Sonlu bir grubun cebiri

Gelen matematik , sonlu bir grubun cebri özel bir durumu olan bir Monoid bir cebir teorisi çerçevesinde düşen sonlu grup temsilleri .

Bir sonlu grup cebri bir veri olan sonlu grup a, vektör alan bir boyut grubunun bir sırası baz grubu ile endekslendi. Tabanın elemanlarının çarpımı, indekslerin grup yasası kullanılarak çarpılmasıyla elde edilir, doğrusallıkla tüm yapıya yayılır. Böyle bir yapı yarı basit bir cebirdir , Artin-Wedderburn teoreminin temelini oluşturduğu bütün bir teoriye sahiptir .

Bu yaklaşım, grupların temsili için yeni bir analiz açısı getiriyor. Bu, örneğin bir teoremini kurmak için izin verir Frobeniyus karşılıklılık o, Artin veya örneğin kaynaklı karakterler Brauer teoremi  (tr) .

Giriş

Sürecin doğası

Amaç, sonlu bir G grubunun temsillerinin belirli bir açıdan incelenmesidir. İlk olarak, düzenli temsil olan tek bir temsil incelenir . Başlangıç grubu doğrusal hale olduğunu, bu özdeşleşen vektör uzayı üzerindeki vücut K temsil grup alanı standart baz haline gelir. Gruplarının morfizmanın arasında G içinde lineer grubunun vektör alan doğrusallığı göre uzatılır. K [ G ] olarak gösterilen bir değişmeli alan üzerinde bir ilişkisel cebir yapısı elde ederiz (gösterimler için, birkaç belirsizlikteki polinom makalesine bakın ). Karakterlerle birlikte bu yaklaşım, temsil teorisinin iki temelinden biridir .

Maschke teoremi grubu sırası bir katı değilse gösteren karakteristik gövde K , cebir yarı-basit . Geniş bir teorinin amacı olan bu yapı, sahip olduğu sayısız teorem sayesinde çeşitli sonuçların gösterilmesine izin verir. En önemlilerinden biri şüphesiz Artin-Wedderburn'ünki , eğer polinom X g - 1 bölünürse, cebirin, bitmiş boyutların K - vektör uzayları üzerindeki endomorfizmlerin cebirlerinin doğrudan toplamına izomorfik olduğunu belirtir . Burada g , grubun sırasını gösterir.

Bir grubun cebiri tüm temsiller üzerinde çalışır, grupların morfizmini doğrusallıkla genişletmek yeterlidir. Bir elde modülü yapısı halka K [ G ] temsil vektör uzayı üzerinde çalışır. Böyle bir yapıya G modülü denir . Kavramı arasında sıkı denklik yoktur G Modül ve temsili G .

Başvurular

Temsil teorisinin ilk sonuçlarının çoğu, yarı basit cebirlerin genel özelliklerinin doğrudan bir sonucudur. İndirgenemez temsillerin sayısının sonlu karakterini veya grup sırası ile indirgenemez temsillerin boyutlarının karelerinin toplamı arasındaki eşitliği gösterebiliriz . Bu özelliklerin, zengin ancak bazen karmaşık bir teori eklenmeden, genellikle karakterler kullanılarak kolayca gösterilebileceği doğrudur. Öte yandan, bu sonuçlardan bazıları yarı basit cebirleri kullanan bir yaklaşımla daha kolay gösterilmektedir , Frobenius karşılıklılık ölçütü ile durum böyledir .

Temsil teorisi için gerekli olan cebirlere özgü unsurlar vardır. Merkezi cebri bir K [ G ], doğal olarak alan bir değişmeli değişmeli uzantısıdır K . Cebirsel tamsayı kavramını kullanmak mümkündür . Bu açıklama, kaçınılmaz olduğu ortaya çıkan bir aritmetiği ortaya koymayı mümkün kılar . Bu makalede, herhangi bir indirgenemez temsilin, grubun sırasını bölen bir dereceye sahip olduğunu göstermek için kullanılır.

Durumda gr grubunun karakteristik bir katıdır, yani karakterler, temel özellik ortonormal yönü indirgenemez karakter, ortadan kalkar. Grup cebiri de yarı basitliğini kaybeder. Öte yandan, yarı basit halkalar teorisi ve özellikle Jacobson radikalleri kavramı , temsillerin doğasını aydınlatmayı mümkün kılar.

