Bir çok yüzlü bir tür geometrik olarak üç boyutlu (bir geometrik cismin olan) yüzleri düz , poligonal olarak adlandırılan tek bir doğru bölümlere göre meydana kenarlar .
Birkaç yüz anlamına gelen polihedron kelimesi , Yunanca πολύς ( polis ), "çok" ve ἕδρα ( hedra ), "taban", "koltuk" veya "yüz" köklerinden gelir . Bir polihedron, tüm yüzleri çokgen olan bir katıdır. Bu çokgenlerin kenarlarına kenar denir. Kenarların uçları köşe adı verilen noktalardır.
Diğer birçok kavram gibi, çokyüzlü kavramı da Yunanlılar tarafından resmen tanıtıldı . Çalışmaları , Öklid'in Unsurları'nda çok önemli bir yer tutar ve matematik söz konusu olduğunda, Platon'un önemli meşguliyetlerinden birini oluşturmuştur .
Ancak bu kavramın daha eski zamanlardan beri algılandığını anlamak için piramitleri incelemek yeterlidir .
Platon, Öklid ve sonra Arşimed içinde Antik , polyhedra çalışma modern zamanların birçok iyi zihinleri işgal ve etmiştir olanlar özellikle Kepler , Euler , Poincaré , Hilbert , vb
Giriş bölümünde verilen tanım çoğumuza yeterince açık gelebilir. Bir matematikçi için değil . Kulağa tuhaf gelse de, çokyüzlü kavramı içinde bulunduğu uzayın boyutuna atıfta bulunmadığından, "bir şeyi" veya bir çokyüzlü yapanın evrensel olarak kabul edilmiş bir tanımı yoktur (sorunun özü, Sezgisel çokyüzlü kavramının, fikirde bir yüzeye veya hacme sahip olup olmamamıza bağlı olarak tam olarak aynı olmadığı gerçeği).
Bu zorluğun üstesinden gelmek için, simpleks kavramını tanıtıyoruz . 3 boyutlu bir çokyüzlüye eşdeğer olarak kabul edilebilir ve daha yüksek boyutlara genellemelere izin verir. Bir polihedron boyutunun daha sonra Simpleksler sonlu kümesinin birliği boyutunun her birinin bu -faces ( bir simplex) bir elemanıdır ve Simpleksler her çifti için bu tür kesişme ya boş ya da bir -face ve için ortaktır .
Böylece bir simpleks, sezgisel çokyüzlü kavramının genelleştirilebilir bir tanımını temsil eder. Bu, yüzlerinin birleşimidir ve bir simpleksin herhangi iki yüzünün kesişimi ya boştur ya da bir boyut yüzüdür . Örneğin, 2-simpleks olan bir üçgen, parçaların birleşimidir ve iki bitişik parçanın kesişimi, üçgenin tepe noktası olan bir noktadır.
Bu nedenle, bir çokyüzlü, farklı sayıda boyut sunan farklı türdeki öğelerden veya varlıklardan yapılmış gibi görünmektedir:
Aşağıdaki nesnenin bu tanımın anlamı dahilinde bir çokyüzlü olmadığı sonucu çıkar. Aslında, kutunun üst yüzü bir değil, iki kenar devresi ile sınırlandırılmıştır: biri onu dıştan, diğeri ise içeriden sınırlamaktadır.
Daha genel olarak matematik ve diğer disiplinlerde, "çokyüzlü" terimi, bazıları geometrik ve diğerleri tamamen cebirsel veya soyut olan çeşitli ilgili yapılara atıfta bulunmak için kullanılır.
Özellikle, bir politop , dışbükey ve sınırlı bir çokyüzlüdür.
Gelen Computational Geometry: An Introduction , Preparata (en) ve Shamos (tr) bir çokgen her bir kenar başka bir çokgen ve bu özellik sahip değildir çokgen başka alt kümesi tarafından paylaşılan bu şekilde düzlemsel çokgen sonlu dizi polyhedra tanımlamak . Bu tanım katı kısıtlamaları ima eder: örneğin, çokyüzlüler kendileriyle kesişme göstermemelidir.
