İki cisim sorunu

İki cisim problemi mekaniği önemli bir teorik model, asimile iki cismin hareket ettiği, klasik ya da kuantum olup malzeme noktaları karşılıklı (de konservatif ) etkileşim incelenmiştir izole edilmiş, Genel sistem düşünülmektedir. Bu makalede, klasik mekanikteki sadece iki cisim problemine yaklaşılacaktır ( örneğin, kuantum mekaniğindeki bir örnek için hidrojen atomu makalesine bakınız ), önce çekici bir potansiyelin genel durumunda, sonra çok önemli özel durumda, iki cisim yerçekimi etkileşimi veya gök mekaniğinin önemli bir konusu olan Kepler hareketi içindedir .

Bu problemin önemi, üç cisim ve daha fazlası ile problemin aksine, tam olarak entegre edilebilir karakterinden kaynaklanmaktadır . Aslında, a priori altı serbestlik derecesine sahip olan iki cisimle ilgili problem, aslında, sadece bir serbestlik dereceli tek bir cisimle ilgili bir problemin çözümüne indirgenebilir.

Ek olarak, elde edilen sonuçlar , güneş sistemindeki (güneş merkezli referans çerçevesinde) gezegenlerin yörüngelerinin yanı sıra doğal veya yapay uydularının yörüngelerini , en azından bir ilk yaklaşım olarak hesaba katmayı mümkün kılmaktadır . Bir sonra bulur Kepler yasalarını gelen astronomik gözlemler analizi ile vurgulanmış, XVII inci  yüzyılın. Dolayısıyla öngörülen durum salt akademik olmaktan uzaktır. Bu sorunun ilk çözümü, klasik mekaniğin temel yasasını belirten Newton tarafından ortaya kondu : sonuç, Principia'sının 57'den 65'e kadar olan önermelerinde duyurulur .

Bu makalenin amacı, Kepler yasalarının gösterilmesi ve farklı olası yörünge türlerinin ayrıntılı çalışması ile iki cisim probleminin sunumu ve genel tedavisidir. Kepler ve Barker denklemlerinin yanı sıra yörünge elemanlarının belirlenmesi sorunu ve bunların uygulamaları ayrı makalelerin konusudur (bkz. Kepler hareketi , Kepler denklemi ve yörünge elemanları makaleleri ).

Planlanan durum ve derecelendirmeler

İki cisim problemi kütlesi iki gövdenin olmasıdır m 1 ve m 2 asimile, malzeme noktaları M 1 ve M 2 karşılıklı etkileşim içinde, sırasıyla. Tarafından uygulanan kuvvet, M 1 ile M 2 bir türeyen çekici potansiyel V ( r ve) not edilir : dolayı Newton'un üçüncü hakları (ya da karşılıklı faaliyetlerin ilkesi) bu açıktır için . F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {12}}}}F21→=-F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {21}}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Genel sistem izole edilmiş kabul edilir, bu hareketini çalışma için M 1 ve M 2 referans çerçevesi (göre R kabul) Galilean , merkezi nokta bağlantılı alan kökeni olan , O .

Aşağıdaki gösterimler daha sonra benimsenmiştir: , , ve . r1→=ÖM1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {OM_ {1}}}}r2→=ÖM2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {OM_ {2}}}}r→=tanımr12→=M1M2→=r2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {12}}} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}} = {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

Her bir cismin ( R ) içindeki hareket denklemleri daha sonra dinamiklerin temel ilişkisi kullanılarak yazılır  :

{m1r1→¨=F21→=-F12→m2r2→¨=F12→{\ displaystyle {\ start {cases} m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} = {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}} \\ m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}} \ son {vakalar}}}, (1).

O halde sorunu çözme stratejisi şudur: her şeyden önce hayali parçacık kavramını tanıtarak tek bir cismin hareketini incelemek  ; sonra kolayca çözülebilen tek boyutlu bir probleme inin.

Bir vücut için bir problemin azaltılması

Sistemin yalıtılmış olması, bir cismin eylemsizlik merkezinin önemsiz hareketini diğerine göre bir cismin hareketinden ayırmayı ve aslında hayali denilen tek bir parçacığın hareketinin incelenmesine geri dönmeyi mümkün kılar .

Momentumun korunumu - barycentric referans çerçevesi

İki hareket denkleminin eklenmesi hemen şunu verir:

m1r1→¨+m2r2→¨=(m1+m2)$VS→¨=0→{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} + m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = \ sol (m_ {1} + m_ {2} \ sağ) {\ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}}} = {\ overrightarrow {0}}}, sistemin C kütle merkezi ile, konum vektörü ile .$VS→=ÖVS→=m1r1→+m2r2→m1+m2{\ displaystyle {\ overrightarrow {R_ {C}}} = {\ overrightarrow {OC}} = {\ frac {m_ {1} {\ overrightarrow {r_ {1}}} + m_ {2} {\ overrightarrow {r_ {2}}}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Sonuç olarak ve izole bir sistem için beklendiği gibi, ( R )' deki C kütle merkezinin hareketi doğrusaldır ve tekdüzedir (veya sınırda, durağan haldedir) ve kendini sistemin referans çerçevesine yerleştirmek mümkündür. kütle merkezi ( R c ) (bağlı olduğu cismin doğrusal ve düzgün hareketinden dolayı Galile olacaktır, ( R ) Galile olduğu varsayılır), önceki hareket denklemlerini yeniden yazmak için barycentric olarak adlandırılır .

Hayali parçacık kavramının tanıtılması

Poz vererek şunları yazmak mümkündür: r→=tanımr2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

{r1→=$→VS-m2m1+m2r→r2→=$→VS+m1m1+m2r→{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{vakalar} {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} - {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2 }}} {\ overrightarrow {r}} \\ {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} + {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ overrightarrow {r}} \ end {cases}}}, (2).

İki hareket denklemi (1) arasındaki farkı almak ve barysentrik referans çerçevesinin Galilean karakterini hesaba katmak , aşağıdakileri elde etmek için yeterlidir : $→vs¨=0→{\ displaystyle {\ ddot {{\ vec {R}} _ {c}}} = {\ vec {0}}}

r→¨=(1m1+1m2)F→12=(m1+m2m1m2)F12→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = \ sol ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ sağ) {\ vec {F}} _ {12} = \ sol ({\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {m_ {1} m_ {2}}} \ sağ) {\ overrightarrow {F_ {12}} }}.

