simetrik grup

Gelen matematik , daha da özellikle, cebir , simetrik grubu a grubu E olduğu grup permütasyon arasında E biçiminde bulunacağı şekilde gerçekleştirilir, bijections arasında E kendi üzerine. Bu makalede genel tanım izlenerek yalnızca sonlu durum E ele alınmaktadır .

Tanım

Let E olmak bir dizi . Adlandırılan simetrik grup E , tüm uygulamalar örten ve E için E ile temin uygulama bileşimi (∘ Yasası). Biz onu S ( E ) veya (bu karakter bir gotik S'dir ) olarak adlandırıyoruz. S(E){\ görüntü stili {\ matfrak {S}} (E)}

Yaygın bir özel durum olduğu E sonlu dizi {1, 2, ..., n }, n, bir varlık , doğal tam sayı  ; O zaman göstermek veya bu setin simetrik grup. Unsurları olarak adlandırılır permütasyon ve grubu olarak adlandırılır ve derecesi permütasyon n veya dizin simetrik grubu , n : (a alt grup olarak adlandırılan simetrik grubunun grubu arasında permütasyon ). Her zaman sonlu durumda kalırken, bir uygulamayı bir dizi ile belirtmek kolaydır : Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sdeğil{\ görüntü stili S_ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}f:{1,...,değil}⟶{1,...,değil}{\ displaystyle f: \ {1, \ ldots, n \} \ longrightarrow \ {1, \ ldots, n \}}

[12...değilf(1)f(2)...f(değil)]{\ textstyle {\ start {bmatrix} 1 & 2 & \ ldots & n \\ f (1) & f (2) & \ ldots & f (n) \ end {bmatrix}}}

İki küme eş potansiyel ise , simetrik grupları izomorfiktir . Gerçekten de, f bir bijection olan E içine F , daha sonra, eşleme S ( E içine) S ( F ortakları) a hangi f ∘σ∘ f -1 bir izomorfizm olup. Özellikle E , n elemanlı sonlu bir küme ise , o zaman ile izomorfiktir . Sonuç olarak, grubun özelliklerini çıkarmak için grubun özelliklerini bilmek yeterlidir . Bu nedenle bu makalenin geri kalanı yalnızca . S(E){\ görüntü stili {\ matfrak {S}} (E)}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}S(E){\ görüntü stili {\ matfrak {S}} (E)}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Misal

ABC eşkenar üçgen olsun . Bu ifade , ve medyan sırasıyla elde edilen tepe noktaları A, B ve C göz önüne alındığında tüm permütasyon Bu grupta yer alan gibi geometrik yorumlanabildiğinde fark izometrileri . Somut olarak, işaret ederek , ve aynı isimleri medyan ve göre simetrileri saat yönünün tersine dönüş üçgen bir dairenin üçte nedeniyle, üyelerini tanımlayabilir aşağıdaki gibi: dx{\ görüntü stili d_ {x}}dy{\ görüntü stili d_ {y}}dz{\ görüntü stili d_ {z}}S3{\ görüntü stili S_ {3}}x{\ görüntü stili x}y{\ görüntü stili y}z{\ görüntü stili z}r{\ görüntü stili r}S3{\ görüntü stili S_ {3}}

e=[123123]{\ displaystyle e = {\ başlangıç ​​{bmatrix} 1 ve 2 ve 3 \\ 1 ve 2 ve 3 \ bitiş {bmatrix}}}, , r=[123231]{\ displaystyle r = {\ başlangıç ​​{bmatrix} 1 ve 2 ve 3 \\ 2 ve 3 ve 1 \ bitiş {bmatrix}}}t=r∘r=[123312]{\ displaystyle t = r \ circ r = {\ start {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \ end {bmatrix}}}

x=[123132]{\ displaystyle x = {\ başlangıç ​​{bmatrix} 1 ve 2 ve 3 \\ 1 ve 3 ve 2 \ bitiş {bmatrix}}}, , y=[123321]{\ displaystyle y = {\ başlangıç ​​{bmatrix} 1 ve 2 ve 3 \\ 3 ve 2 ve 1 \ bitiş {bmatrix}}}z=[123213]{\ displaystyle z = {\ başlangıç ​​{bmatrix} 1 ve 2 ve 3 \\ 2 ve 1 ve 3 \ bitiş {bmatrix}}}

