In matematik , kavramı serisinin mümkün kavramını genelleme yapar sonlu toplamı .
Verilen Bir dizi genel teriminin u , n , okuyan genel bir terim dizi U N dizinin ilk terimlerin toplam alma ile elde edilen dizisine okuyan ( u , n ) , diğer bir deyişle genel olarak terimin dizisi S , n ile tanımlanır :
.Bir dizi çalışma katılan sonlu toplamlar basitleştirilmiş yazma arama yaparak ve olası arama yoluyla gidebilir sonlu sınırın ne zaman n sonsuza eğilimindedir. Bu limit mevcut olduğunda, serinin yakınsak olduğu söylenir ve dizinin limiti ( S n ) serinin toplamı olarak adlandırılır ve not edilir .
Sonlu bir toplamın hesaplanması her zaman basitleştirilemediğinden, belirli sayıda yöntem , hesaplamaları açıkça yapmadan bir serinin doğasını ( yakınsaklık olsun ya da olmasın) belirlemeyi mümkün kılar . Bununla birlikte, sonlu toplamlar üzerindeki belirli hesaplama kuralları, bu seri kavramı tarafından zorunlu olarak korunmaz, örneğin değişebilirlik veya birleştirilebilirlik , yani dizinin terimlerini değiştirme veya yakınsamayı değiştirmeden aralarındaki belirli d'leri yeniden gruplama olasılığı. veya serinin toplamı.
Seri kavramı, u n terimlerinin mutlaka sayı olmadığı, ancak örneğin vektörler , fonksiyonlar veya matrisler olduğu sonsuz toplamlara genişletilebilir .
Bir dizi genel terim x n , resmi olarak iki süitten oluşan çift olarak tanımlanabilir ve . İkinci dizinin n mertebesinden terim, dizinin ilk n + 1 teriminin toplamıdır , ayrıca n mertebesinin kısmi toplamı olarak da adlandırılır . Dizisi olarak adlandırılır kısmi toplamlar dizisi açısından dizisinin x n .
Böylece, x n genel terim dizisiyle ilişkili kısmi toplamlar dizisi yazılabilir:
.Sayısal serisi olan şartlar dizi x n olarak reel sayılar ya da karmaşık sayılar . Terimleri belirli bir vektör uzayının vektörleri olan vektör serileri de vardır . Bu nedenle, örneğin bir dizi matrisi veya bir dizi işlevi incelemek mümkündür . Genel terimler dizisini x n olarak gösteriyoruz : veya .
Sayısal serisi söylemek olan yakınsak kısmi toplamlar dizisi olduğu, tanımı gereği, bir araç yakınsak olduğu; limiti S daha sonra serilerin toplamı olarak adlandırılır , not edilir ve hesaplaması serinin toplamıdır . Aksi takdirde, serinin ıraksak olduğu söylenir .
Her ikisi de yakınsak veya her ikisi de ıraksaksa , iki serinin aynı nitelikte olduğu söylenir .
Genel terimi seri olduğunda kesinlikle yakınsak bir diziden bahsediyoruz | x k | (kendisi yakınsak olduğunu | x | burada "anlamına mutlak değerini ait x ise" x bir reel sayı "dır modül içinde x ise" x bir olan karmaşık sayı , normunu bir normalleştirilmiş vektör alanının bir unsur ise). Eğer seri kesinlikle yakınsak olmadan yakınsak ise, o zaman yarı yakınsak bir diziden bahsediyoruz .
Bir dizinin yakınsak olabilmesi , Zeno'nun bazı paradoksları gibi birçok sorunu çözer . Öte yandan, bir serinin toplamını açıkça nasıl hesaplayacağımızı bilmemiz nadirdir. Bazı klasik hesaplamaların dışında, seri teorisi, kısmi toplamların sırasını hesaplamadan bir dizinin doğasını belirlemeyi ve muhtemelen toplamın yaklaşık bir hesaplamasına ilerlemeyi amaçlar.