Tanımlar

Bir grubun cebiri

Makale boyunca aşağıdaki gösterimler ve varsayımlar kullanılmıştır:

G , çarpma ile gösterilen sonlu bir grubu, nötr elemanı 1 ve mertebesi g'yi gösterir .

K a, alan olan karakteristik etmez değil bölmek g , ve hangi polinom x g 1 - bölünmüş olduğu (ya da sadece polinom X E - 1, e belirtmektedir üs ve G ).

K G anlamına gelir uygulamalar vektör alanı G içinde K . Bu standart baz ailesi (olup ö s ) sεG δ s ( t ) için 1 = t = s ve başka 0 t ∈ G .

• K cebri grubunun G , belirtilen K [ G ], vektör uzayı vermesiyle tanımlanmaktadır K G ve büklüm tarafından tarif *:∀-de,b∈KG,∀sen∈G,(-de∗b)(sen)=∑s,t∈G,st=sen-de(s)b(t){\ displaystyle \ forall a, b \ in K ^ {G}, \ quad \ forall u \ in G, \ qquad (a * b) (u) = \ sum _ {s, t \ in G, st = u } a (s) b (t)}

veya:

∀(-des)s∈G, (bt)t∈G∈KG,(∑s∈G-desδs)∗(∑t∈Gbtδt)=∑s,t∈G-desbtδst.{\ displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ G içinde}, ~ (b_ {t}) _ {t \ G içinde} \ K ^ {G}, \ dört \ sol (\ toplamı _ { s \ in G} a_ {s} \ delta _ {s} \ right) * \ left (\ sum _ {t \ in G} b_ {t} \ delta _ {t} \ right) = \ sum _ {s , t \ içinde G} a_ {s} b_ {t} \ delta _ {st}.}

Bu iç çarpma, grubun yasasını uzatır: δ s ∗ δ t = δ st .

G modülü

• K [ G ] cebirindeki bir modüle G modülü denir .

Daha sonra G ve G modüllerinin temsilleri arasında eksiksiz bir sözlüğe sahibiz. Özellikle :

• Basit modüller karşılık indirgenemez temsiller .
• Eğer V 1 ve V 2 ikisi G -modüller, K ve Morfizmlerin cebiri G den-modüller V 1 içine V 2 iki karşılık gelen temsiller arasında Morfizmlerin cebiridir. Bu ifade edilecektir hom K G ( V 1 , V 2 ).

Göre Maschke teoremine  :

• Grubun sırası, K alanının karakteristiğinin bir katı değilse, o zaman herhangi bir G- modülü yarı basittir , yani basit modüllerin doğrudan toplamı . Diğer bir deyişle: K [ G ] a, yarı-basit cebir .

Özellikleri

Cebir Merkezi

Bu halka ürün tanımından aşağıdaki K [ G ] onun bu merkezi haritaları oluşan G içinde K olan merkezi her biri üzerinde, yani sabit konjugasyon sınıfı . Bu vektör, alt uzay arasında K G mamas sahip kanonik olarak bir aile ( 1 c ) cεC ait gösterge fonksiyonları bu konjugasyon sınıfların (kanonik olarak içine örneğin bir gösterge sonları K G : içine 1 c = Σ s εc δ s ).

Ayrıca, K G üzerindeki simetrik dejenere olmayan bilineer form için ile tanımlandığı kanıtlanmıştır .

(f|h)=1g∑s∈Gf(s)h(s-1),{\ displaystyle (f | h) = {\ frac {1} {g}} \ toplamı _ {s \ G} f (s) h (s ^ {- 1}),}

• indirgenemez karakterleri merkez fonksiyonları altuzayın bir ortonormal temelini oluşturur.

Sonuç (bu alt uzayın boyutu dikkate alınarak):

• İndirgenemez karakterlerin sayısı, gruptaki konjugasyon sınıflarının h sayısına eşittir.

Bu nedenle grup, K üzerinde ( denkliğe kadar) sadece h indirgenemez temsillere ( S 1 , ρ 1 ),… ( S h , ρ h ) sahiptir, bunların karakterleri χ 1 , ..., χ h merkezi fonksiyonlar uzayının temelini oluşturur. .

