hitap ettiği için - her zaman biraz "ayrı" görünmüştür ve onu daha basit ve daha doğrudan bir postulatla değiştirmeye ya da onu Öklid'inkine göre göstermeye çalışan matematikçiler için açık değildir. diğer postülatlar. Bu nedenle, Thābit ibn Qurra , Alhazen ve özellikle Omar Hayyam gibi Arap ve Farslı matematikçiler paralellik varsayımı ile dörtgen ve üçgenlerin açılarının toplamı arasındaki bağlantıları incelediler . Hayyam ve gelen teklifler XI inci yüzyılda bir Öklid'in beşinci konutlamasına alternatif ve gösteri girişimleri bu postülanın çelişki .
In XVII inci yüzyılın John Wallis ve özellikle Giovanni Girolamo Saccheri bu matematikçiler çalışmalarından esinlenerek ve paralel postülatı kanıtlamak için yargılandı. Saccheri, tüm hayatını paralellik postülatını absürtlük yoluyla, başarılı olmadan göstermeye adadı. Ancak, bir dörtgenin açılarının toplamının dört dik açıdan daha az olduğunu varsayan "dar açı hipotezi" ni varsaymak, yalnızca herhangi bir açık matematiksel çelişkiye yol açmaz, aynı zamanda her şeyi keşfeder. tutarlı ve zengin teoremler. Öklidyen olmayan bir geometri keşfetmek üzeredir (örneğin, uzayın belirli bir çizgiye sonsuz sayıda paralellik kabul edebileceği ve bu çizginin dışındaki bir noktadan geçebileceği hiperbolik geometri), ancak düşündüğü bu yeni teoremleri asla kabul etmeyecektir. "itici".
1766'da Saccheri'nin çalışmasına devam eden Johann Heinrich Lambert , dar açı hipotezini ele alır, ancak bir çelişki olduğu sonucuna varmaz. En azından hayatının son yıllarında, ya dar açı hipotezinden (hiperbolik geometri) ya da geniş açı hipotezinden (eliptik geometri) tutarlı geometriler inşa etmenin mümkün olması gerektiğini fark eder.
Lambert , C'nin bir sabit olduğu ve dar açıya (günümüzde hiperbolik geometri olarak adlandırılır ) dayalı bir geometride üç açısı α , β ve γ olan bir üçgenin Δ alanını veren formülü elde eder .
Gauss , 1813 gibi erken bir tarihte, Öklid'inkinden başka geometrilerin var olma olasılığını formüle etti. Ancak, kendi yazdığı gibi "Boeotyalıların çığlıklarından korktuğu için" düşüncelerinin sonuçlarını bu yönde yayınlamaya asla cesaret edemedi.
Geometrileri Lobachevsky (1829) ve Bolyai (1832) (180 ° 'den küçük bir üçgenin açılarının toplamı, bir noktaya göre sonsuz sayıda olası paralellik, örneğin hiperbolik geometri) gibi negatif eğriliğe sahip olarak ayırıyoruz. Riemann (1867) gibi pozitif eğrilik geometrileri (kutuplara paralel, 180 ° 'den büyük bir üçgenin açılarının toplamı, örneğin eliptik geometri).
Yaygın olarak "Riemann geometrisi" olarak adlandırılan geometri, Öklid paralellik postülatına bir alternatif olan, üç boyutlu küresel bir uzay, sonlu ve yine de sınırları olmayan, düzenli pozitif eğriliğe sahip bir uzaydır. Riemann ayrıca Öklid dışı n - boyutlu geometriler için genişletilmiş bir teori geliştirdi (1854 konferansı).
"Non-Öklid geometrisi" fikri genellikle kavisli bir alan fikrini ifade eder ancak bir boşluk eğri geometrisi geometrisinin bir temsilidir olmayan Öklid der Duncan Sommerville (in) içinde olmayan Öklid geometrisinin Elements ( Londra, 1914). Üç boyutlu Öklid dışı uzaylar var.
Lobachevsky , Klein ve Poincaré , verilen bir çizgiye sonsuz sayıda paralellik çizebileceğimiz ve aynı noktadan geçebileceğimiz geometri modelleri yarattı.
Sadece Öklid'in beşinci postülatının kaldırılmış olması dikkat çekicidir; Öklid dışı geometriler de diğer tüm Öklid tanımlarına uymaktadır. Özellikle, bir çizgi her zaman bir yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren en kısa yolun çizgisi olarak tanımlanır. İki boyutlu hiperbolik geometrinin birkaç modeli vardır: Poincaré diski , Poincaré yarı düzlemi vb.
Riemann , Öklid dışı geometrinin başka bir modelini , küresel geometriyi (bazen küresel eliptik geometri olarak da adlandırılır ) tanıttı . Bu durumda, bir çizginin dışındaki bir nokta ile herhangi bir paralel çizemeyiz (başka bir deyişle, belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan geçen tüm çizgiler bu çizgiye sekanttır, hatta uzaydaki tüm çizgiler birbiriyle kesişmektedir) . Model çok basit:
Bu geometri, pozitif bir uzay eğriliği verir (bir üçgenin açılarının toplamı iki haktan daha büyüktür veya bir dörtgenin birbirini izleyen iki açısının toplamı ikiden büyüktür veya tüm açıları doğru olan bir üçgen vardır. ).
Jean-Pierre Petit , Le Géométricon , çizgi film gelen Les Aventures d ' Anselme Lanturlu toplama , ed. Belin, ( ISBN 2-7011-0372-X )