Seri yakınsarsa, genel terimi sıfır olma eğilimindedir. Tersi yanlıştır ( genel terimi ıraksakken sıfıra yönelen harmonik seri örneği ). Bir seri bu koşulu karşılamıyorsa kabaca saptığı söylenir .
(1/2) n genel terimi dizisi yakınsaktır ve toplamı şuna eşittir: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 2.
Yakınsamasını gerçek çizgi üzerinde "görselleştirmek" mümkündür: 1, 1/2, 1/4 vb. uzunluklarda ardışık bölümlere ayrılmış 2 uzunluğunda bir bölüm hayal edilebilir. Bir sonraki parçayı işaretlemek için her zaman yeterli alan vardır, çünkü kalan uzunluk sürekli olarak az önce işaretlenen parçanın uzunluğuna eşittir. 1/2 puan aldığımızda, işaretlenmemiş 1/2 uzunlukta bir parça kalıyor, bu yüzden kesinlikle bir sonraki 1/4'ü işaretleyebiliriz. Bu argüman hiçbir şekilde segmentlerin tüm uzunluklarının toplamının 2'ye eşit olduğunun bir kanıtı olarak hizmet edemez, ancak bu toplamın 2'den az kalacağını ve dolayısıyla kısmi toplamlar dizisinin artan ve artan olduğunu tahmin etmemize izin verir. .
Bu seri bir geometrik seridir ; herhangi bir doğal sayı için yazılı tarafından yakınsama kanıtlamak n , seviye olduğu kısmi toplamı n eşittir:
.Neden 1/ 2'nin geometrik dizisi yakınsaktır ve bu nedenle sıfır limitlidir.
Seri yakınsaksa, herhangi bir doğal sayı n için toplam vardır ve . R n terimi , serinin n mertebesinden kalanı olarak adlandırılır .
Yinelemeli bir süreçle , kısmi toplamlar dizisinin bir terimini hesaplamak kolaydır . Yakınsak bir serisi için ve herhangi bir doğal için n , toplamı arasındaki ilişki, kısmi düzenine toplamı , n ve geri kalan düzenin N olduğu yazılı Böylece, kalanı nasıl sınırlayacağımızı biliyorsak, kısmi toplam, bilinen bir belirsizlikle toplamın yaklaşık bir değeri olarak görülebilir .
Kısmi toplamlar dizisinden genel terimi formüllerle bulmak mümkündür.
Bu nedenle, herhangi bir kısmi toplam bir dizidir, ancak herhangi bir dizi de kısmi bir toplamdır (birinci sıfır terim ile ardışık terimlerin farkları dizisiyle ilişkili). Duruma bağlı olarak, terimlerin analizinin kolaylığına bağlı olarak, bir diziyi kısmi toplam veya tam tersi olarak düşünmek avantajlı olacaktır.
Ayrıca, eğer seri yakınsak ise, o zaman dizi 0'a yakınsar. Gerçekten de, serinin yakınsadığını ve toplamının S olduğunu varsayarsak , o zaman elimizde . Tersi yanlıştır (biz alabilir harmonik serisi karşı örnek olarak). Bir dizinin genel terimi 0'a doğru eğilim göstermediğinde, bunun önemsiz veya büyük ölçüde ıraksak olduğu söylenir .
Örnekler: büyük ölçüde ıraksak bir dizidir ; diğer yandan, genel terim sıfıra doğru yönelse de, başka teoremler olmadan karar verilemez.
Sınırı aşma sorunuyla yakından ilgili olan, gerçek sonsuz toplamların ele alınmasıdır . Tatmin edici kavramların sürekli yokluğu , Zeno'nun paradoksları gibi birçok soru ve spekülasyon üretti . Bununla birlikte, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ gibi geometrik ilerlemelerle ilk açık toplamları Arşimet'te ( La quadrature de la parabole ) zaten bulduk .