Çokyüzlüler genellikle yüz sayılarına göre adlandırılır. İsimlendirme, klasik Yunancaya dayanmaktadır. Böylelikle, örneğin, vardır: tetrahedron (4 yüzleri), beş yüzlü (5 yüzleri), altı yüzlü (6 yüzleri), yedi yüzeyli cisim (7 yüzleri), triacontahedron böylece (30 yüzleri) ve. Bu atama yöntemi, çokgenlerin isimlendirilmesinde eşdeğerine sahiptir.
Kenarların iki önemli özelliği vardır (çokyüzlü karmaşık değilse ):
Bu iki özellik çifttir .
Bir çok yüzlü olduğu söylenir dışbükey çokgen herhangi iki noktayı birleştiren bir segmentin bir nokta çokyüzlünün aitse. Başka bir deyişle, tüm köşegenleri tamamen kendi içinde yer alıyorsa, bir çokyüzlü dışbükeydir. Böyle bir polihedronun barysentrik bir tanımını vermek mümkündür : sonlu bir eş düzlemli olmayan noktalar kümesinin dışbükey zarfıdır .
Çokyüzlü olsun. not edersek:
Euler'in karakteristiğine sayı diyoruz
Bir dışbükey çokyüzlü için bu özellik her zaman 2'ye eşittir. Bu Euler bağıntısıdır.
Her çokyüzlü için, orijinal köşelerin yerine yüzleri olan bir çift çokyüzlü vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Çoğu durumda ikili, küresel karşılıklılık süreci ile elde edilebilir . Düzenli bir çokyüzlülüğün ikilisi, bitişik yüzlerin merkezleri birleştirilerek oluşturulabilir.
Çokyüzlü, düzlemlerin parçaları olan sonlu sayıda çokgen yüzden oluşan üç boyutlu bir şekildir ; yüzler sağın segmentleri olan kenarlar boyunca birleşir ve kenarlar belirlenen tepe noktalarında buluşur. Küpler , prizmalar ve piramitler polihedrayı örnekleridir.
Çoğu zaman, polihedron sınırlı bir hacimde üç boyutlu alanı sınırlar. Bazen bu iç hacim çokyüzlülüğün bir parçası olarak kabul edilir; diğer zamanlarda, sadece yüzey dikkate alınır. Geleneksel çokyüzlüler, Platonik katılar olarak adlandırılan beş düzenli dışbükey çokyüzlü içerir : dört yüzlü (4 yüz), küp (veya altı yüzlü) (6 yüz), sekiz yüzlü (8 yüz), düzenli on iki yüzlü (12 yüz) ve ikosahedron (20 yüz) ). Diğer geleneksel çokyüzlüler, dört düzenli dışbükey olmayan çokyüzlüdür ( Kepler-Poinsot katıları ), on üç dışbükey Arşimet katısı (kübiktahedron, icosidodecahedron, budanmış tetrahedron, budanmış küp, budanmış oktahedron, budanmış on iki yüzlü, budanmış on iki yüzlü, budanmış, , yumuşak küp, yumuşak dodekahedron ve rhombicosidodecahedron) ve kalan 53 tekdüze çokyüzlü .
Bir polihedron en az 4 yüze, 4 köşeye ve 6 kenara sahiptir. En küçük polihedron tetrahedrondur.
Belirli simetrilere sahip çeşitli çokyüzlüler sınıfları tanımlayabiliriz :
Tüm yüzleri düzgün ve tüm köşeleri aynı olan bir katıya düzgün bir katı diyoruz. Önceki tüm düzenli ve yarı düzenli katılar da öyle. Toplamda 75 tane vardır ve bunlara iki sonsuz prizma ve antiprizma ailesinin eklenmesi gerekir .
Tabii ki, bu tür çokyüzlüleri döndürmek kolaydır, böylece artık simetrik olmazlar. Ancak, icosidodecahedron gibi bir polihedron adı verildiğinde , aksi belirtilmedikçe her zaman en simetrik geometri söz konusudur.
Simetri grupları hepsi çok-yüzlü noktası grupları ve aşağıdakileri içerir:
Kiral simetrik polihedra eksenel simetriye sahip değildir ve bu nedenle birbirinin yansıması olan iki enantiyomorfik forma sahiptir. Yumuşak çokyüzlüler bu özelliğe sahiptir.
düzenli çokyüzlüBir düzenli yüzlü cisim vardır düzenli yüzleri ve düzenli köşeleri. Düzenli bir çokyüzlülüğün ikilisi de düzenlidir.