Bu denklem aslında üç serbestlik dereceli tek bir cismin hareketinin denklemidir:

μr→¨=F→{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} = {\ overrightarrow {F}}},

ile , sistemin azaltılmış kütlesi ve . μ=tanımm1m2m1+m2{\ displaystyle \ mu {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}F→=F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Referans barisentrik çerçevede bu nedenle sorunun, bir sözde hareket indirgenir hayali partikül kütlesi ^ ı ve yarıçap vektörün, , cisimlerin yörüngeleri M 1 ve M 2 Yukarıdaki göre ispatlarda ile çıkarılan edilen üzerinde formüller . r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r→1,2{\ görüntü stili {\ vec {r}} _ {1,2}}

Özellikle önemli bir durumda, cisimlerden birinin ikincisinden çok daha büyük bir kütleye sahip olduğu (merkezi cisim, genellikle bir yıldız veya "büyük" bir gezegen), örneğin , sistemin kütle merkezinin olduğu belirtilmelidir. pratik olarak bu merkezi gövde ile birleştirilir ve azaltılmış kütle pratik olarak diğer gövdeninkine eşittir . Bununla birlikte , güneş sisteminde gezegenine kıyasla (1/81 Mt) en yüksek göreli uydu kütlesine sahip olan Ay'ın hareketi için bu yaklaşımın nispeten kesin olmadığını unutmayın. m1≫m2{\ görüntü stili m_ {1} \ gg m_ {2}}μ≃m2{\ displaystyle \ mu \ simeq m_ {2}}

Açısal momentumun asal integrali - Yörüngenin düzlüğü - Alanlar yasası

Bir merkezi kuvvetin çok önemli özel durumunda, ile sahip olduğumuz, O olarak belirtilen kuvvet merkezindeki açısal momentum teoremi şöyle yazılır: F→=F(r)er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = F (r) {\ overrightarrow {e_ {r}}}}er→=tanımr→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {r}}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}}}

L→˙=r→×F→=0→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {L}}} = {\ overrightarrow {r}} \ kere {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {0}}},

hangi ima eder . L→=r→×(μr→˙)=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {r}} \ kere \ sol (\ mu {\ nokta {\ overrightarrow {r}}} \ sağ) = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}} }}

Fiziksel olarak, bu hayali parçacığın konum vektörü ve hız vektörünün her zaman sabit bir vektöre dik olduğunu dayatır: M'nin yörüngesi bu nedenle düzlemdir , bu nedenle sorun iki serbestlik derecesindedir.

Yörünge düzlemi olarak, tarafından üretilen olarak tanımlanır ve bunun cylindro-kutupsal koordinatlarda kendini yerleştirilmesi mantıklı bir olaydır, yön eksen Oz arasında olan, θ arasındaki açı ve bu gelir: r→(t=0)=r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ sol (t = 0 \ sağ) = {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→˙(t=0)=v→0{\ displaystyle {\ nokta {\ overrightarrow {r}}} \ sol (t = 0 \ sağ) = {\ overrightarrow {v}} _ {0}}L→=Lez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = L {\ overrightarrow {e_ {z}}}}r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

L→=(rer→)×μ(r˙er→+(rθ˙)eθ→)=μr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = \ sol (r {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ sağ) \ kez \ mu \ sol ({\ dot {r}} {\ overrightarrow {e_ {r}) }} + \ sol (r {\ nokta {\ teta}} \ sağ) {\ overrightarrow {e _ {\ teta}}} \ sağ) = \ mu r ^ {2} {\ nokta {\ teta}} { \ overrightarrow {e_ {z}}}},

sonuç olarak:

μr2θ˙=L=vste{\ displaystyle \ mu r ^ {2} {\ nokta {\ teta}} = L = \ matematik {cte}}(3).

Şimdi d t sırasında ışın vektörü tarafından süpürülen temel alan şu şekilde verilir: r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

dAT=12r2dθ{\ displaystyle \ matematik {d} {\ matematik {A}} = {\ dfrac {1} {2}} r ^ {2} \ matematik {d} \ teta}.

Areolar hızı hayali parçacık (gerçek gövdeleri için ispatlarda ile aynıdır) nedenle sabittir:

AT˙=dATdt=12VS=vste{\ displaystyle {\ dot {\ matematik {A}}} = {\ kesir {\ matematik {d} {\ matematik {A}}} {\ matematik {d} t}} = {\ frac {1} {2 }} C = \ matematik {cte}},

ile , alan sabiti . VS=tanımLμ{\ displaystyle C {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ frac {L} {\ mu}}}

Sonuç olarak, her parçacığın vektör ışını eşit zamanlarda eşit alanları süpürür. Bu özellik aslında merkezi bir kuvvete sahip herhangi bir hareket için geçerlidir. C'nin ifadesinden , hayali parçacığın açısal hızının r uzaklığıyla ters orantılı olduğunu ve bu nedenle , ikincisi minimum olduğunda , yani Kepler hareketindeki periastronda maksimum olduğunu görmek kolaydır - cf. enfra.

Notlar:

• Düzgün dairesel hareket , alanlar yasasına uyan basit bir hareket durumudur;
• L' nin ifadesi , anlık açısal hızın yörünge boyunca asla işaret değiştirmediğini ima eder : bir bakıma, hayali parçacık ve bu nedenle iki "gerçek" cisim, yörüngeleri üzerinde "daima aynı yöne" döner;θ˙{\ görüntü stili {\ nokta {\ teta}}}
• Eğer L = 0, hareket doğrusaldır: bu özel durumda (denilen dejenere) daha sonra hariç tutulur.

Enerji - etkin potansiyelin asal integrali

Kuvvet potansiyel enerjiden V ( r ) türetildiği için hareket korunumlu olduğundan, toplam enerji hareketin ilk integralidir:

H=12μr→˙2+V(r)=vste{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ nokta {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} + V (r) = \ matematik {cte}}, veya , veya L açısal momentum değerinin ifadesini kullanarak  :r→˙2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ teta}} ^ {2}} H=12μr˙2+seneff(r){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ nokta {r}} ^ {2} + U _ {\ metin {eff}} \ sol (r \ sağ)}, (4),

ile etkili potansiyeli . seneff(r)=tanımL22μr2+V(r){\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r \ sağ) {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ { 2 }}} + V(r)}

Son olarak problem, tek bir serbestlik dereceli r tek bir cismin hareketinin incelenmesine iner . Etkileşim potansiyelinin doğası ne olursa olsun, iki cisim probleminde bu her zaman geçerlidir.

analitik çözünürlük

(4)'e göre radyal hızı ifade etmek mümkündür , şu şekildedir: . r˙{\ görüntü stili {\ nokta {r}}}r˙=drdt=2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ matrm {d} r} {\ matrm {d} t}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ sol ( HV (r) \ sağ) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}

Daha sonra, değişkenleri ayırmak ve sırasıyla r 0 ve r radyal konumlarına karşılık gelen iki t 0 ve t anları arasında entegre etmek mümkündür:

t-t0=∫r0rdr′2μ(H-V(r′))-L2μ2r′2{\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {\ matematik {d} r '} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ sol (HV (r ') \ sağ) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r' ^ {2}}}}}}}, (4bis).

Bu, örtük olarak saatlik r ( t ) denklemine tekabül eder .

(4) dikkate alındığında, θ için benzer bir ifade elde etmek mümkündür  :

θ-θ0=∫r0rLr′2dr′2μ(H-V(r′))-L2r′2{\ displaystyle \ teta - \ teta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ matematik {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ sol (HV (r') \ sağ) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}}, (4ter).

