Olarak lineer cebir , bir iz kare matris A onun toplamı olarak tanımlanır diyagonal katsayıları ve genellikle Tr (not bir ). İz bir şekilde görülebilir , doğrusal bir şekilde ilgili vektör alan matrisler. Kimliği doğrular: Tr ( AB ) = Tr ( BA ) ve sonuç olarak benzerlik açısından değişmezdir .
Benzer şekilde, eğer u , değişmeli bir K alanı üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayının bir endomorfizmiyse , u operatörünün izini, örneğin herhangi bir temelde matrisinin izi olarak tanımlayabiliriz .
Daha genel olarak, bir cebir ile A , bir iz doğrusal şeklidir λ şekilde λ ( ab ) = λ ( BA ) . Bu tanım özellikle Hilbert uzayları üzerindeki operatörlerin cebirleri olan von Neumann cebirlerinin çalışmasında bulunur .
Verilen bir kare matris
Bir katsayılı değişmeli alan K (veya yalnızca içinde değişmeli halka ) gösterilen, iz, gösterilen Tr ( A ) , bir skaler toplamı katsayılarının barındırmayan ana diyagonal :
.Tüm kare matrisler A ve B (aynı sıradaki) ve herhangi bir α∊ K skaler için , aşağıdaki özellikler doğrulanır:
burada bir T belirtmektedir devrik bir A .
Başka bir deyişle, iz, yer değiştirme ile değişmez, n mertebesindeki kare matrislerin ℳ n ( K ) vektör uzayı üzerinde doğrusal bir formdur .
Tr haritası doğrusal bir formdur, çekirdeği ℳ n ( K ) ' nin bir hiper düzlemidir .
Şimdi A ve B ( n , m ) ve ( m , n ) matrislerse (mutlaka kare değil, çarpma yoluyla kare matrisler sağlıyorsa), şu özdeşliğe sahibiz:
Yukarıdaki eşitlik, herhangi bir A kare matrisi ve aynı sıradaki herhangi bir ters çevrilebilir P matrisi için geçerli olan aşağıdaki özdeşlikle sonuçlanır :
Başka bir deyişle, iz, belirli bir sıradaki kare matrisler için bir " benzerlik değişmezidir ", yani iki benzer matrisin aynı iz olduğu söylenir; bu , iz ile karakteristik polinom arasındaki bağlantıyı biliyorsak şaşırtıcı değildir ( aşağıya bakınız ) ve ikincisinin benzerlik değişmezliği .
Matris birimlerini (en) ( yani , tek bir katsayısı 1'e ve diğer tüm 0'a eşit olan matrisler olan ℳ n ( K )' nin kanonik temelinin matrislerini ) içeren oldukça kısa bir ispatla gösterebiliriz. ℳ n ( K ) uzayında lineer bir formun benzerliğe göre değişmez olması, iz ile zorunlu olarak orantılıdır.
ÖzellikleBir kare matrisin izi, herhangi bir değişmeli halka üzerinde belirli bir teknik olmadan tanımlanabiliyorsa, bu bir endomorfizmin izi için aynı değildir . Bir matris gösterimi kullanıldığında , bu bir vektör uzayı endomorfizmi için ucuz bir şekilde uygulanabilir ; Tensör cebiri kullanan daha soyut bir yapı, kavramın bazı modül endomorfizmlerine - ama hepsine değil - genişletilmesine izin verir .
vektör uzayındaEğer D a, sonlu boyutlu vektör uzayı n , bir Endomorfizma izi ile gösterilen , bir iz olarak tanımlanır matris u , bir baz olarak önceden tespit için E . Bu tanım keyfi bir seçime bağlı değildir, çünkü eğer başka bir taban ise, “ temel değişim formülü ”, u matrislerinin sırasıyla in ve benzer olduğunu gösterir, bu nedenle (karş. yukarı ) aynı iz'e sahiptir.
Aşağıdaki özellikler tüm endomorfizmler , herhangi bir skaler ve herhangi bir w ∈ GL( E ) için geçerlidir (yani w , E'nin bir otomorfizmidir )
Başka bir deyişle: iz, vektör uzayı üzerinde, konjugasyonla değişmeyen lineer bir formdur .