Bir tepe noktasından başlayalım ve kenarların her birinde belirli bir mesafede bulunan noktaları alalım. Bu noktaları birleştirin, köşe poligonunu elde ederiz . Eğer bu düzenliyse, üstteki düzenli deriz. Bir çokyüzlü, tüm özdeş ve düzgün yüzlerden oluşuyorsa ve tüm köşeleri aynıysa düzenlidir. Geleneksel olarak iki aileye ayrılan dokuz tanedirler:
Yarı-düzenli çokyüzlüler normal yüzleri düzgün üst ve üniform kenar . İki dışbükey olan vardır:
Yarı-normal ikili çokyüzlüler üniform kenara ve bir olması homojen bir yüzü (in) . Önceki ikisine uygun olarak iki dışbükey vardır:
Yarı düzenli çokyüzlüler ve ikilileriTerimi, yarı-düzenli çeşitli tanımlanır. Bir tanım, " iki veya daha fazla türde çokgen yüze sahip tek biçimli tepe noktasının çokyüzlüleridir ". Onlar gerçekten de ne düzenli ne de yarı-düzenli olan tek biçimli çokyüzlülerdir.
Bir çokyüzlü, yüzleri birkaç çeşit düzgün çokgenden oluşuyorsa ve tüm köşeleri aynıysa, yarı düzenlidir. Örneğin , Arşimet katıları , düzenli prizmalar ve antiprizmalar da öyle. Terminoloji tamamen sabit görünmüyor. Bazen söz birinci tür yarı-düzenli katı olan bu katı kişilerce belirtmek için dışbükey , ve homojen katı genel durum için. Katalanca çokyüzlüler yarı normal fakat özdeş yüzleri ve düzenli zirve sahiptir. Bu tür çokyüzlülerin bazen ikinci türden yarı-düzenli oldukları söylenir .
Dışbükey çokyüzlüler ve bunların ikilileri aşağıdaki kümeleri içerir:
dışbükey üniforma | Çift dışbükey | yıldızlı üniforma | çift yıldız | |
---|---|---|---|---|
Düzenli | Platonik katılar | Kepler-Poinsot katıları | ||
Neredeyse düzenli | Arşimet katıları | Katalan katıları | (özel bir isim yok) | (özel bir isim yok) |
yarı düzenli | (özel bir isim yok) | (özel bir isim yok) | ||
prizmalar | Elmaslar | Yıldız prizmaları | Yıldız elmasları | |
antiprizmalar | yamuk | yıldız antiprizmaları | yıldız yamuk |
Ayrıca, çeşitli prizma türlerinin örnekleri de dahil olmak üzere, dışbükey olmayan tek tip çokyüzlüler de vardır.
asil çokyüzlüBir asil çok yüzlü (tr) hem isohedral (en) (eşit taraf) ve izogonal (köşeler anlamına gelir). Düzenli çokyüzlülere ek olarak, başka birçok örnek var.
Çift asil bir çokgen de asil bir çok yüzlü olması.
Her yüzün aynı türden bir çokgen olduğu bazı çokyüzlü aileleri:
Yüzleri aynı olan ve altı veya daha fazla kenarı olan düzgün çokgenler olan bir çokyüzlü diye bir şey yoktur, çünkü üç düzgün altıgenin buluşma noktası bir düzlemi tanımlar. ( istisnalar için sonsuz eğik çokyüzlüye bakın).
delta yüzlüBir deltahedron , tüm yüzleri eşkenar üçgen olan bir çokyüzlüdür. Sonsuz sayıda vardır, ancak yalnızca sekizi dışbükeydir:
Norman Johnson , düzenli yüzleri olan tek tip olmayan çokyüzlüler aradı. 1966'da, şimdi Johnson katıları olarak bilinen 92 dışbükey katının bir listesini yayınladı ve onlara isimlerini ve numaralarını verdi. Sadece 92 tane olduğunu kanıtlamadı ama daha fazla olmadığını tahmin etti. 1969'da Victor Zalgaller (in) , Johnson'ın listesinin eksiksiz olduğunu kanıtladı.
Piramitleri autodual vardır.
Yıldızlar ve fasetlemeStellation çok yüzeyli bir yeni bir çokyüzlüler oluşturmak üzere bir araya, yani (kendi düzlemlerinde) yüzleri genişleyen işlemidir.