Bu iki ifadenin pratikte kullanımı zordur. Bununla birlikte, olası hareketlerin doğası hakkında niteliksel bir tartışmaya izin verirler.

Olası hareketlerin nitel çalışması

ifadesinde , her zaman pozitif olan terim , bir merkezkaç engeline karşılık gelir . Potansiyel V ( r ) varsayılır: seneff(r){\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r \ sağ)}L22μr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}}}

• çekici  : bu nedenle, tüm r için monoton artan V ( r )'ye sahibiz  ;
• orijinde düzenli : yani , ve bu nedenle 1 ⁄ r 2'deki terim ne zaman baskındır .limr→0+r2|V(r)|=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ ila 0 ^ {+}} r ^ {2} \ sol | V (r) \ sağ | = 0}r→0+{\ displaystyle r \ ila 0 ^ {+}}

Sonuncuda esas olmamasına rağmen, V ( r )'nin de, potansiyellerin kökeninin makul bir seçimiyle, sonsuzda sınırlı olduğu varsayılır . Konvansiyonel olarak V ( r ) <0. limr→∞V(r)=0+{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} V (r) = 0 ^ {+}}

Her zamanki fiziksel potansiyeller için geçerli bu koşullar, etkin potansiyel hediyelerle kaydetti eşsiz mutlak minimum, için böyle dolayısıyla ve sahip potansiyel leğen (bir Newton potansiyeli olan bakınız şekil tersini). -sendk<0{\ görüntü stili -U _ {\ dak} <0}r=rm{\ görüntü stili r = r_ {m}}dseneffdr|r=rm=0{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ matrm {d} U _ {\ metin {eff}}} {\ matrm {d} r}} \ sağ | _ {r = r_ {m}} = 0}

Ayrıca, H'nin ifadesine göre  : r'nin değerlerinin gibi olmasına izin verildi . H-seneff(r)=12μr˙2⩾0{\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}seneff(r)⩽H{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} (r) \ leqslant H}

Bu nedenle aşağıdaki durumları niteliksel olarak değerlendirmek mümkündür ( L sıfır değildir):

• Toplam enerji H > 0: yana zaman bu durum herhangi bir değeri için karşılandığı, ile R dakika en az bir yaklaşım mesafe olacak şekilde . Bu nedenle hayali parçacık, pozitif bir radyal hız ile sonsuza gidebilir .seneff(r)⟶0-{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r \ sağ) \ longrightarrow 0 ^ {-}}r→∞{\ displaystyle r \ ila \ infty}r⩾rdk{\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}seneff(rdk)=H{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r _ {\ min} \ sağ) = H}r˙mdex=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Toplam enerji H = 0: parçacığın sonsuza gidebileceği, ancak önceki formüle göre sıfır radyal hız ile sınırlayıcı durum, minimum yaklaşma mesafesi şöyledir , yani .seneff(rdk)=0{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r _ {\ min} \ sağ) = 0}V(rdk)=-L22μrmbendeğil2{\ displaystyle V \ sol (r _ {\ min} \ sağ) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {dk} ^ {2}}}}

• Toplam enerji  : bu durumda, parçacık, (durma noktaları) gibi iki r değeri arasında, kesin bir uzay bölgesinde sınırlandırılır . Radyal hız bu noktaların her birinde iptal edilir, ancak anlık açısal hız için durum böyle değildir (bkz. H ifadesi ve bununla ilgili açıklamalar).0>H>-sendk{\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}seneff(rdk,maksimum)=H<0{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} \ sol (r _ {\ min, \ max} \ sağ) = H <0}

Hareket nedeniyle sınırlandırılması için, süre Δ t için r değişir r dakika için R en fazla kolaylıkla veren entegre ifade kullanarak elde edilebilir t . Hamiltonyenin zaman değişmezliği bu süre gitmek için aynı olacak anlaşılacağı gibi R max için R min , radyal hareket, bu nedenle süre ile periyodik T tarafından verilen: T=2∫rdkrmaksimumdr2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ matematik {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ sol (HV (r) \ sağ) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}} Ve de radyal bir süre açısı θ miktar Δ göre değişir İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin , integral ifade tarafından verilen İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin  : Δθ=2∫rdkrmaksimumLr2dr2μ(H-V(r))-L2r2{\ displaystyle \ Delta \ teta = 2 \ int _ {r _ {\ metin {dk}}} ^ {r _ {\ metin {maks}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }} } \ matrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ sol (HV (r) \ sağ) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}}. Bununla birlikte, hareketin sınırlandırılmasının hiçbir şekilde mobilin yörüngesinin kapalı bir eğri olduğu anlamına gelmediğini vurgulamak önemlidir . Bunun için gerçekten sadece m ve n tamsayıları ile gerekli olacaktır . Bu durumda ve sadece bu durumda, vektör yarıçapı , n "radyal" T periyodundan sonra ilk değerine döner , çünkü o zamandan beri 2 mp "döndürülmüş" olacaktır  : nT aslında hareketin periyodu olacaktır ve fonksiyonu. θ ( t ). Böyle bir durum, ölçülebilir radyal ve açısal periyotlara tekabül eder ve sınırlı hareketin kapalı bir eğriye göre gerçekleşmesi için gerekli ve yeterli bir koşuldur. Bu durum, sadece 1 / de Newton potansiyeli tarafından yerine getirilir r ve izotropik uzaysal harmonik potansiyel V ( r ) = kr 2 (bu son durumda daha kabul edilmez): bu sonuç teşkil Bertrand teoremini .Δθ=2πmdeğil{\ displaystyle \ Delta \ teta = {\ frac {2 \ pi m} {n}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

• Toplam enerji  Bu yalnızca izin verilen değer sınır durumda r olan r m , ve bu durumda, yörünge a, daire , bu radius.H=-sendk<0{\ displaystyle H = -U _ {\ min} <0}

• Toplam enerji  : r'nin bu değerleri yasaktır ve fiziksel hiçbir şeye karşılık gelmez.H<-sendk{\ displaystyle H <-U _ {\ min}}

Aşağıda, bu durumların her birinin, bir hiperbol, bir parabol, bir elips ve bir daire gibi Kepler hareketi için belirli yörünge biçimlerine karşılık geldiği gösterilecektir. Önceki tartışma, yandaki şekilde grafiksel olarak özetlenebilir.