Artin-Wedderburn teoremi

Önceki paragrafın notasyonları ile aşağıdaki temel teoremi doğrudan kanıtlıyoruz:

• Cebir K [ G ] cebir doğrudan toplamı izomorf L K ( S i ) ait Endomorfizmlerin S, K-vektör boşlukların ı G h indirgenemez temsilleri temel:K[G]≃⨁ben=1hLK(Sben).{\ displaystyle K [G] \; \ simeq \; \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} \ mathrm {L} _ {K} (S_ {i}).}Aynı sonucu elde etmenin daha akıllıca bir yolu, yarı basit sonlu boyutlu cebirler için Artin-Wedderburn teoremini kullanmaktır .

Doğrudan gösteri

• Temsiller her biri p i  : G → GL ( S ı bir morfizma tanımlar) olan tekrar göstermektedirler ρ ile i , den K [ G ] L ( S i ), ve p'ye göre morfizmaları ifade K [ G ] doğrudan toplamı içinde L ( S i ). Ayrıca bu toplamdaki kanonik doğrusal formları (matris katsayıları) f k ile ifade ediyoruz .
• Bu doğrudan toplamda herhangi bir doğrusal form için = ∑λ k f k , ρ görüntüsünde φ sıfırsa, o zaman ∑λ k m k = 0, burada m k = f k ∘ρ. Bununla birlikte, “Schur Lemması” makalesinin Sonuç 4'ünden , m k'nin özgür bir aile oluşturduğu, tüm λ k'nın ve dolayısıyla'nin geçersizliğini gerektirdiği sonucu çıkar . Bu, ρ görüntüsünün herhangi bir hiper düzleme dahil olmadığını, dolayısıyla ρ'nun örten olduğunu kanıtlar.
• K [ G ] ' nin bir f öğesi ρ'nun çekirdeğinde, yani tüm ρ i'nin çekirdeğinde ise , o zaman f aynı zamanda λ morfizminin çekirdeğindedir: K [ G ] → L ( K G ) ile ilişkili düzenli gösterim, çünkü ikincisi, G'nin herhangi bir temsili gibi , indirgenemezlerin doğrudan toplamıdır. Λ (f) sıfır olduğu için , K [ G ] 'nin δ 1 elementinin λ (f) tarafından görüntüsü de sıfırdır, ancak bu görüntü f'den başkası değildir . Bu, ρ'nin enjekte edici olduğunu kanıtlıyor.

• K [ G ] 'nin altında yatan vektör uzayı K G olduğu için, d i'yi S i uzayının boyutunu belirterek , tamsayıların eşitliğine sahibiz  :g=∑ben=1hdben2.{\ displaystyle g = \ toplam _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} ^ {2}.}( Düzenli Temsil makalesinde , bu dikkat çekici özdeşlik yalnızca K'nin karakteristiğini modülo olarak gösterilmektedir . )
• K [ G ] ' nin bir öğesi , ancak ve ancak bileşenlerinin her biri bir homoteyse merkeze aittir. Ek olarak, merkezi fonksiyonların incelenmesi , S i üzerindeki ölçeklendirmenin λ i oranının şuna eşit olduğunu gösterir:f{\ displaystyle f}λben=1dben∑s∈Gf(s)χben(s).{\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ sum _ {s \ in G} f (s) \ chi _ {i} (s).}

Düzenli performans

Normal temsil λ G doğal yapısı, daha önce sözü edilen “sözlük” ile, bir karşılık olan K [ G cebir soluna] Modül K [ G ]. Bu cebirin yukarıdaki ayrışması sayesinde elimizde:

• Düzenli gösterim, indirgenemez temsillerin doğrudan toplamına eşittir ρ i her biri d i derecesine eşit sayıda yinelenir  :

(KG,λ) ≃ ⨁ben=1hdben(Sben,ρben).{\ displaystyle (K ^ {G}, \ lambda) ~ \ simeq ~ \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

Başka bir deyişle, λ ile ilişkili yarı basit modülün izotipik bileşenleri ,

dben(Sben,ρben)=(Sben,ρben)⊕...⊕(Sben,ρben)(dben zaman),iledben=Güneş⁡(Sben).{\ displaystyle d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) = (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ oplus \ ldots \ oplus (S_ {i}, \ rho _ { i}) \ quad (d_ {i} {\ text {kere}}), \ quad {\ text {with}} \ quad d_ {i} = \ dim (S_ {i}).}

Ortogonalite

Karakterler ve grup cebiri ile iki yaklaşımın tamamlayıcılığı, diklik özellikleri için de geçerlidir. ( V 1 , ρ 1 ) ve ( V 2 , ρ 2 ) G'nin iki temsilini alalım .