Herhangi bir yeni köşe oluşturmadan bir çok yüzlünün parçalarını çıkarma işlemi olan fasetlemenin tam tersidir . Fasetleme, diğer şeylerin yanı sıra birçok yeni yarı-düzenli içbükey katının elde edilmesini mümkün kılar. Yarı düzenli bir çokyüzlülüğün kenarlarını gruplayarak yeni düzenli yüzler oluşturuyoruz. En basiti, üç kare yüz ve dört üçgen yüzden oluşan oktahedrondan yapılmış bir yedi yüzlüdür.
kesiklerBir köşe veya bir kenarın planyalanmasından oluşan işlemdir. Katının simetrilerini korur.
Köşelerin kesilmesiBu işlem, Platonik katılardan yedi Arşimet katısının elde edilmesini mümkün kılar. Gerçekten de, bir küpün kenarlarını giderek daha fazla planlayarak kişinin art arda kesik küp , küboctahedron , kesik oktahedron ve son olarak da sekiz yüzlü elde edildiğini fark ediyoruz . Bu seriyi diğer yönde de takip edebilirsiniz.
Başlayarak düzenli dodecahedron aldığımız kesik dodecahedrondur , icosidodecahedron , kesilmiş icosahedron (futbol topunu şeklini verir), sonra octahedron .
Tetrahedron verir kesik tetrahedronu .
Bu işlemi büyük dodekahedron veya büyük ikosahedron için uygulayabilir ve içbükey düzgün katılar elde edebiliriz.
Kenar kesmeBir küpten, bu işlem art arda bir küboctahedron , ardından eşkenar dörtgen bir dodekahedron verir .
Bir itibaren düzenli dodecahedrona , aldığımız icosidodecahedron ve sonra rombik triacontahedron .
bileşiklerBir çok-yüzlü bileşikler , iki veya daha fazla polihedrayı bileşikleri olarak oluşturulmaktadır.
Bu bileşikler genellikle diğer çokyüzlülerle aynı köşeleri paylaşır ve genellikle yıldız şeklinde oluşturulur. Bazıları model polihedron Wenninger (in) listesinde listelenmiştir .
ZonohedraBir zonohedron , her yüzün ters simetriye veya eşdeğerde 180° dönüşlere sahip bir çokgen olduğu bir dışbükey çokyüzlüdür .
"Çokyüzlü" kelimesi, geleneksel çokyüzlülere benzer yapısal özelliklere sahip çeşitli nesneler için kullanılmıştır.
Bir kompleks çok yüzlü (en) karmaşık üç boyutlu bir alan içinde inşa edilmiş bir çokyüzlüdür. Bu uzayın altı boyutu vardır: sıradan uzaya karşılık gelen üç gerçek boyut ve her birine eşlik eden hayali bir boyut.
Bazı çalışma alanları, çokyüzlülerin kavisli yüzlere ve kenarlara sahip olmasına izin verir.
küresel çokyüzlüBir küre yüzeyi ile ayrılabilir yay arasında büyük çevrelerde (sınırlandıran bölgeler olarak adlandırılan küresel çokgenler oluşturmak üzere) küresel çokyüzlüler . Bu bakış açısı, simetrik çokyüzlüler teorisinin büyük bir bölümünü göstermek için çok uygundur.
Boşluğu dolduran kavisli çokyüzlüİki önemli tür şunlardır:
Daha yakın zamanlarda, matematikçiler bir polihedronu , düz kenarları olan herhangi bir n boyutundaki gerçek bir afin (veya Öklid ) uzayında bir küme olarak tanımladılar . Sonlu sayıda dışbükey çokyüzlülerin birleşimi olarak tanımlanabilir, burada bir dışbükey çokyüzlü , sonlu sayıda yarım uzayın kesişimi olan herhangi bir kümedir . Sınırlı veya sınırsız olabilir. Bu anlamda, bir politop sınırlı bir çokyüzlüdür.
Tüm geleneksel çokyüzlüler genel çokyüzlülerdir ve ayrıca aşağıdaki gibi örnekler de vardır:
“ Çokyüzlü teorisindeki Orijinal Günah , Öklid'e , sonra Kepler, Poinsot , Cauchy , Hess (de) , Brückner aracılığıyla… [bunda] her aşamada… yazarlar “çokyüzlülerin” ne olduğunu tanımlayamadılar… "
. Ayrıca bkz . Grünbaum 2003 .