Hareketin bozulması

Önceki çalışma varsayılarak yapılmıştır . Eğer L = 0, basitçe sahip herhangi bir zamanda, ve hareket sadece radyal  : dejenere olduğu söylenir. Önceki tartışma basitleştirilmiştir, önceki koşul (4bis) olarak özetlenir , her durumda doğrulanırsa . Aksi takdirde, parçacığın kuvvet merkezine "düştüğünü" doğrulamak kolaydır. L≠0{\ displaystyle L \ neq 0}θ˙=0{\ görüntü stili {\ nokta {\ teta}} = 0}V(r)⩽H{\ displaystyle V (r) \ leqslant H}H⩾0{\ displaystyle H \ geqslant 0}

Kepler hareketi örneği

Etkileşimi potansiyeline sahip demek olan iki gövde çekim etkileşimi olduğu durumda, karşı keplerci hareket karşılık , bu nedenle, ve ile, sistemin toplam kütlesi. O zaman her şey, sanki hayali parçacık M , ışın vektörünün O noktasına yerleştirilmiş sistemin toplam kütlesinden etkilenen bir cismin yerçekimi etkileşimine maruz kalmış gibi olur . Ayrıca, muhafazakar bir merkezi potansiyel V ( r ) içindeki herhangi bir hareket için geçerli olan önceki genel sonuçlar, r = r ( t ) saatlik denklemini belirlememize zaten izin verecekse, Newton potansiyelinin özel bir asal integrali vardır, Runge- Yörünge denklemini basit bir şekilde elde etmeyi mümkün kılan Lenz vektörü. V(r)=-Gm1m2r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}}}F→=-Gm1m2r2er→=-GμMTr2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = - G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}} = - G {\ frac {\ mu M_ {T}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}MT=tanımm1+m2{\ displaystyle M_ {T} {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} m_ {1} + m_ {2}}

Runge-Lenz değişmezi - yörünge denklemleri

Ek bir ilk integralin varlığı

Newton potansiyeli , belirli bir ek değişmezin varlığı ile karakterize edilir, Runge-Lenz değişmezi , şu şekilde verilir: 1/r{\ görüntü stili 1 / r}

e→=(r→˙×L→)GMTμ-er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ sol ({\ dot {\ overrightarrow {r}}}} \ kere {\ overrightarrow {L}} \ sağ)} {GM_ {T} \ mu} } - {\ overrightarrow {e_ {r}}}}, (5) gösteri r→¨×L→=d(r→˙×L→)dt=r→¨×[r→×(μr→˙)]{\ displaystyle {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ kez {\ overrightarrow {L}} = {\ frac {d \ sol ({\ dot {\ overrightarrow {r}}}}) \ kez {\ overrightarrow {L }} \ sağ)} {\ matematik {d} t}} = {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ kez \ sol [{\ overrightarrow {r}} \ kez \ sol (\ mu {\ nokta { \ overrightarrow {r}}} \ sağ) \ sağ]}, nerede dikkate alındığı , bu da şunları verir:L→=vste→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {\ matematik {cte}}}} d(r→˙×L→)dt=-GMTer→r2×(μr2θ˙ez→)=GMTμθ˙eθ→{\ displaystyle {\ frac {d \ sol ({\ nokta {\ overrightarrow {r}}}} \ kere {\ overrightarrow {L}} \ sağ)} {\ matrm {d} t}} = - {\ frac { GM_ {T} {\ overrightarrow {e_ {r}}}} {r ^ {2}}} \ kere \ left (\ mu r ^ {2} {\ dot {\ teta}} {\ overrightarrow {e_ {z }}} \ sağ) = GM_ {T} \ mu {\ nokta {\ teta}} {\ overrightarrow {e _ {\ teta}}}}, yörüngenin düzlüğünün dikkate alındığı, ancak aşağıdakilerin hemen dikkate alındığı durumlarda :θ˙eθ→=er→˙{\ displaystyle {\ dot {\ teta}} {\ overrightarrow {e _ {\ teta}}} = {\ dot {\ overrightarrow {e_ {r}}}}} ddt((r→˙×L→)GMTμ-er→)=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {\ matematik {d} t}} \ sol ({\ frac {\ sol ({\ dot {\ overrightarrow {r}}}}) \ kez {\ overrightarrow {L}}} sağ) )} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ sağ) = {\ overrightarrow {0}}}, dolayısıyla sonuç. Hayali parçacığın yörüngesinin denklemi

Bu nedenle hareket düzleminde yer aldığı açıktır . Sonuç olarak, ve ile arasındaki w açısını kutupsal açı olarak almak mümkündür ve elbette e'ye dikkat ederek bunun normunu doğrulamak kolaydır: L→⋅e→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = 0}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}θ˙=w˙{\ görüntü stili {\ nokta {\ teta}} = {\ nokta {w}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}

r→⋅e→=reçünkü⁡w=r→⋅(r→˙×L→)GMTμ-r{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = re \ cos {w} = {\ frac {{{\ overrightarrow {r}} \ cdot \ sol ({\ dot {\ overrightarrow) { r}}} \ kere {\ overrightarrow {L}} \ sağ)} {GM_ {T} \ mu}} - r}veya kimliğini dikkate alarak r→⋅(r→˙×L→)=L→⋅(r→×r→˙)=L2μ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot \ sol ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ kere {\ overrightarrow {L}} \ sağ) = {\ overrightarrow {L}} \ cdot \ sol ({\ overrightarrow {r}} \ kere {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ sağ) = {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}}} : r(1+eçünkü⁡w)=p{\ displaystyle r \ sol (1 + e \ cos {w} \ sağ) = p}, ile .p=tanımL2GMTμ2{\ displaystyle p {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}

Fiziksel olarak, p = r m , değeri r olan U eff ( R ) az. Aslında , ya r m = p'ye türetilerek kolayca gelir . seneff(r)=L22μr2-GMTμr{\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} { }}}L2μrm=GMTμ{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r_ {m}}} = GM_ {T} \ mu}

Bu nedenle elde edilen yörünge denklemi, dışmerkezlik e ve parametre p ' nin bir koniğinin denklemidir  :

r=p(1+eçünkü⁡w){\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ sol (1 + e \ cos {w} \ sağ)}}}, (6),

kuvvet merkezi odak noktalarından birini işgal eder. Bu nedenle vektör , w = 0'a tekabül eden, q ile gösterilen, minimum mesafe (veya periapsis ) noktasına doğru yönlendirilir . Bu noktada, yörünge açısal hızı maksimumdur. w açısı astronomide gerçek anomali olarak adlandırılır . e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}q=p/(1+e){\ displaystyle q = p / \ sol (1 + e \ sağ)}w0˙=θ0˙{\ displaystyle {\ dot {w_ {0}}} = {\ dot {\ teta _ {0}}}}

Homotetik olarak, gerçek cisimlerin her biri, barycentric referans çerçevesinde, kütle merkezi odaklardan birini işgal eden bir koniği tanımlar. e'nin değeri koniğin yapısını belirler:

• Eğer e > 1, yörünge bir olan hiperbol  : Bu durumda gök cisimleri bağlantılı değildir ve sonsuza gidebilir;

• Eğer E 1 =, yörünge a, parabol  ;

• 0 < e <1 ise, yol bir elipstir . Bu, gezegenler ve güneş sisteminin diğer cisimlerinin çoğu için geçerlidir; ayrıca, kütle merkezinin pratik olarak Güneş'in konumu ile karıştırıldığı ve bu da Kepler'in ilk yasasını (1609) bulmayı mümkün kılar : “Au Güneş etrafındaki hareketleri sırasında gezegenler, Güneş'in odak noktalarından birini işgal ettiği elipsleri tanımlar ”. İkinci yasa (1609 da) doğrudan alan hızının sabitliğinden gelir ve alanlar yasasının adını taşır: "Güneş'i bir gezegene bağlayan ışın vektörü eşit zamanlarda eşit alanları süpürür".