Üstelik ,, nereye gösterir transpoze haritası ait u .
bir modüldeTensör büzülmesini kullanarak , iz kavramını sonlu tip projektif modüllerin endomorfizmlerine kadar genişletmek mümkündür .
( E , g ) bir Öklid uzayı olsun . E üzerinde ikinci dereceden q formları ve A üzerinde simetrik operatörler ( E , g ) arasında bir önermeyi ( Kendinden eklemeli operatör makalesinin Simetrik çift doğrusal form (veya Hermit formu) ilgili bölümünde ayrıntılı olarak açıklanmıştır) tanımlarız :
.İz A olarak adlandırılan ikinci dereceden bir şekilde q iz göre gr .
Let E olmak bir K - sonlu boyut vektör uzayı n .
Öklid uzaylarında:
matrisler için:
A , değişmeli bir halkada katsayıları olan n mertebesinde bir kare matris olsun .
Biz tarafından ifade s A ( x ) onun karakteristik polinomu ve c i katsayısı x i içinde p bir ( X ) . Başka bir deyişle poz veriyoruz
,burada I , n belirtmektedir kimlik matrisi düzeninin n . Yani,
.Yukarıdaki eşitliği kanıtlıyoruz ve eğer
(burada λ i katsayılarını içeren bir değişmeli halkasına ait A ), aşağıdaki eşitlik:
. gösteriBir integral halkada katsayıların özel durumu
İlk önce katsayılar halkasının integral olduğunu varsayıyoruz . Daha sonra A'yı , değişmeli K alanında , yani bu halkanın kesirlerinin alanında katsayıları olan bir matris olarak düşünebiliriz .
Sonra bir alan kendimizi yerleştirmek L içeren K nerede ve p A olan bölünmüş (örneğin onun cebirsel kapanış veya ayrışma alan bir p A ) ve biz not:
Λ I olan özdeğerler ve A çokluğu ile sayılmıştır. Üçgenleştirme teorisiyle, katsayıları L'de olan ve ana köşegeni λ i tarafından oluşturulan A'ya benzer bir üçgen kare matris T'yi nasıl bulacağımızı biliyoruz . Benzerliğe göre izin değişmezliğini kullanarak, şu sonuca varırız:
.Ayrıca, p A'nın birinci dereceden çarpanlara yazılmasını geliştirirsek, bu polinomda λ i'nin toplamı X n - 1 katsayısının tersi olarak görünür . Bu nedenle, c n - 1 ile ifade edersek, bu katsayının:
.Genel dava
Artık A'nın bir integral halkada katsayıları olduğunu varsaymıyoruz ; yine de başka bir yolla benzer sonuçlar elde edilebilir.
Permütasyonlar kullanılarak formülle karakteristik polinomu tanımlayan determinantın geliştirilmesinde, X n - 1'deki bir tek terimlinin sadece n ! XI n - A'nın köşegen terimlerinin ürünü olan toplamın terimleri , yani:
A'nın izi daha sonra X n - 1'in katsayısı olarak görünür . Formülü farklı şekilde kanıtladık:
.Şimdi ayrıca A bölünmesinin karakteristik polinomunu varsayıyoruz ve şunu not ediyoruz:
bu polinomun birinci dereceden faktörlere ayrıştırılması.
Bu ürün geliştirerek, yeni bir ekspresyonunu elde c n - 1 ; bunu önceki formülle bir araya getirerek şunu elde ederiz:
.Let q olduğu bir polinom (yukarıda ihtiva eden bir değişmeli halkada katsayılı X ı ve katsayıları A ). Yani :
. gösteriHalka bozulmamışsa, yukarıda kullanılan teknikler ve gösterimler kullanılabilir. Matris q ( A ) benzer bir q ( T ) ana diyagonal ise, T tarafından oluşturulan q ( λ i ) . Formülü çıkarıyoruz.
Bu formül, bütünlüğü varsayımı olmadan geçerli kalmaya devam kanıtı Üzerinde Dinlenme bozulmamış halkaların davanın ön arıtma .