Ek olarak, bir grubu iyi tanımlayan aşağıdaki kompozisyon tablosunu elde ederiz:

∘{\ görüntü stili \ çevre}	e	r	t	x	y	z
e	e	r	t	x	y	z
r	r	t	e	z	x	y
t	t	e	r	y	z	x
x	x	y	z	e	r	t
y	y	z	x	t	e	r
z	z	x	y	r	t	e

Kökeni ve önemi

Tarihsel olarak, Évariste Galois tarafından bir polinomun köklerinin permütasyon grubunun incelenmesi, grup kavramının kökenindedir.

Bir Cayley teoremi , herhangi bir grubun simetrik bir grubun bir alt grubuna izomorf olduğunu garanti eder.

Özellikleri

Grup taşımaktadır sipariş n ! . Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Bu özellik , permütasyonların sayılmasıyla kanıtlanabilir . Tümevarım yoluyla bir ispat yapmak da mümkündür , böylece simetrik derece n -1 ve n grupları arasında bir bağlantı verilir .

n'de tümevarımla ispat S1{\ görüntü stili {\ mathfrak {S}} _ {1}} tek bir unsuru vardır. Varsayalım ki vardır unsurları. Uygulamayı düşünün Sdeğil-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}(değil-1)!{\ görüntü stili (n-1)!}φ:{Sdeğil→{1,...,değil}×Sdeğil-1σ↦(σ(değil),σ′){\ displaystyle \ varphi: \ sol \ lbrace {\ başlangıç ​​{dizi} {ccc} {\ mathfrak {S}} _ {n} & \ to & \ {1, \ ldots, n \} \ kez {\ mathfrak { S}} _ {n-1} \\\ sigma & \mapsto & (\ sigma (n), \ sigma ') \ end {dizi}} \ sağ.} permütasyon kısıtlaması nerede ?σ′{\ görüntü stili \ sigma '}{1,...,değil-1}{\ görüntü stili \ {1, \ ldots, n-1 \}}σ∼: =(değil,σ(değil))∘σ{\ displaystyle {\ taşan {\ sim} {\ sigma}}: = (n, \ sigma (n)) \ circ \ sigma} σ′{\ görüntü stili \ sigma '}ait çünkü bu nedenle her şey için bu nedenle her şey için .Sdeğil-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}σ∼(değil)=değil{\ displaystyle {\ taşan {\ sim} {\ sigma}} (n) = n}σ∼(ben)<değil{\ displaystyle {\ taşan {\ sim} {\ sigma}} (i) <n}1≤ben<değil{\ displaystyle 1 \ leq ben <n}σ′(ben)<değil{\ görüntü stili \ sigma '(i) <n}1≤ben<değil{\ displaystyle 1 \ leq ben <n} Karşılıklı haritayı göstererek bijektivitesini gösteriyoruz. Kardinalinin şuna eşit olduğu sonucuna varıyoruz, yani .φ{\ görüntü stili \ varphi}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}{1,...,değil}×Sdeğil-1{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \} \ kez {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}değil.(değil-1)!=değil!{\ görüntü stili n. (n-1)! = n!}

Simetrik grup, çarpım kanunu ile sağlanan permütasyon matrislerinin oluşturduğu gruba izomorfiktir : bunlar, her satırda ve her sütunda tek katsayı 1 olan, diğerleri sıfır olan matrislerdir.

Simetrik grup üreteçleri

Bir yer değiştirme , 2- döngü , yani iki elementi değiş tokuş eden ve diğerlerini değişmeden bırakan bir permütasyondur. i öğesini j öğesiyle değiştiren yer değiştirmeyi ( i , j ) ile belirtiriz .