• Eğer E = 0, yol daireseldir.

Newton alanının belirli karakteri hakkında not

Newton alanları için kapalı yörüngeler elde etmek dikkat çekicidir ve aslında belirli bir simetriden kaynaklanır. Gerçekten de, Noether teoremine göre, korunum yasaları, problemin belirli simetrisinin varlığı ile ilgilidir.

Böylece, iki cismin küresel sisteminin öteleme değişmezliği (sistemin sözde izole edilmiş karakteriyle bağlantılı), küresel sistemin momentumunun korunmasına yol açarken, merkezi alanın dönme değişmezliği (izotropi) buna yol açar. açısal momentum ve zaman içinde öteleme ile değişmezlik ("sürtünmenin" yokluğunu varsayar) toplam enerjinin korunumuna. Bu ilk integrallerin varlığı, sırasıyla 6'dan 3'e, sonra 2'ye ve nihayet bir serbestlik derecesine geçmeyi mümkün kılar. Ancak, daha sonlu hareketi için, iki gövde 1 alanın özel birinci integrali varlığına kapalı eğrileri ve buna sadece ek bir simetri potansiyel ve sonuçları açıklamak için bir neden / sahip r 2 , Runge- Lenz vektörü (veya eşdeğer olarak eksantriklik vektörü).

Daha önce yazılanlardan açıkça anlaşılacağı gibi, yörünge denklemi sadece ışın vektörünün, uzayın belirli bir yönünü, pratikte koniğin eksenini tanımlayan bu özel sabit vektör üzerindeki izdüşümüyle elde edilir. Ancak, bu tür bir simetri ancak dört boyutta doğru yorumlanabilir, bkz. özel öğe .

Kuantum mekaniğinde, bu ek gözlemlenebilir, iki kuantum gövdesiyle ilgili bir soruna karşılık gelen hidrojen atomunun çalışmasında bulunur ve bu, elektronun enerji seviyelerinin "kazayla" dejenerasyonu ile sonuçlanır. açısal momentumla ilgili yörünge kuantum sayısı l . Burada yine Coulomb alanına özgü ve sadece 4 boyutta yorumlanabilen ek bir simetri bu fenomeni açıklıyor.

İçi boşta, bu düşünceler, diğer gök cisimlerinden kaynaklanan bozulmaların hesaba katıldığı bir durumda, maruz kalınan potansiyelin artık 1 / r 2'de olmayacağını ve Runge-Lenz vektörünün artık kesinlikle birincil integral olmayacağını göstermektedir. hareket. . Yörüngeler artık tam anlamıyla konikler, kapalı eğriler olmayacak (0 < e <1 için). Aslında bu, uzayda yavaşça "dönen" eliptik yörüngelerde gözlemlenen şeydir, genel görelilik çerçevesinde sıkı bir şekilde yorumlanan günberinin ilerlemesinin bir fenomenidir .

Eksantriklik ve hareketin asal integralleri arasındaki ilişki

Bir de , sabit alan çerçeve Oxyz (bağlanmış R c ), eksen Ox birim vektörü odağına minimum mesafe noktasında doğru yönlendirilmiş konik bölgesinin , Oz açısal momentum ile enberi de, ve benzeri gibi ve r = q , enerjinin ilk integrali bu minimum mesafenin bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir, şu şekilde gelir: ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {x}}}}L→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}r˙=0{\ görüntü stili {\ nokta {r}} = 0}

H=L22μq2-GMTμq{\ displaystyle H = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu q ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}}},

hangi ima eder . L2=2μq2H+2GMTμ2q{\ displaystyle L ^ {2} = 2 \ mu q ^ {2} H + 2GM_ {T} \ mu ^ {2} q}

Aynı şekilde eksantriklik vektörünü de basit bir şekilde ifade etmek mümkündür:

e→=(L2GMTμ2q-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = \ sol ({\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2} q}} - 1 \ sağ) {\ overrightarrow {e_ {x }}}}. gösteri

e→=(qθ0˙ey→)×(Lez→)GMTμ-ex→=(rmbendeğilθ0˙LGMTμ-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ sol (q {\ dot {\ teta _ {0}}} {\ overrightarrow {e_ {y}}} \ sağ) \ kez \ sol (L {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ sağ)} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {x}}} = \ sol ({\ frac {r_ {min} {\ nokta { \ theta _ {0}}} L} {GM_ {T} \ mu}} - 1 \ sağ) {\ overrightarrow {e_ {x}}}}, veya beri , dolayısıyla sonuç. qθ0˙=Lμq{\ displaystyle q {\ dot {\ teta _ {0}}} = {\ frac {L} {\ mu q}}}

Bu ifade için elde edilen bir değiştirerek L 2 , konik eksantrikliği ekspresyon şeklinde konur:

e=1+2qHGMTμ{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}}}.

Daha sonra verilen ifadede minimum q mesafesini ortadan kaldırmak ve dışmerkezlik e ile iki ilk integral H ve L arasında bir ilişki elde etmek mümkündür . Eksantriklik için önceki ifadede ikame ile gelir: q=p1+e=L2G2MT2μ3(1+e){\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}} = {\ frac {L ^ {2}} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3} (1 + e)}}}

(e+1)(e-1)=2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle (e + 1) (e-1) = {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}Veya son olarak: .e=1+2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}}}

Bu son iki ifade elbette sadece fiziksel bir anlama sahiptir ve yukarıda görülen farklı durumları bulmayı mümkün kılar: e⩾0{\ displaystyle e \ geqslant 0}

• Hiperbolik yörünge örneği: H > 0 anlamına gelen e > 1 , söylendiği gibi, hayali mobil sonsuza gidebilir, tamamen sıfır olmayan bir radyal hız ile  ;r˙mdex=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Parabolik yörünge durumu: e = 1, H = 0 anlamına gelir , yine mobil sıfır hızla sonsuza gidebilir.

• Eliptik yörünge durumu: 0 < e <1 elimizde olduğunu ima eder .-GMTμ2q<H<0{\ görüntü stili - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} <H <0}

• Dairesel yörünge durumu: e = 0 dolayısıyla .H=-GMTμ2q=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}

Not: kinetik enerjisini ve dolayısıyla H ve L'yi değiştirebilen yörüngedeki bir uzay aracı durumunda, e'nin önceki ifadesi , düzeltici darbeyi doğru bir şekilde "seçerek" eksantriklik değerini değiştirmenin mümkün olduğunu gösterir. e yörüngesi: Bu yaygın uygun "kullanılarak istenen yörüngede uydular getirmek için kullanılan aktarma yörüngelerini ". Hatta gerekirse, örneğin gezegenler arası sondalar için dünyanın çekim gücünden kaçmak bile mümkündür.