• Eğer χ 1 ve χ 2 göstermektedirler karakterleri ρ 1 ve ρ 2 temsilleri ve eğer ( V 1 ρ, 1 ) ve ( V 2 ρ, 2 ) olarak kabul edilmektedir G -modüller, aşağıdaki eşitlik K geçerlidir:

(χ1|χ2)=Güneş⁡(evKG⁡(V1,V2)).{\ displaystyle (\ chi _ {1} | \ chi _ {2}) = \ dim \ sol (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ sağ).} Gösteri

Önceki notları kullanarak not:

(V1,ρ1)≃⨁ben=1hdeğil1,ben(Sben,ρben)ve(V2,ρ2)≃⨁ben=1hdeğil2,ben(Sben,ρben).{\ displaystyle (V_ {1}, \ rho ^ {1}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ dörtlü {\ text {ve}} \ quad (V_ {2}, \ rho ^ {2}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {2, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

Schur'un lemması, dim (Hom K G ( S i , S j )) = δ i, j ( Kronecker'in sembolü ) olduğunu kanıtlar . Şu sonuca varabiliriz:

Güneş⁡(evKG⁡(V1,V2))=Güneş⁡(evKG⁡(⨁ben=1hSbendeğil1,ben,⨁j=1hSjdeğil2,j))=∑ben,j∈[1,h]değil1,bendeğil2,jGüneş⁡(evKG⁡(Sben,Sj))=∑ben=1hdeğil1,bendeğil2,ben.{\ displaystyle \ dim \ sol (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ sağ) = \ dim \ sol (\ hom _ {K} ^ {G} \ sol (\ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} S_ {i} ^ {n_ {1, i}}, \ bigoplus _ {j = 1} ^ {h} S_ {j} ^ {n_ {2, j }} \ right) \ right) = \ sum _ {i, j \ in [1, h]} n_ {1, i} n_ {2, j} \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G } (S_ {i}, S_ {j}) \ sağ) = \ toplam _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} n_ {2, i}.}

İndirgenemez karakterlerin ortonormalliği özelliği, sonuca varmayı mümkün kılar.

Başvurular

Frobenius karşılıklılığı

Grup cebir yapısının kullanımına güzel bir örnek Frobenius karşılıklılık kriteri ile verilmiştir. İndüklenmiş temsil adı verilen bir G- modülünün yapım şekli ile ilgilidir . H , G ve W a K [ H ] -modülünün bir alt grubu olsun . O zaman aşağıdaki yapı, W tarafından indüklenen G- modülüdür  :

V≃K[G]⊗K[H]W{\ displaystyle V \ simeq K [G] \ otimes _ {K [H]} W \;}

İndüklenen gösterim , H- modülü W üzerindeki K [ H ] skalerlerinin K [ G ] halkasına genişlemesine karşılık gelir . Durumda , H , bir bir normal bir alt-grup içinde , G , indüklenen G Modül, bir eşdeğer yarı doğrudan ürün .

Frobenius karşılıklılık kriteri, indüklenmiş bir modülün karakterinin Hermitian ürününü hesaplamak için basit bir yöntemdir. Ψ gelen θ temsil karakterini tayin durumunda , H Modül B , x, bu bir temsili p'ye ve G , eğer Ind indüklenen bir temsilinin karakteri, yani, modül indükler ilişkili temsilini belirtmektedir ve ψ Res karakterini ki-kare ρ ile H arasındaki kısıtlama , o zaman:

<bendeğildHGψ|χ>G= <ψ|ResHGχ>H{\ displaystyle <Ind_ {H} ^ {G} \, \ psi \, | \, \ chi> _ {G} = <\ psi \, | \, Res_ {H} ^ {G} \, \ chi> _ {H} \;}

K ile ilişkili cebirin morfizmlerinin iki yapısı arasında bir izomorfizm kurarak gösterilmiştir , boyutların eşitliği sonuca varılmasına izin verir.