Bir permütasyonu transpozisyonların bir ürününe ayırmaya izin veren bir algoritma vardır . Böylece, yer değiştirmeler kümesi, bir üreteçler sistemi oluşturur . Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Kendimizi τ i = ( i , i + 1) biçiminin yer değiştirmeleriyle sınırlayabiliriz , çünkü i < j için ayrıştırmak mümkündür (ben,j)=(ben,ben+1)(ben+1,ben+2)...(j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)...(ben+1,ben+2)(ben,ben+1).{\ displaystyle (i, j) = (i, i + 1) (i + 1, i + 2) \ noktalar (j-2, j-1) (j-1, j) (j-2, j- 1) \ noktalar (i + 1, ben + 2) (i, ben + 1).}

Bu n - 1 jeneratörler , simetrik grubun sunumunu mümkün kılar .n ( n + 1)/2 ilişkiler:

• τben2=1,{\ görüntü stili {\ tau _ {i}} ^ {2} = 1,}
• τbenτj=τjτbenEğer |j-ben|>1,{\ displaystyle \ tau _ {i} \ tau _ {j} = \ tau _ {j} \ tau _ {i} \ qquad {\ mbox {si}} | ji |> 1,}
• (τbenτben+1)3=1.{\ görüntü stili {(\ tau _ {i} \ tau _ {i + 1}}) ^ {3} = 1.}

Bu nedenle, Coxeter grubunun özel bir durumudur ve hatta bir grup yansıma  (en) ( sonlu bir grup için aslında eşdeğerdir).

n - 1 jeneratör almak da mümkündür - i < n - ve ( n - 1) 2 ilişkileri için s i = ( i , n ) transpozisyonları :

sben2=(sbensben+1)3=(sbensben+1sbensj)2=1(1≤ben,j≤değil-1,j≠ben,ben+1,sdeğil: =s1).{\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = (s_ {i} s_ {i + 1}) ^ {3} = (s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {j}) ^ {2} = 1 \ dörtlü (1 \ leq i, j \ leq n-1, \ dörtlü j \ neq i, i + 1, \ dörtlü s_ {n}: = s_ {1}).}

Son olarak, 2 jeneratörden memnun olabiliriz - τ 1 = (1, 2) yer değiştirmesi ve r = (1, 2,…, n ) döngüsü - ve n + 1 ilişkileri:

rdeğil=τ12=(rτ1)değil-1=(τ1r-1τ1r)3=(τ1r-jτ1rj)2=1(2≤j≤değil-2).{\ displaystyle r ^ {n} = \ tau _ {1} ^ {2} = (r \ tau _ {1}) ^ {n-1} = (\ tau _ {1} r ^ {- 1} \ tau _ {1} r) ^ {3} = (\ tau _ {1} r ^ {- j} \ tau _ {1} r ^ {j}) ^ {2} = 1 \ dörtlü (2 \ leq j \ leq n-2).}

İmza

Bu bölümde n tamsayısının 2'den büyük veya 2'ye eşit olduğunu varsayıyoruz .

Herhangi bir permütasyon, transpozisyonların bir ürününe bölünür. Bu ürün benzersiz değildir, ancak böyle bir ürünün terim sayısının paritesi yalnızca permütasyona bağlıdır. Daha sonra çift veya tek permütasyondan bahsederiz .

sgn (σ) veya ε (σ) ile gösterilen bir σ permütasyonunun imzası şu şekilde tanımlanır:

sgn⁡(σ)=ε(σ)={+1Eğer σ eşit -1Eğer σ garip {\ displaystyle \ operatöradı {sgn} (\ sigma) = \ varepsilon (\ sigma) = \ left \ {{\ startup {dizi} {cl} +1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {is çift ​​}} \\ - 1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {tek}} \ bitiş {dizi}} \ sağ.}

İmza eşleme olan grupların morfizmanın arasında ({-1, 1}, x) 'de. Çekirdek da permütasyon grubu demek ki bu morfizmalar, ve, adı alternatif grubu derecesi n gösterilen, (bu karakteri olan gotik bir ). Bu nedenle a, normal bir alt-grubu içinde ve bölüm grubu olan görüntü izomorf imza morfizma {-1, 1}. Sonuç olarak, taşımaktadır endeksi 2. nedenle düzenin, n ! / 2. (Ya da daha somut olarak: ve tümleyeni aynı kardinaldir, çünkü t'nin yer değiştirmesi için , σ ↦ t ∘σ haritası tümleyeninde bir önermedir .) (Sdeğil,∘){\ displaystyle ({\ mathfrak {S}} _ {n}, \ circ)}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Sdeğil/ATdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n} / {\ mathfrak {A}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}