Eliptik hareket durumu

Eliptik Kepler hareketi astronomi için çok önemlidir (örneğin güneş sistemindeki gezegenlerin yörüngeleri, yapay uydular). Her halükarda, diğer gök cisimlerinin etkisini veya çoğu zaman bu "ideal" hareketin bozulması olarak hareket eden diğer faktörleri hesaba katarak daha gelişmiş hesaplamalar için bir başlangıç ​​noktası görevi görür.

Yörüngenin ana parametreleri

Noktaları eğrisinin gibi bir elips tanımlanabilir M iki sabit nokta mesafelerin toplamı olarak da adlandırılan odaklar gösterilen F 1 ve F 2 sabittir: , var olan yarı-büyük eksene olan elips, - ki bir yörünge için olan iki köşe arasındaki yarı mesafe periastron P ve apoaster A , yörüngenin kuvvet merkezinden (odaklardan birini işgal eden) en uzak nokta (bkz. şekil) . d(F1,M)+d(F2,M)=2de{\ görüntü stili d (F_ {1}, M) + d (F_ {2}, M) = 2a}

Q'ya tekabül eden bu son noktanın odağına olan uzaklığı not ederek , şu gelir: ve ondan çıkarız . Elips, odaklardan orta uzaklıkta bir O simetri merkezine sahiptir ve bu merkez , içinden majör ve minör eksenler olarak adlandırılan iki dik simetri eksenini geçer. w=π{\ görüntü stili w = \ pi}S=p/(1-e){\ displaystyle Q = p / \ sol (1-e \ sağ)}de=p/(1-e2){\ displaystyle a = p / \ sol (1-e ^ {2} \ sağ)}

Elipsin p parametresi , w = p / 2 için r değerine karşılık gelir .

Odağa olan yarı mesafe c ile gösterilir , açıkçası elimizde . Biz anlamak yarı minör ekseni gösterilen, b  : . Biz ortadan kaldırmak e veren denklemler arasındaki bir ve b , bu elips parametre ifadesi . vs=de-q=ep1-e2=ede{\ displaystyle c = su = e {\ frac {p} {1-e ^ {2}}} = adet}b=de2-vs2=de1-e2{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} = bir {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}p=b2/de{\ görüntü stili p = b ^ {2} / a}

Bu formülleri birleştirerek, sırasıyla periapsis q ve apoastro Q  : ve ' yi elde ederiz . q=de(1-e){\ görüntü stili q = bir (1-e)}S=de(1+e){\ görüntü stili Q = bir (1 + e)}

Enerji yönleri - Canlı kuvvetlerin denklemi

Leibnizci kuvvet  kavramından “ canlı güçler ” adını alan denklemi elde etmek için,  (9) eksantriklik-enerji ilişkisinde periastrona olan uzaklık ifadesini değiştiriyoruz : q=de(1-e){\ displaystyle q = a \ sol (1-e \ sağ)}

1-e=-2qHGMTμ=-2Hde(1-e)GMTμ{\ displaystyle 1-e = - {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}} = - {\ frac {2Ha \ sol (1-e \ sağ)} {GM_ {T} \ mu}}}, yarı ana eksenin değerine göre toplam mekanik enerjinin ifadesinin alındığı a  : H=-GMTμ2de{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}, (10bis).

Bu nedenle, toplam enerji, r = a için potansiyel yerçekimi enerjisinin yarısına eşittir . Olarak , H CTE =, bu gelir:

H=-GMTμ2de=12μv2-GMTμr{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}} = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu } {r}}}, Ki biz hızı değeri için bir ifade elde v bir fonksiyonu olarak yörünge üzerinde parçacık r ve bir olarak bilinen canlı kuvvet denkleminin  : v=GMT(2r-1de){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ sol ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ sağ)}}}, (10ter).

Bu denklem astronotta sıklıkla kullanılır. Bu nedenle, yarı ana eksenin ölçümünün hayali parçacığın toplam enerjisiyle doğrudan bağlantılı olduğunu ve eliptik yörüngeden beri beklediğimiz gibi, varsa , parabolik bir yörüngeye yöneldiğini not ediyoruz. |H|→0{\ displaystyle \ sol | H \ sağ | \ 0'a kadar}de→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Kepler'in üçüncü yasası

Eliptik hareket sonludur, devir periyodu veya yörünge periyodu olarak adlandırılan T periyodu ile periyodiktir , fizik kanunları zaman içinde öteleme yoluyla değişmezdir. Bununla birlikte, bu süre, aynı zamanda, yarı-ana eksen değeri, astronomi gözlemleri tarafından verilen başka bir cisimden ölçmek için kolaydır a . Bununla birlikte, ilk kez 1618'de Kepler tarafından deneysel olarak gösterilen, devrim dönemi ile yarı ana eksen arasında basit bir ilişki vardır.

İle alan hızı olarak sabit , dönem boyunca entegre ederek elde T hareketi elipsin toplam alanı, e eşit , bu nedenle kimlik verir, bunun kullanımı yapıldı, . AT˙=L2μ{\ displaystyle {\ nokta {\ matematik {A}}} = {\ frac {L} {2 \ mu}}}πdeb{\ görüntü stili \ pi ab}πdeb=LT2μ{\ displaystyle \ pi ab = {\ frac {LT} {2 \ mu}}}L2=4π2μ2de2b2T2=4π2μ2pde3T2{\ displaystyle L ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} b ^ {2}} {T ^ {2}}} = 4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} p {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}}}p=b2/de{\ görüntü stili p = b ^ {2} / a}

Ama tanım gereği, nihayet momentumu ortadan kaldıran temel ilişkiyi verir: . p=L2GMTμ2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}de3T2=GMT4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM_ {T}} {4 \ pi ^ {2}}}}

Başka bir deyişle: yörüngelerin yarı ana eksenlerinin küpleri, dönüş periyotlarının kareleriyle orantılıdır .

Güneş sistemindeki bir gezegen söz konusu olduğunda, Güneş'in kütlesi sistemin toplam kütlesine pratik olarak eşittir ve Gauss sabiti ile yazıyoruz . de3T2=k4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {k} {4 \ pi ^ {2}}}}k=tanımGMS{\ displaystyle k {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} GM_ {S}}

Bu yaklaşımı yaparak, güneş sistemindeki herhangi iki gezegen için açık gösterimlerle yazabiliriz:

de13T12=de23T22{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} ^ {3}} {T_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {a_ {2} ^ {3}} {T_ {2} ^ {2} }}}.

Böylece bir gezegenin yarı ana ekseninin (örneğin, astrometrik yöntemlerle çok hassas bir şekilde ölçülebilen Dünya ) ve yörünge periyotlarının (gözlemlerle) bilgisi, tüm gezegenlerin yarı ana eksenlerini belirlemeyi mümkün kılar. güneş sisteminin gezegenleri. Diğer tüm "sistemler" (örneğin bir yıldız ve gezegenleri, bir gezegen ve uyduları ...) için aynı şekilde ilerlenebilir, burada belirli bir cismin kütlesi "merkezi" olanın önünde ihmal edilebilir. vücut (yıldız, gezegen).