İngiltere'de, Richard Suiseth ( XIV inci yüzyıl ) genel bir terim olan serinin toplamını hesaplar n / 2 , n ve çağdaş Oresme devletler bu harmonik serisi (genel bir terimdir 1 / n ) ıraksadığını. Aynı zamanda, Hintli matematikçi ve astronom Madhava , trigonometrik fonksiyonların gelişimini seriler, Taylor serileri, trigonometrik seriler şeklinde düşünen ilk kişi oldu . Yaklaşım hesaplamaları için (özellikle π sayısını tahmin etmek için) bu kavramları kullanır ve yapılan hatanın tahminlerini yapar. Aynı zamanda ilk yakınsama kriterlerini de tanıtır. Çalışmaları , güney Hindistan bölgesi Kerala okulundan halefleri tarafından devam ettirildi ve bizler tarafından Yuktibhasa .
In XVII inci yüzyılın , James Gregory Taylor serisinin trigonometrik fonksiyonlar geliştirilmesi de dahil olmak üzere ve bu sonuçların birkaç yeniden keşfedilen ark tanjant fonksiyonunun olduğunu hesapla için π . 1715 yılında Brook Taylor , kendi adını taşıyan serilerin genel yapısını vererek, diferansiyel hesap ile verimli bir bağ kurmuştur. Gelen XVIII inci yüzyılın de Leonhard Euler serisi ve sunmakta üzerinde birçok seçkin ilişkiler kurdu hipergeometrik serisi .
Kısmi toplamlar dizisinin tüm terimlerini açıkça hesaplayabilmek nadirdir.
Pozitif terimli diziler için çok sayıda kural vardır. Hepsi karşılaştırma ilkesine dayanır: eğer herhangi bir n tamsayısı için elimizde , o zaman
Bu hepimizin tamsayı artık önceki eşitsizlikleri varsa geçerliliğini korumaktadır n , ancak tüm tamsayı için n aşağıdaki sonuca (belli derecesinden aşağı demek ki) "yeterince büyük" ve potansiyel:
Bu nedenle pozitif terimli bu seriler için belirli referans serilerinin (geometrik seriler veya Riemann serileri gibi) doğasını belirlemek ve sonra bu serilerle karşılaştırmak gerekir.
Serilerin gerçek veya karmaşık terimlerle, belirli bir hipotez olmaksızın incelenmesi, daha fazla sorun yaratabilir. Yeterli bir koşul çok önemlidir: eğer mutlak değerler (gerçek terimli seriler) veya modüller (karmaşık terimli seriler) yakınsarsa, o zaman seri de yakınsar. O zaman mutlak yakınsak olduğu söylenir .
Gibi mutlak yakınsak olmadan yakınsama serisi vardır alternatif harmonik serinin . Bu tür seriler için daha teknik çalışma yöntemleri (alternatif serilerin yakınsama kriteri , Abel teoremi , vb.) Yakınsak seriler ayrıntılı makalesinde sunulmuştur .
Not: Pozitif terimli serilerle ilgili yakınsama kriterleri genel durumda geçerli olmayabilir. Tipik bir örnek, serininkidir .
Yakınsaktır, çünkü genel terimi mutlak değerde azalarak sıfıra yönelen, ancak mutlak yakınsak olmayan alternatif bir dizidir: mutlak değerler dizisi, ıraksak bir Riemann dizisidir.
Öte yandan, dizi olduğu ıraksak . Bu örnek iki fenomeni göstermektedir:
Seriler ve integral arasındaki karşılaştırma kriteri çok faydalıdır, özellikle Riemann ve Bertrand serilerinin yakınsaklığını veya ıraksaklığını belirlemeyi mümkün kılan budur.
Izin azalan ve pozitif fonksiyonu. O halde seri ve integral aynı anda yakınsak veya ıraksaktır.
Eğer D normalleştirilmiş vektör uzayı, olan terimler değerler bir dizi E yakınsak olduğu söylenir zaman seçilen norm kısmi toplamları yakınsak dizisi. Eğer E sonlu boyutlu olduğunu normlarının tüm seçimler yakınlaşma aynı fikri verecektir.