Ayrıca, kısa kesin dizi

1→ATdeğil→Sdeğil→{-1,1}→1{\ displaystyle 1 \ ila {\ mathfrak {A}} _ {n} \ ila {\ mathfrak {S}} _ {n} \ ila \ {- 1,1 \} \ ila 1}

bir sağ bölme , bu nedenle a, yarı doğrudan ürünü arasında iki eleman siklik grup . Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}

konjugasyon sınıfları

Konjugasyon sınıfı bir permütasyon σ kendi bağlarına kümesidir:VS(σ)={τ∘σ∘τ-1∣τ∈Sdeğil}.{\ displaystyle C (\ sigma) = \ {\ tau \ circ \ sigma \ circ \ tau ^ {- 1} \ mid \ tau \ in {\ mathfrak {S}} _ {n} \}.}

Konjugatları σ olan permütasyon ayrışma döngülerinin ürüne ayrık desteklerle ile aynı yapıya sahiptir σ  her bir boy döngüleri aynı sayıda.

gösteri

Let ... olmak bir permütasyon ayrık döngülerinin bir ürün haline çürümüş. σ=vs1{\ görüntü stili \ sigma = c_ {1}}vsm{\ görüntü stili c_ {m}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

• Herhangi bir permütasyon için , konjugat , ile aynı uzunluktaki ayrık döngüler olan çarpımıdır . Gerçekten de, herhangi bir döngü için , eşlenik permütasyon döngüden başkası değildir .τ{\ görüntü stili \ tau}σ′=τστ-1{\ displaystyle \ sigma '= \ tau \ sigma \ tau ^ {- 1}}vsben′=τvsbenτ-1{\ displaystyle c '_ {i} = \ tau c_ {i} \ tau ^ {- 1}}vsben{\ displaystyle c_ {i}}vs=(de1 ... dek){\ displaystyle c = (a_ {1} ~ \ noktalar ~ a_ {k})}τvsτ-1{\ displaystyle \ tau c \ tau ^ {- 1}}(τ(de1) ... τ(dek)){\ görüntü stili (\ tau (a_ {1}) ~ \ noktalar ~ \ tau (a_ {k}))}
• Tersine, ... ile aynı ilgili uzunluklardaki ayrık döngülerin bir ürününe ayrıştırılabilen bir permütasyon olsun . O zaman , (sıraya uyarak , dairesel bir permütasyona kadar) herhangi bir permütasyon tarafından , her birinin kendi muadili üzerindeki desteğini eşlenik olur . Destekleri ayrık olduğu için böyle bir permütasyon vardır .σ′=vs1′{\ görüntü stili \ sigma '= c' _ {1}}vsm′{\ displaystyle c '_ {m}}vsben′{\ displaystyle c '_ {i}}vsben{\ displaystyle c_ {i}}σ′{\ görüntü stili \ sigma '}σ{\ görüntü stili \ sigma}τ{\ görüntü stili \ tau}vsben{\ displaystyle c_ {i}}vsben′{\ displaystyle c '_ {i}}vsben{\ displaystyle c_ {i}}

Misal İçinde düşünürsek farklı konjugasyon sınıfları, biz kimlik, transpozisyonlar (ki bulmak ab ), ayrık desteklerin iki transpozisyonlar (oluşan permütasyon ab ) ( cd ), döngüleri sırası 3 ( abc ), permütasyon bir döngü oluşur 3. dereceden ve 2. dereceden bir döngü: ( abc ) ( de ), ardından 4. dereceden döngüler: ( abcd ) ve 5: ( abcde ).S5{\ Displaystyle {\ Mathfrak {S}} _ {5}} Permütasyon (1 2 3) (4 5) ve (1 3 4) (2 5), permütasyondan (1 3) (2 5) farklı olarak aynı konjugasyon sınıfındadır.

Bu nedenle konjugasyon sınıflarının sayısı n tamsayısının "bölümlerinin" sayısına eşittir ve eğer bir permütasyonun ayrıştırılması k 1 "1-döngü" ( sabit noktalar ), k 2 2-döngü,… , k içeriyorsa m m -döngü, daha sonra eşleniklerinin sayısı:

değil!1k1k1!...mkmkm!.{\ displaystyle {\ frac {n!} {1 ^ {k_ {1}} k_ {1}! \ ldots m ^ {k_ {m}} k_ {m}!}}.}

(Çok terimli bir katsayının ortaya çıktığını görüyoruz .)

Alternatif grubun çalışmasından kaynaklanan özellikler

Alternatif grup çalışmasındaki temel sonuç , bunun 4'ten farklı n için basit bir grup olmasıdır . ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}

Öte yandan, bir grup türetilmiş gelen IS . İçin , n ≥ 5, bu sadece ayırt edici alt grup doğru . Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}ATdeğil{\ görüntü stili {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}ancak ve ancak n ≤ 4 ise çözülebilir , bu da polinom denklemlerinin radikal çözünürlüğü üzerinde önemli sonuçlara sahiptir .

çeşitli özellikler

• Merkezi arasında olan önemsiz ise n kesin 2'den büyük ve bütün grup, aksi.Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
• S6{\ Displaystyle {\ Mathfrak {S}} _ {6}}dış otomorfizm grubu önemsiz olan tek simetrik gruptur .
• Endeks Herhangi alt grup n ait izomorfiktir . Eğer n, 6 farklı, bu tür bir alt-grup, zorunlu olarak bir elemanın sabitleyici {1, ..., n }.Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sdeğil-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}
• Ek olarak, bir noktanın dengeleyicisi olmayan bir indeks 6 alt grubuna sahiptir.S6{\ Displaystyle {\ Mathfrak {S}} _ {6}}

gösteri

S 5 yirmi dört içeren 5-halkaları , bu nedenle, sırayla 5. altı alt grup konjugasyon ile işlem bölgesinin S 5 , bu alt gruplar, bu nedenle bir morfizmalar sağlar S 5 içine S 6 . , Çekirdek normal bir alt grubudur, bu morfizmanın birebirdir S 5 farklı S 5 ve A 5 (örneğin, (123) (12345) (321) = (14523) 'in bir güç değildir, çünkü (12345)). Son olarak, Sylow'un teoremlerine göre , bu eylem geçişlidir ve bu nedenle herhangi bir noktayı sabitlemez.

Notlar ve referanslar

1. R. Goblot, Lineer Cebir , Paris, 2005, s. 58, gösterim kullanan S n . Anglo-Sakson yazarlar genellikle yerine S E ve yerine S n yazarlar .S(E){\ görüntü stili {\ matfrak {S}} (E)}Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
2. (in) HSM Coxeter ve WOJ Moser  (de) , Ayrık Gruplar için Jeneratörler ve İlişkiler , Springer ,1972( Repr.  2013), 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1957), 164  , s. ( ISBN  978-3-662-21946-1 , çevrimiçi okuyun ) , s.  63 (6.22).
3. Coxeter ve Moser 1972 , s.  64 (6.28).
4. Coxeter ve Moser 1972 , s.  63 (6.21).
5. (içinde) William Fulton ve Joe Harris , Temsil Teorisi: İlk Ders [ perakende sürümleri ], s.  55 , önizleme üzerinde Google Kitaplar .
6. P. Tauvel, Algèbre , 2. baskı, Paris, Dunod, 2010, s. 70. Ayrıca bkz. § Türetilmiş grubun Vikiversite üzerindeki son gösterimi .

Şuna da bakın:

İlgili Makaleler

• Otomorfizmler simetrik ve alternatif gruplar  (in)
• çocuk arabası işlevi
• Tam grup
• Genelleştirilmiş simetrik grup  (tr)
• Örgü grubu
• Simetrik grubun temsilleri
• genç resim

bibliyografya

Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ baskıların detayı ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">