Cebirsel tamsayı

• U K merkezinin bir eleman olsun [ G ] içinde - koordinatları kanonik olarak ( 1 c ) c ∈ Cı - vardır fazla tam sayı ℤ , daha sonra u üzerinde tamsayıdır ℤ.

Bunu kanıtlamak için, 1 c tarafından üretilen sonlu tip ℤ- modülünün aslında bir ℤ-cebir olduğunu kanıtlıyoruz .

Önceki paragrafların gösterimleriyle şunu çıkarıyoruz:

• U koordinatları tam whole üzerinde olan K [ G ] merkezinin bir elemanı olsun , o zaman K'nin bir sonraki elemanı ℤ üzerinde tamsayıdır.

λben=1dben∑s∈Gsensχben(s){\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ toplam _ {s \ G} u_ {s} \ chi _ {i} (s)}

Nitekim, “Artin-Wedderburn teoremi” paragrafına göre bu sayı, S i üzerindeki homotiyet ρ i ( u ) ' nin oranıdır . Önceki önermeye göre, bu homotity ℤ üzerinde bir tamsayı öğesidir, dolayısıyla onun da ilişkisi, çünkü bir homotiteyle ilişkisini ilişkilendiren harita, cebirlerin morfizmidir.

Zaman K sıfır karakteristik olan, tek bir ondan aşağıdaki özelliği çıkarabiliriz (aslında herhangi bir özellik için de geçerlidir)  :

• İndirgenemez bir temsilin d i derecesi , grubun g düzenini böler.

Doğrudan gösteri

Öğesine u için toplamına eşit, s tarif G elemanları ki-kare arasında, ı ( s -1 ) δ s . Χ i ( s -1 ) olan cebirsel tamsayı ile, karakter bütünlüğü . Öte yandan χ i , herhangi bir karakter gibi, G üzerindeki merkezi bir fonksiyondur , bu da u'nun K [ G ] merkezinin bir öğesi olduğunu kanıtlar . Kanonik temeldeki koordinatları cebirsel tamsayılar olduğundan, önceki önerme geçerlidir ve g / d i bir cebirsel tamsayıdır. Ama aynı zamanda bir rasyonel sayıdır ve bu nedenle , d i'nin grubun sırasını böldüğünü gösteren bir Z elemanıdır .

Abelian grubu

Sonlu grup G Abelyen ise, ikili grubu sonludur ve G'ye izomorfiktir (kanonik olarak değil) . Daha sonra grup cebiri üzerinde (karmaşık katsayılarla) harmonik analizin tüm araçlarına sahibiz . Bir Fourier dönüşümü ve bir evrişim ürünü tanımlıyoruz ve Parseval eşitliği , Plancherel'in teoremi veya Pontryagin ikiliği gibi teoremler geçerlidir.

Birçok klasik teorem, sonlu bir değişmeli grup üzerinde harmonik analiz açısından yeniden yorumlanır; Biz alıntı yapabilirsiniz aritmetik gibi araçların anayasasını Legendre sembolü , Gauss toplamları demonstrasyonu için kullanılan kuadratik mütekabiliyet yasa veya hesaplanması için Gauss dönemlerin ve köklerine arayışı cyclotomic polinomların .

Notlar ve referanslar

1. See Grubu Teorisi, sonlu grupların Kompleks karakterler, Lemma 36 Vikiversite üzerinde .

Ayrıca görün

İlgili makale

Cebir a groupoid  (en)

Kaynakça

• Jean-Pierre Serre , Sonlu grupların doğrusal temsilleri [ baskıların ayrıntıları ]
• (en) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ basımların detayı ]
• Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]
• N. Bourbaki , Matematiğin Elemanları , Cebir , bölüm. VIII

Dış bağlantılar

• Vincent Beck, "  sonlu grupların TD Temsil  " , 2005-2006 arasında M2 dersarasında Michel Broue ( Üniversite Paris VII - Diderot ) ve düzeltilmiş
• Daniel Ferrand, "  Sonlu grupların doğrusal gösterimi, bir giriş  " , IMJ-PRG üzerine ,2005
• (en) Peter Webb, "  Saf Matematikçi için Sonlu Grup Temsilleri  "

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">