Gök cisminin yörüngesindeki ortalama açısal hızına n ile gösterilen ortalama hareket diyoruz : bu nedenle Kepler'in üçüncü yasasına göre: değil=tanım2πT{\ displaystyle n {\ stackrel {\ metin {def}} {=}} {\ frac {2 \ pi} {T}}}

değil=GMTde3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {a ^ {3}}}}}.Dairesel yörüngenin limit durumu - minimum yörünge hızı

Zaman , e = 0 ise, elips dejenere olan ve yarıçap bir daire için gelir R = p ve merkez O , iki odağıyla rastlaşan. Merkezden geçen herhangi bir eksen, yörüngenin simetri eksenidir. (3)'e göre açısal hız sabittir (bu nedenle önemsiz bir “alan kanunu” buluruz). θ˙=L/μp2{\ displaystyle {\ nokta {\ teta}} = L / \ mu p ^ {2}}

Enerji seviyesinde, formül (10) ve şekilde göre bu (parça bakınız, daha önce bahsedilen edildi 3.1-4 toplam enerji fiziksel minimuma bu karşılık gelir H ile , bu nedenle, bir sıfır radyal kinetik enerjiye . Etkin potansiyel enerji bu nedenle minimal, fiziksel olarak 1 / r 2'deki merkezkaç bariyeri ve 1 / r'deki çekici potansiyel "merkezcil" terimlerinin dengelendiği noktaya karşılık gelir . H=-GMTμ2$=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2R}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}12μr˙2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ mu {\ nokta {r}} ^ {2}}seneff(r){\ displaystyle U _ {\ metin {eff}} (r)}

Sadece bu minimum mekanik enerji için , hayali mobilin güç merkezi etrafında R mesafesinde (ve dolayısıyla aynı zamanda diğerinin etrafında "gerçek" bir cismin yörüngesinde dönmesi) elde edilebilir, daha düşük bir değer "serpinti" ye yol açar. kuvvet merkezindeki hayali parçacığın. Hızı belirli bir değere Bu minimum mekanik enerji karşılık v adı hızı etrafında dönen en az ya da “ilk kozmik hız”. Gerçekten de, bir oturma kuvvetleri denklem (10ter), yarıçapı, dairesel yörünge için birine göre R ' = gelmiştir ile ve sabit bir değere saf bir merkezden kenarlara doğru hız verildi:

v1=GMT${\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {R}}}}, (11).

Uygulamalarda (astronotik), bu hız aslında "uydu" cismin kütlesinden bağımsızdır , çünkü toplam kütle o zaman "merkezi" yıldızınkine eşittir.

Örnek: Dünya için, elimizdeki en azından R ' = 6.400  km yaklaşık verir (toprak yüzeyi), h 1 ≈ 7.9  km s -1 .

parabolik hareket durumu

Dışmerkezlik zaman parabolik hareket eliptik hareket sınırlayıcı bir durum E 1. sezgisel eğilimi gösterir, giderek artan bir ince uzun bir elips için bu karşılık, enberi P odak yaklaşan F 1 , diğer odak noktası F 2 bir birey, "izdüşümü" daha fazla ve daha bulundu . Sonunda, tıpkı apoastro A gibi sonsuza reddedilir ve elips A noktasında bir parabol vermek için "açılır" .

Yörüngenin ana parametreleri

Bu durum e = 1'e tekabül eder ve yörünge denkleminin evindeki polar o zaman: . Periapsis P w = 0'a karşılık gelir ve F odak noktasından q = p / 2 mesafesinde bulunur ve elimizde for . Yön ( FP ), eğrinin simetri eksenidir ve sonlu mesafede hiçbir apocenter yoktur. r=p1+çünkü⁡w{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1+ \ çünkü w}}}r→+∞{\ displaystyle r \ to + \ infty}w→π{\ displaystyle w \ ila \ pi}

Karşıdaki şekil, yörüngenin ana özelliklerini özetlemektedir.

Enerji yönü - serbest bırakma hızı

(10) bağıntısına göre ve daha önce belirtildiği gibi, bu sınırlayıcı durum H = 0'a karşılık gelir . Bu durumda, toplam kinetik enerjisi her zaman en demek olan yerçekimi potansiyel enerji, eşittir r verilen : hemen, yörüngenin hızın basit bir ifade vardır aşağıdaki herhangi bir r , kuvvetlerin denklemine olan tekabül parabolik Kepler hareketi için canlı:, (12). 12μv2=GMTμr{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {r}}}v=2GMTr{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {r}}}}

Bu bağıntı , eliptik hareket için bulunan canlı kuvvetler denklemine karşılık gelir , bağıntı (10ter), ile . de→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Hızın bu değeri , hızın tamamen ortoradyal olduğu r = q mesafesinde bulunan periastronda maksimumdur. Kurtuluş hızı ya da “ikinci kozmik hızı” bu nedenle için tanımlandığı verilen mesafe R olarak . v2=2GMT$=2v1{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {R}}} = {\ sqrt {2}} v_ {1}}

Bu, kuvvet merkezinden verilen R mesafesine yerleştirilen hayali parçacığa (ortoradyal olarak) verilmesi gereken minimum hızdır , böylece uyguladığı yerçekimi çekiminden "kaçabilir". sonsuz, parabolik bir yörüngeyi takip ediyor.

Örnek: Yüzeyinden Dünya için v 2 ≈ 11.2  km s -1 .

Somut olarak, bir uzay sondası gibi bir cisme , belirli bir yıldızın (Dünya gibi) C merkezi odaklı ve bir tepe noktası ile uzayda R = CM olacak şekilde belirli bir M noktası olan bir parabolik yörünge vermek mümkündür . R için serbest bırakma hızına eşit ve radyal yöne ( CM ) dik yönlendirilmiş değerde bir hız işleyin . Bu, periastrondan başlayarak bir ilk eliptik yörüngeden mükemmel bir şekilde yapılabilir: aslında, bu noktada makinenin hızı ortoradyaldir ve periastrondaki serbest bırakma hızı, periastrondan daha yüksek olmasına rağmen maksimum bir değere sahiptir. mürted.

hiperbolik hareket vakası

Yörüngenin ana parametreleri

Eğer e > 1 ise, r'nin değeri için sonsuza eğilim gösterir , iki yön ve , ana eksene ( FP ) göre simetriktir , yörünge eğrisi üzerindeki asimptotları tanımlar. Değerleri ağırlık şekilde üzere tekabül negatif değerleri r : o (bakınız, itici bir alan durumunda geçiyor olduğu bir hiperbol, diğer dalı aslında Rutherford difüzyon ). Fiziksel olarak, tek kapalı dal, ana F'ye en yakın olandır . w∞=arccos⁡(-1e){\ displaystyle w _ {\ infty} = \ arccos {\ sol (- {\ frac {1} {e}} \ sağ)}}w=w∞{\ displaystyle w = w _ {\ infty}}w=2π-w∞{\ displaystyle w = 2 \ pi -w _ {\ infty}}w∞<w<2π-w∞{\ displaystyle w _ {\ infty} <w <2 \ pi -w _ {\ infty}}

