K- cebirsel teori

In matematik , K- cebirsel teorisi önemli bir dalıdır homolog cebir . Bu nesne tanımlama ve uygulamaktır sekansı arasında fanktorlar K , n den halkaların kategorisi için olduğu Değişmeli grupları . Tarihsel bazı sebepler dolayısıyla, K 0 ve K 1 açısından biraz farklı tasavvur edilmektedir, K , n için n Bu iki 2. ≥ K -grubu, gerçekten de daha erişilebilir ve daha yüksek indisli daha fazla uygulamaları vardır. İkincisi teorisi derine kadar gider ve onlar çok daha zor olarak hesaplanması, yalnızca içindir halka ait tamsayılar .

Değişmeli grubu K 0 ( A ) yapımını genelleştirilmiş yere sınıflarının grubu bir halka A kullanılarak bir - yansıtmalı modülleri . "Hangi - O 1960 ve 1970'lerde geliştirilen varsayım ait Serre yansıtmalı modülleri" oldu Quillen-Suslin ait teoremi (in) - ve diğer birçok klasik cebirsel sorunlara bağlantılı olmuştur. Benzer şekilde, K 1 ( A ) grubu , temel matrisler kullanılarak birimler grubunun bir modifikasyonudur ; topolojide , özellikle A bir grup halkası olduğunda önemlidir , çünkü bir bölüm grubu , Whitehead grubu (en) , basit homotopi teorisinde ve cerrahide kullanılan Whitehead torsiyonunu (en) içerir . K 0 ( A ) grubu aynı zamanda sonlu değişmez Gibi diğer değişmezleri de içerir . 1980'lerden beri, cebirsel K teorisi cebirsel geometride giderek daha fazla uygulamaya sahip olmuştur . Örneğin, motive edici kohomoloji onunla yakından bağlantılıdır.

Tarih

Alexandre Grothendieck , Riemann-Roch teoreminin geniş kapsamlı genellemesini oluşturmak için 1950'lerin ortalarında K- teorisini keşfetti . Birkaç yıl sonra, Michael Atiyah ve Friedrich Hirzebruch , benzer kabul K topolojik -Teori (in) .

1960 yılında başlayarak, uygulamaları K -gruplarından keşfedildi özellikle de, manifoldu cerrahisi ve klasik cebirsel problemlere diğer birçok bağlantılar.

Bir süre sonra, operatör cebirleri teorisinin bir dalı karla geliştirildi ve K - operatörler teorisine (en) ve KK teorisine (of) yol açtı . K- teorisinin cebirsel geometride, çevrimler teorisinde ( Gersten'in varsayımı) oynayacağı bir role sahip olduğu da netleşti : daha yüksek K- teorisi grupları , daha yüksek boyutlardaki fenomenlerle bağlantılıydı , anlaşılması daha zordu.

Sorun , ilk bakışta eşdeğer olmayan K- teorisinin tanımlarının çeşitliliğinden kaynaklanıyordu . Kullanma Steinberg çalışması ile ilgili genel merkezi uzantıları arasında klasik cebirsel gruplar , John Milnor grubu tanımlamak için tercih K 2 ( A bir halka) A olarak merkezi , izomorf için lH 2 (E ( A ), ℤ) genel merkezi uzantının, bir grup E ( A ) tarafından üretilen sonsuz temel matrisler A . K 1 ( A ) × K 1 ( A ) ile K 2 ( A ) arasında doğal bir çift doğrusal harita vardır . Bir özel durumunda alan k , grup K 1 (k) ' çarpımsal grubu izomorf GL (1, k ) , ve hesaplamaları Hideya Matsumoto göstermiştir K 2 ( k ) tarafından oluşturulan grup izomorf K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modülo , tanımlanması kolay bir ilişki kümesi .

Bu temel zorluklar nihayetinde (derin ve zor bir teori bırakarak ), tüm n doğal sayıları için K n ( A ) ' nın birkaç tanımını veren Daniel Quillen tarafından artı yapısı ve Q yapısı yoluyla çözüldü .

İlk K grupları

K indeksi 0 -grupları ve 1 değişik altında keşfedilmeyi ilk edildi ad hoc açıklamaları yararlı kalır. Takip eden kısımda , A tek yapraklı bir halkayı belirtir .

K 0

Tüm sınıflar eşbiçimlilik ait A - projektif modüller sonlu Çeşidi ile donatılmış, direkt toplamı , bir oluşturur Monoid . K 0 ( A ) 'yı Grothendieck grubu olarak tanımlıyoruz .

Herhangi bir yüzük morfizmanın A → B bir harita verir K 0 ( A →) K 0 ( B gönderir) herhangi biri (sınıfı) Bir Modül M üzerinde (ve sonlu tip projektif) M ⊗ A B yapar, K 0 bir kovaryant functor.

Halkası ise bir olan değişmeli , içinde tanımlayabilir K 0 ( A ) bir alt-grubu

$\ widetilde K_ {0} (A) = \ bigcap \ limits _ {{P {\ text {prime ideali of}} A}} {\ mathrm {Ker}} \ dim _ {P},$

veya

$\ dim _ {P}: K_ {0} (A) \ - \ mathbb {Z}$

(sınıfı) yapılan uygulamadır M arasında rank ilişkilendiren bir P - serbest modülü E P (bir yansıtmalı modülü üzerinde olduğundan, bu modül, gerçekten de serbest olan yerel halka ). Bu alt grup denir K ait -Teori indeksini 0 azaltılmış A . $\ widetilde K_ {0} (A)$

K 0 tanımını , üniterleştirilmiş A = B 1 ve birleşik halkaların A → ℤ kanonik morfizmini göz önünde bulundurarak, zorunlu olmayan birleşik B halkasına genişletebiliriz. Daha sonra K 0 ( B ) 'yi karşılık gelen K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ morfizminin çekirdeği olarak tanımlarız .

Örnekler

Bir aşkın modülü saha k olan k - vektör uzayı ve K 0 ( k ) tarafından, ℤ izomorftur boyut haritası .
Daha genel olarak, bir yerel A halkası üzerindeki projektif modüller serbesttir ve K 0 ( A ), rütbe haritasına göre to 'ye izomorfiktir .
Eğer bir a, Dedekind halka , K 0 ( A ) = Pic ( A ) ⊕ ℤ Pic ( A ) 'dir Picard grubu arasında A ve benzer şekilde, düşük K -Teori ile verilir $\ widetilde K_ {0} (A) = {{\ rm {Resim}}} (A).$
Bu yapının bir cebirsel geometrik varyant için de geçerlidir kategori arasında cebirsel çeşitleri ; bir cebirsel çeşitli birleştiren X K -grup Grothendieck kategorisinin lokal serbest kiriş (veya tutarlı kirişler üzerine) X .
Herhangi biri için , kompakt topolojik alanı , topolojik K -Teori (in) K üst ( X arasında) ( gerçek ) vektör demetleri üzerinde X ile çakışır K 0 halkasının sürekli fonksiyonlar ile ilgili X ℝ için.

K 0 bağıl

Ya ben bir idealdir ait A . İlişkili "çift" i , ürün halkasının A × A aşağıdaki alt halkası olarak tanımlıyoruz :

$D (A, I) = \ {(x, y) \ in A \ times A \ mid xy \ in I \},$

sonra göreceli K grubu:

$K_ {0} (A, I) = \ ker \ left (K_ {0} (D (A, I)) \ - K_ {0} (A) \ sağa),$

uygulama, birinci faktör üzerindeki projeksiyon tarafından başlatılır.

Bu göreli K grubu K 0 ( A , I ), K 0 ( I ) ' e izomorfiktir , burada I birimsiz bir halka olarak görülür. A'dan bağımsız olması , homolojideki eksizyon teoreminin bir analoğudur .

Yüzük K 0

Eğer A halkası değişmeli ise, iki yansıtmalı modülün tensör çarpımı hala yansıtmalı olup, bu da K 0'ı değişmeli bir halka yapan bir çarpmaya neden olur ve [ A ] sınıfı çarpımsal nötrdür. Benzer şekilde, dış çarpım bir λ halkası (en) yapısını indükler . Picard grubu kendini doya içinde birim grubunun K 0 ( A ).

K 1

Hyman Bas : Aşağıdaki tanım, bu halka birimleri grubunun genelleştirir verdi K 1 ( A edilir) abelianized ait genel bir grup doğrusal Sonsuz :

$K_ {1} (A) = \ operatöradı {GL} (A) ^ {{{\ mbox {ab}}}} = \ operatöradı {GL} (A) / [\ operatöradı {GL} (A), \ operatöradı {GL} (A)].$

Whitehead'in lemmasına göre , türetilmiş grup [GL ( A ), GL ( A )] , temel matrisler tarafından üretilen mükemmel alt grup E ( A ) ile çakışır . İlk olarak Whitehead tarafından tanımlanan ve incelenen GL ( A ) / E ( A ) grubu, A halkasının Whitehead grubu olarak adlandırılır .

K 1 bağıl

Göreceli K -grubu K 1 ( A , I ), "cinsinden tanımlanır çift ":

$K_ {1} (A, I) = \ ker {\ Büyük (} K_ {1} (D (A, I)) \ - K_ {1} (A) {\ Büyük)}.$

Tam bir sıraya uyuyor :

$K_ {1} (A, I) \ - K_ {1} (A) \ - K_ {1} (A / I) \ - K_ {0} (A, I) \ - K_ {0} (A) \ K_ {0} (A / I).$

Değişmeli halkalar

Halka ise bir değişmeli, bir tanımlayabilir morfizmalar belirlenmesi , GL ( A grubundan) A x birimleri A . Bu harita E ( A ) 'da kaybolur, bu nedenle bölüme geçer ve bir morfizmi tanımlar: K 1 ( A ) → A × , çekirdeği özel Whitehead grubu SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Hatta sağ tarafta kısa ve kesin bir dizi ayrımı elde ederiz. $1 \ - SK_ {1} (A) \ - K_ {1} (A) \ - A ^ {{\ times}} \ - 1,$ bunun bölümü, $1 \ - \ operatöradı {SL} (A) \ - \ operatöradı {GL} (A) \ - A ^ {{\ zamanlar}} \ - 1,$ olan bölümü bir x → GL ( A ) dahil edilmesi ile verilen A x = gl (1, bir GL (in) A ).

Böylece, K 1 ( A ) , birimler grubunun ve özel Whitehead grubunun doğrudan toplamına ayrışır : K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).

Eğer bir a, Öklid halka (örneğin, bir değişmeli alanı ya da tam sayılar halka) ya da yarı-yerel ardından grup SK 1 ( A ) 'dir önemsiz ve belirleyici bir bir izomorfizm den K 1 ( A olarak) A x . Bu, Öklid halkalarının ana halkalara genellemeyen nadir özelliklerinden birini sağlayan herhangi bir ana halka için yanlıştır . Of örnekleri Bass tarafından 1972'de ve Ischebeck tarafından 1980'de verildi.

A , bir sayı alanının bir Dedekind alt halkası ise, SK 1 ( A ) da önemsizdir .

SK 1'in önemsizliği, K 1'in GL 1 görüntüsü tarafından oluşturulduğu söylenerek yorumlanabilir . Durum böyle olmadığında, K 1'in GL 2'nin görüntüsü tarafından oluşturulup oluşturulmadığını öğrenebiliriz . Bu bir Dedekind halkası için doğrudur, K 1 daha sonra GL 1 ve SL 2 görüntüleri tarafından oluşturulur . Mennicke sembollerini (en) kullanarak SL 2 tarafından oluşturulan SK 1 alt grubunu inceleyebiliriz . Her biri bir Dedekind halkası için torokenodesoksikolat göre maksimal idealleri olan sonlu , SK 1 a, torsiyon grubu .

Değişmeli olmayan bir halka için, belirleyici morfizm genel olarak tanımlanmaz, ancak GL ( A ) → K 1 ( A ) haritası bunun yerine geçer.

Basit merkezi cebirler

Eğer bir bir olan basit merkezi cebir bir alanın üzerine F , azaltılmış norm bir harita vererek belirleyici bir genelleme sağlamaktadır K 1 ( A →) F * ve biz tanımlayabilirsiniz SK 1 ( A onun çekirdeğidir). Shianghao Wang (tr) eğer göstermiştir derece arasında A olan asal sonra SK 1 ( A ) Önemsiz olduğunu ve bu derece olduğu durumda uzanmaktadır squareless . Wang ayrıca SK 1'in bir sayı alanı üzerindeki herhangi bir basit merkezi cebir için önemsiz olduğunu da kanıtladı . Vladimir Platonov , herhangi bir p asal sayısı için , SK 1'i önemsiz olmayan p 2 dereceli cebirlerin örneklerini verdi .

K 2

John Milnor tanımlanan K 2 ( A gibi) merkezi bir Steinberg grubundan St ( A arasında) A . Aynı zamanda φ morfizminin çekirdeğidir: St ( A ) → GL ( A ) ve temel matrisler tarafından üretilen E ( A ) grubunun Schur çarpanı .

K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ ve daha genel olarak, K 2 arasında bir tamsayılar halka numaralarının gövdesi sonludur.

K 2 (ℤ / n ℤ) hala ℤ / 2 div, eğer n 4 ile bölünebiliyorsa, aksi halde önemsizdir.

Matsumoto teoremi

K 2 bir alanın tarafından belirlenir Steinberg semboller :

Matsumoto teoremi - Herhangi bir değişmeli alan k için ,

K_ {2} (k) = k ^ {\ times} \ otimes _ {{\ mathbb {Z}}} k ^ {\ times} / \ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0 , 1 \ rangle.

Biz kolayca çıkarabiliriz K 2 herhangi birinin sonlu alanda önemsiz olduğunu.

K 2 ( ℚ ) 'nin hesaplanması biraz daha karmaşıktır. John Tate bunu kanıtladı

$K_ {2} (\ mathbb {Q}) = (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}) ^ {\ times} \ times \ prod _ {{p {\ text {ilk tek}}}} ( \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {\ times}$

işaret ederek ispat ilk kanıtı olarak aynı planı takip ettiğini Gauss ait karesel karşılıklılık hukuk .

Eğer F a, yerel alan olmayan Arşimet , kendi K 2 doğrudan toplamıdır siklik grubu bitmiş ℤ / m ℤ ve bölünebilir grup K 2 ( F ) m , m sayısı birlik kökleri de F .

Uzun kesin diziler

Eğer bir bir Dedekind halka olup, K onun fraksiyonları alanı , bir var uzun tam sırası

$K_ {2} (F) \ - \ oplus _ {P} K_ {1} (A / P) \ - K_ {1} (A) \ - K_ {1} (F) \ - \ oplus _ {P} K_ {0} (A / P) \ - K_ {0} (A) \ - K_ {0} (F) \ - 0$

nerede P baştan çalışır asal idealler arasında sıfırdan farklı A .

Öte yandan, tüm A ve I için (ideal A ), göreceli K 1 ve K 0'ı devreye sokan tam dizi uzatılır:

$K_ {2} (A) \ - K_ {2} (A / I) \ - K_ {1} (A, I) \ - K_ {1} (A) \ cdots \.$

Kaplin

Bir vardır birleştirme üzerine K 1 değerleri K 2 : Belirli işe gidiş-geliş matrisler X ve Y ile A , olan X ve Y bir arka bölgesindeki Steinberg grubu . Anahtar XYX -1 y -1 bir elemanıdır K 2 . Bu uygulama her zaman kuşatıcı değildir .

K - Milnor'un teorisi

Yukarıda ifade arasında K 2 değişmeli alanının k bir tanımına Milnor yol "daha yüksek" K , bileşenler olarak -grupları düzeylerindeki arasında, bölüm arasında tensör cebir arasında değişmeli grubu k x l tarafından 'iki - taraflı doğru oluşturulan göre a ⊗ - (1 a için) bir ≠ 0, 1:

$K _ {*} ^ {M} (k): = T ^ {*} (k ^ {\ times}) / (a \ otimes (1-a)).$

İçin , n = 0, 1 veya 2, bu K E , n grupları denk K , n grupları tanımlanan aşağıdaki ama için n ≥ 3, genel olarak farklıdır. Örneğin, herhangi bir sonlu alan k için , K M n ( k ) tüm n ≥ 2 için önemsiz iken, K n ( k ) sadece n çift ise önemsizdir .

Bir a 1 ⊗… ⊗ a n elemanının K M n ( k ) ' deki görüntüsü bir sembol olarak adlandırılır ve { a 1 ,…, a n } ile gösterilir. Eğer m bir olduğunu içinde ters çevrilebilir tamsayı k bir uygulama var

$\ kısmi: k ^ {*} \ - H ^ {1} (k, \ mu _ {m})$

burada μ m grubunu temsil eder m -inci kökleri bir birlik ayrılabilir uzantısı arasında k . Bir uygulamaya uzanır

$\ kısmi ^ {n}: k ^ {*} \ times \ cdots \ times k ^ {*} \ to H ^ {n} \ left ({k, \ mu _ {m} ^ {{\ otimes n}} } \ sağ),$

Milnor'un K gruplarını tanımlayan ilişkileri kontrol eder . Bu şekilde K M n ( k ) üzerinde tanımlanan ∂ n haritasına "Galois sembolü" denir.

Arasındaki ilişki Etale (veya Galois ) kohomolojisi bir gövde ve K Milnor arasında -Teori 2 modülo olan Milnor tahmin gösterdiği, Vladimir Voevodsky . Tek asal sayılar için benzer bir ifade , Voevodsky, Rost (de) ve diğerleri tarafından gösterilen Bloch-Kato varsayımıdır (en) .

Daha Yüksek K- Teori Grupları

Yüksek endekslerin K grupları için çeşitli uyumsuz tanımların önerildiği birkaç yıl sonra , kabul edilen Quillen tarafından verildi. Zorluk tanımlarını bulmaktı K ( R ) ve K ( R , ı açısından) sınıflandırmak boşluklar (en) , öyle ki R ' ↦ K ( R ) ve ( R , ı ) ↦ K ( R , ı ) fanktorlar olan bir değerlerle homotopik kategori (in) arasında boşluklar ve uzun tam dizisi bu nispi K -grupları basitçe uzun tam Homotopy sekansı a Faybreyşın K ( R , ı →) K ( R →) K ( R / I ).

Quillen, "artı yapı" ve " Q yapısı " olmak üzere iki yapı verdi ; ikincisi daha sonra çeşitli şekillerde değiştirildi. İki yapı aynı K- gruplarını verir.

İnşaat daha fazla

İçin n > 0, Quillen tanımlar n -inci K -grubu arasında R olarak , n -inci Homotopy grubu olarak uygulanmasıyla elde edilen bir alanı artı (de) yapı sınıflandırıcı için oda GL ( R, sonsuz lineer grubunun GL) ( R ): $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+}).$

Bu tanımı n = 0 durumuna genişletmek için, $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+} \ times K_ {0} (R)),$

çünkü B GL ( R ) + olan yayların ile bağlı ve K 0 ( R ) 'dir ayrık .

İnşaat S

Yapı S (in) fazla yapı ile aynı sonuçları verir, ancak daha genel durumlar için geçerlidir. Ek olarak, ürettiği K- gruplarının tanım gereği işlevsel olması anlamında daha doğrudandır , oysa bu gerçek inşaat artıda acil değildir.

Herhangi için tam kategorisi P , kategorisi S ilişkilendirmek p olan nesnelerdir kişilerce P ve morfizimler den M için , M ' ve izomorfizmleri sınıfları vardır diyagramları olarak P formunun

$M \ leftarrow N \ ila M ',$

burada birinci ok kabul edilebilir bir epimorfizm ve ikincisi kabul edilebilir bir monomorfizmdir .

N inci K tam kategorisinde-grubu P daha sonra tanımlanmaktadır

$K_ {n} (P) = \ pi _ {{n + 1}} ({\ mathrm {BQ}} P, 0)$

0 olduğu sabit boş nesne BQ P kategori Q sınıflandırma alanıdır p demek ki, geometrik gerçekleştirilmesi (in) onun arasında sinir . Özellikle, K 0 ( P ) olan Grothendieck grubu arasında P .

P için sonlu tipteki projektif R- modülleri kategorisini alarak , artı yapı ile tanımlanan K n ( R ) ile aynı grupları buluruz . Daha genel olarak, K a -grupları şeması X kategorisi (tam) bu gibi tanımlanmıştır Coherent kirişler yerel olarak serbest ile X .

Ayrıca aşağıdaki değişkeni kullanıyoruz: sonlu tipteki projektif R- modülleri yerine (yani yerel olarak serbest), sonlu tipteki tüm R- modüllerini alıyoruz. Bu genel olarak ifade tarafından G N ( R ' ) K Bu şekilde elde edilen -Gruplar. Eğer R, a, düzenli Notherian halka , kendi G ve - K - teori örtüşmektedir. Gerçekten de, küresel boyut ve R herhangi söylemek olduğunu, sonlu R sonlu Çeşidi Modül M bir itiraf (in) yansıtmalı çözünürlüklü P * → M ve basit bir argüman anlamak için izin verdiğini kanonik morfizmanın K 0 ( R ) → G 0 ( R ), [ M ] = Σ ± [ P n ] ile iki amaçlıdır . Daha yüksek K grupları arasındaki morfizmin de önyargılı olduğunu gösteriyoruz.

S yapı

K- gruplarının üçüncü bir inşaatı, S'den Waldhausen'e (en) giden bina . Kesin kategorilerden daha genel olan kofibrasyonları olan kategoriler için geçerlidir ( kategoriler Waldhausen (içinde) olarak adlandırılır ) .

Örnekler

İken Quillen en K- cebirsel teorisi derinliği çeşitli yönleriyle anlamaya yardımcı olmuştur cebirsel geometri ve topoloji , K -gruplarından birkaç izole ama ilginç durumlar dışında hesapla özellikle zor olduğu görülmüştür.

Bitmiş bedenler

Bu birinci hesaplama K - üst halkanın grupları - ve en önemlilerinden biridir - Quillen kendisi tarafından gerçekleştirilmiştir: sonlu alan ile q elemanları ile gösterilmiştir F q , var:

K 0 ( F q ) = ℤ,
K 2 i ( F q ) = 0 i ≥ 1 için,
K 2 i –1 ( F q ) = ℤ / ( q ben - 1) ℤ i ≥ 1 için.

Tamsayı halkaları

Quillen kanıtladı K arasında -grupları Ey F halkasının tamsayılar a sayıların alanında F olan sonlu Çeşidi . Armand Borel bunu K i ( O F ) ve K i ( F ) modulo torsiyonunu hesaplamak için kullandı . Örneğin F = ℚ, Borel tüm kanıtlamıştır i > 1, K i ise (ℤ) modülo burulma ℤ olan I olan 1 modülo 4'e uyumlu ve $0$ , aksi.

Geçenlerde bir torsiyon alt gruplarını belirlenmiş K 2 i 1 (ℤ) ve düzen içinde sonlu değişmeli gruplar K 4 k 2 (ℤ), ancak sorular dönemselliğin sonrakinin ve önemsizlik ait K 4 k (ℤ ) bağlı üzerine Vandiver spekülasyonlarına üzerinde sınıfların grubun içinde cyclotomic tamsayılar . Ayrıntılar için " Guess Quillen-Lichtenbaum (in) " makalesine bakın .

Başvurular ve açık sorular

Grupları K cebirsel teorik olarak katılmaktadırlar varsayımlara ilgili özel değer (en) ve L fonksiyonları , formülasyonu temel varsayım (tr) içinde olmayan değişmeli Iwasawa teori ve yapımı daha yüksek düzenleyici (tr) .

Varsayım Parshin (tr) herhangi biri için öngörmektedir çeşitli pürüzsüz bir sonlu alan üzerinde, K yüksek -gruplarından olan torsiyon .

Bass (en) ' inki , herhangi bir sonlu tip alg-cebir A için , tüm G n ( A ) gruplarının sonlu tipte olduğunu öngörür .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı “ Cebirsel K-teorisi ” ( yazarların listesini görmek ) .

(en) C. Soule , D. Abramovich (de) , J.-F. Burnol ve J. Kramer (de) , Lectures Arakelov Geometry , CUP , al. "İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları" ( n o 33),1992, 185 s. ( ISBN 978-0-521-41669-6 , zbMATH 0812.14015 ) , s. 36.
(in) Daniel Quillen , "Yüksek cebirsel K-teorisi. I ” , Hyman Bass , Cebirsel K-Teorisi, I: Yüksek K-Teorileri , Springer , cilt. "Matematik Ders Notları. "( N O 341)1973( ISBN 978-3-540-06434-3 , DOI 10.1007 / BFb0067053 , Matematik İncelemeleri 0338129 ) , s. 85-147.
(in) Daniel Quillen , "Yükseköğretim K-teori kesin dizileriyle kategorileri için" içinde Graeme Segal , Topolojideki Yeni Gelişmeler , KUPASI ark. "London Math. Soc. Okuma Notu Ser. "( N o 11),1974( Matematik İncelemeleri 0335604 , çevrimiçi okuyun ) , s. 95-103.
(en) Jonathan Rosenberg (de) , Cebirsel K-Teorisi ve Uygulamaları , Springer, cilt. " GTM " ( n o 147)1994, 394 s. ( ISBN 978-0-387-94248-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , zbMATH 0801.19001 , çevrimiçi okuyun )(+ Hatalar ), s. 30 .
(en) John Willard Milnor , Cebirsel K-Teorisine Giriş , PUP , cilt . "Matematik Çalışmaları Yıllıkları" ( n o 72),1971( zbMATH 0237.18005 , çevrimiçi okuyun ) , s. 5.
Milnor 1971 , s. 14.
(inç) Max Karoubi , K-Teorisi: Giriş , Springer al. "Matematikte klasikler",2008, 308 s. ( ISBN 978-3-540-79889-7 , çevrimiçi okuyun )Teorem I.6.18.
Rosenberg 1994 , s. 27.
Milnor 1971 , s. 15.
(inç) JHC Whitehead , " Basit homotopi tipi " , Amer. J. Math. , cilt. 72,1950, s. 1-57.
Rosenberg 1994 , 2.5.1, s. 92.
Rosenberg 1994 , 2.5.4, s. 95.
Rosenberg 1994 , Teorem 2.3.2, s. 74.
(inç) Tsit Yuen Lam , Serre'nin sorunu projektif modüller Springer2006, 404 s. ( ISBN 978-3-540-34575-6 , çevrimiçi okuyun ) , s. 44. Bir İçin sigara değişmeli yarı yerel halka A , listelenen istisnalar hariç, K 1 ( A ) izomorftur abelianized ait A × : (tr) LN Vaserstein (tr) , “ Yarı yerel halkalar için Whitehead belirleyici Açık ” , J. Algebra , cilt. 283, n o 22005, s. 690-699 ( DOI 10.1016 / j.jalgebra.2004.09.016 ).
(in) Hyman Bass, "Klasik" cebirsel K-teorisindeki "bazı problemler , Cebirsel K-Teorisi, II , Springer al. "Matematik Ders Notları. "( N o 342),1972, s. 3-73.
(inç) Friedrich Ischebeck, " Hauptidealringe nichttrivialer SK 1 -Gruppe koydu " , Arch. Matematik. (Basel) , cilt. 35,1980, s. 138-139 ( DOI 10.1007 / BF01235330 , çevrimiçi okuyun ).
Milnor 1971 , s. 159.
Rosenberg 1994 , s. 75.
Rosenberg 1994 , s. 78.
(içinde) Philippe Gille ve Tamás Szamuely (de) , Central mere cebebras and Galois cohomology , CUP al. "Cambridge İleri Matematik Araştırmaları" ( n o 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137,12001 , çevrimiçi okuma ) , s. 61.
Gille ve Szamuely 2006 , s. 62.
(inç) Shianghaw Wang , " Tek bir cebirin komütatör grubu üzerine " , Amer. J. Math. , cilt. 72,1950, s. 323-334 ( DOI 10.2307 / 2372036 , zbMATH 0040.30302 ).
(in) VP Platonov, " Tannaka-Artin sorunu üzerine " , Dokl. Akad. Nauk SSSR , cilt. 221,1975, s. 1038-1041 ( zbMATH 0333.20032 ), (en) Sovyet Matematik. Dokl. , uçuş. 16, 1975, s. 468-473 .
Milnor 1971 , s. 81.
Lemmermeyer 2000 , s. 385.
(inç) John R. Silvester, Cebirsel K-teorisine Giriş , Chapman & Hall ,bin dokuz yüz Seksen bir, 255 s. ( ISBN 978-0-412-22700-4 , zbMATH 0468.18006 ) , s. 228.
Hideya Matsumoto, " yarı-basit grupların aritmetik alt üzerinde dağıtılan " Asens , 4 inci serisi, Cilt. 2,1969, s. 1-62 ( zbMATH 0.261,20025 , çevrimiçi okuma ).
Rosenberg 1994 , Theorem 4.3.15, s. 214.
(inç) Tsit Yuen Lam, Alanlar Üzerindeki Kuadratik Formlara Giriş , AMS , diğerleri. " GSM " ( n o 67)2005( ISBN 978-0-8218-7241-3 , zbMATH 1068.11023 , çevrimiçi okuyun ) , s. 139.
(en) Franz Lemmermeyer , Karşılıklılık Yasaları. Euler'den Eisenstein'a , Springer, ilçe. "Matematikte Springer Monografileri",2000, 492 s. ( ISBN 978-3-642-08628-1 , DOI 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , zbMATH 0.949,11002 , çevrimiçi okuma ) , s. 66.
Milnor 1971 , s. 101.
Milnor 1971 , s. 102.
(in) Georges Gras Sınıfı Alan Teorisi. Teoriden Pratiğe [ baskının detayı ], s. 205 .
Milnor 1971 , s. 175.
Milnor 1971 , s. 123.
Rosenberg 1994 , s. 200.
Milnor 1971 , s. 63.
Milnor 1971 , s. 69.
(inç) Charles Weibel (in) , "Yerel ve küresel alanlarda tamsayı halkalarının Cebirsel K-teorisi" , Handbook of K-teori , Springer,2005( DOI 10.1007 / 978-3-540-27855-9_5 , çevrimiçi okuyun ) , s. 139-190, Lemma 1.8.
Gille ve Szamuely 2006 , s. 209.
(in) V. Voevodsky, " ℤ / 2-katsayıları ile motive edici kohomoloji " , Publ. Matematik. IHES , cilt. 98,2003, s. 59-104 ( DOI 10.1007 / s10240-003-0010-6 ).
Quillen 1973 .
Rosenberg 1994 , s. 245-246.
Rosenberg 1994 , s. 289.
(in) Friedhelm WALDHAUSEN, "cebirsel K boşlukların -Teori" olarak, cebirsel ve Geometrik Topoloji , Springer al. "Matematik Ders Notları" ( n o 1126),1985( ISBN 978-3-540-15235-4 , DOI 10.1007 / BFb0074449 ) , s. 318-419. Ayrıca bkz Okuma IV ve referanslar (in) Eric M. Friedlander ve Charles W. Weibel, "cebirsel genel bir bakış K -Teori" in, Cebirsel K-teori ve Uygulamaları (Trieste, 1997) , Dünya Sci. Yay.,1999, s. 1-119.
Friedlander ve Weibel 1999 , Okuma VI.

Ayrıca görün

Kaynakça

(tr) Hyman Bass, Cebirsel K-teorisi , WA Benjamin, ark. "Matematik Ders Notu Serisi",1968( zbMATH 0174.30302 )
(tr) Eric Friedlander ve Daniel Grayson, Handbook of K-Theory , Springer,2005( ISBN 978-3-540-30436-4 , DOI 10.1007 / 978-3-540-27855-9 )
(tr) Bruce A. Magurn, K-Teorisine Cebirsel Giriş , CUP, cilt. "Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları" ( n o 87)2009( ISBN 978-0-521-10658-0 , çevrimiçi okuyun )
(en) John Willard Milnor, " Cebirsel K- teori ve ikinci dereceden formlar " , Invent. Matematik. , cilt. 9, n, o , 4,1970, s. 318-344 ( DOI 10.1007 / BF01425486 )
(tr) Daniel Quillen, "Yüksek cebirsel K- teorisi" , Proc. ICM (Vancouver, BC, 1974) , cilt. 1, Canad. Matematik. Kongre,1975, s. 171-176(inşaat Q )
(en) Wolfgang Seiler, "Cebirsel K-Teorisinde λ-Halkalar ve Adams İşlemleri" , M. Rapoport, P. Schneider ve N. Schappacher, L-Fonksiyonlarının Özel Değerleri Üzerine Beilinson Varsayımları , Academic Press,1988( Mayıs ISBN 978-0-12-581120-0 )
(en) Vasudevan Srinivas (en) , Cebirsel K-Teorisi , Birkhäuser , der. "Modern Birkhäuser Klasikleri",2008, 341 s. ( ISBN 978-0-8176-4736-0 , zbMATH 1125.19300 , çevrimiçi okuyun )
(tr) Charles Weibel, K-kitabı: Cebirsel K-teorisine Giriş , AMS, cilt. " GSM " ( n o 145)2013( çevrimiçi okuyun )

Dış bağlantılar

(tr) " K-teorisi Ön Baskı Arşivleri "
(en) " cebirsel K-teori gruplarının örnekleri " ile, PlanetMath
(tr) " Cebirsel K-teorisi " üzerine, PlanetMath

İlgili Makaleler

Dieudonné'nin Belirleyicisi
Bloch formülü (içinde)
K- Cebirsel Teorinin Temel Teoremi ( fr )
Spectrum K- teori (en)
Kırmızı kayma varsayımı ( içeri )
Hilbert sembolü