Önceki formülü tek terimli q = X k için özelleştirerek , şunu elde ederiz:
.Boş karakteristikte, temel simetrik polinomlar , Newton'un özdeşlikleri aracılığıyla Newton'un toplamlarından başlayarak polinomsal olarak yeniden oluşturulabilir . Bu nedenle, bir matrisin ( n , n ) karakteristik polinomunun katsayılarını , onun kuvvetlerinin (ve hatta üssü n'den küçük veya ona eşit olan kuvvetlerin) izlerinin bir fonksiyonu olarak ifade etmeye izin veren evrensel polinom formülleri vardır . Örnek vermek gerekirse:
Burada bir uygulamadır: eğer bir matris (olup , n , n, karakteristik sıfır ve tatmin bir alanda katsayılı) :, daha sonra bir bir nilpotenttir .
Sonlu boyutlu gerçek bir vektör uzayı E verildiğinde , determinant, n derecesinde homojen olan E ile R arasındaki operatörlerin uzayından bir harita det tanımlar . Sayısını det ( u ) temsil eden matris katsayıları bir polinom fonksiyonu olarak ifade edilir u herhangi bir baz içinde E . Bu nedenle det işlevi türevlenebilirdir . Kimlikteki farklılığı izdir . Başka bir deyişle, E üzerindeki herhangi bir u operatörü için ,
burada o ( u ) , u sıfıra yaklaştıkça kalanın u ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir olduğu anlamına gelir . Sonuç olarak, E üzerindeki herhangi bir u operatörü için ,
.Özellikle, u'nun üstel değeri , yalnızca ve ancak u bir sıfır iz operatörü ise belirleyici 1'dir . Bu sonuç Lie grupları teorisinde şu şekilde yorumlanabilir . Det uygulaması, doğrusal grup GL ( S )'den R'ye kadar olan grupların sürekli bir morfizmidir . Bu nedenle, determinant 1'e sahip operatörler kümesi olan çekirdeği, SL ( E ) ile gösterilen GL'nin ( E ) bir alt grubudur . Bu ise , klasik Lie grubu , GL (yani kapalı bir alt grup E ). Geometrik olarak, bir operatör SL'ye ( E ) aittir, ancak ve ancak, E'nin Lebesgue hacmini koruyorsa . Onun Lie cebiri, tam olarak u ile gösterilen sıfır izli operatörler kümesidir .
E'nin açık bir U üzerinde , bir vektör alanı X bir uygulamadır . Bu harita Lipschitzian ise, Cauchy-Lipschitz teoremi adi diferansiyel denklemin maksimal çözümlerinin varlığını doğrular.
(1).X'in akışı, c (t) üzerinde x gönderen f t difeomorfizmalar ailesidir; burada c , başlangıç koşulu olarak c (0) = x olan (1)'in çözümüdür . Akış yerel olarak tanımlanır. Biz tanıtmak sapma arasında X
burada dx (x) ayırıcı olup , X in X bir operatörü, E . F t akışı , sapma sıfır olduğunda Lebesgue hacmini korur. Daha doğrusu, yapışması U'ya dahil olan herhangi bir açık için ,
.(Bu eşitlik, örneğin hacim şekillerinin mevcudiyetinde yönlendirilmiş manifoldlarda, diverjansın tanımını genişletmeyi mümkün kılar.)
Eğer bir alan üzerinde Lie cebir K , eşlenik temsil ait , gösterilen reklamın , tarafından verilir
.Ölüm şekli ile ilgili olarak simetrik iki-doğrusal şekil
.Lie cebirinin otomorfizmaları Killing formunu korur. Özellikle, onun birleşik gösterimi B'yi korur . Killing formu, Lie cebirlerinin yarı basitliğini karakterize etmek için Élie Cartan tarafından tanıtıldı . K = R olduğunda , ilişkili Lie grubu hakkında da bilgi sağlar. Bakınız Cartan'ın kriteri (tr) .