Hiperbolün iki asimptotu, iki dallı, tam matematiksel eğrinin simetri merkezi olan ana eksenin bir O noktasında kesişir . Hiperbolün ikinci dalının odağı olan O'ya göre F'ye simetrik bir F ' noktası tanımlayabiliriz . Tüm koniklerde olduğu gibi, periastron P odaktan uzakta bulunur ve yörüngenin tepe noktasını oluşturur. w = p'ye karşılık gelen ve ikinci dalın tepesine karşılık gelen bir "apoastro" A tanımlayabiliriz . Bu nokta odaktan uzakta bulunur, P ve A arasındaki mesafe karşılık gelir . "Yarı-büyük eksene" bu değer bir hale bu yazma mümkün , ve simetri merkezine olan uzaklık, O bir odak noktasına olan ae . q=p1+e{\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}}}S=p|1-e|=pe-1{\ displaystyle Q = {\ frac {p} {\ sol | 1-e \ sağ |}} = {\ frac {p} {e-1}}}2de=tanımS-q=2pe2-1{\ displaystyle 2a {\ stackrel {\ text {def}} {=}} Qq = 2 {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}p=de(e2-1){\ displaystyle p = a (e ^ {2} -1)}q=de(e-1){\ görüntü stili q = bir (e-1)}S=de(e+1){\ görüntü stili Q = bir (e + 1)}

Karşıdaki eğri, biri e = 2 ve diğeri e = 5 olan aynı parametreye sahip iki hiperbol örneği göstererek yörüngenin özelliklerini özetler .

Enerji yönleri - canlı kuvvetlerin denklemi

Eliptik yörünge durumunda olduğu gibi, H ile yukarıda tanımlanan hiperbolün yarı ana ekseni a arasındaki bir ilişkiyi göstermek mümkündür . Gerçekten de periapsis de P burada r = q = bir ( E --1) hızı sadece kenarlara ve mekanik enerji , H olduğu şeklinde ifade : ancak elimizdeki önceki denklemde ikame ile verir: H=12μv2-GMTμq=L22μde2(e-1)2-GMTμde(e-1){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}} = {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu a ^ {2} (e-1) ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}}}L2=GMTμ2p=GMTμ2de(e2-1){\ displaystyle L ^ {2} = GM_ {T} \ mu ^ {2} p = GM_ {T} \ mu ^ {2} a (e ^ {2} -1)}

H=GMTμde(e-1)(e-1)2-1){\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}} \ sol ({\ frac {e-1)} {2}} - 1 \ sağ)}, veya son olarak ilişki:, (13).H=GMTμ2de{\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}

Bu ilişki değiştirerek, eliptik hareket için elde edilen bu aynıdır bir göre - bir . Daha sonra, eliptik durumdakiyle aynı yolu izleyerek hiperbolik hareket için canlı kuvvetlerin denklemini elde ederiz:

v=GMT(2r+1de){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ sol ({\ frac {2} {r}} + {\ frac {1} {a}} \ sağ)}}}, (14).

vektörel çizimler

Barycenter (kırmızı çarpı) etrafındaki iki cismin (beyaz diskler) yörüngelerini temsil eden bazı animasyonlar.

Referanslar

1. Bu, iki cismin boyutlarının hareket sırasında mesafelerine göre çok küçük olduğu durumlarda geçerlidir.
2. Bu yaklaşıklık, iki cismin her biri üzerindeki eylemlerinin göreli önemi göz önüne alındığında, diğer cisimlerin etkisinin ihmal edilmesi anlamına gelir. Örneğin, bir gezegenin güneş etrafındaki hareketi için, baskın etkileşim elbette gezegendeki yıldızın etkileşimidir, en azından ilk yaklaşım olarak güneş sisteminin diğer cisimlerinin etkileşimlerinin her ikisi üzerindeki etkilerini ihmal edebiliriz. Güneş, düşünülen gezegenden daha. Bununla birlikte, daha eksiksiz bir açıklama için tedirgin edici bir şekilde dikkate alınmalıdır.
3. Aslında iki bağımsız tek cisim problemi, ancak eylemsizlik merkezinin hareketi önemsizdir.
4. Homotetik olarak, M1 ve M2 gerçek parçacıklarınınkiler için elbette aynıdır .
5. Ancak, hareketin dejenere olduğu söylenirse ve düz bir çizgiye indirgenirse, yörüngenin düzlüğü kavramının bir anlamı yoktur.L→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {0}}}
6. Bu son durum mutlaka gerekli değildir, biz de kesinlikle potansiyelin bir leğen elde sonsuz formun bir harmonik mekansal potansiyeli olan, birlikte k > 0, fakat bu örnek bir sonraki dikkate alınmayacaktır.V(r)=12kr2{\ displaystyle V (r) = {\ dfrac {1} {2}} kr ^ {2}}
7. Bu minimum yaklaşma mesafesi, sonlu bir mesafede sıfır radyal hıza karşılık gelir.
8. Sonsuzda hız tamamen radyaldir: gerçekten de ortoradyal terim 1 ⁄ r 2 ' dedir ve bu nedenle büyük bir mesafede 0'a yönelir.
9. Kesin olarak söylemek gerekirse, Runge-Lenz vektörü klasik olarak .p→×L→-GMTμ2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}} \ kere {\ overrightarrow {L}} - GM_ {T} \ mu ^ {2} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}
10. Bu, önceki sonuçları, özellikle L = cte gerçeğini sorgulamayan bir orijin değişikliği anlamına gelir , çünkü bu sadece açısal hızın değerine bağlıdır .θ˙=w˙{\ görüntü stili {\ nokta {\ teta}} = {\ nokta {w}}}
11. Herhangi bir H için L = 0 da olabilir , ancak o zaman p parametresi sıfırdır ve artık bir parabol değil, sağda yozlaşmış bir "konik" elde ederiz: hareketin yozlaşmasıyla ilgili yukarıdaki açıklamaya bakın. Bu önemsiz durum daha sonra ele alınmayacaktır.
12. Burada, iki nesnenin kütleleri arasındaki ilişkiler göz önüne alındığında, yıldızın merkezi ile {sonda - yıldız} sisteminin kütle merkezini karıştırıyoruz.

Faydalı kitaplar:

• Dumoulin ve Parisot, Pratik Astronomi ve Bilgisayar Bilimi , Masson, Paris, 1987.
• Perez fizik dersleri: Mekanik - 4 th  edition, Masson, Paris, 2001.
• Landau ve Lifchitz, Cours de physique - Cilt I: Mécanique , Elips - Pazarlama, Paris, 1994.

İnternette :

• Luc Duriez, Klasik gök mekaniği kursu , Üniversite Lille-I / IMCCE, 2002, çok eksiksiz, şu adreste pdf olarak mevcuttur: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

İlgili Makaleler

• N beden sorunu
• Merkezi kuvvet hareketi
• Kinematik> Eliptik hareket
• Kepler yasaları

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">