Banach uzayları durumunda , birçok yakınsama kriteri belirtilebilir, çünkü serinin yakınsadığını göstermek için mutlak yakınsaklığını kanıtlamaya yeterlidir (bu durumda normal yakınsaklıktan bahsediyoruz ). Bu genellikle çalışma araçları serisini olumlu terimlerle sonuçlandırmayı mümkün kılar.
Daha genel olarak, seri kavramı herhangi bir topolojik değişmeli grupta tanımlanabilir .
Biçimsel olarak, fonksiyon dizileri, genel terimleri fonksiyonların vektör uzayına ait olan basit serilerdir . Böylece üstel fonksiyon , bir dizi güç fonksiyonunun toplamıdır.
.Fonksiyon dizilerinde olduğu gibi, böyle bir serinin yakınsamasını tanımlamanın eşdeğer olmayan birçok yolu vardır . En klasikleri şüphesiz basit yakınsama ve düzgün yakınsamadır . Yakınsamanın türüne bağlı olarak, bir serinin toplam fonksiyonunun türetilmesi veya entegrasyonu gibi hesaplamaların yapılmasının mümkün olup olmadığını detaylandıran çok sayıda teorem mevcuttur.
Trigonometrik seri sıklığı sinüzoidal fonksiyonları toplanmasıyla elde edilir nf f verilen bir referans frekansıdır. Harmonik analizde temel bir soru, belirli bir periyodik fonksiyonu trigonometrik bir serinin toplamı olarak gösterme olasılığıdır : Fourier serisi .
Matematikteki olağan fonksiyonların çoğu yerel olarak bir Taylor serisi ile temsil edilebilir . Bunlar, genel terimi bir değişkenin gücüyle yazılan serilerdir; onlara bütün seri denir . Ama sadece belirli durumlarda.
ÖrneklerTarihsel olarak, Leonhard Euler gibi matematikçiler , yakınsak olmasalar bile serilerle özgürce çalıştılar. Hesaplamanın bazlar sıkıca atılmıştır zaman XIX inci yüzyılın serilerin yakınsaması titiz deliller gerekiyordu. Bununla birlikte, serilerle formal hesaplamalar (mutlaka yakınsak değil), halkalardaki formal serilerin kökeninde, genel cebirde, aynı zamanda kombinatoryal cebirde , üretici fonksiyonları sayesinde belirli dizileri tanımlamak ve incelemek için .
Seriler, sonsuz toplam kavramının biçimselleştirilmesinin yalnızca en basit örneğidir. Daha talepkar veya tam tersine daha esnek başka tanımlar da var.
Yakınsak serilerin toplamlarının tanımında, sonlu bir toplam hesaplaması ve ardından sınıra geçiş vardır. Limite geçmenin bu ikinci adımı, "sonsuz toplam" ifadesinin seriyi nitelemek için doğru olmadığı anlamına gelir. Böyle bir "toplam" aslında ne değişmeli ne de birleştiricidir . Genel olarak, bir parametreye göre terim bazında böyle bir toplam terim türetmek de mümkün değildir.
Toplanabilir aileler çağrılacak onlara daha birçok başlık vermek özelliklere sahip "sonsuz miktarda." Seriler söz konusu olduğunda, terimleri u 0 , u 1 , ... indislerinin art arda sırasına göre eklerken, o zaman u n , toplanabilir aile kavramı , toplamaların sırası ne olursa olsun aynı sonucun elde edilmesini gerektirir. gerçekleştirilir . Böylece, toplanabilir aileler için, değişme özelliği tanım gereği doğrudur.
Toplama yöntemleri, belirli ıraksak serilerin toplamının tanımlanmasına izin veren daha zayıf yakınsama türleridir. Örneğin, Grandi serisini topladığımızda Cesàro'nun toplama işlemi 1/2 sonucunu verir.
Kısmi toplamlar dizisinin ilk n teriminin ortalamaları art arda hesaplanıp limite geçilerek tanımlanır.
Diğer en klasik toplama yöntemleri, Abel toplamı ve Borel toplamıdır .