Let G olmak bir Lie grubu (örneğin, GL (kapalı bir alt grup E )). Tanım olarak, onun Lie cebiri, Lie ayracı [,] (vektör alan komütatörü) ile sağlanan G üzerindeki sol-değişmez vektör alanlarının uzayıdır . B ile ilişkili Killing formu , G üzerinde bir metrik sözde Riemann çift değişmezini tanımlar . Killing B formu pozitif tanımlıysa, ilişkili metrik pozitif eğriliğe sahip bir Riemann metriğidir. Meyers teoremi, G'nin kompakt olduğunu ima eder . Diğer bağlantılar mevcuttur.
' de iki matris olsun ve olsun . fark ederiz ki
Böylece uzayda kanonik skaler çarpım hakkında hoş bir yazımız var .
Eğer , H , bir bir Öklid veya Hermitsel , eşlenik operatörü bir operatörün , U ile H bir operatörü , H . Daha sonra H üzerindeki operatör uzayında aşağıdaki skaler ürünü tanımlarız :
.Bu tanımla, kendi kendine ilişkili operatörlerin ve kendi kendine ilişkili olmayan operatörlerin, 'nin iki ortogonal alt uzayını oluşturduğu açıkça görülmektedir . Toplama, kendisiyle ilişkili operatörlerin uzayına göre ortogonal simetridir.
Let U olabilir , gerçek vektör alan açık bir grubu 0 içeren ve olmak C sınıfı 2 . Hessian H ve f , 0 ° C'de bir simetrik iki doğrusal şeklidir E tatmin
.Tanım olarak, 0'daki f'nin Laplacian'ı Hessian'ın izidir:
Boş Laplacian'ın C 2 sınıfının işlevlerine harmonikler denir . Zorunlu olarak analitik olan bu fonksiyonlar, özellikle karmaşık analizlere ve fonksiyonel analizlere müdahale eder . Özellikle boş Laplacian'ın işlevleri , Dirichlet'in enerjisinin uç noktalarının aranması olan Dirichlet probleminin çözümleridir .
Ayrıca, Laplacian'ın tanımı, diferansiyel geometride Riemann manifoldları ( Laplace-Beltrami operatörü ) üzerindeki fonksiyonlar için ve aynı zamanda diferansiyel formlar gibi daha genel nesneler için genelleştirilmiştir . Bu daha genel çerçeve dahil olmak üzere , tanım bilineer formların izleri ile verilebilir. Null Laplace formlarına harmonik denir ve Hodge'un teorisi onların önemini gösterir.
Bir düz bakan yüzey göz önüne alındığında, S Öklid alanı , ortalama eğrilik S içinde x başlıca iki eğrilik ortalamasıdır S içinde x . Biçimsel olarak, bu kavisler tanjant düzlemi üzerinde ikinci dereceden bir formunun özdeğerler T x S ikinci temel biçimi olarak S de x , belirtildiği II x . Ortalama eğrilik S olarak x olup
.Ortalama eğriliğin tanımı, Riemann manifoldlarının N düz alt manifoldlarına kadar uzanır . Onun değeri x artık skaler ama bir vektör ortogonal T x K hala eser vasıtasıyla tanımlanır. Sıfır ortalama eğrilik alt manifoldlarına minimal denir ve Riemann hacminin uç noktalarıdır.
Let H bir Hilbert alanı ile, Hilbert olarak ( e ı ) ı ∈ I (mutlaka sayılabilir ). Bir sınırlı operatör bir ∈ ℒ ( H ), söz konusu olan bir iz için ise
(Bu toplam Hilbert bazının seçimine bağlı değildir.) Bu durumda,
İzleme operatörleri kompakttır . Bunlar, meydana ideali ℒ ait ( H ℒ) olarak belirtilen 1 ( H olan), tam için norm ‖ ‖ 1 aşağıda tanımlandığı gibidir. Tr izi , ℒ 1 ( H ) üzerinde sürekli bir lineer form pozitif tanımlıdır .
Sonlu boyutta, bir operatörün izi, bir matris gösteriminin köşegen katsayılarının toplamıdır. Aşağıdaki örnek bir genellemedir. Let μ bir Borel ölçüsünü bir üzerinde kompakt uzay K . Let f : K 2 → ℝ sürekli haritası olması. Açık Hilbert uzayı L 2 ( K , ℝ) işlevlerin K bir ile ℝ içinde toplanabilir kare , çekirdek operatör
iz ile ve izi şuna eşittir: