Bir arkın uzunluğu

İn geometrisi , sorusu bir yayının uzunluğuna düşünürler (sezgisel) kolaydır. Bir yay fikri, örneğin bir düzlemde veya uzayda bir çizginin veya bir noktanın yörüngesinin fikrine karşılık gelir . Uzunluğu, bu yolu izleyen bir maddesel noktanın kat ettiği mesafe veya tam olarak bu çizginin yerini alan bir telin uzunluğu olarak görülebilir. Bir yayın uzunluğu ya pozitif bir sayıdır ya da sonsuzdur.

Eski bir örnek yarım daire yarıçapı r , r, doymuş, pozitif gerçek sayı. Uzunluğu π r'ye eşittir . Daha basit bir örnek, bir segment tarafından verilir , uzunluğu iki ucu arasındaki mesafeye eşittir.

Döneme bağlı olarak, giderek daha büyük bir kemer setinin uzunluğunu tanımlamak ve ölçmek için farklı yöntemler kullanılabilir. Cnidus'lu Eudoxus , bir Yunan matematikçi IV inci yüzyıl M.Ö.. AD , ardından Arşimet , bir dairenin yayınınkini hesaplamak için tükenme adı verilen bir yöntem kullanır . Fizik geç XVII inci yüzyılın ilerleme durumuna göre, yeni bir yaklaşım geliştiriyor mekaniği işaret özellikle teşekkür hesabı uygulanan astronomi . Bir yayın uzunluğu, sabit olduğu varsayılırsa, bir malzeme noktasının yayı kat etmesi için gereken zamanın çarpımı olarak görülür. Bu tanım Bernhard Riemann tarafından genelleştirilmiştir ve artık Riemann manifoldları olarak adlandırılan nesneler üzerinde bir mesafe ve yeni geometri şekilleri oluşturmak için temel taşı haline gelir .

Fransız matematikçi Camille Jordan ( 1838 - 1922 ) için bu tanımlar çok kısıtlayıcıdır. Kapalı bir eğrinin , yani başlangıç noktası bitiş noktasıyla birleşen bir yayın özellikleriyle ilgilenir . İki yüzyıl önce fizikten türetilen önceki tanım, yayın türetilebilir olduğunu varsayar. Bu sınırlama, birçok sorunun çözümü için gerekli olmasına rağmen, çok geniş bir yöntem cephaneliğinin kullanılmasını engeller. Bir üst sınır ve çokgen bir çizginin uzunluğunu kullanarak yeni bir tanım önerir . Şimdi en yaygın kullanılanıdır. For Hermann Minkowski ( 1864 - 1909 ) , Jordan'ın fikirleri hasta onun ihtiyaçlarına uygundur. Kendi kendine sorduğu sorular bağlamında, tanımlamaya çalıştığı uzunluk, her şeyden önce bir yüzeyin sınırıdır . Bir daire noktası grubu olarak tanımlanır P a diskin herhangi bir şekilde mahalle bir P disk ve bir dış alanına sahip bir nokta bulunur. Yayın bir noktasından r'den daha az bir mesafede bulunan noktalar kümesine karşılık gelen sezgisel tüp kavramını kullanarak uzunluğu tanımlar . Bu tanım, bir fraktal eğrinin uzunluğunu anlamayı bile mümkün kılan birçok genellemeye uygundur .

İlk hesaplamalar

En ünlü ve en eski uzunluk ölçümlerinden biri, yarıçapı 1 olan bir yarım daire yayındır. π ile gösterilen bu uzunluk, uzun süredir hesaplanmıştır. Babilliler için değeri, dairenin alanını yarım yayın çevresine bağlayan ilişki sayesinde hesaplanır, 3 + 1/8 yaklaşımını bulurlar.

Önemli bir teorik ilerleme, Arşimet'in çalışmasıdır . Fizikçi için, köşeleri dairenin noktaları olan dışbükey bir çokgenin çevre uzunluğu daireninkinden daha küçüktür. Aslında, kenardan geçmek için art arda iki köşeye ulaşmak daha kısadır (parça, iki uç noktası arasındaki en kısa yoldur), bu da pi'lik bir azalma sağlar. Tersine, her kenar orta noktası dairenin bir noktası olan düzgün dışbükey çokgen daha büyük bir çevreye sahiptir. Bu öneriyi genel olarak gösteremezse, bu başarıya ulaşmasına izin verecek bir yayın uzunluğu tanımına sahip olmadığı için, göze sezgisel görünür ve (daire durumunda) arasındaki orantılılığı ortaya çıkarır. dairesel sektörlerin alanları ve bunların altında yatan yaylar. 96 kenarlı düzgün bir çokgen kullanarak, π değerinin 3+1/7 ile 3+1/71 arasında olduğunu gösterir. Hesaplama prensibi pi maddesinde verilmiştir .

Yöntem, yay, sadece oluşmaktadır demek ki olan dışbükeylik her zaman aynı tarafta yer alan bir yay için geneldir sınır noktaları arasında dışbükey bir zarf . Köşeleri yay üzerinde bulunan herhangi bir çokgen çizgi, incelenen yaydan daha küçük bir uzunluğa sahiptir. Böylece bir alt sınırımız var. Daha sonra, tümü yayın uzunluğundan daha küçük , artan uzunluklarda ( p n ) bir dizi çokgen çizgi oluşturabiliriz . Daha sonra dışbükey zarfın dışında, uçları çokgen çizgininki olan ve yay boyunca daha kesin olarak uzanan bir dizi çokgen çizgi oluşturulur. Uzunluk dizisi ( P n ) azalacak şekilde seçilir ve her uzunluk yayın uzunluğundan daha büyüktür. Yayın uzunluğu için yalnızca olası değerler [ p n , P n ] segmentinde bulunur . Sekansı, öyle bir şekilde tasarlanmış olması arasındaki mesafe p , n ve p , n bir katı pozitif sayı £ değerinin için, bir değerin var olduğu bir düzeye kadar daha küçük olduğu , n olacak şekilde P , n - p , n £ değerinin daha sıkı bir şekilde daha küçüktür . [ p n , P n ] tüm aralıklarının kesişimi , zorunlu olarak yayın uzunluğu olan bir noktaya indirgenir. Bu yönteme yorgunluk denir.

Bu Çin matematikçi tarafından kullanılan Liu Hui sırasında III inci yüzyıl Arşimed daha verimlidir yaklaşımlar ile. π'nin yaklaşık değerini 3.1416'ya eşit buluyor. Bu yöntem, sonuna kadar etkili olduğu XVII inci yüzyılın ve böyle bir yayının uzunluğuna gibi diğer sonuçlar bulmak için sağlar logaritmik spiral ile Torricelli 1645 veya Cycloid ile Christopher Wren .

C sınıfı ark 1

Kinematik bir yaklaşım

XVII inci yüzyılın olmasıdır Galileo . Anlık hız kavramı bir, hatta iki anlam kazanır . Hız her şeyden önce bir vektördür , bir gecikmenin sonunda düzgün doğrusal bir şekilde hareket eden bir noktanın konumunu bilmek için bir süre a ile çarpılması gereken bir a . Aynı zamanda, düzgün bir yer değiştirme durumunda a süresinin sonunda kat edilen mesafeyi gösteren bir skalerdir. Bu büyüklüğü vektör hızından ayırt etmek için eğrisel hızdan bahsediyoruz . Eğrisel hız , hız vektörünün normuna karşılık gelir . Genellikle, yaygın dilde kullanılan hız terimi, örneğin bir vektöre değil bir skalere karşılık gelen 80 km / s ifade hızında eğrisel hıza karşılık gelir.

Bu tanım, bir yayın uzunluğunu anlamanın yeni bir yolunu sağlar. Bu uzunluğu bilmek için, her zaman sabit bir f eğrisel hızıyla hareket eden ve yayı hareket ettirmek için küçük olduğu varsayılan bir karınca bulmak yeterlidir . Ark seyahat süresi eşitse bir , daha sonra kendi uzunluğudur af . Bu fikir başarılı olursa, barındırılması gerekir. Bir yayın yolunu sabit hızda modellemek, genellikle istenen uzunluğu hesaplamaktan daha zor bir sorudur. Hızlı Eğer f sabittir, uzunluk uzunluğunda bir dikdörtgen zaman alanı olarak görülebilir bir yay ve boy kullanımı için gerekli, f . Hız sabit değilse, biz hattı yerine y = f a Kartezyen koordinat sisteminin denklemi hattı ile y = f ( t ), t 0 ile arasında değişir bir . Yayın uzunluğu, x = 0, x = a , y = 0 üç çizgisi ile y = f ( t ) çizgisi arasındaki alana eşittir . Sarı ile gösterilen alan sağdaki şekilde bulunabilir.

Bu yeni yaklaşım, cy 2 = x 3 denklemi ile yarı kübik parabolün incelenmesi yoluyla şekillenir . 1660 civarında, bu problem ünlüydü ve birçok matematikçinin ilgisini çekti. Daha sonra düzeltme problemi olarak adlandırılan bir yayın uzunluğunu hesaplama sorunu , çoğu zaman imkansız değilse de, o zamanlar çok zor olarak kabul edildi. John Wallis , çözümü 1659'da yayınlar ve onu Neil'e bağlar. İspatın ünlü olmasının sebeplerinden biri , cetvel ve pergel ile inşa edilebilir bir değere yol açması, dairenin karesinin delice bir çözüm umudunun doğmasıdır . Bu çözüm, aynı yıl Van Heuraet tarafından , bir hiperbolün karesinin hesaplanmasını kullanarak parabolün doğrultulma yöntemiyle yeniden üretildi . Bir yüzeyin karesini alma sorunu, alanını belirleme sorunudur. 1660'da Pierre de Fermat , türev kavramı henüz resmileştirilmemiş olsa bile, en azından parçalar halinde, her zaman türetilebilir olduğunu düşündüğümüz herhangi bir eğriye yaklaşımı genelleştirdi .

20 ila 30 yıl sonra, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz , türev ile integral arasındaki ilişkiyi gösteren sonsuz küçükler hesabını ve analizin ikinci temel teoremini keşfettiklerinde dev bir adım atıldı . Uzunluğu L bir dönem boyunca geçtiği bir yay a kavisli bir hızda e eşit f ( t anında en) t eşittir:

L = \ int_0 ^ af (t) ~ \ matematik dt.

Tanımlar

Kesin olmak gerekirse, bazı tanımlar verilmelidir. Burada E , n boyutlu bir Öklid uzayını ve ℝ gerçel sayılar kümesini gösterir . Bir uzunluk tanımlamak için , eğer p pozitif bir tam sayıysa , C p sınıfının parametreleştirilmiş yayı kelimesiyle kesin bir anlam ilişkilendirmek yararlıdır :

Parametreli bir yay Tanımı - A sınıfı ark parametreli Cı p çifti (olup I , f bir aralık oluşur) I ℝ ve bir fonksiyonu I bir Öklid uzayında, s olan türev kez türevlenebilir, s ième sürekli olan ve birinci türev asla kaybolmaz.

Birinci türevden asla iptal etmemesini istemek, bu makalenin konusu olmayan tekilliklerden kaçınmamızı sağlar. Bu tanım hem yayı hem de onu geçmenin bir yolunu sağlar. Bununla birlikte, geometrik olarak, bir yayı bir yönde hızlı ya da yavaş bir şekilde geçmek, yayın doğasını değiştirmez. Bu nedenle, parametreli yaylar arasında bir denklik sınıfı tanımlarız:

Yayları tanımlama C p -eşdeğerleri - E'deki değerlerle parametrelenmiş iki yay ( I , f ) ( J , g ) olsun . Bir var ise Diffeomorfizm C sınıfı 'lik p gelen I içinde J , öyle ki gr ∘θ eşittir f iki parametreli yay Cı olduğunu söylemek s -eşdeğer.

Örneğin, bir daireyi parametreli bir yay ile iki kez geçmek, daireyi yalnızca bir kez kat eden parametreli bir yayın asla eşdeğer değildir. Gerçekten de, bir durumda dairenin herhangi bir noktasının iki öncülü vardır ve diğer durumda benzersiz bir tane, bir difeomorfizm var olamaz. Şimdi bir geometrik yayın tanımını söyleyebiliriz:

C p sınıfının geometrik bir yayın tanımı - Bir geometrik yay, C p -eşdeğerli yayların bir denklik sınıfıdır .

Geometrik bir yayın uzunluğunu kesin olarak tanımlamak mümkün hale gelir:

C sınıfı bir geometrik yayın uzunluğunun tanımı p - Temsili ( I , f ) olan bir geometrik yayın uzunluğu, pozitif bir sayıya veya sonsuzluğa eşit olan aşağıdaki integralin L değeridir :

L = \ int_I \ | f '(t) \ | ~ \ matematik dt.

İntegral mutlaka sonlu değildir, çünkü I aralığı mutlaka bir parça değildir . Örneğin, I ℝ eşittir ve f işleve t iştirak exp (i t Öklid düzlemde tanımlanan karmaşık sayı değerleri ile), geometrik ark kez birim çember sonsuz sayıda erişir, uzunluğu sonsuzdur.

Tanımın anlamlı olması için, C p iki eşdeğer yayının uzunlukları aynı olmalıdır . Sadece kontrol ediyoruz. Eğer ( I , f ) ve ( J , g ) iki eşdeğer parametreli yay C p ise ve difeomorfizm θ g ∘θ = f 'yi sağlıyorsa , değişken değişikliği ile entegrasyon şunu gösterir:

L = \ int_J \ | g '(t) \ | ~ \ matematik dt = \ int_J \ sol \ | \ frac d {dt} (f \ circ \ teta) (t) \ sağ \ | ~ \ matrm dt = \ int_J \ | (f '\ circ \ teta) (t) \ | | \ teta '(t) | ~ \ matrm dt = \ int_I \ | f' (s) \ | ~ \ matrm ds.

formülasyon

Eğer E bir Öklid düzlemi temsil eder, fonksiyon f gelen iki koordinat fonksiyonları kullanılarak ifade edilebilir I ℝ için, burada gösterilen x ( t ) ve y ( t ). Koordinatlar ortonormal bir temelde ifade edilirse ve eğer] a , b [aralığı I belirtirse , önceki formül şöyle olur:

L = \ int_a ^ b \ sqrt {\ sol (\ frac {\ matrm dx} {\ matrm dt} \ sağ) ^ 2 + \ sol (\ frac {\ matrm dy} {\ matrm dt} \ sağ) ^ 2 } \ matematik d t.

Bu formda, yayın uzunluğu, hızın uzunluğundan başka bir sezgisel gerekçe bulur. Let t ve t iki pozitif gerçek sayılar bu şekilde t ve t + d t elemanlarıdır I . (İfade tarafından X , Y görüntünün) koordinatları t ve ( x + d x , y + d y ) o t + d t . Bu durum sağdaki şekilde gösterilmiştir. d t yeterince küçükse, eğri teğet yaklaşımına yakındır. Parametrenin bu iki değeri arasında, t noktasına teğet olan doğrusal yaklaşımı ile yay yerel olarak hesaplamayı, Pisagor teoremi ile hesaplanan bir dik üçgenin hipotenüsünün d s uzunluğunun hesaplamasına indirger :

{\ displaystyle ds \ yaklaşık \ | f (t + \ matematik {d} t) -f (t) \ | \ yaklaşık \ | f '(t) \ matematik {d} t \ | = {\ sqrt {\ sol ( {\ frac {\ matrm {d} x} {\ matrm {d} t}} \ sağ) ^ {2} + \ sol ({\ frac {\ matrm {d} y} {\ matrm {d} t) } } \ sağ) ^ {2}}} \ matematik {d} t.}

Olağan bir özel durumda, var olduğu eğrisi olup burada bir fonksiyonu grafiği g sınıfı C 1 bir zaman aralığı üzerinde I ve ℝ değerlerle. Daha yakın bir önceki bir duruma geri dönmek için, eğri parametreli yay (ile temsil edilir düşünülebilir I , f ) f fonksiyonudur I ℝ içinde 2 için t ortakları ( t , g ( t )) . Her zaman] a , b [aralığı ifade ettiğini varsayarsak I , şunu elde ederiz:

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + g '(t) ^ {2}}} \, \ matematik {d} t.}

Parametrelenmiş yayı ifade etmek için kutupsal koordinatları kullanmak bazen daha uygundur , bu da aşağıdaki notasyonların kullanılması anlamına gelir:

x = r (\ teta) \ cos \ teta \ dörtlü \ metin {ve} \ dörtlü y = r (\ teta) \ günah \ teta.

Şu sonucu çıkarabiliriz:

\ frac {\ matematik dx} {\ matematik d \ teta} = r '(\ teta) \ cos \ teta-r (\ teta) \ günah \ teta,

$\ frac {\ matematik dy} {\ matematik d \ teta} = r '(\ teta) \ günah \ teta + r (\ teta) \ cos \ teta,$

\ sol (\ frac {\ matematik dx} {\ matematik d \ teta} \ sağ) ^ 2 + \ sol (\ frac {\ matematik dy} {\ matematik d \ teta} \ sağ) ^ 2 = r '(\ teta) ^ 2 + r (\ teta) ^ 2,

bu da formülü oluşturmayı mümkün kılar:

L = \ int_a ^ b \ sqrt {r '(\ teta) ^ 2 + r (\ teta) ^ 2} \; \ matematik d \ teta.

3. boyutta ve aynı varsayımlar altında formül şu şekli alır:

L = \ int_a ^ b \ sqrt {\ sol (\ frac {\ matrm dx} {\ matrm dt} \ sağ) ^ 2 + \ sol (\ frac {\ matrm dy} {\ matrm dt} \ sağ) ^ 2 + \ sol (\ frac {\ matematik dz} {\ matematik dt} \ sağ) ^ 2} \ matematik d t.

Örnekler

Açık trigonometrik daire , ekstremitelerde yaylarının kaynağı ve birinci noktasına sahip olan yay uzunluğu kadran arasında ordinat olup: $b$

{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ matematik {d} t}

In XVII inci yüzyılın bir yay düzeltilmesi problemi araştırma ön planda olduğunu. Diferansiyel hesabın araçları olmadan , bu soruları cevaplamak için büyük bir hayal gücü gerekir. Türev ve onun integralle ilişkisi bilindiğinde çok daha kolay hale gelirler. Bir örnek, bir kablonun uçlarından asıldığında ve kendi ağırlığına maruz kaldığında aldığı şekle karşılık gelen bir düzlem eğrisi olan zincirdir . 1691'de Leibniz, Huygens ve Bernoulli kardeşler tarafından çözüldü . Eğer cosh hiperbolik kosinüsü ifade ediyorsa ve a kesinlikle pozitif bir gerçeği ifade ediyorsa , denklemi aşağıdaki gibidir:

y = a \ operatöradı {cosh} \ sol ({\ frac xa} \ sağ) = {\ frac a2} \ sol (\ exp \ sol ({\ frac xa} \ sağ) + \ exp \ sol (- {\ frac xa} \ sağ) \ sağ).

Sinh hiperbolik sinüsü gösteriyorsa , apsis 0 noktası ile apsis x 0 noktası arasındaki zincirin uzunluğu L 0 , formülle verilir :

L_ {0} = a \ operatöradı {sinh} \ sol ({\ frac {x_ {0}} a} \ sağ).

Logaritmik bir spiralin uzunluğu önce diferansiyel hesap kullanılmadan belirlenir. Sonra, bu kullanım durumunda teklif edilen parameterization kutup, özellikle, çok basit bir şekilde sorunun bir çözünürlüğe izin veren bir kesinlikle pozitif gerçek ve b 1'den kesinlikle büyüktür:

\ rho (\ teta) = a ~ b ^ \ teta.

Başlangıç noktası ile θ açısı arasındaki spiralin uzunluğu L θ 2π'den büyük olabilir, aşağıdaki formülle verilir:

{\ displaystyle L _ {\ teta} = {\ sqrt {1 + (\ ln b) ^ {- 2}}} \ rho (\ teta).}

Başka bir hesaplama bu denklemi eğri tekabül Neil parabol, tarihsel önem taşımaktadır y = ± ax 3/2 ise, bir katı bir pozitif tamsayıdır. Düzeltmesi, diferansiyel hesabın keşfinden önce gerçekleştirilir. Sağlanan yenilik, eğer L 0 , 0 ile x 0 arasında bulunan dalın pozitif kısmının uzunluğunu gösteriyorsa , aşağıdaki ara sonucun kullanılması gerçeğinde yatmaktadır :

L_0 = \ int_0 ^ {x_0} \ sqrt {1 + \ frac {9a ^ 2} 4 x} \; \ matematik d x.

Bir düzeltme sorunu nihayet bir kareleme sorunuyla , yani bu paragrafta kullanılan tanımın temelinde bir yüzeyin hesaplanmasıyla bağlantılıdır. Sonunda şunları buluyoruz:

L_0 = \ frac {(4 + 9a ^ 2x_0) ^ {\ frac 32} - 8} {27a ^ 2}.

Bu yaklaşım, parabolü düzeltme problemini çözmeyi mümkün kılar . Biz parametreleştirme tercih ise y = ax 2 ile, bir katı bir pozitif gerçek uzunluğu L 0 0 ile arasında bulunan dal x , 0 olduğu 20 yılı için elde etmek mümkün olmuştur, bir hiperbol kareleme şeklinde ifade yıllar:

L_0 = \ frac 1 {4a} \ sol (\ mu \ sqrt {\ mu ^ 2 + 1} + \ ln (\ mu + \ sqrt {\ mu ^ 2 + 1}) \ sağ) \ dörtlü \ metin {ile } \ dörtlü \ mu = 2a x_0.

Hız yaklaşımı, bir sikloidin yay uzunluğunun , dairenin yarıçapının 8 katına eşit olduğu sorununu çözmeyi kolaylaştırıyorsa , görünüşe göre , yarım eksenlerin fonksiyonunda elipsin çevresini hesaplamak kadar basit bir problem. daha fazla açıklanamayan integrallere yol açar: ikinci türden eliptik integrallerden bahsediyoruz .

Hesaplamalar 3. boyutta benzerdir. " Loxodromy " makalesinde bir örnek açıklanmaktadır.

Hesaplama ayrıntıları

Trigonometrik dairenin düzeltilmesi:

Parametrelendirmeyi fonksiyonlara göre kullanıyoruz ve üzerinde tanımlıyoruz : $x$ $y$ $[0.1]$

{\ displaystyle x (t) = {\ sqrt {1-t ^ {2}}}, \ dörtlü y (t) = t}

Türevleri şunlardır:

{\ displaystyle x '(t) = {\ frac {u} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}, \ dörtlü y' (t) = 1}

{\ displaystyle \ | f '(t) \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}}

Nereden :

{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ matematik {d} t.}

Zincirin düzeltilmesi:

Burada, g ( x ) = a cosh (x / a) ile tanımlanan bir g fonksiyonu ile parametreleştirmeyi kullanıyoruz . İfadeleri alıyoruz:

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ operatöradı {sinh} \ sol ({\ frac {x} {a}} \ sağ) ^ { 2}}} = \ operatöradı {cosh} \ sol ({\ frac {x} {a}} \ sağ).}

Şu sonucu çıkarabiliriz:

L_ {0} = \ int _ {0} ^ {{x_ {0}}} \ operatöradı {cosh} \ sol ({\ frac xa} \ sağ) {\ matematik d} x = \ sol [a \ operatöradı { sinh} \ sol ({\ frac xa} \ sağ) \ sağ] _ {0} ^ {{x_ {0}}} = a \ operatöradı {sinh} \ sol ({\ frac {x_ {0}} a} \ sağ).

Logaritmik spiralin düzeltilmesi:

Kutupsal koordinatları kullanarak şunları elde ederiz:

\ sqrt {\ rho '(\ mu) ^ 2 + \ rho (\ mu) ^ 2} = a \ sqrt {\ ln (b) ^ 2 b ^ {2 \ mu} + b ^ {2 \ mu}} = a \ sqrt {1 + \ ln (b) ^ 2} b ^ {\ mu}.

Şu sonucu çıkarabiliriz:

L _ {\ teta} = a \ sqrt {1 + \ ln (b) ^ 2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ teta} b ^ {\ mu} \ matrm d \ mu = a \ frac { \ sqrt {1 + \ ln (b) ^ 2}} {\ ln (b)} b ^ {\ teta} = \ sqrt {1 + \ ln (b) ^ {- 2}} \ rho (\ teta) .

Neil'in benzetmesinin düzeltilmesi:

Ark, hesaplamaya yol açan y = g ( x ) eğrisi ile parametrelendirilir :

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}}}

daha sonra, u = 9a 2 x / 4 değişkeninin değişimini kullanarak :

L_0 = \ int_0 ^ {x_0} \ sqrt {1 + \ frac {9a ^ 2} 4 x} \; \ matematik dx = \ frac 4 {9a ^ 2} \ int_0 ^ {\ frac {9a ^ 2} 4x_0} \ sqrt {1 + u} \; \ matematik du = \ frac 8 {27a ^ 2} \ sol [(1 + u) ^ {\ frac 32} \ sağ] _0 ^ {\ frac {9a ^ 2} 4x_0} = \ frac {(4 + 9a ^ 2x_0) ^ {\ frac 32} - 8} {27a ^ 2}.

Parabolün düzeltilmesi:

Meselin düzeltilmesi biraz daha inceliklidir. Önceki notasyonlarla:

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + 4a ^ {2} x ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ dörtlü {\ metin {ile}} \ dörtlü u = 2 {\ sqrt {2}} balta.}

Şu sonucu çıkarabiliriz:

L_0 = \ frac 1 {4a} \ int_0 ^ {\ tau} \ kare {2 + u ^ 2} \ matematik from \ dörtlü \ metin {ile} \ dörtlü \ tau = 2 \ kare 2 bir x_0.

Belirlenecek alan sağdaki şekilde gösterilmiştir. Bu, x = 0 ve x = τ denklemlerinin iki satırı arasında, ardından y = 0 satırı ile denklemi integralin altında olan fonksiyon arasında yer alır . Güçlü analiz araçlarına sahip olmadan bu alanı hesaplamak mümkündür. Sarı, mavi ve açık yeşil olmak üzere üç alana ayrılmıştır.

Sarı bölge, 1 kenarının yarısının karesine, mavi ise τ kenarının yarısının karesine karşılık gelir. Koyu yeşil üçgenin alanını v f belirleyelim . Bunu yapmak için köşegeninin uzunluğunu hesaplamak yeterlidir v d :

v_d = \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} - \ tau \ dörtlü \ metin {et} \ dörtlü v_f = \ frac 14 \ sol (\ sqrt {2 + \ tau ^ 2} - \ tau \ sağ) ^ 2 = \ frac12 (\ tau ^ 2 - \ tau \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} + 1).

Yine de, açık yeşil bölge alanı belirlemek kalır v c , yeşil bölge alanı arasındaki farka eşittir , v ve koyu yeşil bölge. Yeşil bölge , en uzak koyu yeşil üçgenin tepe noktasının orijini arasındaki mesafenin logaritmasına karşılık gelir , şunu buluruz:

v = \ ln \ sol (\ sqrt 2 \ tau + \ frak {\ sqrt 2} 2 v_d \ sağ) = \ ln \ sol (\ tau + \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} \ sağ) - \ frak {\ ln (2)} 2.

Şu sonucu çıkarabiliriz:

v_c = v - v_f = \ ln \ sol (\ tau + \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} \ sağ) - \ frac {\ ln (2)} 2 - \ frac 12 (\ tau ^ 2 - \ tau \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} + 1),

ki bu, eğer √ 2 μ = τ ise:

L_0 = \ frac 1 {4a} \ sol (\ frac {\ tau \ sqrt {2 + \ tau ^ 2}} 2 + \ ln \ sol (\ tau + \ sqrt {2 + \ tau ^ 2} \ sağ) - \ frac {\ ln (2)} 2 \ sağ) = \ frac 1 {4a} \ sol (\ mu \ sqrt {\ mu ^ 2 + 1} + \ ln (\ mu + \ sqrt {\ mu ^ 2 + 1}) \ sağ).

Sikloidin düzeltilmesi:

Yarıçapı a olan sikloidin olağan bir ayarı aşağıdaki gibidir:

{\ displaystyle x (\ teta) = a (\ teta - \ günah \ teta) \ dörtlü {\ metin {et}} \ dörtlü y (\ teta) = a (1- \ cos \ teta).}

Bu ayar, türevin normunun hesaplanmasını sağlar:

{\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d} x} {\ matematik {d} \ teta}} = a (1- \ cos \ teta), \; {\ frac {\ matematik {d} y} {\ matematik {d} \ teta}} = a \ günah \ teta \ dörtlü {\ metin {et}} \ dörtlü \ sol ({\ frac {\ matematik {d} x} {\ matematik {d} \ teta}}} \ sağ) ^ {2} + \ sol ({\ frac {\ matematik {d} y} {\ matematik {d} \ teta}} \ sağ) ^ {2} = a ^ {2} (2-2 \ cos (\ teta)) = 4a ^ {2} \ sol (1- \ cos ^ {2} {\ frac {\ teta} {2}} \ sağ) = 4a ^ {2} \ günah ^ {2} {\ frak {\ teta} {2}}.}

İstenilen uzunluk:

{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 2a \ sol | \ günah {\ frac {\ teta} {2}} \ sağ | \ matematik {d} \ teta = 4a \ int _ { 0} ^ {\ pi} \ günah \ mu \ matematik {d} \ mu = 8a.}

diferansiyel geometri

Fermat prensibi

Pierre de Fermat , Leibniz ve Newton'dan önce diferansiyel hesabın öncülerinden biridir . 1662 tarihli bir mektubunda Snell-Descartes yasalarının bir yorumunu önerir ve çok genel bir ilkeyi belirterek Oda'dan Marin Cureau'ya hitap eder: "doğa her zaman en kısa yollarla hareket eder ", bu da ışığın yayılım kurallarını ima eder. geometrik optik .

Fermat'ın sezgisi doğru. Suda veya camda ışığın hızı, vakum veya havaya göre daha yavaştır. Işığın yörüngesi buna göre iki ortamdaki ışık hızlarının oranının bir fonksiyonudur. Bu ilkeyi , soldaki şekilde gösterilen cankurtaran problemi ile açıklamak mümkündür . Noktasında bulunan bir cankurtaran, A 1, en boğulma kaçınmak gerekir A 2 . Mümkün olduğu kadar hızlı olması için, cankurtaran noktası bulmak zorundadır M koşmak olarak plaj ve deniz arasındaki sınırda A 1 ile M , daha sonra yüzmek M için A 2 veya en hızlı rota. Yüzdüğünden daha hızlı koştuğu için, plaj ve deniz sınırındaki A 1 A 2 noktasından itibaren M noktası zorunlu olarak A 2'ye daha yakındır .

Bu soruyu modeli için başka bir yol yeni bir mesafe ile uzay donatmaktır d 2 ışık hareket hızına veya cankurtaran bu ilişkili. İki nokta arasındaki mesafe, bir noktadan diğerine gitmek için gereken süre ile verilir. Eğer Cı- parametre (geometrik bir yaydır I , f ) ve n bir sahilde cankurtaran hızı arasında ve bu oran noktasında A , yay uzunluğu C olduğu ifade:

L_C = \ int_I n_ {f (t)} \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} \ sağ \ | \; \ matematik dt.

Şimdi, bu mesafe, tanımlamak için yapan bir yay uzunluğu d 2 : iki nokta arasındaki mesafe, bu iki noktayı birleştiren bir yay küçük uzunluğudur. Sağdaki şekil, iki uzaklıkla görülen uzayın geometrisini göstermektedir. d 2 mesafesi ile donatılmış alan yukarıda gösterilmiştir. Cankurtaran için en kısa yörüngeler yeşille gösterilen düz çizgilerdir ve konumundan eşit uzaklıktaki noktalar, sahilde kırmızı ve denizde mavi ile dairelerin yaylarıdır.Aynı şekil alttaki şekilde yeniden üretildi, bu normal mesafe ile zaman. Cankurtaran suda daha yavaş olduğu için çemberlerin denizdeki kısımları ezilir . Bu yerleşim yeşil çizgilerin sudaki kısımlarını bozar. Sahildeki yeşil bir parça ile sudaki uzantısı arasında elde edilen açılar Descartes yasalarını takip eder.

En az eylem ilkesi

Fermat'ın ilkesini tanımlamak için kullandığı ifade zekicedir. Formülasyonundaki hiçbir şey, geometrik optikle sınırlı olduğunu göstermez. Gelecek onu haklı çıkarıyor. Galileo tarafından 1638'de zaten başarısız bir şekilde ele alınan bir soru , bir A noktasından B noktasına mümkün olduğunca çabuk hareket etmek için kaygan malzeme noktasını sürtünmesiz ödünç alması gereken eğriyi bulmaktır . Nokta B noktası edilene eşit ya da daha az bir yükseklikte olduğu kabul edilir A bir çözelti olması soru için. Bu soruya brakhistokron sorunu denir . 1696'da Jean Bernoulli tarafından yeniden gündeme getirildi ve Acta Eruditorum gazetesinin okuyucularına bir meydan okuma olarak sunuldu .

Diğer bir çözüm ise Fermat prensibini uygulamaktır. A ve B noktaları arasındaki mesafe , en yüksekten en düşüğe gitmek için gereken süre ile ölçülürse, bu kez boşluk dikey eksende parabolik olarak genişler. Gerçekten de, 1 birim zamanda dikey olarak kat edilen uzunluğa 1 dersek, 2 birim zamanda dikey olarak kat edilen uzunluk 4, o zaman 3'te kat edilen 9, vb. Brakistrokron problemini çözmek, malzeme noktasının hızıyla ölçülen uzay ile olağan şekilde ölçülen uzay arasındaki geçiş yasalarını bulmakla aynı anlama gelir. Cevap sağdaki şekilde gösterilmiştir. Daha önce olduğu gibi, Şekil mesafe üstünde ölçülen alanı temsil d 2 malzeme noktasının hızına tekabül eden. d 2 mesafesi ile görülen yörüngeleri, noktanın hızının başlangıçta sıfır olduğu aynı noktadan gelen yarım doğrular olarak kabul ediyoruz . Bu yarım çizgiler, şekilde π / 8'lik bir açıyla düzenli aralıklarla yerleştirilmiştir. Sabit ve düzenli bir süre, 1, 2, 3 ve 4 saniye sonra noktanın olası konumları kırmızı ile gösterilir. Kırmızı eğriler, genellikle yarım daire olarak adlandırılan şeye karşılık gelir.

Her zamanki mesafe ile görülen bu aynı şekil, birincinin altında gösterilmektedir. Okuması, önceki geometriye karşılık gelenden biraz daha zor. En kolay yol 1 numaralı yeşil çizgi ile başlamaktır. Malzeme noktası sıfır başlangıç hızına sahip olduğundan, yer değiştirmesi sıfırdır ve çizgi, aşağıdaki şekilde 1 ile gösterilen bir noktaya dönüştürülür. Siyah yörünge, ilk tanjantı dikey olan bir eğriye karşılık gelir. Olası bir eğri değil, ikisi alt şekilde siyah olarak gösterilen bir sonsuzluk vardır. Bu eğriler tam sikloid kemerlere karşılık gelir . Bu mesafe ile ilk dikey teğetin bir çizgiye karşılık gelir Şekil bir başlangıç noktası ile herhangi bir sikloid kemer d 2 . Bu durum, üstteki şeklin tüm yeşil yarım çizgilerinin görüntüsü için benzerdir. Bu nedenle, 2 numaralı yarım çizgi, şeklin alt kısmında gösterilen sikloidin bir kısmına karşılık gelir ve sikloidin bu kısmının herhangi bir homotety'si de yarım çizginin bir görüntüsüne karşılık gelir.

Brakhistokron problemini çözmek için kullanılan teknik, optikte önceki paragrafınkiyle aynı niteliktedir. İyi seçilmiş bir mesafe için en kısa yayı arıyoruz . Fermat ilkesi bazen Maupertuis'in yeniden keşfettiği ve şöyle ifade ettiği en az eylem ilkesi adını alır : “Eylem, hız ve uzay tarafından kütlenin çarpımı ile orantılıdır. Şimdi, işte bu ilke, çok bilge, Yüce Varlığa çok layıktır: Doğada herhangi bir değişiklik meydana geldiğinde, bu değişiklik için kullanılan Eylem miktarı her zaman mümkün olan en küçük şeydir. "

Riemann çeşidi

Brakhistokron problemi örneğinde, kırılma indisinin eşdeğeri, optik örneğinde olduğu gibi bir boşluk sıkıştırma faktörüne karşılık gelir. Gibi burada uzay endeksi tam da budur (2gh) için eşit hızla 0 ile 1'dir, genişletmek için oldukça eğilimi -1/2 ise h olumsuz sayılır irtifa vardır. Newton'un gezegenlerin yörüngesini gösteren diferansiyel denklemini çözmek için, bu sefer a / h'ye eşit bir katsayı ile aynı yöntem uygulanır . Hesaplamalar biraz daha basit ve sikloidlerin kemerleri yarım daire haline getirildi.

Eğer Bernhard Riemann , bir öğrenci Gauss , yeterince onun tez konusu yapmak için bu söz konusu ilgilenilmesi, bir ünlü çözme için yeni bir yöntem önermek değil diferansiyel denklem , ama daha iyi geometriyi anlıyoruz. 0 rakım noktalarını çıkarırsak (0 rakım noktası gerçekten de kendisinden sıfır olmayan bir mesafede, ki bu pek mantıklı değil), bir metrik uzay elde ederiz. Bu metriği tanımlamak için, G uzayının bir C yayının L C uzunluğunun yeni bir tanımıyla başlıyoruz; bu, ( I , f ) ile parametreleştirilirse , çalışılan özel durumda geçerli olur:

L_C = \ int_I \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} \ sağ \ | \ matrm dt \ dörtlü \ metin {ile} \ dörtlü \ forall p \ in G, \; \ forall u \ in \ mathcal T_p \ dörtlü \ | p \ | = n_p \ | u \ |

Her bir nokta s arasında G bir sahiptir tanjant alanı T p bir ile donatılmış, skalar ürün ve bu nedenle normuna. Paragrafın özel durumda, norm bu sıkıştırma faktörü ile çarpılır düzleme ait n s yükseklik tersine orantılıdır p . Bir yayın uzunluğunu tanımlamak, iki nokta arasındaki mesafeyi tanımlamanıza olanak tanır. Bu iki noktayı birleştiren en küçük yayın uzunluğuna eşittir.

Nitel olarak, az önce tanımladığımız alan biraz sağdaki şekle benziyor. Riemann'ın önce bir yayın uzunluğunu, sonra da mesafeyi tanımlamayı içeren formalizmi, nihayetinde çok güçlüdür. Çizgiler ( jeodezik adını alır ), çemberler veya eğrilikler gibi klasik kavramların uzandığı geniş bir geometri kümesi tanımlamayı mümkün kılar . Bu yöntem, 3 boyutunda olmayan yüzeyleri tanımlamayı mümkün kılar . Bu paragrafta ele alınan yüzeyin sabit bir negatif eğriliği vardır. Bir noktasında eğrilik s yay tarafından alınabilir, iki en uç yuvarlaklaştırma ürüne karşılık gelir, bir parametreleri kullanım kavisli apsisi noktasında p . İki oskülatör daire bir elipsoid üzerindeyse , pozitif eğrilikten söz ederiz. eğer bir at eyeri üzerinde iseler buna negatif eğrilik denir. 3 boyutlu hiçbir yüzeyin sabit negatif eğriliği yoktur, bu nedenle bu paragrafta açıklanan geometri tam olarak sağdaki şeklin aynısı değildir.

Varyasyonların hesaplanması

Önceki üç paragrafın ortak bir noktası vardır, işlevsel olması için belirli bir yüzeyin veya geometrinin iki noktası arasındaki en kısa yolu bulma becerisini gerektirir, bu genellikle kolay bir soru değildir. .

En başarılı yöntem, diferansiyel geometriye benzer. Sonlu boyutta ve doğru varsayımlar altında, bir optimal nokta, soldaki şekilde gösterilen düz bir teğet doğrusal yaklaşıma sahiptir. Matematiksel olarak bu, optimize edilecek fonksiyonun gradyanının bir uç noktada sıfır olduğu anlamına gelir .

Bernoulli'nin brakhistokron problemini çözmek için kullandığı bu nitelikte bir yöntemdir. Sağdaki şekilde gösterilmektedir, optimal yol etrafındaki küçük bir varyasyon, ilk sırada uzunluğunu değiştirmez. Böylece, yeşil ile gösterilen en iyiye yakın yol, birinci derecedendir ve gri ile gösterilen en uygun eğri ile aynı uzunluktadır. Leonhard Euler yöntemi geliştiriyor ve belirli bir uzunluktaki kapalı yayı bulmaktan ve mümkün olan en büyük alana sahip bir yüzeyi çevrelemekten oluşan izoperimetrik problemin çözümünün ilk gösterimini sunuyor . (Euler'in kanıtı Lagrange's Multiplier makalesinde verilmiştir .) 1755'te Lagrange , Euler'e bir mektup yazdı. Brakhistokron problemine benzer bir soruya karşılık gelen tautokron eğrinin hesaplanması ile ilgilidir . Bu yazışma, uzun bir ortak çalışmanın başlangıcıdır ve jeodezik bulmak için çok genel bir yöntem olan Euler-Lagrange denkleminin kurulmasını mümkün kılar .

Euler-Lagrange denklemi tautokron problemi çözmek için yeterliyse, bazen onu zenginleştirmek, örneğin zincirin eğrisini bulmak için gereklidir , yani sabit doğrusal yoğunluklu bir kablonun hareketsizken işgal ettiği konumu (fizikçiler doğrusal ifadesini kullanırlar. yoğunluk ), yerçekimine maruz kalır. Yöntem, Lagrange çarpanınınkiyle zenginleştirilmiştir .

Matematiği XVIII inci yüzyılın hala titizlikle Euler ve Lagrange hesaplamaların alaka göstermek için yetersiz kalmaktadır. Kendi bilgi fonksiyonel analiz hala çok sınırlıdır. Adını alır Bu yöntemler, varyasyon hesabın , etkisi altında gerçekten sıkı hale Karl Weierstrass de XIX inci yüzyıl ve özellikle çalışma Banach ve Sobolev XX inci yüzyıl.

Sobolev uzayı

Soruyu belirsiz terimlerle soralım: iki “yakın” eğrinin uzunlukları benzer midir?

İşte olumsuz bir örnek. 0'a eşit olan sabit fonksiyonun grafiğini [0, 1] üzerinde alıyoruz. Bu, bir Biz kolayca düzeltilebilir [0, 1], sürekli fonksiyonların bir dizi yapı uzunluğu 1. ait eşit yakınsar karşı f ve uzunluğu 1 doğru yakınsamaktadır değildir.

Örneğin: f 1 , eğimi 1 bölü [0, 1/2] ve –1 bölü [1/2, 1] olan bir üçgen fonksiyonudur . O halde f 2 , eğimleri 1 bölü [0, 1/4], –1 bölü [1/4, 1/2], 1 bölü [1/2, 3/4], - 1 olan iki üçgenden oluşan bir fonksiyondur. [3/4, 1] ve benzeri (4,8,16 üçgen…). f n fonksiyonlarının her birinin √ 2 uzunluğunda bir grafiği vardır ve ayrıca f'ye doğru düzgün bir yakınsama vardır .

“Uzunluk” uygulaması için süreklilik sonuçlarını elde etmek için, bu nedenle, tek biçimli yakınsama standardı ile çalışmak gerekli değildir. Bunun yerine, Sobolev uzaylarının türünde bir standarda ihtiyaç vardır .

Jordan'un tanımı

Motivasyon

150 yıldır, tanımı XVII inci gerektiğinde yüzyılın Riemann genelleştirme ile matematikçiler ihtiyaçlarını karşılar. Şimdi bile, konunun diferansiyel geometri ile sınırlı olduğu durumlarda kullanılması nadir değildir . İkinci yarısında XIX inci yüzyılın, yeni sorunlar daha genel bir yaklaşım gerektirir.

İncelenen eğriler artık sistematik olarak mekanik veya kinematik bir kökene sahip değil, aynı zamanda matematiğin diğer dallarından da geliyor. Giuseppe Peano , şimdi kendi adını taşıyan ve bir kenar 1'in karesinin yüzeyini tamamen kaplayan eğriyi keşfeder . Hermann Minkowski , cebirsel sayı teorisi sorularını çözmek için dışbükeyleri kullanır . Sınırları bir Öklid düzleminde ise bu dışbükeylerin arasında, bazen yaylar olarak parametrelerle ifade edilebilir.

Camille Jordan , kinematikten başka bir kökene sahip Öklid düzleminin eğrilerinin incelenmesinde öncüdür. Adını taşıyan teoreminki gibi görünüşte zararsız bazı soruları çözmeye çalışır , bu sonuç kapalı ve basit bir eğri ile ilgilidir. Kapalı, tanımlayıcı parçanın uçlarının görüntüsünün birleştirilmiş ve basit olduğu, tek çift noktanın son olduğu anlamına gelir. Böyle bir eğri, düzlemi , eğrinin içi ve dışı olmak üzere iki bağlantılı parçaya ayırır .

Bu tür bir gelişimini desteklemek için, sınıf değil geometrik yay sınırlı olması gerekli olan C 1 . Ürdün analistler bu Arşimed en yakın yaklaşımına dayalı uzunluğunda yeni bir tanımını önermektedir XVII inci yüzyıl. Mantığını anlamanın sezgisel bir yöntemi, bir diziyi ölçmek istediğiniz yay üzerine mümkün olduğunca hassas bir şekilde yerleştirmektir. Halatın uzunluğunu kolayca hesaplayabilmek için çokgen bir yol izlemek gerekir. İpin uçları, sağdaki şekilde olduğu gibi, pimler birbirini takip edecek şekilde incelenen yay üzerinde sıkıştırılır. Gittikçe daha fazla raptiye ekleyerek, ipi yayı daha hassas bir şekilde takip etmeye zorlarız. Sonsuz sayıda düzenli aralıklı raptiye eklendiğinde, istenen uzunluk elde edilir. Bu yaklaşım, türetilemez bir yay durumunda bile alakalı olma avantajına sahipse, sonsuz sayıda düzenli aralıklarla pim fikrine kesin bir anlam vermek biraz zor olacaktır. Jordan bunun yerine, sonlu sayıda raptiyeyle birleştirilmiş, hayal edilebilecek çeşitli dizi uzunluklarının üst sınırını sunuyor. Bu yaklaşım, kesinliği, zorunlu olarak türevlenebilir olmayan yayların uzunluğunun genelleştirilmesiyle birleştirir.

Türetilemez eğrileri işleyebilmenin ötesinde, önceki tanımda olmayan yeni yöntemler kullanılabilir hale gelir. İzoperimetrik teorem ile bir örnek verilmiştir . Bu teorem, herhangi bir yüzeyin aynı çevreye sahip diskinkinden daha küçük bir alana sahip olduğunu belirtir. Bu soruyla ilgili makalede sunulan belirli gösterimler, uzunluğun Ürdün anlamında tanımını gerektirir.

resmi yaklaşım

Varış kümesi artık zorunlu olarak Öklidyen değildir, ( E , d ) bu paragrafta bir metrik uzayı belirtir ve I her zaman bir ℝ aralığını gösterir. Çifti ( I , f ) sürekli bir fonksiyonu demek olan bir yay, bir I içinde E . Tanım için izlenen mantık, Riemann integrali için kullanılana yakındır . Ya S sonlu bir dizisi , bir 0 , ..., bir n, katı bir şekilde artan elemanları I . Bu gibi bir dizi, bir adlandırılan alt bölüm aralık [arasında bir 0 , bir N bir] I .

S'nin ardından L ( S ) uzunluğunu şu şekilde tanımlayabiliriz:

L (S) = \ toplam_ {i = 1} ^ {n} d \ sol (f (a_ {i-1}), f (a_i) \ sağ).

Değeri L ( S ) köşe dizisi görüntüleri çokgen hattın uzunluğu burada adı S tarafından f . Üçgen eşitsizliği gerekli yay uzunluğu tanımlamak için C bir aralık bir alt bölümü ile bağlantılı bir çok köşeli hattının daha yüksek olarak I . Ardışık iki köşe arasında çokgen çizginin izlediği düz çizgi, aslında bu iki nokta arasındaki en hızlı yoldur ve C eğrisinden geçen doğru , zorunlu olarak daha uzundur. Öte yandan, eğer alt bölüm çok iyiyse , aşağıdaki tanımı doğrulayan, C'nin uzunluğuna ilişkin iyi bir yaklaşım elde etmeyi umabiliriz :

Yay uzunluğu Cı olan toplam varyasyon ve f üst aralık bir alt bölümü poligonal köşeleri görüntü uzunlukları setinin bağlanmış, demek ki, I .

Böyle bir tanım, uzunluğun sonlu olmasını gerektirmez. Örneğin bir çizgi sonsuz uzunluktadır. Daha az önemsiz karşı örnekler, sağdaki şekil veya sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen ve [0,1] doğru parçasının görüntüsü bir kenardaki karenin noktaları kümesi olan Peano eğrisi tarafından verilmiştir. aşağıdaki tanıma:

Bir yayın, uzunluğu sonlu ise doğrultulabilir olduğu söylenir .

Özellikleri

Bir geometrik yayın uzunluğu, varsa, uçlar arasındaki mesafeden daha büyüktür.
Bu önerme yalnızca üçgen eşitsizliğinin genelleştirilmesidir . Öklid uzayında iki nokta arasındaki en kısa yol doğru parçasıdır. Bu iki noktanın ucundaki herhangi bir geometrik yay desteği zorunlu olarak daha uzundur. Bu önerme, yalnızca, çemberde olduğu gibi, iki ucun birbirine karışmaması durumunda ilgi çekicidir.
Bir ucu paylaşan iki geometrik yay desteğinin uzunluğu, iki desteğin uzunluklarının toplamıdır.
Bu öneri hala çok sezgisel. Bir rota izleyin A için B ve ardından bir noktaya devam C gitmek için aynı rotayı takip aynı uzunlukta olan A için C .
Varış kümesi, bir normdan kaynaklanan bir mesafe ile donatılmış bir afin uzay ise , o zaman geometrik bir yaya uygulanan bir k oranının homotetisi , yayın uzunluğunu bir k oranı kadar artırır.

Uzunluk tanımının tutarlılığını sağlamak için son bir özellik yararlıdır. Burada E yine bir Öklid uzayını belirtir:

Let ( I , f ) olabilir bir doğrultulabilir C sınıfı 1 parametreli ark . f'nin türevinin normunun I aralığı üzerindeki integrali yakınsaktır ve yayının ( I , f ) uzunluğu , Jordan anlamında, türevinin normunun integrali tarafından tanımlanana eşittir.

L = \ int_I \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} \ sağ \ | \ matematik d t.

gösteriler

Türevi normunun ayrılmaz f aralığı üzerinde I ve yakınsak uzunluğu L arkın ( I , f ) Ürdün anlamda türev norm entegrali ile tanımlanan eşittir:

ε kesinlikle pozitif bir gerçek olsun. Yayın doğrultulabilmesi gerçeği, I : a 0 ,…, a n'nin bir bölümünün varlığına neden olur , öyle ki görüntülerin çokgen çizgisinin f ile uzunluğu L'ye , yayın uzunluğu ε / 3'e yaklaşır. kapat. Bu varsayımlar aşağıdaki artışı sağlar:

(1) \ dörtlü L - \ toplam_ {i = 1} ^ n \ sol \ | f (a_ {i-1}) - f (a_i) \ sağ \ | \ le \ frac {\ epsilon} 3.

[ a 0 , a n ] segmentinde f'nin türevi düzgün sürekli bir fonksiyondur . Seçilen bölümün rafine edilmesi anlamına gelse bile, şunu çıkarıyoruz:

\ forall i \ [1, n], \; \ forall x \ [a_ {i-1}, a_i] \ dörtlü \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dx} (a_ {i -1}) - \ frac {\ matematik df} {\ matematik dx} (x) \ sağ \ | \ \ le \ frac {\ epsilon} {3 (a_n - a_0)}.

Bu, vektör değerlerine sahip fonksiyonlar için sonlu artışların eşitsizliğine göre şunu gösterir :

\ forall i \ [1, n-1] \ dörtlü \ | f (a_i) - f (a_ {i-1}) - \ frac {\ mathrm df} {\ mathrm dx} (a_ {i-1}) ) (a_i - a_ {i-1}) \ | \ le \ frac {\ epsilon (a_i -a_ {i-1})} {3 (a_n - a_0)}.

Bu n - 1 artışları ekleyerek şunu elde ederiz:

(2) \ dörtlü \ sol | \ toplam_ {i = 1} ^ n \ | f (a_i) - f (a_ {i-1}) \ | - \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dx} (a_ {i-1}) \ sağ \ | (a_i - a_ {i-1}) \ sağ | \ le \ sum_ {i = 1} ^ n \ sol \ | f (a_i) - f (a_ {i-1}) - \ frac {\ matematik df} {\ matematik dx} (a_ {i-1}) (a_i - a_ {i-1}) \ sağ \ | \ le \ frac {\ epsilon} 3.

(1) ve (2) ek ücretlerini birleştirerek şunları elde ederiz:

\ toplam_ {i = 1} ^ n \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dx} (a_ {i-1}) \ sağ \ | (a_i - a_ {i-1}) \ le L + \ frac {2 \ epsilon} 3.

Son artış, I'in yeterince ince herhangi bir bölümü için geçerlidir . Bu, a ve b arasındaki f'nin türevi normunun uygun olmayan integralinin yakınsak olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, bu bölünmeyi daha da rafine etmek anlamına gelse bile, üçüncü artışımız da var:

(3) \ dörtlü \ sol | \ toplam_ {i = 1} ^ n \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} (a_ {i-1}) \ sağ \ | (a_i - a_ { i-1}) - \ int_I \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} \ sağ \ | \ matematik dt \ sağ | \ le \ frac {\ epsilon} 3.

(1) , (2) ve (3) ek ücretlerini ekleyerek şunları elde ederiz:

\ sol | L - \ int_I \ sol \ | \ frac {\ matematik df} {\ matematik dt} \ sağ \ | \ matematik dt \ sağ | \ epsilon.

Son artış herhangi bir kesinlikle pozitif ε için doğru olduğundan, yayın uzunluğu ile integral arasındaki eşitlik iyi doğrulanmıştır.

Sınırlı fonksiyonlar arasında I içinde E bir mesafe ile donatılmış bulunmaktadır düzgün süreklilik . Bir yay ile uzunluğunu ilişkilendiren fonksiyonun sürekliliğini merak etmek doğaldır. Soldaki şekil bu fonksiyonun sürekli olmadığını göstermektedir. Gerçekten de, şekildeki kırmızı renkli bir yayın diğerine yakın olduğunu söylemek, şekildeki mavi daire, yayın küçük genişlikte bir tür tüp içinde olduğu anlamına gelir . Kırmızı eğri, çok farklı bir uzunluğa sahip olacak kadar salınan böyle bir eğri oluşturmanın mümkün olduğunu göstermektedir. Öte yandan, kırmızı eğri maviye yakınsa , uzunluğu maviden çok daha küçük olamaz. Daha kısa olanı sağda yeşil renkle gösterilmiştir. Alt yarı süreklilikten bahsediyoruz .

$[0, + \infty] '$ deki değerlere sahip "uzunluk" fonksiyonu (yani toplam varyasyon ), bir metrik uzayda I'nin sınırlı fonksiyonlarının uzayı (düzgün yakınsaklık mesafesi ile sağlanan) üzerinde altta yarı-süreklidir. .

Gerçekten de, I aralığının herhangi bir $σ$ alt bölümü için , $f$ $\mapsto$ $V$ $($ $f$ $, σ)$ işlevi süreklidir, bu nedenle uzunluk işlevi $V$ $($ $f$ $, σ)$ üst sınırı olarak alt yarı süreklidir .

Minkowski içeriği

Motivasyon

Minkowski, Öklid düzleminde bir kompakt uzayın sınırını tanımladıkları için özellikle kapalı ve basit eğrilerle ilgilenir . Elde ettiği sonuçlar, onları daha yüksek boyutlara genelleştirebilirse özellikle ilginçtir.

Diferansiyel geometriden araçlar bunun için her zaman çok uygun değildir. İzoperimetrik teorem tarafından bir örnek verilmiştir , genel durumda, n boyutlu bir Öklid uzayına sahip bir katının aynı yüzeydeki topun hacminden daha küçük bir hacme sahip olduğu gösterilmeye çalışılır. Yarıçapı r olan top terimi , merkez adı verilen belirli bir noktadan r'den daha az bir mesafede bulunan noktalar kümesini belirtir . İzoperimetrik optimuma ulaşan bir katının sınırı olan bir yüzeyin her noktasındaki ortalama eğriliğin zorunlu olarak sabit olduğunu göstermek çok karmaşık değildir. 2. boyutta, sabit ortalama eğriliğin benzersiz basit ve kapalı eğrisinin daire olduğunu göstermek çok basittir , doğal bir kanıt Hurwitz'in eseridir ve Wirtinger eşitsizliğini kullanır . Boyutunda 3'te gösteri bilinir, ancak bugüne kadar sadece başlangıcı yeterince tekniktir XX inci yüzyılın. Genel durum hala kanıtlanmadı.

Jordan'ın bir eğrinin uzunluğu tanımı da uygun değildir çünkü doğrudan daha yüksek boyutlara genelleme yapmaz. Doğal genelleme, bir silindirin bir bölümünün yüzey alanının , köşeleri silindirin sınırında bulunan bir çokyüzlü yüzeyinin üst sınırı olarak tanımlanmasından oluşacaktır . Sağdaki örnek, böyle bir genellemenin tutarsızlığını göstermektedir. Kullanılan polihedron a, fener olan köşeler paralel altıgen üzerinde bulunan, her bir dönüş bir on ikinci kaydırma modelini görüntülemektedir. Altıgenlerin düzlemleri yaklaştıkça yakınlaşırsa, polihedronun yüzeyi sonsuza kadar büyür.

Minkowski, daha yüksek bir boyuta geçişe direnen bir yayın uzunluğunu tanımlamak için bir çözüm bulur. Sezgisel yaklaşımı, şimdiye kadar düşünülenlerden farklıdır. Jordan gibi, çokgen bir çizginin uzunluğuna değil, doğrudan n boyutlu Öklid uzayının hacim fonksiyonuna güveniyor . Bu fonksiyon genellikle Lebesgue ölçüsü ile tanımlanır . Yeterince küçük bir ε değeri için , çalışmakta olduğu C eğrisinden ε'dan daha az bir mesafedeki noktaları dikkate alır . Soldaki şekilde 2. boyutta bir örnekte pembe ile gösterilen bir set elde eder, C eğrisi mavi ile temsil edilir. Böyle bir kümeye tüp denir .

ε değeri azalırsa, tüpün hacmi, yayın uzunluğunun ürününe, n - 1 boyutlu topun ve ε yarıçaplı topun hacmine yaklaşır . Yarıçapı r olan ve 2 boyutunda olan bir daire söz konusu olduğunda , boru, yarıçapı r + ε olan bir daire ile aynı merkez ve yarıçapı r - ε olan bir daire arasındaki boşluk alanından oluşur . Hacmi tam olarak 2π r çarpı 2ε'dir. 3. boyutta, tüp bir simittir, bir kez daha hacmi, ε yarıçaplı bir disk alanı ile tam olarak 2π r'nin ürünüdür . Bu tanım, uygulanması biraz daha karmaşıksa, kolaylıkla daha yüksek boyutlara genelleştirilebilir.

2. boyuttaki dairenin durumu

Ε büyük bir tam sayı küçük ise r , alan Cı ε bir iç olan yalan bu diskin yarıçapı r + ε ve yarıçap açık diskin dış r - ε. Yüzey Vol ( C ε ) şuna eşittir:

Vol (C _ {\ epsilon}) = \ pi \ sol ((r + \ epsilon) ^ 2 - (r- \ epsilon) ^ 2 \ sağ) = 2 \ pi r (2 \ epsilon).

Bununla birlikte, 2π r dairenin uzunluğuna karşılık gelir ve 1 boyutunda, ε yarıçaplı topun hacmi 1 boyutunda 2ε'ye eşittir. Minkowski'nin içeriği gerçekten de dairenin uzunluğuna eşittir.

formalizm

Minkowski ve Hausdorff , katıların genel çalışmasını daha iyi anlamak için araçlar geliştiriyor. İncelenen küme, n boyutundaki bir Öklid uzayı E'nin boş olmayan kompaktlarının kümesidir . Minkowsky toplamı birleştiren iki set bir ve oda katı bir + B elemanlarının miktarlarda oluşur A ve B . Bu set, Hausdorff mesafesi adı verilen bir mesafe ile donatılmıştır . İncelenen tüp , uzunluğunu ölçmek istediğimiz eğriye ve ε yarıçaplı bilyeye karşılık gelen kompakt bir C'nin toplamına karşılık gelir, burada C ε olarak belirtilir .

Eğrisi ise Cı basit ve kapalı ve sınıf ait C 2 , daha sonra boru hacmi Vol (Cı ε ) uzunluğunun bir fonksiyonu olarak ifade edilir L C arkı C (hacim Vol B n-1 ( ε )) boyutu n - 1 ve yarıçapı ε olan bir Öklid uzayının topunun topunun , bu, ε'nin yeterince küçük kalması koşuluyla:

\ operatöradı {Cilt} (C _ {\ epsilon}) = L_C \ operatöradı {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)).

Eğri kapalı değilse, n boyutunda ε yarıçaplı bir topun hacmini toplarsak eşitlik doğru kalır . Gerçekten de, her biri eğrinin uçlarından birinde bulunan iki yarım top eklenecektir, şunu elde ederiz:

\ operatöradı {Cilt} (T _ {\ epsilon}) = L_C \ operatöradı {Cilt} (B_ {n-1} (\ epsilon)) + \ operatöradı {Cilt} (B_ {n} (\ epsilon))).

Önceki konfigürasyon ne olursa olsun, bir yayın uzunluğunu tanımlamanın yeni bir yolunu buluyoruz:

1 boyutlu içeriği bir dizi arasında C Öklid boyutun alan n gösterilen, E 1. ( Cı ), olduğu aşağıdaki sınır , bulunması halinde,:

M_1 (C) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ operatöradı {Vol} (T _ {\ epsilon})} {\ operatöradı {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)) }.

Bu tanım aslında daha önce tanımlanan uzunluğun bir genellemesidir:

Cı-C sınıfı bir kompakt parametreli yayın uç grubu ise 2 , C uzunluğu, eşittir 1- boyutlu içeriği .

Bu tanım, özellikle bir yüzey S kompakt 2-boyutlu sınırın C sınırının uzunluğunun incelenmesi durumunda geçerlidir . Sınır sınıfı yayı ile değiştirgelenebilen ise C 2 , aşağıdaki teoremi, çağrıda Steiner-Minkowski formülü :

Uzunluğu L Cı yay, C aşağıdaki sınır eşittir:

L_C = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ operatöradı {Cilt} (S + B_2 (\ epsilon))} {\ operatöradı {Cilt} (S)}.

Minkowski'nin içeriği, bu formülün birçok yüzeye genelleştirilmesine izin verir.

Tanımların denkliğinin gösterilmesi

Notasyonları düzeltin, E n boyutunda bir Öklid uzayıdır , ([ a , b ], f ) eğrisel bir konfigürasyon sınıfı C 2 kapalı ve basit bir geometrik yaydır ve görüntüsü C'ye eşittir . Parametreleştirmenin kapalı olduğunu söylemek, f ( a ) 'nin f ( b ) 'ye eşit olduğunu söylemektir, bunun basit olduğunu söylemek, eğer s ve t ] a , b [, o zaman f'nin iki elemanı ise, demekle eşdeğerdir. ( s ) f ( t ) 'den farklıdır . Son olarak, parametreleştirmenin eğrisel olduğunu söylemek , eğer t [ a , b ] öğesinin bir öğesiyse, f ( t ) türevinin normunun her zaman 1'e eşit olduğunu söylemekle aynı anlama gelir . ε değeri, 0 ile μ arasında kesin olarak pozitif bir realiteyi belirtir; burada μ, belirlenecek kesinlikle pozitif bir realitedir. H T arasında altdüzlem belirtmektedir E ortogonal f ( t ) ve B μ, bir hiper kapalı birimi topu H a ve yarıçap u nun. u t ile f'nin t noktasındaki türevini ve v t norm 1'in vektörünü f'nin ikinci türeviyle aynı doğrultuda ve aynı doğrultuda gösteriyoruz. f'nin eğrisel bir parametreleştirme olduğunu söylemek, u t ve v t'nin dik olduğu anlamına gelir . Son olarak, ile ifade C (t) 'nin kavis f de t , ikinci türevi f de T çarpımına eşittir c v (t) t .

Kanıt için kullanılan teknik, inşa edilmesiyle meydana gelir gömme [arasında ψ bir , b ] x- B , a, μ olarak Cı μ sınıfı C 1 . Bu yerleştirme, C ε alanını veren integrali hesaplamak için doğru değişken değişikliğini sağlar . ψ'yi oluşturmak için , u a par φ t'nin görüntüsü u t'ye eşit olacak şekilde , E dönüşlerindeki değerlere sahip [ a , b ] sınıfının C 1 1 t haritasını oluştururuz .

φ t'nin yapısı :

diferansiyel denklem : Zarif bir çözüm, φ t'yi lineer bir diferansiyel denklemin çözümü olarak oluşturmaktan oluşur . Bunu yapmak için , L (E) tüm endomorfizm uzayı E'de bir χ D kümesinin bir uygulamasını tanımlarız . Burada D çiftleri belirtmektedir ( u , v ) vektörlerinin E şekilde u ve v 1 'e eşit ve bu gibi normları olan u ve v ortogonaldir. Endomorfizma χ (u, v) ile birleşen u vektör V ile, v vektörü - u ve ortogonal bir vektör ile transfer etmek için u ve v . Not herhangi bir vektör için bu z ve E , Skalar çarpımın ait z kay kare testi tarafından görüntü ile (u, v) sıfırdır. Gerçekten de, yazmak mümkündür z a formu içinde. u + β. v + w , burada α ve β iki skalerdir ve w bir vektör u ve v'ye diktir . Elimizde, if <.,.> Skaler çarpımı belirtir:

\ langle \ chi _ {(u, v)} (z), z \ rangle = \ langle \ chi _ {(u, v)} (\ alpha u + \ beta v + w), \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ langle- \ beta u + \ alpha v | \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ alpha \ beta - \ alpha \ beta = 0.

Bu uygulama, ψ fonksiyonunu L (E) 'deki [ a , b ]' den şu şekilde tanımlamamızı sağlar :

\ forall t \ [a, b] \ dörtlü \ psi_t = c (t) \ chi _ {(u_t, v_t)} içinde.

Harita ψ gerçekten de süreklidir, gerçekten de sürekli haritalardan oluşur. Eğrilik c (t) sıfır ise küçük bir zorluk vardır , çünkü v t tanımlanmamıştır, ancak bu noktalarda ψ'yi sıfır olarak tanımlamak açıkça bir süreklilik devamıdır, ψ t'nin normu c (t )'ye eşittir. . Burada L (E) için seçilen norm , bir endomorfizm ile birim topun görüntüsünün normunun üst sınırını ilişkilendiren normdur. Aşağıdaki diferansiyel denklemi [ a , b ] ve L (E) cinsinden değerlerle ele alıyoruz :

\ frac {\ mathrm dX} {\ mathrm dt} = \ psi_t \ circ X \ dörtlü \ metin {ile} \ dörtlü X_0 = Id.

ψ'nin sürekliliği ve [ a , b ]' nin kompaktlığı, t normunu t ile ilişkilendiren fonksiyonun üst sınırına m ulaştığını gösterir . ψ ve X'ten oluşan X kombinasyonlarına uygulama süreklidir ve m -lipschitzienne . Cauchy-Lipschitz teoremi diferansiyel denkleme benzersiz bir çözüm cp varlığını garanti eder. φ için açık bir ifade vermek bile mümkündür:

\ forall t \ [a, b] \ dörtlü \ varphi_t = \ exp \ sol (\ int_a ^ t \ psi _ {\ tau} \ matematik d \ tau \ sağ) \ dörtlü \ metin {ile, si} \ dörtlü m \ in \ matematik L (E) \ dörtlü \ exp (m) = \ toplam_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {m ^ n} {n!}.

Burada kullanılan kümelerin alışılmadık doğası dışında, önerilen yöntem yalnızca çok basit bir lineer diferansiyel denklem kullanır. Uygulama φ neredeyse bir Frenet kıyaslaması tanımlamanıza izin verir . Noktayı bir Frenet tabanı ile ilişkilendirmek yeterli olacaktır ve Frenet tabanı, t noktasında φ ile imajı olacaktır. Eğrisi ise, bu sonuç, sadece doğru biregular , yani ikinci türev f kaybolur olmadı. İlk bükülme noktasından sonra, v 0 görüntüsünün f'nin ikinci türeviyle hala aynı çizgide olduğuna inanmak için hiçbir neden yoktur . Şimdi tek yapmanız gereken, aradığınız uygulamanın φ olup olmadığını kontrol etmek.

Harita φ, bir dizi döndürmede değerlere sahiptir ve u a by φ t'nin görüntüsü u t'ye eşittir : İlk önce that'nin bir dizi döndürmede değerleri olduğunu gösterelim. burada eğer gösteren miktarları z bir vektördür E , φ t (Z) ile aynı norma sahip z . Bu sonuç, eğer trivially geçerlidir t eşittir bir φ için bir kimliktir. φ t (z) normunun karesini t ile ilişkilendiren fonksiyonun türevinin sıfır olduğunu göstermek, φ t'nin bir izometri olduğunu saptamak için yeterlidir:

\ frac {\ matematik d \ langle \ varphi_t (z), \ varphi_t (z) \ rangle} {\ matematik dt} = 2 \ langle \ frac {\ matematik d \ varphi_t} {\ matematik dt} (z), \ varphi_t (z) \ rangle = 2 \ langle \ psi_t \ sol (\ varphi_t (z) \ sağ), \ varphi_t (z) \ rangle = 0.

Bu göstermek için devam belirleyici φ arasında t , 1 olarak φ eşittir t onun belirleyici ± 1 eşittir bir izometridir. Uygulamanın görüntü t ortakları det φ t olan , ilgili uygulama devam etmektedir, çünkü. Olduğu gibi bir harita 1 değer, her yerde 1 değer ve φ belirleyicisi t gerçekten de 1'e eşittir.Daha sonra φ t (u a ) 'nin gerçekten u t 'ye eşit olduğunu gösterelim . Bunun için , bir yanda φ t (u a ) ve diğer yanda u t'yi t ile ilişkilendiren iki yayın aynı başlangıç değerine sahip olduğunu ve aynı lineer diferansiyel denklemi sağladığını kontrol etmek yeterlidir . Cauchy-Lipschitz teoremi tarafından garanti edilen çözümün benzersizliği eşitliği gösterir. Yapısal olarak φ a özdeşliğe eşittir; bu nedenle iki yay aynı başlangıç değerine sahiptir. Şimdi iki yayın aynı diferansiyel denklemin çözümleri olduğunu kontrol edelim:

\ forall t \ [a, b] \ dörtlü \ frac {\ matematik d \ varphi_t (u_0)} {\ matematik dt} = \ frac {\ matematik d \ varphi_t} {\ matematik dt} (u_0) = \ psi_t \ circ \ varphi_t (u_0) \ dörtlü \ metin {bu nedenle} \ dörtlü \ frac {\ mathrm d \ varphi_t (u_0)} {\ mathrm dt} = \ psi_t \ sol (\ varphi_t (u_0) \ sağ).

Diğer yandan :

\ forall t \ [a, b] \ dörtlü \ frac {\ matematik du_t} {\ matematik dt} = c (t) v_t = c (t) \ chi _ {(u_t, v_t)} = \ psi_t (u_t) ) \ dörtlü \ metin {bu nedenle} \ dörtlü \ frac {\ mathrm du_t} {\ mathrm dt} = \ psi_t (u_t).

φ t (H a ) 'nin gerçekten de H t'ye eşit olduğu sonucuna varıyoruz . Gerçekten de, H , bir ortogonal olan u bir , φ tarafından görüntü t φ ortogonal olan t (u bir φ için) t bir dönme hareketidir. Sonuca varmak için φ t (u a ) 'nin u t'ye eşit olduğuna dikkat etmek yeterlidir .

Γ'nin enjektivitesi:

Γ haritasının bir gömme olması için μ değerini iyi seçmek gerekir. Eğer çok yüksekse, Γ uygulaması zorunlu olarak dolaylı değildir. Sağdaki şekilde bir örnek verilmiştir. En küçük eğrilik yarıçapı, mor salınımlı daire noktası tarafından verilir . μ değeri , eğrilik yarıçapı olarak adlandırılan salınımlı dairenin yarıçapından daha büyük olacak şekilde seçilir . Kırmızı nokta, mor salınımlı dairenin noktasının tanjantına dik hiperdüzlemin bir öğesidir ve bu μ değerine eşit bir mesafede bulunur. Eğriden μ'ye eşit veya daha az mesafedeki noktalar yeşil renkle gösterilir. Kırmızı nokta aynı zamanda sarı ile gösterilen başka bir noktanın ortogonal düzleminin bir parçasıdır. Eğrinin noktalarının ulaştığı en küçük eğrilik yarıçapından daha küçük μ seçilirse bu durum oluşamaz. Uygulama Γ daha sonra yerel olarak enjekte edilir.

Γ'nin yerel enjektivitesi: İşlev C de (±) t noktasında yay birleştiren eğrilik f (t), süreklidir. Bir kompakt üzerinde tanımlanır, üst sınırına ulaşır. R diyelim m yay kavisinin en küçük yarı çapına tekabül bağlanmış Bunun tersi. μ'nin r m / 2'den daha küçük seçildiğini varsayıyoruz . Amaç, Γ'nin yerel olarak dolaylı olduğunu, yani t [ a , b ] öğesinin bir öğesiyse, Γ'nin] t-δ, t + δ [x B a, μ ] kümesinde tümleşik olduğunu göstermektir . Bir katı pozitif reel sayı bağımsız için değerin δ tekabül t ve tespit edilmesi. Gösterimi basitleştirmek için, [ a , b ] aralığını çevirmek anlamına gelse bile , t'nin 0'a eşit olduğunu varsayıyoruz. Ayrıca, referansı değiştirmek anlamına gelse bile, f (0)'ın sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz. vektör. Bir noktanın (0, p )] t-δ, t + , [x B a, μ Γ ile bir p noktası görüntüsünün bu kümede başka bir öncülü olmadığını göstereceğiz. Söyleyerek p r Bu nedenle bu, bir görüntü miktarları kendi norm ^ 'den daha küçük olduğunu söyleyen şekildedir m / 2 ve p u dik olan 0 . t olarak belirtilen ilk koordinatın bir başka öncülünü ele alacağız ve t'nin bir necessarily değerinden zorunlu olarak büyük olduğunu göstereceğiz . t'nin başka bir öncül olduğunu söylemek, p'nin u t'ye dik düzlemde olduğunu ve f (t) 'den geçtiğini ima eder . Hangi eşitliği gösterir:

\ langle p - f (t), u_t \ rangle = 0 \ quad \ text {bu nedenle} \ quad \ langle p, u_t \ rangle = \ langle f (t), u_t \ rangle.

Taylor-Lagrange formülü gösterir, bir değerin olması, t alınmak 1 0 arasında, t , öyle ki:

\ langle p, u_t \ rangle = \ langle p, u_0 + tc (\ tau_1) v _ {\ tau_1} \ rangle = tc (\ tau_1) \ langle p, v _ {\ tau_1} \ rangle \ le tc_m \ | p \ | \ le t \ frak {c_m} {2c_m} \ le \ frak t2.

Aynı akıl yürütme, τ 2 ve τ 3 , ayrıca 0 ile t arasında iki değerin varlığını gösterir , örneğin:

\ langle f (t), u_t \ rangle = \ langle tu_0 + \ frac {c (\ tau2) t ^ 2} 2v _ {\ tau_2}, u_0 + c (\ tau_3) tv _ {\ tau_3} \ rangle \ t \ sola (1 - \ frak 32 tc_m - \ frac {c_m ^ 2} 2 t ^ 2 \ sağ).

δ min (1, 1 / c m ) / 6'dan daha küçük seçersek, < p , u t > teriminin kesinlikle ikinci skaler üründen ve l 'aralığı] t- üzerindeki yerel enjektiviteden daha küçük olduğundan eminiz. δ, t + δ [x B a, μ garantilidir.

Γ'nin küresel enjektivitesi:

Yerel enjektivite, of'nin injektifliğini ima etmez. Sağdaki resim nedenini gösterir. Eğri yeterince sıkıştırılmışsa , uzaktaki bir apsis noktası, çalışılan noktaya keyfi olarak yakın olabilir. Daha sonra, μ doğru seçilirse, şekildeki gibi kırmızı bir bölgenin mevcut olmadığını doğrulamak gerekir. Varsayım olarak, yay çift nokta içermediğinden, hoş olmayan konfigürasyon, kritik noktaya giderek daha fazla yaklaşan yayın sonsuz iplikçikleriyle soldaki konfigürasyon olacaktır. C grafiğininki anlamına gelen [ a , b ] segmentinin kompaktlığı bu fenomenin ortaya çıkmasını engeller.

Buna ikna olmak için, f (t) ile görüntü arasındaki minimum uzaklığı [ a , t - δ] ve [ t + δ, b ] aralıklarının f ile ilişkilendiren t fonksiyonunu ele alalım . Uzaklık fonksiyonu sürekli olduğundan ve [ a , t - δ] ve [ t + δ, b ] segmentlerinin birleşimi kompakt olduğundan, bu minimuma ulaşılır. Yay basit olduğundan, yani bir çoklu nokta kabul etmediğinden, bu minimum 0'dan farklıdır . ℝ'deki [ a , b ]'nin önceden tanımlanan minimumu t ile ilişkilendiren işlevi hala süreklidir. Hala bir kompakt üzerinde tanımlanır, bu da sıfır olmayan minimum μ 1'e ulaştığı anlamına gelir .μ değeri kesinlikle μ 1/ 2'den küçük seçilirse (2'ye bölmek gerekir, çünkü kısıtlama yeşil bölgenin mavi C eğrisini gereğinden fazla karşılamaması değil , yeşil bölgenin ile kesişmemesidir. kendisi) ve bu r m / 2, önceki ispatlar Γ'nin enjektivitesini garanti eder.

Hacim hesaplamasında değişken değişikliğini gerçekleştirebilmek için, Γ'nin varış kümesinin [ a , b ] x B a, ε ile sınırlandırıldığından emin olmak gerekir , burada ε kesinlikle pozitif bir gerçek sayıdır ve μ'dan daha küçük aslında C ε'dir . Doğrulamak daha kolaydır.

M'nin Örtenlik sınırlı [ a , b ] x- B , a, ε olarak Cı ε :

p , C ε'nin bir noktası olsun . Bir noktada mesafesini p ile ilişkilendiren ℝ'deki C'nin işlevi süreklidir. Asgari değerine, varsayımla ε'dan daha küçük bir mesafe ile f (t) noktasında ulaşır . Eğer h , t + h [ a , b ] öğesinin bir öğesi olacak şekilde bir gerçekse , p ve f (t + h) arasındaki mesafe , daha önce bahsedilen minimumdan daha büyüktür. Şu sonucu çıkarabiliriz:

\ açı p - f (t + h), p - f (t + h) \ aralık = \ açı p - f (t) + h u_t + o (h), p - f (t) + h u_t + o (h) \ aralık = \ | pf (t) \ | ^ 2 + 2h \ açı p - f (t), u_t \ aralık + o (h) \ ge \ | pf (t) \ | ^ 2.

Üst sınır h'nin hem pozitif hem de negatif değerleri için doğrudur , bu da p - f (t)'nin u t'ye dik olduğunu gösterir . Bunu ifade etmenin başka bir yolu, p'nin Γ'nin görüntüsünde olmasıdır. Daha doğrusu, öncülü ( t , φ t -1 (p-f (t))).

Jacobian hesaplaması:

Değişken değişikliğini gerçekleştirmek için , bir ( t , z) noktasında of'nin Jacobian determinantını hesaplamak yararlıdır . Bunun için önce bu noktada ψ'nin diferansiyelini hesaplayalım . Let v t, bir u 'normalize vektörün önceki t φ ile t , eğer ikinci türevi f sıfır değildir ve bir vektör H , bir norm 1 ve ortogonal u bir ikinci türev sıfır. Biz tarafından ifade K t, bir bölgesinin hiper H , bir ortogonal v t, bir . Biz (göre ifade t d , z d ) bir küçük vektör B bir, μ alanına toplamı (bu tür T , Z) ve ( t , d , z d ) 'de olduğu B bir, μ . Son olarak, notasyonları kullanıyoruz:

z = \ zeta v_ {t, a} + z_k \ dörtlü \ metin {ve} \ dörtlü z_d = \ zeta_d v_ {t, a} + z_ {kd} \ dörtlü \ metin {ile} \ dörtlü \ zeta, \ zeta_d \ içinde \ matematikbb R, \; z_k, z_ {kd} \ K_ {t, a}'da.

Sahibiz :

\ psi (t + t_d, z + z_d) = f (t + t_d) + \ varphi_ {t + t_d} (z + z_d) = f (t) + \ varphi_t (z) + t_d \ sol (u_t + D \ varphi_t (\ zeta v_ {t, a} + z_ {k}) \ sağ) + \ varphi_t (z_d) + o (t_d) + o (z_d).

Diferansiyeli çıkarıyoruz:

D \ psi _ {(t, z)} (t_d, z_d) = t_d (u_t -c (t) \ zeta u_t) + \ zeta_d v_t + \ varphi_t (z_k).

Determinantın hesaplanması için, diferansiyelin u t ve v t , ardından K t, a tarafından oluşturulan iki kararlı uzaya sahip olduğunu fark ederiz . K t, a uzayında , diferansiyel bir dönmedir; determinantı 1'e eşittir; Aranan Jacobian, u t ve v t iki vektörü tarafından üretilen 2 boyutlu vektör uzayınınkidir . Bu tabanda, M matrisi şuna eşittir:

M = \ başlangıç ​​{pmatrix} 1 - c (t) \ zeta & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ dörtlü \ metin {et} \ dörtlü \ det D \ psi _ {(t, z)} = 1 - c(t)\zeta.

Sonuç şaşırtıcı değil. Bu, eğriliğin yerel olarak sıfır olması durumunda, application uygulamasının hacmi değiştirmediği anlamına gelir. Aynı olay C eğrisi etrafında da meydana gelir . Öte yandan, pozitif koordinatlı küçük bir hacim seçilirse , yani eğriliğin içbükeyliğinde, hacim azalır. 1/ c (t)'ye eşit olan eğrilik yarıçapına yaklaşırsak 0'a gidecekti , ki bu asla eğrilik yarıçapının yarısını aşmayan μ seçimiyle gerçekleşemez. Ters yönde ise hacim artar. $\ zeta$

C ε hacminin hesaplanması :

Artık ψ değişkenindeki değişikliği uygulayabiliriz:

Cilt (C _ {\ epsilon}) = \ int_ {C _ {\ epsilon}} 1 \ matematik d \ sigma = \ int _ {[a, b] \ kere B _ {\ mu, a}} | \ det D \ varphi_ { t, z} | \; \ matematik dt \ matematik d \ zeta \ matematik d z_k = (ba) Cilt (B_ {n-1} (\ epsilon)) - \ int _ {[a, b] \ kez B _ {\ mu, a}} c (t) \ zeta \; \ matematik dt \ matematik d \ zeta \ matematik d z_k.

Şimdi [katı bir , b ] x- B , bir, μ göre simetrik olan K bir ve ordinat Ç yüzey kesme hacmi tam olarak ordinat -ζ o kesim ile aynıdır. İkinci integral 0'a eşittir. Bulduğumuz:

Cilt (C _ {\ epsilon}) = (ba) Cilt (B_ {n-1} (\ epsilon))).

C eğrisinin 1-boyutlu içeriği b - a'ya eşittir , yani eğrinin uzunluğuna eşittir , çünkü parametreleştirmesi eğrisel bir apsise karşılık gelir. Daire durumunda ve 3 boyutta, bilinen bir formül buluyoruz, bir simit hacmi . Kapalı olmayan bir eğri durumunda, gösterim tamamen aynıdır, iki yarım küreyi uçlara eklemek yeterlidir.

Sınıfının bir eğri halinde C 2 ve Minkowski 1 boyutlu içeriği hala uzunluğuna eşit olduğunu gösteren, çift puan kabul çok karmaşık olabilir, ancak bir önceki ürünün eşitlik ve borunun hacmi olduğu değildir artık kontrol edilmedi. Sonuç, C 1 sınıfı eğriler, kompakt ve dışbükey boş olmayan kapalı çokgenler veya boyut 2'deki eğriler için hala doğrudur , ancak ispatlar farklıdır.

fraktal eğri

Daha 1872 gibi erken bir tarihte Karl Weierstrass , bir eğrinin tuhaf bir davranışı olabileceğini gösteriyor; tanımı gereği sürekli olan ve hiçbir yerde türevlenemeyen bir yay örneği oluşturur. Daha sonra Peano , görüntüsü 1 kenarı olan bir karenin noktaları kümesi olan eğrisini yaptı . 1904'te İsveçli matematikçi von Koch , Weierstrass'ın özelliklerini karşılayan, tuhaf bir kar tanesi aracılığıyla somut bir eğri örneği buldu . Bu örneklerin tümü, şimdi fraktal olarak adlandırılan şeye karşılık gelir .

Başlangıçta biraz patolojik olduğu düşünülen bu eğri ailesi, matematiğin belirli dallarının daha iyi anlaşılması için gereklidir. Lorenz'inkine benzer bir dinamik sistemin incelenmesi , sınırlayıcı davranışı böyle bir eğri tarafından tanımlanan geometrik bir bölge içinde yer alan bir diferansiyel denklemle ilgilidir (daha kesin olmak gerekirse, bölge böyle bir eğrinin yapışmasına karşılık gelir ).

Bu tür eğrilerin analizi için, uzunluğun bir eşdeğeri gereklidir. Bununla birlikte, Peano eğrisi için, diferansiyel tanımın bir anlamı yoktur ve Jordan'ınki sonsuzluğu verir. Minkowski'nin 1 boyutlu içeriği de sonsuzluk veriyorsa, anlamlı bir cevap bulmak için uyarlamak çok zor değil. Eğer p Peano eğrisinin uç grubu temsil eder:

{\ displaystyle M_ {2} (C) = \ lim _ {\ varepsilon \ ila 0} {\ frac {Cilt (P _ {\ varepsilon})} {Cilt (B_ {n-2} (\ varepsilon))} }.}

Burada, p ε uzak noktaları kümesi arasında £ değenni alt belirtmektedir P . Numara değil bir (hacimce, oranı bölmek n - 1) boyutlu top, ancak ( n - 2) boyutlu. C 2 sınıfı ve 2 boyutu kayganlık için içerik, yüzeyin ölçümüne karşılık gelir. Lorenz çekicisi veya Koch kar tanesi için, hiçbir k tamsayısı , ne 0 ne de sonsuz olan bir ( n - k ) boyutlu içeriği tanımlamaya izin vermez. Öte yandan, ζ bir tamsayı olmasa bile anlamlı olan bir boyut küresinin hacminin tanımını kullanmak mümkündür : $\ zeta$

{\ displaystyle Vol (B _ {\ zeta} (\ varepsilon)) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ zeta / 2}} {\ zeta \ Gamma (\ zeta / 2)}} \ varepsilon ^ {\ zeta }.}

Burada Γ gama fonksiyonunu ifade eder . Minkowski'nin içeriği böylece bütün olmayan boyutlara genellenir . Bir yayın uzunluğunu anlamlandırmayı mümkün kılan bu boyuta Hausdorff boyutu denir .

Notlar ve referanslar

Susa Tabletleri - bkz. örneğin Babilliler arasında π ve √2 .
Arşimet, Kürenin ve silindirin - Dairenin ölçülmesinin - Konoidler ve kürelerin üzerine, cilt 1 Belles Lettres (2003) ( ISBN 2251000240 ) .
Karine Chemla ve Guo Shuchun , Dokuz bölüm: Antik Çin'in matematik klasiği ve yorumları [ basımın detayı ], s. 144-147 .
Torricelli, Opere , III, s. 368 ve 477: 1646'dan Ricci'ye ve Cavalieri'ye Mektuplar (1598-1647).
(içinde) James WP Campbell, " Christopher Wren'in Bilimsel Çalışması " ,2001.
Örneğin bkz. R. Ferreol ve J. Madonnet, “ Parabole semi-cubique ” , Encyclopedia of olağanüstü matematiksel formlar ,2003.
(La) J. Wallis , Tractatus ikilisi , Opera t. 1 (1659), s. 551 .
Bu ispatlar tarafından yayınlanmaktadır Van Schooten içinde 1659 yılında Geometri arasında Descartes .
(La) P. de Fermat , Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione , Works t.1 (1660), s. 211 .
Marcel Berger ve Bernard Gostiaux , Diferansiyel geometri: çeşitler, eğriler ve yüzeyler [ baskı detayları ], s. 302.
Berger ve Gostiaux , s. 303.
“Bu bildirim için gerekli olduğunu [...] uzunluğu L [bir yay ([arasında bir , b ] f uzunluğuna eşit asla)] grafik bir f ; bu,] L , L + b - a ] aralığının bir öğesidir . » - Gustave Choquet , Analiz Kursu , cilt. II: Topoloji , s. 104.
Gottfried Wilhelm Leibniz , Diferansiyel hesabın doğuşu , reed. Vrin , 2000 ( ISBN 2711609979 ) , s. 203 .
"C. Fermat Evi Pazar mektup 1 st Ocak 1662" de, Paul Tabakhane ve Charles Henry , Fermat'ın Works ( çevrimiçi okuma ) , s. 458.
Daha fazla ayrıntı için bakınız örneğin: JP Perez ve E. Anterrieu, Optik: Temelleri ve Uygulamaları , Dunod ( 7 inci baskı) 2004 ( ISBN 978-210048497-3 ) .
Galileo, brakistrokron sorununun çözümünün daire olduğunu hayal etmişti: Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Düzenleyen Appresso gli elsevirii (1638)
(in) John J. O'Connor ve Edmund F. Robertson , "brachistochrone sorunu" içinde Matematik MacTutor Tarihi arşiv , University of St. Andrews ( çevrimiçi okuma ).
P. Maupertuis, Farklı doğa yasaları anlaşması, Œuvres de Maupertuis'de yayınlanan 1744 orijinal metni , cilt. IV, 1768, s. 16-17.
B. Riemann Geometrinin altında yatan hipotezler üzerine (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen), Dedekind tarafından Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13, 1867 ve İngiliz mevcut okuma
Riemann manifoldları hakkında ayrıntılar için, bkz. (içinde) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemann Geometry ,2003[ basımın detayı ].
J. Peiffer, Euler: Bir eğri etrafındaki varyasyonlar , Les cahiers de science et vie, n o 68, 2002, s. 72-79
F. Martin-Robine, Daha az eylem ilkesinin tarihi , Vuibert, 2006 ( ISBN 978-2711771516 )
Diferansiyel geometri üzerine bir kitapta, önceki tanım gerçekten de tamamen yeterlidir: Berger ve Gostiaux , s. 315.
G. Peano , bütün bir daire alanı dolduran bir eğri, üzerinde de, Mathematische Annalen , vol. 36, 1890, s. 157-160
(Kimden) H. Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Leipzig, 1896; Johnson, New York, 1968 tarafından yeniden yayınlandı
C. Jordan , Politeknik okulunun analiz kursu, 3 cilt , Jacques Gabay, 1882 ve 1887 arasındaki ilk yayın (1991) ( ISBN 978-287647018-7 )
Bu tanım, Berger ve Gostiaux , s. 314.
Burada sunulan gösteri harika bir klasiktir; örneğin Jacques Dixmier , Cours de matematik du premier döngüsü Gauthier-Villars, 1976 ( ISBN 978-2-04-002687-5 ) , böl. 53.
Choquet , s. 138.
(içinde) AP Burton ve P. Smith, " İzoperimetrik eşitsizlikler ve R n'deki izdüşüm alanları ," Acta Mathematica Hungarica , Cilt. 62, n o 3-4, 1993
(de) H. Liebmann, “ Über die Verbiegung der geschlossenen Flachen pozitif Krümm ”, Math. Anne. , uçuş. 53, 1900, s. 81-112
(in) Robert Osserman , " İzoperimetrik eşitsizlik " , Bull. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 84, n o 6,1978, s. 1183-1238 ( çevrimiçi okuyun ) : s. 1188 .
Bu örnek Berger ve Gostiaux , s. 226.
Bu tanım, Osserman 1978 , s. 1189.
Burada sunulan gösteri, Berger ve Gostiaux'nun Sonuçlarından esinlenmiştir , s. 254.
H. von Koch, “Düzlem eğrileri teorisinin belirli sorularının incelenmesi için temel bir geometrik yöntem”, Acta Math. , N o 30 1906, s. 145-174 .
(içinde) Edward N. Lorenz , " Deterministik Periyodik Olmayan Akış " , J. Atmos. bilim , cilt. 20,1963, s. 130-141 ( DOI 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 , çevrimiçi okuyun ).

Dış bağlantılar

Dünya yüzeyindeki iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafesi
f (x) fonksiyonunun grafiksel gösteriminin çevresi ( f yayının uzunluğu ile karıştırılmamalıdır )